Taal en Structuur van de Wiskunde (2IF50) Aantekeningen bij college 1

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Taal en Structuur van de Wiskunde (2IF50) Aantekeningen bij college 1"

Timo van Doorn
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Taal en Structuur van de Wiskunde (2IF50) Aantekeningen bij college 1 Paul van Tilburg 28 november 2005 College/vakstructuur: Week 1-3: Inleiding (colleges) Week 4-6: Formele syntax (colleges) Week 7-9: Werkcolleges/oefenen Inleiding Vb: Het kwadraat van een (een of ander) geheel getal. Het kwadraat van een (voor alle) geheel getal is (heeft eigenschap) niet negatief. q is (gelijk aan) het kwadraat van een (er is een) geheel getal. Stel x is (heeft het type) het kwadraat van een (er is een/een of ander) geheel getal. Er zijn dus vele betekenissen voor het woord een en is in taal. Wiskundige taal is niet nauwkeurig genoeg, er is behoefte aan een preciesere taal: WTT (Weak Type Theory). Transformatie: Wiskundige tekst 1 WTT-tekst 2 TT-tekst. Traject 1 en de voordelen: disambigu, formeel, gestructureerd, uniform en referentiëel transparant. 1

2 Het is echter toch beter om de WTT-tekst zo dicht mogelijk bij de CML (Common Mathematical Language) te houden. Betrouwbaarheidscriterium! Wat ontbreekt nog? Verificatie (!), volledigheid en mechanisering is beperkt. Traject 2 wordt globaal behandeld bij het vak Proving with Computer Assistance (2IF40). Taalcategoriën Tradionele taalcategoriën: 1. Woorden (huis, de, getal) 2. Woordgroepen (de hoge boom) 3. Zinnen (pi is groter dan 3) 4. Zinsgroepen (een alinea) 5. Teksten Er zijn twee klassen taalcategorieën, I en II: I = II = De 3 e categorie is de spil: de zin is de eenheid van taalgebruik. Stap I is van woorden naar zinnen (als woordcombinaties), stap II is van zinnen (als teksteenheden) naar teksten. Dictaat: Taal van de Wiskunde R.P. Nederpelt Talen zijn geordende structuren. Wiskundige taal is niet een volledige deelverzameling van de natuurlijke taal, er zijn specifieke wiskundige woorden en structuren. Taaleenheden in wiskundige taal: I Van woorden tot zinnen I.1 Woorden I.1.1 Natuurlijke taalwoorden in gewone functie of betekenis: de, omdat, vereenvoudig met nieuwe betekenis: oorsprong, functie, macht, monotoon I.1.2 Wiskundige woorden standaard woorden: O, R,,, =,, en afkortingen als max, ln, lim. niet-standaard woorden: a, x, B 2

3 I.2 Woordgroepen: bij elke ɛ > 0 I.2.1 Objectsnamen (formules met functie van woordgroepen): 1 2 (a + b), 20 n=1 n2 I.2.2 Andere wiskundige woordgroepen: substantieven, adjectieven met substantieven en predicaten. I.3 Zinnen (als woordcombinaties) I.3.1 Uitspraken of proposities (formules met functie van een zin): x 2 = 3x + 5, n N (n 0) I.3.2 Typeringszinnen: x A, 3 is een natuurlijk getal II Van zinnen tot teksten II.1 Zinnen (als teksteenheden), in het bijzonder: II.1.1 Definities II.1.2 Onderstellingen II.1.3 Introducties II.1.4 Conclusies II.2 Zinsgroepen II.2.1 Bewijs II.3 Teksten Deel I: Van woorden tot zinnen 3.2: Formulesymbolen Maakt/gebruikt Objectnaam Uitspraak Woord: objectnaam 1 3 Zin: uitspraak Operatoren: +, 2, 20 n=1 2. Relatoren: =, >, mod 6 3. Nominatoren: {x R...} 4. Junctoren:,, x R 3

4 3.3: De boomstructuur van formules (herhaling) Vb: De boomstructuur van ( p q) r) is: r q p 3.4: Prefix, infix, postfix Vb: Prefix: p Infix: a + b Postfix: 3! 3.6: Prefixformules Pools: p q r (prefix) Reverse Polish : p q r (postfix) 3.7: Prioriteiten 1. hiërarchie: : dan + 2. links-associërend: a b + c in plaats van (a b) + c 3. buitenste haakjes weglaten 4

5 4.2, 4.3: Co-referentie en binding vrije variabele constante binder n N (n 2 an + 1 > 0) bindingsvariabele binding gebonden variabele Bindende operatoren: 4 x=1 S sin x x, lim x 0, (x 2 + 5)dx nominatoren: {x V A(x)}, # x V (x > 3) junctoren: x V (A(x)) x 4.4: Structuur van formules met binders Er is een klein probleem met het maken van de boom van m (x n n=1 n j=1 n j j! ) n = 1 tot m moet omgeschreven worden zodat dit in de boom verwerkt kan worden tot n {k N 1 k m} en dit weer tot n Set k N (1 k m). Nu kan de boom getekend worden met binders: 5

6 n n Set k j x n k N 1 k k m 4.6: Notaties bij binding {n N n > 5} Set n N (n > 5) {n n N} {t N n N (t = n 2 + 1)} 6

7 4.7: Functiebinding Onderscheid: functie sin : R R en functiewaarde sin(x) : R. Vb: De functie die n Z stuurt naar n 2 : n 2? kwadraat? f(n) = n 2? f : n n 2? λ n Z (n 2 ) onze keuze Met de lambda (λ) is bijvoorbeeld wel moeilijk: f(x) = { x als x 0 x als x < 0 4.8: Rijen, differentiëren, integreren Functie op N: λ n N (a n ). Dit is de rij van a n : (a n ) n N. 7

Vergelijkbare documenten

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven