Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
|
|
- Adriana Boer
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een gebeurtenissenruimte is. Volgens Definitie. van het boek moeten we laten zien dat G: () niet leeg is; (2) gesloten is onder het nemen van complementen; (3) gesloten is onder het nemen van aftelbare verenigingen. Eigenschap () geldt omdat F niet leeg is. Eigenschap (2) geldt omdat Ω\(A B) (Ω\A) (Ω\B) en F aan eigenschappen (2) en (3) voldoet. Eigenschap (3) geldt omdat i(a i B) ( ia i ) B en F aan eigenschap (3) voldoet. (2) [7] Een zuivere dobbelsteen wordt 3 keer gegooid. Zij A ij de gebeurtenis dat worp i en worp j dezelfde uitkomst opleveren. Laat zien dat A ij, i < j 3, paarsgewijs onafhankelijk zijn, maar niet onafhankelijk. Zij X m de uitkomst van worp m. Dan hebben we A ij {X i X j }. Voor i < j 3 geldt dat P(A ij ) P(X i X j ) 6 P(X i X j u) u 6 ( 6 )2. 6 Voor i < j 3 en k < l 3 met (i, j) (k, l) geldt dat P(A ij A kl ) P(X i X j, X k X l ) u P(X X 2 X 3 ) 6 ( 6 )3 ( 6 )2, dus is er paarsgewijze onafhankelijkheid (zie Definitie.38 van het boek). Anderzijds geldt ook dat P(A 2 A 23 A 3 ) P(X X 2 X 3 ) ( 6 )2, dus is er geen tripelgewijze onafhankelijkheid. (3) [8] Zij X een stochast met een continue cumulatieve kansverdelingsfunctie F X. Geef formules voor de cumulatieve kansverdelingsfuncties van de volgende stochasten:
2 (a) sin X. (b) F X (X). (a) Zij Y sin X. Dan F Y (y) P(Y y) P(sin X y) volgens Definitie 5.2 van het boek. Er geldt, [ y (, ], F Y (y) j Z FX (b(y) + 2πj) F X (a(y) + 2πj) ], y (, ),, y [, ), met a(y) < b(y) de twee waarden in [, 2π) waarvoor sin a(y) sin b(y) y. De bewering is evident voor y (, ] en y [, ) (inclusief de randwaarden omdat F X continu is). Voor y (, ) geldt dat sin x y dan en slechts dan als x j Z [a(y) + 2πj, b(y) + 2πj]. (b) Zij Y F X (X). Dan F Y (y) P(Y y) P(F X (X) y) P(X u(y)) F X (u(y)) met u(y) sup{u R: F X (u) y}. Als F X strikt stijgend op R is, dan is u de inverse functie horend bij de functie F X, en geldt dat F X (u(y)) y voor alle y (, ). We vinden dan dus dat F Y (y) y, m.a.w. de stochast Y is uniform verdeeld op (, ). Als F X niet strikt stijgend op R is, dan geldt hetzelfde omdat F X rechtscontinu is. Dit is met behulp van approximatie eenvoudig af te leiden. Merk op dat het eindresultaat niet van de keuze van F X afhangt. (4) [6] X is een stochast met cumulatieve kansverdelingsfunctie F X. Geef de cumulatieve kansverdelingsfuncties van de volgende drie stochasten: (a) X + max{, X}. (b) X min{, X}. (c) X X + + X. (a) Schrijf F X +(x) P(X + x) P(max{, X} x). Er geldt {, x (, ), F X +(x) F X (x), x [, ). Deze bewering is evident voor x (, ). Voor x [, ) geldt P(max{, X} x) P(max{, X} x, X ) + P(max{, X} x, X > ) P(X ) + P(X x, X > ) P(X x). 2
3 (b) Het bewijs verloopt analoog. Er geldt {, x (, ), F X (x) F X ( x), x [, ). Er geldt F X (x) F X +(x) F X (x). Deze bewering is evident voor x (, ), want dan zijn beide termen. Voor x [, ) hebben we F X (x) P( X x) P( x X x) P(X x) P(X > x) F X (x) [ F X ( x)]. (5) [8] Een machine gaat kapot na T dagen, waarbij T kansmassafunctie f T heeft. Gegeven dat de machine na t dagen nog werkt, bereken het gemiddeld aantal dagen na dag t dat de machine nog blijft werken wanneer f T gelijk is aan: (a) f T (s) /N, s {,..., N}, N N. (b) f T (s) ( 2 )s, s N. (a) De gevraagde conditionele verwachting is gelijk aan (zie Definitie 6.68 van het boek) E(T t T > t) E((T t)+ ) st+ (s t)f T (s) P(T > t) st+ f T (s) N st+ (s t) (N t)[ + (N t)] 2 N st+ N t (b) Nu geldt (N t + ), < t < N. 2 E(T t T t) st+ (s t)( 2 )s st+ ( 2 )s u u( 2 )u u ( 2. )u 2 Dit is de verwachting van de geometrische verdeling met parameter 2 Voorbeeld 2.36 van het boek). (6) [8] X,..., X n zijn onafhankelijke stochasten, waarbij X k Bernoulli verdeeld is met parameter p k (, ). 3 (zie
4 (a) Bereken de verwachting en de variantie van de som n k X k. (b) Laat zien dat voor vaste verwachting de variantie maximaal is dan en slechts dan wanneer alle p k aan elkaar gelijk zijn. (a) Noteer S n n k X k. Dan geldt (zie p. 5 van het boek) E(S n ) Var(S n ) E(X k ) k p k, k Var(X k ) k p k ( p k ). (b) Zij K de stochast die met kans n de waarde p k, k n, aanneemt. Met behulp van Jensen s ongelijkheid (Stelling 7.67 van het boek) volgt dan dat n k p 2 k E(K 2 ) E(K) 2 k ( n ) 2 p k, waarbij het gelijkteken geldt dan en slechts dan wanneer K constant is, d.w.z. p k p voor alle k n en zekere p (, ). De laatste ongelijkheid kan gelezen worden als k n Var(S n) ( ) 2 n E(S n) n E(S n), en dus is voor vaste verwachting de variantie maximaal dan en slechts dan wanneer alle p k aan elkaar gelijk zijn. (7) [8] Voor welke waarden van C zijn de volgende functies kansdichtheidsfuncties? (a) f(x) C/ x( x), x (, ). (b) f(x) C exp[ x exp( x)], x R. Hint: Gebruik transformatie van variabelen. (a) Transformeer van x naar θ via x sin 2 θ. Omdat dx dθ sin 2 θ cos 2 θ, vinden we Cdx π/2 2C sin θ cos θ dθ x( x) sin θ cos θ 4 π/2 2 sin θ cos θ en 2Cdθ πc.
5 Derhalve is C /π. Merk op dat we hier te maken hebben met de BETAverdeling met parameters s t (zie p. 69 van het boek). De waarde van 2 C die bij deze kansverdeling hoort is gelijk aan Γ()/Γ( 2 )2 /π. Transformeer van x naar y e x. Omdat dy dx e x y, geldt dy dx C e x e x ( y) C y e y C dy e y C. R (8) [8] X en Y hebben gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f X,Y (x, y) λ 2 e λy, x y. (a) Bereken f X (x), de marginale kansdichtheidsfunctie van X. (b) Bereken f Y X (y x) f X,Y (x, y)/f X (x), de conditionele kansdichtheidsfunctie van Y gegeven X x. (a) Bereken (zie p. 88 van het boek) f X (x) f X,Y (x, y) dy R en f X (x) elders. (b) Er volgt dat en f Y X (y x) elders. x λ 2 e λy dy λe λx, x, f Y X (y x) λ2 e λy λe λx λe λ(y x), x y, (9) [8] X is standaard normaal verdeeld, d.w.z. f X (x) (2π) /2 exp[ 2 x2 ], x R. Laat zien dat voor elke c > de stochast { X, X < c, Y X, X c, opnieuw standaard verdeeld is, en bereken de covariantie van X en Y. Schrijf (zie p. 67 van het boek) { P(X (x, x + dx]), x ( c, c), f Y (x)dx P(Y [x, x + dx)) P(X ( x dx, x]), x R\( c, c). De eerste regel is gelijk aan f X (x)dx, de tweede f X ( x)dx. Omdat f X (x) f X ( x) voor alle x R, volgt dat het rechterlid gelijk is aan F X (x) voor alle 5
6 x R. De covariantie van X en Y is gelijk aan (zie Stelling 5.58 en p. 5 van het boek) E(XY ) E(X) E(Y ) dx xy(x) f X (x), met y(x) x als x < c en y(x) x als x c. De integraal is gelijk aan dx x 2 f X (x) dx x 2 f X (x) ( c,c) 2 R\( c,c) R\( c,c) R dx x 2 f X (x) 4 De integraal kan niet in gesloten vorm worden uitgerekend. c dx x2 2π e 2 x2. () [8] X en Y zijn onafhankelijk en exponentieel verdeeld met parameters λ X (, ) en λ Y (, ). Zij U min{x, Y }, V max{x, Y } en W V U. (a) Bereken P(X Y ). (6) Laat zien dat U en W onafhankelijk zijn. (a) De gezamenlijke kansdichtheidsfunctie van het paar X, Y is (zie Voorbeeld 5.6 en p. 88 van het boek) f X,Y (x, y) λ X e λ Xx λ Y e λ Y y, x, y, en f X,Y (x, y) elders. Hieruit leiden we af dat P(X Y ) dx dy f X,Y (x, y) { x y} (b) Schrijf uit R F U,W (u, w) P(U u, W w) R dx λ X e λ Xx dx λ X e (λ X+λ Y )x x dy λ Y e λ Y y λ X λ X + λ Y. P ( min{x, Y } u, max{x, Y } min{x, Y } w ) u dx w+x x dy f X,Y (x, y) + 6 u dy w+y y dx f X,Y (x, y).
7 De eerste integraal is gelijk aan u dx λ X e λ Xx [ e λ Y x e λ Y (w+x) ] λ X λ X + λ Y [ e (λ X +λ Y )u ] [ e λ Y w ], de tweede integraal (verwissel λ X, λ Y en x, y) u dy λ Y e λ Y y [ e λ Xy e λ X(w+y) ] λ Y λ X + λ Y [ e (λ X +λ Y )u ] [ e λ Xw ]. We vinden dus dat F U,W (u, w) [ ] e (λ X +λ Y )u ( ) λ X [ e λ Y w ] + λ X [ e λ Y w ]. λ X + λ Y Omdat dit het product is van twee functies die alleen van u, respectievelijk, alleen van w afhangen, geldt volgens Stellingen 3.6 en 6.3 van het boek dat U en W onafhankelijk zijn. () [6] Bereken de kansgenererende functie van de negatieve binomiale verdeling f(k) ( k n ) p n ( p) k n, k n, n+,..., met parameters p (, ) en n N. Hint: Gebruik de identiteit ( n ) l l ( x) l ( x) n, n N, x [, ]. De kansgenererende functie wordt gegeven door ( ) k G(s) s k f(k) s k p n ( p) k n n k kn ( ) k (ps) n [s( p)] n k n kn ( ) n ps ( ) k p n ( p) n k, p n kn waar we de nieuwe variable p ( p)s invoeren. De laatste som is gelijk aan vanwege de normalisatie van de negatieve binomiale verdeling (zie p. 27 7
8 van het boek): ( ) k f(k) p n ( p) k n p n n k kn ( n p n l l ( ) n + l ( p) l l l ) [ ( p)] l p n [ ( p)] n. Hier gebruiken we de identiteit ( ) n + l (n + l )(n + l 2) n l l! We vinden dus dat l n( n ) ( n l + ) ( ) l! ( ) n ps G(s). ( p)s ( ) n ( ) l. l Merk op dat dit de n-de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling f GEO (k) p( p) k, k, 2,..., met parameter p (, ). Dat komt omdat een een negatief bionomiaal verdeelde stochast de som is van n onafhankelijke copieën van een geometrisch verdeelde stochast (zie Voorbeeld 2.22 van het boek). (2) [6] Zij X n de maximum worp uit n N worpen met een zuivere dobbelsteen. Laat zien dat (X n ) n N een Markovketen is, en bereken de overgangskansen P(X n+ j X n i), i, j 6. Zij W i de uitkomst van worp i. Dan geldt X n max{w,..., W n }. Derhalve X n+ max{x n, W n+ }, en dus, j < i, P(X n+ j X n i) P(max{i, W n+ } j) i, j i, 6, j > i. 6 Merk op dat de rijsommen van deze matrix tot optellen (zie Propositie 2.3 van het boek). (3) [8] Een deeltje voert een stochastische wandeling uit op de hoekpunten van een vierkant. Bij elke stap heeft het: kans om te pauzeren en voor elk van 4 de twee aangrenzende hoekpunten kans 3 om naar dat hoekpunt te springen. 8 8
9 (a) Bereken het gemiddeld aantal stappen voordat het deeltje terugkeert naar waar het start. (b) Bereken het gemiddeld aantal stappen voordat het deeltje het diagonaal tegenoverliggende hoekpunt bereikt. (a) Vanwege de symmetrie van het vierkant volstaat het om te kijken naar de afstand van het deeltje tot zijn startpunt. Dat is een Markovketen op de toestandsruimte S {,, 2} met overgangskansen p p p 22 4, p p 2 3 4, p p Zij E x het gemiddeld aantal stappen voordat het deeltje bereikt startend in x {,, 2}. Dan gelden de drie relaties E, E p ( + E ) + p ( + E ) + p 2 ( + E 2 ), E 2 p 2 ( + E ) + p 22 ( + E 2 ). De oplossing is E, E 4, E 2 6. Het gemiddeld aantal stappen 3 voordat het deeltje terugkeert naar als het start in is gelijk aan p ( + ) + p ( + E ) 4. Merk op dat dit aansluit bij Stelling 2.83, die zegt dat de gemiddelde terugkeertijd naar toestand i S gelijk is aan /π i, met π (π i ) i S de stationaire verdeling ( invariante verdeling). Voor de stochastische wandeling op het vierkant is die gelijk aan (,,, ), voor de gereduceerde Markovketen (,, ) (b) Het gemiddeld aantal stappen voordat het deeltje 2 bereikt vanuit is, vanwege symmetrie, gelijk aan het gemiddeld aantal stappen voordat het deeltje bereikt vanuit 2. Dat laatste is gelijk aan E 2. (4) [5] Laat zien dat intercommunicerende toestanden van een Markovketen dezelfde periode hebben. Dit is het eerste onderdeel van Stelling 2.75 van het boek. Gegeven twee toestanden i en j zodanig dat i j. Dan bestaan er m, n N zodanig dat p ij (m)p ji (n) α >. In het bijzonder geldt dat p ii (m + r + n) p ij (m)p jj (r)p ji (n) αp jj (r) voor alle r N. Door r te kiezen volgt dat 9
10 d i m+n (d i is een deler van m+n), waar d i de periode van i is. Nu redeneren we als volgt. Voor alle r N geldt d i r d i m + r + n p ii (m + r + n) p jj (r) d j r. Derhalve d i d j. Door i en j te verwisselen vinden we ook dat d j d i, en dus concluderen we dat d i d j.
Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 07, 4:00 7:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Tentamen Inleiding Kansrekening 6 juni 7, : 7: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen.
Nadere informatieUitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 juli 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 jli 5, 4. 7. r Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebrik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn vragen. Elke vraag is
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur
Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieTentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)
WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander
Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim
Nadere informatieTentamen Kansrekening (NB004B)
NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en
Nadere informatieCursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)
Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur
Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de
Nadere informatieb) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)
Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en
Nadere informatieGezamenlijke kansverdeling van twee stochasten
Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Voorbeeld: V = de windsnelheid H = hoogte van het waterniveau in een rivier/zee De combinatie (V, H) is van belang voor een overstroming en niet zozeer V
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135
Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 35 Faculteit FNWI 6525 AJ Nijmegen Examen NWI-NB00B Inleiding Kansrekening 2 juni 206 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N
Nadere informatieSet 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij
Nadere informatieOefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.
Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4,
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur
Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke
Nadere informatieKansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieHet tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.
Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel
Nadere informatieDeze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.
Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander
Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine
Nadere informatieKansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur
Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieVoorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)
Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt.
Nadere informatieExamen Statistiek I Feedback
Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).
Nadere informatieWI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September
Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een
Nadere informatieSchrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N of I). Het is toegestaan een (grafische) rekenmachine te gebruiken.
Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135 Faculteit FNWI 655 AJ Nijmegen Examen NWI-NBB Inleiding Kansrekening 1 januari 1 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting W, N of
Nadere informatieVandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen
Nadere informatieUitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009
Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht UitwerkingOefQuiz Kansreking 29 1. James Bond zoekt e brief in één van de drie ladkast in het voormalige
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieOpgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties
Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties Discrete Distributiefuncties 3. Er zijn 3 studenten aan het begin van de dag aanwezig bij een symposium. De kans dat een student volhoudt
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieTentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2010, 9:00 12:00
Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2, 9: 2: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren alstublieft.
Nadere informatieVoorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014
Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de
Nadere informatieStatistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie
Nadere informatieSet 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)
Nadere informatieIntroductie tot traditionele herverzekering
Introductie tot traditionele herverzekering Module AN17 Schadeverzekering 26 maart 2012 Nico de Boer nico.de.boer@aaa-riskfinance.nl Lesindeling onderdeel herverzekering Datum Te behandelen 19 maart Hoofdstuk
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieHoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 5 Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/39 Een stochastisch proces (stochastic proces) X (t) bestaat
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 611010 Datum:
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatieTentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieDeze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie
Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori
Nadere informatieDeeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013
Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Algemene Statistiek Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen:
Nadere informatieVU University Amsterdam 2018, juli 11.
Department of Mathematics Herexamen: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 018, juli 11. c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012
Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieDeze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten
Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieMedische Statistiek Kansrekening
Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien
Nadere informatieDe Wachttijd-paradox
De Wachttijd-paradox Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Mastercourse 15 november 25 Peter Spreij spreij@science.uva.nl 1 Het probleem In deze mastercourse behandelen
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8
Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten
Nadere informatieFormules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek
UNIVERSITY OF GHENT Samenvatting Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek Auteur: Nicolas Vanden Bossche Lesgever: Prof. Hans De Meyer Hoofdstuk 1 Het kansbegrip en elementaire kansrekening
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatiemodule SC 12 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur
module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 13.30-16.30 uur Examen module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 Voordat u met de beantwoording van de vragen van dit examen
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Continue distributies als stochastische
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal
Nadere informatieZo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door
APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieDepartment of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde VU University Amsterdam 2017, Juni 7
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde VU University Amsterdam 07, Juni 7 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting
Nadere informatie= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31
Tentamen Statistische methoden 45STAMEY april, 9: : Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend voorbeeld:
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieRelevante vragen , eerste examenperiode
Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende
Nadere informatieVU University Amsterdam 2018, Maart 27
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieHoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen)
Hoofdstuk 4: Aavullede Begrippe (Extra Oefeige) 9. Veroderstel dat X e Y ormaal verdeeld zij met resp. gemiddelde waarde µ X e µ Y e met dezelfde variatie 2. Wat is da de distributie va X Y? Bepaal de
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieInleiding Applicatie Software - Statgraphics
Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieHuiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieKanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen
Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen 1 Rekenregels kansrekenen Kans van de zekere gebeurtenis: P () = P (U) = 1 Kans van de onmogelijke gebeurtenis: P (;) = 0 Complementregel: P (A c ) = 1 P (A)
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatie20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8,
UITWERKINGEN TENTAMEN DIFFERENTIËREN EN INTEGREREN 20 OKTOBER 2008. a) f(x) < is equivalt aan < f(x)
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 9. Donderdag 11 Oktober
Statistiek voor A.I. College 9 Donderdag 11 Oktober 1 / 48 2 Deductieve statistiek Bayesiaanse statistiek 2 / 48 Reistijd naar college (minuten). Jullie - onderzoek Tim Histogram of CI Frequency 0 1 2
Nadere informatieVU University Amsterdam 2019, maart 28.
Department of Mathematics Examen: Voortgezette biostatistiek (MNW) VU University Amsterdam 2019, maart 28. Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Nadere informatieInleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek
Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje
Nadere informatieTentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00
Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00 Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieStatistiek voor A.I.
Statistiek voor A.I. College 13 Donderdag 25 Oktober 1 / 28 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 28 3 / 28 Jullie - onderzoek Tobias, Lody, Swen en Sander Links: Aantal broers/zussen van het
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatie