Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie

Transcriptie

1 Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie 30 april 2007 INLEIDING Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie

2 Onderwerpen van dit college Overzicht van de rest van de cursus Logisch - vs andere paradigma s Prolog Logisch Programmeren Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 1

3 Overzicht van deze Cursus Kennismaking Unificatie en Resolutie Databases Recursieve Datastructuren Negatie Grammatica s Nieuwe Ontwikkelingen Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 2

4 Logisch Paradigma OO & imperatief imperatief dataflow bepaald sequentieel statements & objecten Logisch declaratief dataflow onbepaald niet-sequentieel relaties N.Wirth (1975: Algorithms + Datastructures = Programs R.Kowalski (1980): Logic + Control = Algorithms Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 3

5 Een eerste kennismaking met Prolog De definitie van het predikaat houdtvan wordt op meerdere plaatsen gegeven en dat moet met een discontiguousdeclaratie aangegeven worden: discontiguous houdtvan / 2 houdtvan is bovendien een relatie met een infix-notatie: op (900, xfx, houdtvan) Het bestaat uit de volgende vier feiten en één regel: jan houdtvan fruit jan houdtvan truus truus houdtvan wijn truus houdtvan muziek henk houdtvan X jan houdtvan X Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 4

6 Een eerste sessie.?- [houdtvan]. Yes?- jan houdtvan X. X = fruit ; X = truus ; No?- X houdtvan fruit. X = jan ; X = henk ; No?- X houdtvan Y. X = jan, Y = fruit ; X = jan, Y = truus ; X = truus, Y = wijn ; X = truus, Y = muziek ; X = henk, Y = fruit ; X = henk, Y = truus ; No?- Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 5

7 De definitie van de isoudervan-relatie gaat evenzo: op (900, xfx, isoudervan) jan isoudervan anne truus isoudervan anne. Iedereen houdt van zijn/haar kinderen : X houdtvan Y X isoudervan Y?- X in [jan, truus, henk], X houdtvan Y, Y houdtvan Z. X = jan, Y = truus, Z = wijn ; X = jan, Y = truus, Z = muziek ; X = jan, Y = truus, Z = anne ; X = henk, Y = truus, Z = wijn ; X = henk, Y = truus, Z = muziek ; X = henk, Y = truus, Z = anne ; No?- Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 6

8 Van de kinderen henk en karel weten we niet de namen van hun vader. We duiden ze met de functie devadervan aan:. devadervan (X) isoudervan X kind (X) kind (henk) kind (karel)?- devadervan(x) houdtvan Y. X = henk, Y = henk ; X = karel, Y = karel ; No?- Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 7

9 member is een standaard-predikaat en worrdt hier als infix-variant gedefinieerd.. op (900, xfx, ) X L member (X, L) houdtzoalvan verschilt van houdtvan; er kan in één clause een lijstje van objecten, waarmee een affectionele relatie bestaat, worden meegegeven. op (900, xfx, houdtzoalvan) karel houdtzoalvan [vis, wild, wijn, autos] X houdtvan Y X houdtzoalvan L Y L?- karel houdtvan X. X = vis ; X = wild ; X = wijn ; X = autos ; No?- Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 8

10 Als X, Y en Z natuurlijke getallen zijn, dan zijn de oplossingen voor de vergelijking: te berekenen met: X 2 + X + Y + Z = 7 getal (X) X [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] getal (0) query (X, Y, Z) getal (X) getal (Y) getal (Z) 7 is X X + X + Y + Z Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 9

11 Fragment Peano-rekenkunde op (300, fy, s) op (500, fx, odd) odd s 0 odd s s X odd X peano nat (0, 0) peano nat (s X, N1) som (N, 1, N1), peano nat (X, N) som (X, Y, Z) var (X), X is Z Y som (X, Y, Z) var (Y), Y is Z X som (X, Y, Z) var (Z), Z is X + Y / Definieer de relatie / Nog een recursief predikaat: mijnelement (X, [X ]) mijnelement (X, [ Rest]) mijnelement (X, Rest) % Definieer zelf nde element, reverse en prefix Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 10

12 %( LINE 97 "houdtvan.lpl")% :- discontiguous houdtvan/2. %( LINE 105 "houdtvan.lpl")% :- op(900,xfx, houdtvan). %( LINE 114 "houdtvan.lpl")% jan houdtvan fruit. jan houdtvan truus. truus houdtvan wijn. truus houdtvan muziek. henk houdtvan X :- jan houdtvan X. %( LINE 126 "houdtvan.lpl")% :- op(900,xfx,isoudervan). jan isoudervan anne. truus isoudervan anne. %( LINE 135 "houdtvan.lpl")% X houdtvan Y :- X isoudervan Y. %( LINE 142 "houdtvan.lpl")% devadervan(x) isoudervan X :- kind(x). kind(henk). kind(karel). %( LINE 150 "houdtvan.lpl")% :- op(900,xfx, in ). X in L :- member(x,l). %( LINE 158 "houdtvan.lpl")% :- op(900,xfx, houdtzoalvan). karel houdtzoalvan [vis, wild, wijn, autos]. %( LINE 162 "houdtvan.lpl")% X houdtvan Y :- X houdtzoalvan L, Y in L. %( LINE 170 "houdtvan.lpl")% getal(x) :- X in [1,2,3,4,5,6,7,8]. getal(0).. query(x,y,z) :- getal(x), getal(y), getal(z), 7 is X*X +X + Y + Z.. Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 11

13 Definities Het alfabet A bestaat uit de volgen- Definition 1. [Alfabet] de klassen symbolen: Variabelen; een identifier die met een hoofdletter begint: X, Xs, X i,... Constanten; identifiers met een kleine letter beginnend: x, geen, 17,... Functoren; als constanten, maar voorzien van een ariteit > 0, notatie: f /n. predikaatsymbolen; meestal identifiers beginnend met een kleine letter en voorzien van een ariteit 0, notatie: p/n. logische connectieven,,,, (of : ). Kwantoren:,. haakjes en komma s. Definition 2. [Termen] De verzameling termen T van een alfabet A is de kleinste verzameling zo dat: alle constanten van A tot T behoren. alle variabelen van A tot T behoren. als f /n een functor van A is en t 1,..., t n T dan f (t 1,..., t n ) T. Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 12

14 Definition 3. [Formules] Als T de verzameling termen over alfabet A is, dan is de verzameling F van wff (m.b.t. A) de kleinste verzameling waarvoor geldt: als p/n een predikaatsymbool van A is en t 1,..., t n T, dan p(t 1,..., t n ) F. als F en G F dan ook: ( F), (F G), (F G), F G en F G. als F F en X is een variabele van A dan ( XF) en ( XF) F. Formules van de vorm p(t 1,..., t n ) heten atomaire formules of atomen. Variabelen worden gebonden door kwantoren. Anders is hun voorkomen vrij. Een formule met alleen gebonden variabelen heet gesloten. Een formule zonder variabelen is een grond-formule. Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 13

15 Semantiek van formules Definition 4. [Interpretatie] Een interpretatie J van een alfabet A is een niet-leeg domein D (ook: J ) en een afbeelding die: elke constante c A met een element c J D associeert. elke n-aire functor f A met een funktie f J : D D associeert. elke n-air predikaatsymbool p A met een relatie p J : D } {{... D} associeert. n Variabelen worden bedeeld met objecten uit het domein D; die funktie noemen we ook een valuatie (ϕ). Met ϕ[x t] denoteren we de vaulatie ϕ behalve dat de variabele X met t bedeeld wordt. Definition 5. [Semantiek van termen] Als J een interpretatie is, ϕ een valuatie en t een term, dan is de betekenis ϕ J (t) van t een element in J waarvoor geldt: als t een constante c is dan ϕ J (t) := c J. als t een variabele X is dan ϕ J (t) := ϕ(x). als t van de vorm f (t 1,..., t n ) is dan ϕ J (t) := f J (ϕ J (t 1 ),..., ϕ J (t n )). Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 14

16 Definition 6. [Semantiek van welgevormde formules] Als J een interpretatie is, ϕ een valuatie en Q een formule, dan is de betekenis ϕ J (Q) van Q als volgt gedefinieerd: J ϕi p(t 1,..., t n ) desda ϕ J (t 1 ),..., ϕ J (t n ) p J. J ϕ ( F) desda J ϕ F. J ϕ (F G) desda J ϕ F en J ϕ G. J ϕ (F G) desda J ϕ F of J ϕ G (of allebei). J ϕ (F G) desda J ϕ G indien J ϕ F. J ϕ (F G) desda J ϕ (F G) en J ϕ (G F). J ϕ ( XF) desda J ϕ[x t] F voor elke t J. J ϕ ( XF) desda J ϕ[x t] F voor een t J. Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 15

17 Modellen en Logisch gevolg Definition 7. [Model] Een interpretatie J is een model voor een verzameling gesloten formules P desda elke formule van P waar is in J Een formule is vervulbaar (satisfiable) als er minstens één model is waarin de formule waar is. Een formule is onvervulbaar (satisfiable) als er geen modellen zijn waarin de formule waar is. Definition 8. [Logisch gevolg] Stel P is een verzameling gesloten formules. Een gesloten formule F is een logisch gevolg van P (aangegeven met P = F) desda F waar is in elk model van P. Proposition 1. [Onvervulbaarheid] Stel P is een verzameling gesloten formules. en F een gesloten formule dan: P = F desda P { F} onvervulbaar is. Definition 9. [Logisch equivalent] Twee formules F en G zijn logisch equivalent (notatie: F G desda F en G dezelfde waarheidswaarde hebben in elke interpretatie J en elke valuatie ϕ. Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 16

18 Substitutie Definition 10. [Substitutie] Een substitutie is een eindige verzameling paren termen {X 1 /t 1,..., X n /t n } waarin iedere t i een term en elke X i een variabele waarvoor geldt: X i = t i en X i = X j als i = j. De lege substitutie wordt aangeduid met ɛ. Definition 11. [Applicatie] Stel θ is een substitutie {X 1 /t 1,..., X n /t n } en E is een term of een formule. De applicatie Eθ van θ op E is de term of formule die verkregen wordt door het simultaan vervangen van elk vrij voorkomen van X i door t i (1 i n) Eθ heet ook een instantie van E. Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 17

19 Stel θ en σ zijn twee substitu- Definition 12. [Compositie] ties: θ := {X 1 /s 1,..., X m /s m } σ := {Y 1 /t 1,..., Y n /t n } Dan wordt de compositie θσ van θ en σ verkregen uit de verzameling: {X 1 /s 1 σ,..., X m /s m σ, Y 1 /t 1,..., Y n /t n } door alle Y j /t j waarvoor geldt Y j {X 1,..., X m }(1 j n) te verwijderen. Een substitutie θ is idempo- Definition 13. [Idempotentie] tent desda θ = θθ. Proposition 2. [Eigenschappen van substituties] Als θ, σ en γ substituties zijn en E een term of een formule, dan: E(θσ) = (Eθ)σ (θσ)γ = θ(σγ) ɛθ = θɛ = θ Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 18

20 Definitiete programma s Definition 14. [Clausule] Een clausule is een formule van de vorm (L 1... L n ), waarin elke L i een atomaire formule is of de negatie van een atomaire formule. Een definiete clausule is een formule met precies één positief atoom: (A 0 A 1... A n ) Of in meer conventionele notatie: A 0 A 1,..., A n (n 0) Definition 15. [Definiete programma s] Een definiet programma is een eindige verzameling definiete clausules. Definition 16. [Definiete doelen] Een definiet doel (query) is een clausule met uitsluitend genegeerde atomen. ( A 1... A n ) ( (A 1... A n )) (de Morgan ) (A 1... A n ) (de Morgan ) Ofwel: A 1,..., A n Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie 19