Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen."

Transcriptie

1 Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van een netwerk voor je project kun je op twee verschillende manieren te werk gaan. Bij de ene manier geef je activiteiten weer door pijlen, bij de andere manier geef je activiteiten weer door knooppunten. In de praktijk verschilt het gebruik niet zoveel, maar omdat de opzet natuurlijk wel verschilt, behandel ik beide in een afzonderlijke notitie. Deze notitie gaat over de manier waarbij de activiteiten door de pijlen worden weergegeven. In een netwerkdiagram laat je de afhankelijkheden zien tussen de verschillende activiteiten in een project. Het samenstellen is niet erg moeilijk, maar je hebt er een paar handigheidjes bij nodig. Daarover gaat deze notitie. Je leert hoe je: een netwerkdiagram opstelt; het kritieke pad bepaalt; belangrijke kenmerken toevoegt aan de activiteitentabel; per activiteit de speling bepaalt. Een netwerkdiagram bestaat uit pijlen en knooppunten. De pijlen stellen activiteiten voor, de knooppunten zijn mijlpalen waarin een of meer activiteiten samenkomen. Vaste knooppunten in een netwerkdiagram zijn Start (voor het begin) en Finish (voor het eind). Ik zal activiteiten aanduiden met de letters A, B, C,... en de knooppunten nummeren. Er zijn bij een netwerk twee belangrijke begrippen: voorganger en opvolger. Als A een voorganger van B is, dan moet A afgerond zijn voordat je aan B kunt beginnen. B is dan de opvolger van A. Een voorganger heet ook wel directe voorganger of verplichte voorganger. Je hebt bepaald welke activiteiten moeten worden uitgevoerd in je project en hoeveel tijd ze vergen. Maak daar een tabel van en zet ze daarin in volgorde. In volgorde betekent hier dat je een activiteit die voorgangers heeft, in de tabel onder zijn voorgangers zet. Je ziet een voorbeeld in tabel 1. Activiteit Voorganger Tijdsduur (dagen) A - 6 B - 12 C A 5 D A 4 E B en C 8 F D 8 H E 9 Tabel 1 een eenvoudige activiteitentabel 1

2 Afhankelijkheden in kaart brengen. We gaan een netwerk tekenen met pijlen en knooppunten. Je geeft een activiteit weer met een pijl; bij die pijl zet je de naam van de activiteit. Meestal vermeld je ook de tijdsduur van die activiteit omdat die in een netwerkdiagram belangrijk is. Wanneer je een netwerkdiagram op deze manier opbouwt, zeggen we dat de activiteiten staan op de pijlen. Dat kan ook anders, zie daarvoor de notitie over PERT-diagrammen. De knooppunten dienen om activiteiten te verbinden en vormen een soort mijlpalen. We geven een knooppunt weer met een cirkel. Bij de knooppunten Start en Finish vermeld je de naam in de cirkel. Begin met het knooppunt Start te tekenen. Kijk daarna in de tabel welke activiteiten geen voorganger hebben. In tabel 1 zijn dat A en B. Activiteiten zonder voorganger beginnen in Start. Teken A en B als een pijl die in Start begint en zet aan het eind van elke activiteit een knooppunt. Zie figuur 1. Figure 1 Bij iedere activiteit zie je de naam en de tijdsduur. Dat kan wat onoverzichtelijk worden bij grote diagrammen, dan schrijf je ook wel A(6) en B(12). In het knooppun Start zie de naam, de andere knooppunten laten we nog even leeg. TIP: laat de tijd in je netwerk zoveel mogelijk van links naar rechts lopen. Zoek daarna de opvolgers van de activiteiten die in Start beginnen. Daarbij zijn er verschillende mogelijkheden. Voor ieder van die mogelijkheden is er een handige manier om ze in het diagram op te nemen. Ik zal de belangrijkste behandelen, ander mogelijkheden kun je dan zelf afleiden. De gemakkelijkste afhankelijkheid is het geval dat een activiteit precies één voorganger heeft. Begin altijd met zoveel mogelijk deze solo-voorgangers te verwerken. Voorbeeld uit tabel 1: activiteit C met voorganger A. Ook activiteit D heeft één voorganger (dat is A) evenals de activiteiten F (met voorganger D) en H (met voorganger E). Begin met een pijl te tekenen voor C. Die pijl begint in het knooppunt waarmee A eindigt. Teken een daarna een pijl voor D. Voor H kun je nog niks tekenen, want je hebt E nog niet getekend. Maar als je D hebt getekend, kun je ook een pijl voor F tekenen. Daar is iets bijzonders mee aan de hand. In de tabel kun je zien dat F geen opvolgers heeft. Dat betekent dat F eindigt in knooppunt Finish. Dat kun je nu aan het eind van F tekenen.. Zie figuur 2. 2

3 Figure 2 Een tweede vorm van afhankelijkheid is dat een activiteit twee of meer voorgangers heeft en de voorgangers komen alleen bij deze activiteit voor. Een voorbeeld is E met voorgangers B en C. De activiteiten B en C zijn nergens anders voorgangers. De pijl die E voorstelt, moet beginnen in het knooppunt aan het eind van B èn aan het eind van C. In zo n geval laat je de knooppunten aan de einden van B en C samenvallen. Dat wordt het startpunt van E. Zie figuur 3. Let er op dat we met de pijl van C moesten schuiven om hem bij B te krijgen. Dat had je ook kunnen doen door met B te schuiven. Figure 3 Als een combinatie van voorgangers (zoals B en C bij E) vaker voorkomt, kun je die andere activiteiten gewoon toevoegen. Zou er in tabel 1 ook een activiteit X zijn met voorgangers B en C, dan wordt het netwerk zoals in figuur 4. Figure 4 3

4 Nu even slim zijn: je hebt E getekend. Activiteit H hangt alleen van E af, dus nu kun je H tekenen. H heeft geen opvolger. Dat betekent per definitie dat H eindigt in het knooppunt Finish. Die verbinding kun je nu ook tekenen. Zie figuur 5. Daarmee heb je alle activiteiten en knooppunten in het diagram opgenomen. Figure 5 Het verbinden van activiteiten gaat niet altijd zo simpel. Vaak heb je te maken met meerdere voorgangers die meerdere opvolgers hebben in verschillende combinaties. Ik geef een paar voorbeelden met de oplossing hoe je dat in een diagram weergeeft. In tabel 2 zie je dat C afhankelijk is van A en dat D afhankelijk is van A en B Activiteit Directe voorganger A - B - C D A A en B Tabel 2 Dat kun je niet tekenen zoals in figuur 6, want dan heeft D alleen B als voorganger. Ook figuur 7 is niet goed, want daar heeft C ineens A èn B als voorgangers. Figure 6 dit is fout Figure 7 dit is fout 4

5 De oplossing is het gebruiken van een schijnactiviteit. Een schijnactiviteit (of dummy) geeft alleen een afhankelijkheid aan, maar kost geen tijd. Een dummy geef je aan met een gestippelde pijl met de letter S. In figuur 8 zie je het principe. Het schema geeft aan dat C alleen afhangt van A en dat D afhangt van B en via S ook van A. Bij een dummy activiteit vermeld je geen tijdsduur, want een dummy heeft per definitie een tijdsduur nul. Figure 8 1 Bij het richten van de pijl maak je gebruik van de Regel van Ferry. Die luidt (let op wat er staat in tabel 2): als een activiteit (zeg: A) bij een andere activiteit (zeg C) solo-voorganger is èn bij een andere activiteit (zeg D) voorganger is in combinatie met nog een andere activiteit (zeg B), dan loopt de dummypijl van het einde van A naar het einde van B. Dummies kun je ook schakelen. Bekijk tabel 3. Activiteit Directe voorgangers A - B - C - D E F A A en B A, B en C Tabel 3 De oplossing hier is het gebruik van twee schijnactiviteiten. De eerste gaat (denk aan de Regel van Ferry) van het eind van A naar het eind van B en de tweede schijnactiviteit gaat van het einde van B naar het einde van C. Door de eerste schijnactiviteit combineer je A en B en met de tweede combineer je de combinatie van A en B met C. Zie figuur 9. 1 Bedacht door Ferry Heitkönig 5

6 Figure 9 Een derde mogelijkheid is dat voorgangers een soort schaar vormen. Bekijk tabel 4 maar eens. Activiteit Directe voorgangers A - B - C D E A A en B B Tabel 4 Een oplossing zoals in figuur 10 is niet goed, want daar heeft E de activiteiten A èn B als voorgangers en dat moet alleen B zijn. Figure 10 dit is fout De oplossing hier is het gebruik van een dummy-knooppunt. Je maakt een directe verbinding tussen A en C en tussen E en B en maakt dan dummy-aftakkingen van A en B naar een dummyknoppunt dat het begin vormt van D. De Regel van Ferry zegt in dit geval dat het eind van A moet gaan naar het eind van B en tegelijkertijd dat het eind van B naar het eind van A moet gaan. Dat kan alleen met een extra dummy-knooppunt. Zie figuur 11. 6

7 Figure 11 TIP. Als je begint te tekenen bij Start, gebeurt het dat je verdwaalt in de onoverzichtelijkheid van pijlen en knooppunten. Dan wil het wel helpen om naar Finish te gaan en dan terug te werken. Je begint dan met te zoeken naar activiteiten die geen opvolger hebben. Die eindigen in Finish. Daarna zoek je naar activiteiten die voorganger zijn van de activiteiten die in Finish eindigen, enzovoorts. Sommigen vinden het gemakkelijker om direct vanuit Finish terug te werken, maar dat is een persoonlijke voorkeur. De tijd inbrengen. Tot nu toe hebben we alleen maar gekeken naar afhankelijkheden. Nu gaan we de tijd in het schema brengen. Dat doe je als volgt We gebruiken de knooppunten om er de tijd in aan te geven. Daartoe deel je de cirkel in tweeën met een verticale lijn. De rechterhelft deel je in tweeën met een horizontale lijn. Een knooppunt ziet er dan uit als in figuur 12. Figure 12 De afkortingen geven aan wat je in het betreffende vak vermeldt. NR: het volgnummer van het knooppunt; VA is de vroegst mogelijke afronding van het knooppunt; LA is de laatst mogelijke afronding van het knooppunt. Hieronder leg ik uit wat dat betekent en hoe je de verschillende waarden berekent. Begin met de knooppunten te nummeren ter identificatie. Je bent vrij om ze te nummeren zoals je wilt, maar het is gebruikelijk om dat min of meer van links naar rechts en van boven naar 7

8 beneden te doen. Bovendien geven we knooppunt Start altijd het nummer 1 en Finish krijgt het hoogste nummer. Zet het nummer van het knooppunt in de linkerhelft. Beschouw nu elk knooppunt als een mijlpaal. Ik zal die twee termen door elkaar gebruiken. Een mijlpaal is gehaald of afgerond wanneer alle activiteiten zijn afgerond die er in eindigen. Ga nu van Start naar Finish door je netwerk en bepaal bij ieder knooppunt wanneer de activiteiten die er eindigen op zijn vroegst zijn afgerond. Dat tijdstip noemen we de Vroegst Mogelijke Afronding (VA). Je zet dat getal rechtsboven in het knooppunt. Een voorbeeld. Stel je hebt drie activiteiten, A, B en C. Activiteit A is voorganger van B. A duurt 5 dagen en B duurt 8 dagen en C duurt 20 dagen. Het netwerk wordt dan zoals in figuur 13. A en C hebben geen voorgangers en beginnen dus in Start. A is voorganger van B en dus begint B waar A eindigt. B en C hebben geen opvolgers en eindigen dus in Finish. Trek je nog even niets aan van de getallen in de knooppunten. Figure 13 Eerst nummeren we de knooppunten. Je ziet de nummering in figuur 13. Dan bepalen we voor ieder knooppunt de Vroegst Mogelijke Afronding (VA). Knooppunt 1 is Start en knooppunt 3 is Finish. In knooppunt 1 (Start) is de VA per definitie nul. Je kunt je daarbij voorstellen dat je aan het begin van het project op tijdstip nul alles klaar moet hebben om op dag 1 te kunnen beginnen. Knooppunt 2 hangt alleen af van activiteit A. Activiteit A begint op de eerste dag en duurt 5 dagen. Dat betekent dat je mijlpaal 2 op zijn vroegst kunt afronden op dag 5. Dat getal zet je rechtsboven in knooppunt 2. Bij knooppunt 3 ligt het complexer. Die mijlpaal hangt af van B èn van C. Wat activiteit B betreft, die kun je niet eerder beginnen dan op dag 6, want mijlpaal 2 rond je op zijn vroegst af op dag 5. Begin je B op dag 6, dan rond je B af op dag 13. Het lijkt dus dat Mijlpaal 3 op zijn vroegst kan zijn afgerond op dag 13. Maar pas op! Knooppunt 3 hangt ook af van activiteit C. Die begin je op dag 1, die duurt 20 dagen en dus beëindig je C op dag 20. Mijlpaal 3 is daarom op zijn vroegst afgerond op dag 20 wanneer alle activiteiten zijn afgerond die naar dat knooppunt leiden. Daarom staat er 20" in knooppunt 3 in het vak rechtsboven. Omdat knooppunt 3 de Finish is, is dat dus tevens de kortste tijd die je project in beslag neemt. Korter dan 20 dagen kan het project niet duren. Samengevat: De Start (dat is de eerste mijlpaal) moet je ten laatste bereiken op dag nul. Activiteit A start dan op dag 1, neemt 5 dagen in beslag dus bereik je mijlpaal 2 op zijn vroegst op dag 5 (aan het eind van de middag). Dan kan B starten op dag 6 en bereik je mijlpaal 3 via A en B op 8

9 zijn vroegst aan het eind van dag 13. Dat zie je niet, want mijlpaal 3 hangt ook nog af van C. C start op dag 1 en dus is mijlpaal 3 op zijn vroegst bereikt op dag 20. Je hebt nu bij ieder knooppunt de VA ingevuld. Formeel bepaal je de VA als volgt. Kies een knooppunt. Bepaal voor alle activiteiten die er eindigen het tijdstip waarop ze op zijn vroegst klaar kunnen zijn. Kies uit de berekende tijdstippen het laatste tijdstip. Dat is de VA van het knooppunt. Met de Laatst Mogelijke Afronding (LA) geven we het uiterste tijdstip aan waarop een mijlpaal moet zijn gehaald om je project nog op tijd af te kunnen krijgen. Voor het berekenen van LA rekenen we vanaf Finish terug naar Start. Neem als voorbeeld weer de activiteiten A, B en C uit figuur 13. Je hebt berekend dat de VA van knooppunt Finish 20 is. Voor een project nemen we de VA van Finish ook als de LA van Finish. Want als je project na 20 dagen klaar kan zijn, is er geen enkele reden om langer de tijd te nemen. Dus voor het knooppunt Finish geldt dat je de Laatst Mogelijke Afronding gelijk stelt aan de Vroegst Mogelijke Afronding. Je vermeldt de LA in het vak rechtsonder. Nu ga je terug rekenen. Activiteit B vergt 8 dagen. Op zijn laatst moet B klaar zijn op dag 20 (dat is de LA van het knooppunt waar B eindigt). Dat betekent dat je B uiterlijk moet beginnen op dag 13, dan is B precies klaar op dag 20. Als B moet beginnen op dag 13, moet mijlpaal 2 uiterlijk zijn afgerond op dag 12. Dat is dus de Laatst Mogelijke Afronding (LA) van knooppunt 2. Met een LA bij knooppunt 2 van 12 kun je nu terug rekenen naar knooppunt 1. Activiteit A vergt 5 dagen, moet klaar zijn op dag 12, dus je moet A beginnen op dag 8. Dus knooppunt 1 moet (voor wat betreft activiteit A) zijn afgerond op de dag daarvoor, dat is dag 7. Maar pas op! Knooppunt 1 hangt bij terug rekenen ook af van activiteit C. C moet zijn afgerond op dag 20 (LA van knooppunt 3), C duurt 20 dagen, dus je moet C beginnen op dag 1. Dus voor wat betreft C moet knooppunt 1 zijn afgerond de dag daarvoor, dat is dag 0. Dat is dus de LA van Knooppunt 1 Nu heb je alle waarden bepaald die je nodig hebt om het hele netwerkdiagram te tekenen zoals in figuur 13 is gebeurd. Formeel bepaal je de LA als volgt. Kies een knooppunt. Bepaal voor alle activiteiten die er beginnen het tijdstip waarop ze op zijn laatst klaar moeten zijn. Kies uit de berekende tijdstippen het vroegste tijdstip. Dat is de LA van het knooppunt. Een paar opmerkingen nog. De Vroegst Mogelijke Afronding van een mijlpaal bepaalt het tijdstip waarop je de activiteiten kunt starten die uit dat knooppunt vertrekken. Daarom heet dat getal ook wel vroegste start (VS). Dat moet je interpreteren als het vroegst mogelijke tijdstip waarop activiteiten uit het knooppunt kunnen worden gestart. Het is dan een getal dat iets zegt over de er na volgende activiteiten. Houdt er rekening mee dat als een mijlpaal op dag n wordt afgerond, de volgende activiteiten pas kunnen beginnen op dag n+1. Pas bij het berekenen van VA ook op voor mijlpalen waar je langs twee of meer wegen binnenkomt (van de kant van Start). Zoals je hebt gezien, bepaal je in zo n geval de VA langs iedere weg en zet in de mijlpaal de laatste VA die je hebt gevonden. 9

10 Bij het bepalen van de LA moet je er op letten of er meerdere activiteiten starten vanuit een knooppunt. Pas ook hier op bij knooppunt van waaruit meerdere activiteiten vertrekken. In zo n geval bepaal je de LA voor ieder van de vertrekkende activiteiten en neemt dat de laagste LA (het vroegste tijdstip) als LA voor dat knooppunt. Het Kritieke Pad. In ieder knooppunt weet je nu op welk tijdstip je het op zijn vroegst kunt afronden (dat is de VA) en wanneer het uiterlijk moet zijn afgerond (dat is de LA). Het verschil tussen LA en VA is de speling die je bij die mijlpaal hebt. In een ingevuld netwerkdiagram kun je daarmee heel gemakkelijk het kritieke pad herkennen. Op het kritieke pad heb je geen speling. In een knooppunt zonder speling zijn VA en LA gelijk aan elkaar. Daarom wordt het kritieke pad gevormd door de lijn die alle knooppunten verbindt waar VA en LA gelijk zijn. In figuur 13 is bij de knooppunten 1 en 3 de VA gelijk aan de LA. Dat is dus het kritieke pad dat in dit geval bestaat uit één activiteit. En dat klopt wel, want langs knooppunt 2 heb je speling. Dat is dus geen kritiek pad. De knooppunten Start en Finish behoren altijd tot het kritieke pad, want daar zijn per definitie VA en LA aan elkaar gelijk. Houd er rekening mee dat een project meer dan één kritiek pad kan hebben. De uitgebreide activiteitentabel Als je het netwerkdiagram hebt uit gewerkt, kun je de uitgebreide activiteitentabel samenstellen. Dat is een tabel met voor iedere activiteit naast de naam, afhankelijkheden en tijdsduur kolommen voor nog vijf waarden. Het zijn: Vroegst Mogelijke Start (VS), het tijdstip waarop op zijn vroegst met de activiteit kan worden begonnen; Vroegst Mogelijke Einde (VE), het tijdstip waarop de activiteit op zijn vroegst kan worden afgerond; Laatst Mogelijke Start (LS), het uiterste tijdstip waarop de activiteit moet zijn begonnen; Laatst Mogelijke Einde (LE), het laatst mogelijk tijdstip waarop de activiteit moet zijn afgerond; Speling, de ruimte die er is tussen vroegst mogelijke start en laatst mogelijke start. De termen Vroegst Mogelijke Start, Laatst Mogelijke Start et cetera zijn nogal omslachtig. Vandaar dat ik liever Vroegste Start, Laatste Start enzovoorts gebruik. Dat is wat versluierend taalgebruik, want een activiteit hoeft natuurlijk niet te starten op het Vroegst Mogelijke tijdstip. Als voorbeeld om uit te werken nemen we de activiteiten uit tabel 5. 10

11 Activiteit Voorganger Tijdsduur(dagen) A - 6 B - 12 C A 5 D A 4 E B en C 8 F C 8 G F 7 H E en F 5 I E 9 J D 3 Tabel 5 De uitwerking in een netwerkdiagram zie je in figuur 14. Figure 14 Het kritieke pad loopt langs B - E - I. Dat zie je aan de knooppunten , waar telkens VA en LA gelijk zijn. Let ook eens op de knooppunten 2 en 3. Het verschil tussen VA en LA is daar slechts één dag. Dat betekent dat als B iets eerder klaar is dan gepland of als A of C iets langer duren dan gepland, het kritieke pad wel eens lang punt 3 kan gaan liggen. Reken maar eens na hoe het kritieke pad komt te liggen als de tijdsduur van B 10 dagen is. Let ook eens op de 11

12 knooppunten 3 en 5. Bij 3 heb je 1 dag speling, bij 5 ineens 3 dagen. Dat komt omdat de route F - G 15 dagen nodig heeft en de route E -I 17 dagen. Bij F - G win je dus twee dagen. Een netwerkdiagram kan je een hoop leren over waar je problemen kunt verwachten. Nog meer inzicht krijg je door een tabel samen te stellen waarin je per activiteit vermeldt wat de vroegste start en einde zijn en wat de laatste start en einde zijn, en wat dus de speling is. Die gegevens kun je niet altijd uit het diagram aflezen. Daarin staan vroegste en uiterste tijden voor de knooppunten. De waarden voor individuele activiteiten kunnen daar van afwijken. Wel gebruik je de data in de knooppunten om de waarden voor de activiteiten af te leiden. Daarbij gebruik je de volgende regels en formules. Een activiteit kan niet eerder starten dan dat het voorgaande knooppunt is afgerond. Dus de Vroegste Start (VS) sluit aan op de VA van het knooppunt. Hier kun je twee basismanieren volgen. Je kunt zeggen dat de VS van een activiteit gelijk is aan de VA van het knooppunt. Dan is de VS van activiteit A dus 0. Maar je kunt ook zeggen dat als een knooppunt op een bepaalde dag wordt afgerond, de activiteit pas de volgende dag kan beginnen. Voor beide manieren valt iets te zeggen, ik zal hier de tweede manier volgen. Activiteiten A en B hebben dan hun vroegste start op dag 1. Het vroegste eind bereken je met de formule VE = VS + tijdsduur - 1. Als een activiteit a dagen vereist, en je begint op dag n, dan ben je op zijn vroegst klaar op tijdstip n + a - 1. Als je de VS van een activiteit gelijk stelt aan de VA van het voorgaande knooppunt, dan wordt de formule VE = VS + tijdsduur. Bijvoorbeeld krijgt Activiteit A dan VS = 0. VE blijft 6. Het Laatste Einde (LE) van een activiteit hangt af van de Laatst Mogelijke Afronding (LA) van het knooppunt waarin de activiteit eindigt. De activiteit moet uiterlijk klaar zijn op de LA van het knooppunt. Neem als voorbeeld activiteit I in figuur 13. I eindigt in knooppunt 9 dat een LA = 29 heeft. Dat betekent dat activiteit I uiterlijk klaar moet zijn op dag 29. Voor activiteit I geldt dus LE = 29. Als je dat weet, dan kun je de LS van I bepalen met de formule LS = LE - tijdsduur - 1. Die formule ligt voor de hand: als I klaar moet zijn op dag 29 en I vergt 9 dagen, dan moet je uiterlijk beginnen op dag 21. Ook hier geldt weer dat als je de andere manier gebruikt, de formule wordt: LS = LE - tijdsduur. Dan zou je dus als Laatste Start voor I dag 20 krijgen. De speling bij een activiteit tenslotte is het verschil tussen VS en LS, of als je dat liever neemt, het verschil tussen VE en LE. Het resultaat van de berekeningen vind je in tabel 6. 12

13 Activiteit Voorganger Tijdsduur (dagen) Vroegste Start Vroegste Einde Laatste Start Laatste Einde Speling A B C A D A E B en C F C G F H E en F I E J D Tabel 6 Als je tabel zes en diagram 13 vergelijkt, merk dan het volgende op. Als er in een knooppunt één activiteit aankomt, dan is de VE van de activiteit gelijk aan de VA van het knooppunt (met afhankelijk van hoe je rekent, één dag verschil). Maar komen er meerdere activiteiten aan, dan wijken de VE s af van de VA van het knooppunt, op de hoogste VE na, want die is weer gelijk aan de VA van het knooppunt. Omgekeerd geldt, dat als er uit een knooppunt één activiteit vertrekt, de LS van die activiteit gelijk is aan de LA van het knooppunt (eventueel weer met één dag verschil). Vertrekken er meerdere activiteiten uit een knooppunt, dan zullen de meeste LS-en afwijken van de LA van het knooppunt. Dat is de meerwaarde van de uitgebreide activiteitentabel. Het geeft je inzicht in de speling per activiteit. Het netwerkdiagram geeft daarover minder detail. De uitgebreide activiteitentabel en het netwerkdiagram vullen elkaar goed aan en vormen een goede basis voor controle over en weer. Het is handig in de tabel het kritieke pad te markeren. Eventueel kun je activiteiten die weinig speling hebben ook markeren om aan te geven dat daar het gevaar loert dat ze op het kritieke pad komen te liggen. Variabele schattingen De schatting van een tijdsduur van een activiteit is altijd een schatting. Soms wordt daar wat meer de nadruk op gelegd door bij een geschatte tijdsduur drie waarden op te geven: een optimistische schatting (O), een meest waarschijnlijke schatting (M) en een pessimistische schatting (P). De Optimistische (O) is de kortst mogelijke tijd, de Meest Waarschijnlijke (M) is wat we denken dat het wordt en de Pessimistische (P) is de langste schatting. In plaats van de berekeningen te doen 13

14 met de gegeven tijdsduur, gebruik je hier uit van de verwachte tijdsduur. Natuurlijk mag je ook de drie schattingen gebruiken voor het maken van drie verschillende planningen: een optimistische, een meest waarschijnlijke en een pessimistische. De verwachte tijdsduur geef je aan met E(t) en de formule er voor luidt: De verwachte tijdsduur is dus een gewogen gemiddelde van de drie gegeven schattingen. De coëfficiënten bij O respectievelijk M respectievelijk P heten de gewichten. Als je zou willen, mag je de gewichten veranderen, bijvoorbeeld door de pessimistische schatting wat zwaarder te laten wegen. Houd er rekening mee dat de noemer in de formule de som van de gewichten moet zijn. Bij de verwachte tijdsduur hoort ook een variantie. Het symbool daarvoor is Var(t) en de formule luidt: De wortel uit de variantie is de standaarddeviatie (sigma). Voor geldt dus de formule: Met verwachte tijdsduur, variantie en standaarddeviatie kun je kansen toekennen aan de tijdsduur van je hele project. Maar dat gaat hier te ver. 14

15 Bijlage. Voorbeeld Hieronder volgt een tabel met activiteiten, afhankelijkheden en tijdsduren voor een project. Als oefening kun je de volgende opdrachten maken. Maak een netwerkdiagram voor dit project. Nummer de knooppunten en bepaal bij ieder de VA en de LA. Bepaal het kritieke pad en de minimale tijdsduur van het project. Vul daarna de kolommen vroegste start tot en met speling in. Controleer het diagram met de tabel. Ga na welke activiteiten weinig speling hebben en wat er gebeurt als zo n activiteit uitloopt in de tijd. Verandert dan het kritieke pad? Activiteit Hint directe voorganger(s) tijd in dagen vroegste start vroegste einde laatste start laatste einde speling A 1-8 B 2-4 C 3-12 D 4 A 7 E 5 A 5 F 8 B en C 3 G 9 B en C 4 H 7 B 5 I 11 F 8 J 13 F en G 5 K 12 G 7 L 10 H 7 M 14 H en I 8 N 15 H, I en J 9 O 16 H, I, J en K 6 P 6 D 3 Hint: In de kolom Hint staat de volgorde waarin ik het netwerk heb getekend. Je hoeft die volgorde niet aan te houden, het kan ook ietsje anders. De antwoorden staan op de volgende bladzijden. 15

16 Tabel met antwoorden Activiteit Hint directe voorganger(s) tijd in dagen vroegste start vroegste einde laatste start laatste einde speling A B C D 4 A E 5 A F 8 B en C G 9 B en C H 7 B I 11 F J 13 F en G K 12 G L 10 H M 14 H en I N 15 H, I en J O 16 H, I, J en K P 6 D Kritieke pad: C - F - I - N Lengte kritieke pad = = 32 dagen 16

17 Figure 15: Netwerkdiagram 17

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Les E-03 Kritieke pad problemen in projecten

Les E-03 Kritieke pad problemen in projecten Les E-03 Kritieke pad problemen in projecten 3.1 Projecten beheersen Projecten bestaan vaak uit meerdere deelactiviteiten. Deze activiteiten beslaan een bepaalde tijd. Daarnaast kunnen sommige activiteiten

Nadere informatie

Uitwerkingen oefenopdrachten or

Uitwerkingen oefenopdrachten or Uitwerkingen oefenopdrachten or Marc Bremer August 10, 2009 Uitwerkingen bijeenkomst 1 Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

1 Inleiding. 1.1 Werkblad, rijen, kolommen en cellen Als je Excel opent, zie je het volgende scherm (de menubalk bovenin kan iets verschillen):

1 Inleiding. 1.1 Werkblad, rijen, kolommen en cellen Als je Excel opent, zie je het volgende scherm (de menubalk bovenin kan iets verschillen): INLEIDING EXCEL 1 INHOUD 1 Inleiding... 3 1.1 Werkblad, rijen, kolommen en cellen... 3 Cellen invullen... 5 Breedte van de kolommen en tekstterugloop... 5 1.2 Opmaak van de cellen... 6 Uitlijning... 6

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

7. Van huis naar school. Deze les levert een bijdrage aan kerndoel 1: de leerlingen leren hoeveelheidsbegrippen gebruiken en herkennen.

7. Van huis naar school. Deze les levert een bijdrage aan kerndoel 1: de leerlingen leren hoeveelheidsbegrippen gebruiken en herkennen. 7. Van huis naar school Leeftijdsgroep Kerndoel Ongeveer 12-16 jaar Deze les levert een bijdrage aan kerndoel 1: de leerlingen leren hoeveelheidsbegrippen gebruiken en herkennen. En aan kerndoel 3: De

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Vergelijkingen met wortelvormen

Vergelijkingen met wortelvormen Vergelijkingen met wortelvormen WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. 1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen

Nadere informatie

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester.

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester. In onderstaande oefeningen zijn kleuren gebruikt. Deze dienen aleen om de structuren makkelijker terug te kunnen herkennen. Ze worden niet standaard zo gebruikt. De dunne rood/roze balken zijn ook geen

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Puzzelvierkanten Werkblad 1 Vierkant linksboven Zoek eerst uit hoeveel één hartje waard is. Daarna kun je ook berekenen hoeveel een rondje waard is. Vierkant

Nadere informatie

Examen VMBO-KB 2006 WISKUNDE CSE KB. tijdvak 1 dinsdag 30 mei 13.3013.30-15.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB 2006 WISKUNDE CSE KB. tijdvak 1 dinsdag 30 mei 13.3013.30-15.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2006 tijdvak 1 dinsdag 30 mei 13.3013.30-15.30 15.30 uur WISKUNDE CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten

Nadere informatie

Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA)

Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Theorie In werkblad 1 heb je geleerd dat krachten een snelheid willen veranderen. Je kunt het ook omdraaien, als er geen kracht werkt, dan verandert

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

6. Absolute en relatieve celadressering

6. Absolute en relatieve celadressering 6. Absolute en relatieve celadressering In deze module leert u: - Wat absolute en relatieve celadressering is; - De relatieve celadressering toepassen; - De absolute celadressering toepassen; - De absolute

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Geversduin 3,9. Strand Heemskerk 3,8

Geversduin 3,9. Strand Heemskerk 3,8 PADDESTOELEN In het duinengebied van Noord-Holland staan veel wegwijzers in de vorm van een paddestoel. Op zo n paddestoel staan pijlen die de richting naar een bepaalde plaats aangeven. Ook staat daarop

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Examen VMBO-GL en TL 2006

Examen VMBO-GL en TL 2006 Examen VMBO-GL en TL 2006 tijdvak 1 dinsdag 30 mei 13.30 15.30 uur WISKUNDE CSE GL EN TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 23 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten

Nadere informatie

BOUWschriftje. Onderwerp: Netwerkplanning Rekenmethode van Precedence. Publicatiedatum: 10 juni 2013

BOUWschriftje. Onderwerp: Netwerkplanning Rekenmethode van Precedence. Publicatiedatum: 10 juni 2013 OUWschriftje Onderwerp: Netwerkplanning Inhoud: Rekenmethode van Precedence Omvang: pag. Publicatiedatum: 1 juni 1 uteur: Goost Info: Voor het aansturen van bouwwerken worden veelal staafschema s (Gantt)

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen?

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? werkblad experiment 4.5 en 5.4 (aangepast) naam:. klas: samen met: Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? De weerstand R van een voorwerp is te bepalen als men de stroomsterkte

Nadere informatie

Kangoeroewedstrijd editie Koala: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Kangoeroewedstrijd editie Koala: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw . onderbroeken 4 wasknijpers 4 onderbroeken 5 wasknijpers 5 onderbroeken 6 wasknijpers Papa heeft dus telkens wasknijper meer nodig dan er onderbroeken zijn. In totaal heeft papa voor 9 onderbroeken dus

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten 21.0 Inleiding In Excel kunnen grote (en zelfs ook niet zo grote) tabellen met getallen en tekst er nogal intimiderend uitzien. Echter, Excel komt helemaal tot haar recht

Nadere informatie

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2 Sterrenwerk Rekenen voor 9-11 jaar combineren en visualiseren 2 2 Hexomino s 1 Die dekselse figuren van zes! Deze figuren bestaan uit zes vierkanten die elkaar met ten minste een zijde raken. Ze heten

Nadere informatie

Handleiding LVS-bestand

Handleiding LVS-bestand Tabblad Niveaus 1. Leerlingen(groepen) invoeren. 2. Nieuwe leerling toevoegen. 3. Leerlingen verwijderen. 4. Behaalde niveaus invoeren. Tabblad Gemiddelden 1. Waarom dit tabblad? 2. Opmerking toevoegen.

Nadere informatie

Toetswijzer examen Cool 2.1

Toetswijzer examen Cool 2.1 Toetswijzer examen Cool 2.1 Cool 2.1 1 Getallenkennis: Grote natuurlijke getallen 86 a Ik kan grote getallen vlot lezen en schrijven. 90 b Ik kan getallen afronden. 91 c Ik ken de getalwaarde van een getal.

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

Grafieken. 10-13 jaar. Rekenles over het maken van grafieken. Rekenen. 60 minuten. Weerstation, data, grafieken

Grafieken. 10-13 jaar. Rekenles over het maken van grafieken. Rekenen. 60 minuten. Weerstation, data, grafieken Grafieken Rekenles over het maken van grafieken 10-13 jaar Rekenen Weerstation, data, grafieken 60 minuten Op het digitale schoolbord bekijkt de leerkracht met de klas verschillende grafieken over het

Nadere informatie

Grafieken in Word. Soort 1 2 5 10 12 15 20 30 Leven 4,8 4,9 5,1 5,5 5,6 5,8 6,0 6,2 Annuïteiten 4,9 5,1 5,3 5,7 5,8 6,0 6,2 6,5

Grafieken in Word. Soort 1 2 5 10 12 15 20 30 Leven 4,8 4,9 5,1 5,5 5,6 5,8 6,0 6,2 Annuïteiten 4,9 5,1 5,3 5,7 5,8 6,0 6,2 6,5 Les 16 Grafieken in Word In deze les leert u hoe u gegevens weergeeft in de vorm van een grafiek. Ook past u het uiterlijk, de schaal en het type grafiek aan. Een grafiek maken Eén plaatje zegt meer dan

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde A Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Landkaarten en coördinaten

Landkaarten en coördinaten Landkaarten en coördinaten Wat is nu eigenlijk een landkaart? Nou, hou je vast. Op een landkaart staat op een plat vlak een verkleind en toegelicht beeld van een bepaald deel van het aardoppervlak afgedrukt.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

Grafieken veranderen met Excel 2007

Grafieken veranderen met Excel 2007 Grafieken veranderen met Excel 2007 Hoe werkt Excel? Eerste oefening Hieronder zie je een gedeelte van het openingsscherm van Excel. Let op hoe we alle onderdelen van het werkblad noemen! Aantal decimalen

Nadere informatie

RekenGroen Titel Rekenmodule Onderdeel Tijd Versie 201100816

RekenGroen Titel Rekenmodule Onderdeel Tijd Versie 201100816 RekenGroen Titel Onderdeel Versie Rekenmodule Tijd 201100816 da ad 1_TIJD Er bestaan verschillende eenheden van tijd. eew secode iei wee a wa i waie decei 1. Schrijf de tijdseenheden die hierboven staan

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

In het voorgaande artikel werd aangegeven hoe de vaste verdeling van cijfers in getallen, zoals deze voortvloeit

In het voorgaande artikel werd aangegeven hoe de vaste verdeling van cijfers in getallen, zoals deze voortvloeit ADMINISTRATIE Cijferanalyse met behulp van Benford s Law (2) HET LIJKT INGEWIKKELDER DAN HET IS In het voorgaande artikel werd aangegeven hoe de vaste verdeling van cijfers in getallen, zoals deze voortvloeit

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 maandag 21 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 maandag 21 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2012 tijdvak 1 maandag 21 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.

Nadere informatie

Opgave 1: Iteratiediagram

Opgave 1: Iteratiediagram Opgave 1: Iteratiediagram Tot nu toe hebben we de logistische afbeelding beschouwd als een black box, met alleen maar een knop erop (de r-knop).we gaan in deze werkcollege-opgaven eens onder de kap van

Nadere informatie

Naam: Klas Practicum elektriciteit: I-U-diagram van lampje Nodig: spanningsbron, schuifweerstand (30 Ω), gloeilampje, V- en A-meter, 6 snoeren

Naam: Klas Practicum elektriciteit: I-U-diagram van lampje Nodig: spanningsbron, schuifweerstand (30 Ω), gloeilampje, V- en A-meter, 6 snoeren Naam: Klas Practicum elektriciteit: I-U-diagram van lampje Nodig: spanningsbron, schuifweerstand (30 Ω), gloeilampje, V- en A-meter, 6 snoeren Schakeling In de hiernaast afgebeelde schakeling kan de spanning

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Bereken hoeveel populieren hiervoor gebruikt zijn. Schrijf je berekening op.

Bereken hoeveel populieren hiervoor gebruikt zijn. Schrijf je berekening op. Lucifers Lucifers worden meestal gemaakt van het hout van de ratelpopulier. Van één populier worden gemiddeld 6 miljoen lucifers gemaakt. In een luciferdoosje zitten gemiddeld 60 lucifers. 2p 1 Bereken

Nadere informatie

Het teken < betekent is kleiner dan. In plaats van 4 is kleiner dan 2 schrijf je dus 4 < 2. Elk negatief getal is kleiner dan 0.

Het teken < betekent is kleiner dan. In plaats van 4 is kleiner dan 2 schrijf je dus 4 < 2. Elk negatief getal is kleiner dan 0. 1 Rekenen 1.1 Getallen De getallenlijn De telgetallen of natuurlijke getallen zijn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Dit zijn allemaal gehele getallen. De getallen 1, 2, 3, zijn positief. Je kunt dat aangeven door

Nadere informatie

5. Functies. In deze module leert u:

5. Functies. In deze module leert u: 5. Functies In deze module leert u: - Wat functies zijn; - Functies uitvoeren; - De verschillende functies van Calc kennen. - Naar een ander werkblad verwijzen. U kunt eenvoudige berekeningen, zoals aftrekken,

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : REKENEN

Hoofdstuk 1 : REKENEN 1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen

Nadere informatie

bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde -------- deel VWO4 --------- Hoofdstuk 2

bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde -------- deel VWO4 --------- Hoofdstuk 2 bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde -------- deel VWO4 --------- Hoofdstuk 2 B.vanLeeuwen 2010 Hints 2 HINTS 2.1 Vragen en Opgaven De vragen 1 t/m 6 Als er bij zulke vragen

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen....

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken de rekenregel breuk Ik kan

Nadere informatie

Leerlijnen groep 7 Wereld in Getallen

Leerlijnen groep 7 Wereld in Getallen Leerlijnen groep 7 Wereld in Getallen 1 2 REKENEN Boek 7a: Blok 1 - week 1 in geldcontext 2 x 2,95 = / 4 x 2,95 = Optellen en aftrekken tot 10.000 - ciferend; met 2 of 3 getallen 4232 + 3635 + 745 = 1600

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Score. Zelfevaluatie. Beoordeling door de leerkracht. Datum: Klas: Nr: Naam:

Score. Zelfevaluatie. Beoordeling door de leerkracht. Datum: Klas: Nr: Naam: Datum: Klas: Nr: Naam: Score G1 /5 /5 Opgave 1 G2 / / Opgave 2 G3 /10 /10 Opgave 3 G4 /5 /5 Opgave 4 G5 /4 /4 Opgave 5 G6 /5 /5 G7 /5 /5 G8 /10 /10 G9 /10 /10 G10 /7 /7 G11 /10 /10 Totaal Zelfevaluatie

Nadere informatie

Als l groter wordt zal T. Als A groter wordt zal T

Als l groter wordt zal T. Als A groter wordt zal T Naam: Klas: Practicum: slingertijd Opstelling en benodigdheden: De opstelling waarmee gewerkt wordt staat hiernaast (schematisch) afgebeeld. Voor de opstelling zijn nodig: statief met dwarsstaaf, dun touw

Nadere informatie

www.digitalecomputercursus.nl 10. Voorbeeld berekeningen maken met Excel

www.digitalecomputercursus.nl 10. Voorbeeld berekeningen maken met Excel 10. Voorbeeld berekeningen maken met Excel In de komende hoofdstukken worden een aantal voorbeelden van berekeningen die gemaakt kunnen worden in Excel uitgelicht. U kunt deze berekeningen ook zodanig

Nadere informatie

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand Boldriehoeken op een wereldkaart 1. Op zoek naar de kortste afstand Een boldriehoek op een wereldbol kun je je makkelijk inbeelden. Je kiest drie steden, en op het aardoppervlak en je verbindt ze met drie

Nadere informatie

Mastermind met acht kleuren

Mastermind met acht kleuren Geschreven voor het vak: Wiskunde gedoceerd door H. Mommaerts Onderzoekscompetentie Mastermind met acht kleuren Auteurs: Tom Demeulemeester Pieter Van Walleghem Thibaut Winters 6LWIi 22 april 2014 1 Inleiding

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Workshop Handleiding. Striptekenen deel 2. wat is jouw talent?

Workshop Handleiding. Striptekenen deel 2. wat is jouw talent? Workshop Handleiding Striptekenen deel 2 wat is jouw talent? Inhoudsopgave Hoe gebruik je deze workshop? Hoe kun je deze workshop inzetten in je klas? Les 1: Inleiding deel 2 kijkt terug op de lesstof

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen.

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen. Uitwerkingen hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. Deel van geheel Opdracht. a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

Vermogen snelheid van de NXT

Vermogen snelheid van de NXT Vermogen snelheid van de NXT Inleiding In deze meting gaan we op zoek naar een duidelijk verband tussen de vermogens die je kunt instellen op de LEGO NXT en de snelheid van het standaardwagentje uit het

Nadere informatie

Voorbeeld parameters voor hout Bekijken we onderstaand dubbel opendraaiend raam.

Voorbeeld parameters voor hout Bekijken we onderstaand dubbel opendraaiend raam. Voorbeeld parameters voor hout Bekijken we onderstaand dubbel opendraaiend raam. Technische kenmerken Afgewerkte breedte van het onderste kaderprofiel: 120 Afgewerkte breedte overige kaderprofielen 80

Nadere informatie

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl Excel reader Beginner Gemiddeld Auteur Bas Meijerink E-mail bas@excel-programmeur.nl Versie 01D00 Datum 01-03-2014 Inhoudsopgave Introductie... - 3 - Hoofdstuk 1 - Databewerking - 4-1. Inleiding... - 5-2.

Nadere informatie

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014 Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij

Nadere informatie

b) Om de positie van het station aan te geven gebruiken we de afstand van P tot S. Meet ook de afstand van P tot S.

b) Om de positie van het station aan te geven gebruiken we de afstand van P tot S. Meet ook de afstand van P tot S. Het station. Twee dorpen A en B liggen respectievelijk 5 en 10 km van een spoorlijn. De kortste verbinding van A naar de spoorlijn is AP en van B naar de spoorlijn is BQ. Verder is gegeven dat. Men besluit

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Thema 3 Verrekijkers. astronomische kijker

Thema 3 Verrekijkers. astronomische kijker 07-0-005 0: Pagina Verrekijkers Inleiding Om verre voorwerpen beter te kunnen zien, kun je gebruikmaken van verrekijkers. Die zijn er in vele soorten. De astronomische kijker wordt gebruikt voor het bekijken

Nadere informatie

Reis door het zonnestelsel

Reis door het zonnestelsel Reis door het zonnestelsel GROEP 7-8 61 70 minuten 1, 23, 32 en 46 De leerling: weet dat de afstanden tussen de planeten heel groot zijn kan zich een voorstelling maken van de afstand van de aarde tot

Nadere informatie

Informatica College Blaucapel/KS Handelingsdeel IV. Basis Excel

Informatica College Blaucapel/KS Handelingsdeel IV. Basis Excel blaucapel Basis Excel Excel is een rekenprogramma: een elektronisch rekenvel. Het wordt ook wel een spreadsheet (een verspreid veld) genoemd. Wat kun je bijvoorbeeld maken met excel: Prijsberekeningen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Examen VWO 2008 tijdvak 1 maandag 19 mei totale examentijd 3 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 11 tot en met 17 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Bij dit

Nadere informatie

Optellen van twee getallen onder de 10

Optellen van twee getallen onder de 10 Splitsen tot 0 uit het hoofd 2 Optellen 2 7 6 2 5 3 4 Splitsen tot 20 3 2 8 7 2 6 3 5 4 4 4 3 2 2 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 2 3 0 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 5 2 4 3 3 Bij een aantal iets erbij doen heet optellen. Je

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

Examen VWO - Compex. wiskunde A1

Examen VWO - Compex. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 14 tot en met 21 In dit deel staan de vragen waarbij de computer

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

3 Veranderende krachten

3 Veranderende krachten 3 Veranderende krachten B Modelleren Een computermodel van bewegingen in SCYDynamics NLT-module Het lesmateriaal bij deze paragraaf vormt een onderdeel van de NLT-module Dynamische Modellen VWO. Wat gaan

Nadere informatie