Toelichting bij geselecteerde opdrachten uit Betekenis en Taalstructuur

Transcriptie

1 Toelichting bij geselecteerde opdrachten uit Betekenis en Taalstructuur Hoofdstuk 2, tot en met pagina 41. Maak opdrachten 1,2,3,4,5,7,9,10,11,15,16 *1 Met "welgevormd" wordt bedoeld dat de formule toegestaan is volgens de syntactische regels van de taal. Een onwelgevormde formule heeft geen betekenis, dus kan niet waar of onwaar zijn. Een welgevormde formule kan al dan niet een bewering zijn; als het een bewering is kan hij waar zijn of onwaar. Neem als voorbeeld de rekenkunde. De formule " = : 3" is onwelgevormd. "2 + 2" is welgevormd, maar geen bewering. "2 + 2 = 5" en "2 + 2 = 4" zijn allebei welgevormde beweringen, één onwaar en één waar. De syntactische regels voor de verzamelingenleer, die je hier moet toepassen, moet je afleiden uit de bespreking op pagina 32. *4 De bedoeling is dat je een regel formuleert die zo precies mogelijk voorschrijft hoe je die symbolen moet gebruiken om een welgevormde formule te maken. *5 De bedoeling is dat je in een formule van de verzamelingenleer de verzameling noteert waar het woord boerin (in ons voorbeeld-model) naar verwijst. *7 Vertaal de formules in (2) op pagina 31 naar het Nederlands. *9 Stel dat gevraagd wordt om te laten zien dat A V H A. Dat kunt u als volgt doen: A V = {d,e} {c,e} = {e} H A = {a,b} {d,e} = {a,b,d,e} {e} {a,b,d,e} Ga op soortgelijke wijze te werk om vraag 9 te beantwoorden. *10/11. De bedoeling is dat je de omschreven verzamelingen noteert met accolade-notatie, zoals in *10 voorgedaan voor B/O. 1

2 Hoofdstuk 2 tot en met pagina 59. Maak opdrachten 18, 19, 20, 21, 23, 27, 28, 30, 31, 33. *18. De bedoeling is dat je elke zin vertaalt naar de propositielogica (waarbij je zelf een vertaalsleutel geeft die elke atomaire propositie vertaalt naar een propositieletter) en dat je vervolgens van de vertaling de volledige waarheidcondities noteert zoals in (19). Voorbeeld: h. Erica is geen paard en Dirk loopt vertaalsleutel: Erica is een paard ~> p Dirk loopt ~> q vertaling: (~p & q) waarheidcondities: zie (19). *18e. Vervang deze door: e. Caroline is vrouwelijk en Caroline is vrouwelijk (Let op!) *21 De bedoeling is dat je eerst (21c) en (21d) vertaalt naar de propositielogica (maak voor de 2 formules gebruik van dezelfde vertaalsleutel!). Vervolgens moet je van die 2 formules aantonen dat ze logisch equivalent zijn. Dat doe je door een waarheidstafel te tekenen waarin je beide formules ontleedt; als de formules equivalent zijn moet je voor beide formules op dezelfde kolom enen en nullen uitkomen. *23 Een formule is logisch geldig als hij in elk model waar is; dat wil zeggen als hij een waarheidstafel met alleen maar enen oplevert. Het "toepassen op B" mag je achterwege laten. *27. Hint: als 2 atomaire proposities een verschillende betekenis hebben, moeten we ze in de propositielogica natuurlijk met 2 verschillende propositieletters vertalen. Maar als 2 atomaire proposities dezelfde betekenis hebben (ook al klinken ze in het Nederlands anders) dan mogen we ze met dezelfde propositieletter vertalen. *30/31. "P impliceert Q" betekent: "Q volgt logisch uit P", anders gezegd: "als P waar is, dan moet het wel zo zijn dat Q ook waar is", nog anders gezegd: "je kunt je geen situatie in de werkelijkheid voorstellen waarin P waar is, maar Q niet". Als je dus wilt aantonen dat P niet Q impliceert, dan kun je dat doen door een situatie te schetsen waarin P waar is, maar Q niet. *33. Probeer voor elke zin een presuppositie en een implicatie te bedenken. Een presuppositie van een zin is, kort gezegd, een vooronderstelling van de zin, zodanig dat als die vooronderstelling niet waar is, de zin noch waar, noch onwaar is maar betekenisloze onzin. Voor uitgebreide uitleg over presupposities, zie het artikel van Potts. 2

3 Hoofdstuk 3 tot en met pagina 74 opdrachten 1-5, 8-10, 13, *1. Bedenk wat het predikaat is in a., en hoeveel-plaatsig dat predikaat is; doe hetzelfde voor b. *2. Bedenk wat het predikaat is in a., en hoeveel-plaatsig dat predikaat is; doe dan hetzelfde voor c.; doe dan hetzelfde voor b. De bedoeling is niet dat je het goede antwoord vindt maar dat je ziet wat het probleem is. *5. Tegen het eind van de cursus hebben we dit probleem opgelost. *8. De bedoeling is dat je elke zin vertaalt naar de predikatenlogica en dat je vervolgens van elke vertaling de waarheidscondities geeft. Bij het geven van die waarheidscondities moet je een stap verder gaan dan bijvoorbeeld in (18) wordt voorgedaan; je moet ook (14) toepassen. Bijvoorbeeld: g. Erica is ziek en Dirk is groot vertaling: Z(e) & G(d) waarheidcondities: V M (Z(e) & G(d) ) = 1 desda V M (Z(e)) = 1 en V M (G(d))=1 = 1 desda I(e) I(Z) en I(d) I(G). *13. Het antwoord is triviaal: dit is helemaal geen uitdrukking in P, de taal van de predikatenlogica, maar van de taal van de verzamelingenleer. Betere vraag is: waarom is het een onwelgevormde uitdrukking van de taal van de verzamelingenleer? *16. De bedoeling is dat je elke zin vertaalt naar de predikatenlogica, en vervolgens van elke vertaling de waarheidscondities noteert, net zoals bij vraag *8, maar nu ook gebruik makend van regel (25), die de betekenis geeft van atomaire proposities met meerplaatsige predikaten. *17. Het is voldoende om de vertalingen te geven naar de predikatenlogica; de waarheidscondities kun je achterwege laten. Bedenk wel dat als een zin ambigu is, er meerdere vertalingen moeten worden gegeven, één voor elke mogelijke interpretatie van de zin. 3

4 Hoofdstuk 4 tot en met pagina 128 opdrachten 4, 7, 8, 10-12, 14, 17, 18, 19, 21, 25, 27, 29. *10. Ga ervan uit dat een formule waarin een variabele voorkomt die ongebonden is (dus, die niet bij een kwantor hoort) onwelgevormd is (dus geen waarheidswaarde kan hebben). *17. Voor het gemak kun je op mijn werktafel staan als een één-plaatsig predikaat opvatten, laten we zeggen St. Dus Dirk staat op mijn werktafel vertalen we als St(d). Bedenk goed dat een formule van de vorm (p & q r) onwelgevormd is: er ontbreken haakjes. Bedenk steeds goed waar de haakjes moeten staan. *18. Herinner je dat B de boerderij uit hoofdstuk 2 is. *19. Vervang zin (35b) door: (35b') er zat een jongen op iedere ezel Geef voor elke lezing van de zinnen in (35), naast een parafrase, ook de vertaling in de predikatenlogica. *25. Schrap uit de instructie de passage waarbij het domein uit alle mensen bestaat. *29. Voorbeeld van het gebruik van de iota-operator: je kunt de man loopt vertalen als L(ιxMa(x)). 4

5 Hoofdstuk 6 tot en met pagina 205 opdrachten 2-7, en extra opdrachten (zie onder). *2. De bedoeling is dat je in deze expressies een functie ontdekt, en het argument (of "origineel") waarop die functie wordt toegepast, en het resultaat van de toepassing van die functie op dat argument (de "functiewaarde", of het "beeld"). Voorbeeld: g. Trix is de moeder van Alex functie: moeder van argument: Alex functiewaarde: moeder_van(alex) = Trix Sla 2.f over. *3. De bedoeling is dat je de karakteristieke functies tekent van de verzamelingen H en M (uit de boerderij van hoofdstuk 2) (sla verzameling O over). Noem die functies f H en f M. Noteer ze zoals in figuur 4 op pagina 197. *5. In *5a is T een eerste-orde predikaat, net als R en S. *6. De bedoeling van deze vraag is dat je formules schrijft met hoofdletter-variabelen, zoals in (8). Vertaal daartoe eerst de zinnen naar de predikatenlogica en vervang vervolgens een predikaat door een variabele, en zorg dat die variabele gebonden wordt door een kwantor. De resulterende formule betekent natuurlijk iets anders dan de zin waar je mee begon; vertaal de resulterende formule terug naar het Nederlands. Voorbeeld: e. Erika loopt vertaling: L(e) formule met variabele in plaats van het predikaat: XX(e) vertaling naar het Nederlands: Erika heeft een eigenschap (of: Erika doet iets) *7. Het is hier niet de bedoeling dat je voorbeelden probeert te bedenken van deze types; je moet alleen nagaan of de types goed zijn opgeschreven. Extra opdrachten. A. Bij elk van de volgende types: leg in woorden uit naar wat voor soort ding in het model een expressie verwijst als-ie van dat type is, en probeer een voorbeeld te geven van een expressie in het Nederlands met dat type. 5

6 Voorbeeldantwoord bij a.: als een expressie dit type heeft, dan verwijst hij naar een functie van individuen naar waarheidswaarden (d.w.z. hij verwijst naar een verzameling individuen); bijv. paard. a. <e,t> b. <e,<e,t>> c. <t,t> d. <<e,t>,<e,t>> e. <<e,t>,e> B. Zij gegeven een type-logische taal L, met de volgende constanten: a e, b e, P <e,t>, Q <e,t>, R <e,<e,t>>, H <<e,t>,<e,t>>, N <t,t>, V <e,e> Bij elk van de volgende expressies van L: reken uit wat het type van de hele expressie is, of geef aan waarom de expressie onwelgevormd is. Voorbeeldantwoord bij a.: type t. a. P(a) b. R(a) c. (R & P) d. P e. H(P) f. H(R) g. H(R(a)) h. N(~P(b)) i. V(a) j. R(a)(V(b)) C. Beantwoord vraag *5 op p. 199 van het boek nogmaals, nu in termen van types. Dus stel eerst vast wat de types zijn van de gebruikte constanten (bijvoorbeeld: gegeven is dat S een "eerste-orde predikaat" is, en in de typetheorie is dat een uitdrukking van het type <e,t>), en reken vervolgens op basis van de types uit welke formules (on)welgevormd zijn. 6

7 Hoofdstuk 6 tot en met pagina 211 opdrachten 8, 10, 11, 13, en extra opdrachten *8. De bedoeling is dat je de zinnen eerst naar de predikatenlogica vertaalt, en dat je vervolgens een van de constanten vervangt door een variabele, en zorg dat die variabele gebonden wordt door een λ. De resulterende formule betekent natuurlijk iets anders dan de zin waar je mee begon; vertaal de resulterende formule terug naar het Nederlands. Voorbeeld: e. Erika loopt of roskamt Albert vertaling: ( L(e) V Ro(e,a) ) λ-formule: λx( L(x) V Ro(x,a) ) vertaling naar het Nederlands: loopt of roskamt Albert. *11. Vertaal de formule ook naar het Nederlands (G staat voor is gezond). *13. Met "semantisch interpreteren" wordt gewoon bedoeld "bedenken wat het betekent". Doe dat, door de formule naar het Nederlands te vertalen. Extra opdrachten A. Bereken het type. Gebruik de regels in de definitie van de typenlogica, met name (regels 2 en 6 van) de syntaxis. Gegeven is L <e,t> en F <e,t> en X <e,t>, en x e en a e en b e, en Ro <e,<e,t>>. Voorbeeld: a. λx[l(x) & Z(x)] De formule is als volgt opgebouwd. L <e,t> toegepast op x e geeft L(x) van type t volgens regel 2. Z <e,t> toegepast op x e geeft Z(x) van type t volgens regel 2. Regel 4 verbindt deze tot [L(x) & Z(x)] van type t. Toepassing van regel 6, met gebruikmaking van x e geeft λx[l(x) & Z(x)] van type <e,t>. Oftewel: λx [ L (x) & Z (x) ] e <e,t> e <e,t> e t t t <e,t> b. λxl(x) 7

8 c. λx~l(x) d. Ro(a,b) [N.B. dat is een afkorting van Ro(b)(a) ] e. Ro(a) f. λxλyr(x,y) g. λx y[ L(x) Ro(x,y) ] h. λx y[ L(x) Ro(x,y) ](b) i. λx x[ L(x) & X(x) ] B. Vertaal naar het Nederlands. Pas zo mogelijk eerst lambda-conversie toe. Bedenk dat de vertaling niet per se een hele zin hoeft te zijn. Als je een λ-formule moeilijk vindt om te lezen is het meestal een handige methode om de λ-formule ergens op toe te passen en te bekijken wat het resultaat dan betekent; dat vertelt je meestal de betekenis van de λ-formule waar je mee begon. Voorbeeld: a. λx[ L(x) F(x) ] (waarbij lopen ~> L en fietsen ~> F) Toegepast op a levert dit op: λx[ L(x) F(x) ](a) = (door λ-conversie) = [ L(a) F(a) ]. Dat betekent Albert loopt of fietst, dus λx[ L(x) F(x) ] betekent loopt of fietst. b. λx[ L(x) & F(x) ] c. λx~f(x) d. λx[ L(x) ~F(x)](a) [N.B. eerst λ-conversie doen, dan vertalen] e. λyλx[ Ma(x) & Ro(x,y)](b) f. λx x[ Ma(x) X(x)](F) g. λx x[ Ma(x) X(x)] [N.B. dat is f. maar zonder de toepassing op (F) ] h. λyλx x[ Y(x) X(x)](Ma) i. λyλx x[ Y(x) X(x)] [N.B. dat is h. maar zonder de toepassing op (Ma) ] C. Vertaal naar de typenlogica met λ. Als je het moeilijk vindt om een losse woordgroep (een NP of VP bijvoorbeeld) te vertalen, dan is het meestal een handige methode om eerst een eenvoudige zin te vertalen waar die woordgroep in voorkomt, en dan te abstraheren over wat je hebt toegevoegd. Voorbeeld: a. Loopt niet Albert loopt niet ~> ~L(a). Abstraheren over Albert (vervang a door x en bindt x met λx) levert op λx~l(x); dat is de vertaling van loopt niet. 8

9 b. niet c. wordt door albert geroskamd d. loopt, en fietst niet e. roskamt een paard f. een man g. iedere slimme vrouw 9