Uitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 juli 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Transcriptie

1 Uitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 jli 5, r Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebrik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn vragen. Elke vraag is pnten waard. Het totaal aantal pnten is. Schrijf je naam, stdentnmmer en stdierichting op elk blad dat je inlevert. Motiveer steeds je antwoorden: een los antwoord zonder itleg is niet voldoende. Elke berekening dient van een toelichting te worden voorzien. () [] A en B zijn gebertenissen met kans P(A) = 3 4 en P(B) = 3. (a) Laat zien dat P(A B) 3. (b) Geef voorbeelden waarvoor de grenzen bereikt worden. (a) De gevraagde ongelijkheden volgen it de gelijkheid (zie Figr. van het boek) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), in combinatie met de triviale ongelijkheden P(A) P(A B). (b) De grenzen corresponderen met de gevallen B A, respektievelijk, A B = Ω (= de hele toestandsrimte). De waarden van P(A) en P(B) laten beide mogelijkheden toe. () [] X is een geometrisch verdeelde stochast, d.w.z. X heeft kansmassafnctie p X (k) = P(X = k) = p( p) k, k N, voor zekere p (, ). Wat is de kansmassafnctie van de stochast Y = max{x, }? Omdat Y = X als X en Y = als X, geldt p X (k), k, p Y (k) = l= p X(l), k =,, elders.

2 De middelste term is gelijk aan l= p X(l) = ( p) p ( p) = ( p). (3) [] Vanaf r komen bssen elke minten aan bij een halte. Je arriveert bij de halte T minten na r, waarbij T een contine stochast is met de volgende cmlatieve kansverdelingsfnctie heeft:, x <, x F T (x) = P(T x) = 6, x 6,, x > 6. Wat is de kans dat je minder dan 5 minten op een bs hoeft te wachten? De tijd T is niform verdeeld over het interval [, 6] (zie Figr 5. van het boek). Bssen arriveren op de tijdstippen j, j {,,,...}. Je wacht minder dan 5 minten dan en slechts dan als T 6 j=(j 5, j]. Derhalve is de gevraagde kans gelijk aan 6 6 j= 5 =. (4) [] M is een strikt positieve stochast. Is de gelijkheid (zie Figr. van het boek) ( ) E = M E(M) altijd waar of soms waar? Geef voorbeelden. Omdat de fnctie x /x strikt convex is op (, ) volgt it Jensen s ongelijkheid (Stelling 7.67 van het boek) dat ( ) E M E(M) met gelijkheid dan en slechts dan wanneer M constant is. De gelijkheid is ds soms waar, maar niet altijd. (5) [] X, Y en Z zijn onafhankelijk en niform verdeeld op [, ]. (a) Bereken de gezamenlijke kansdichtheidsfnctie van de stochasten U = XY en V = Z. (b) Laat zien dat P(U < V ) = 5. Hint: De primitieve van de fnctie 9 / log( ) is de fnctie 4 9 3/ + 3 3/ log( ). (a) Omdat X, Y, Z onafhankelijk zijn, geldt hetzelfde voor U = XY, V = Z. I.h.b. geldt ds dat f U,V (, v) = f U ()f V (v),, v R (zie Stelling 6.3 van het

3 boek). We berekenen, gebrikmakend van het feit dat f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) met f X (x) =, x [, ], en f Y (y) =, y [, ], en elders, P(U ) = P(XY ) = = dx + dx min{/x,} dy dx = + log( ), (, ], x en elders. Differentieren naar geeft f U () = log( ), (, ], en elders. Evenzo berekenen we P(V v) = P(Z v) = P(Z v ) = v, v (, ], en elders. Differentieren naar v geeft f V (v) = / v, v (, ]. Samen geeft dit f U,V (, v) = log( )/ v,, v (, ], en elders. (b) We knnen n itrekenen P(U < V ) = = d (met de conventie log = ). dv f U,V (, v) = d log( ) ( ) d log( ) = [ + log( )] = [ 4 = 9 3/ + 3 3/ log( )] = = = 4 = dv v (6) [] Bereken de kansdichtheidsfnctie van Z = X + Y wanneer X en Y de volgende gezamenlijke kansdichtheidsfnctie hebben: { f X,Y (x, y) = (x + y)e (x+y), x, y,, elders. Volgens Stelling 6.38 van het boek wordt de kansdichtheidsfnctie van Z gegeven door z f Z (z) = dx f X,Y (x, z x) = dx ze z = z e z, z, en elders. R 3

4 (7) [] Laat L, L, L 3 onafhankelijk en niform verdeeld zijn op [, ]. Wat is de kans dat lijnstkken ter lengte L, L, L 3 samen een driehoek knnen opspannen? Hint: Schrijf eerst de conditie op waaraan L 3 moet voldoen bij gegeven L, L. Voor gegeven waarden van L en L moet L 3 voldoen aan de ongelijkheid L L < L 3 < L + L opdat een driehoek kan worden opgespannen. De kans op deze gebertenis gelijk is aan = = = min{,l +l } dl dl 3 l min{,l +l } dl l dl 3 dl [min{, + l } (l )] l dl + De eerste integraal is gelijk aan De tweede integraal is de som van en max{, } ( ) =. 6 dl ( l + ) = 3 dl ( l + ) = dl ( l + ). l = 8 ( l ) = 5 4. De gevraagde kans is ds gelijk aan = 5 8. (8) [] (X n ) n N en (Y n ) n N zijn Markovketens op Z. Is (X n + Y n ) n N dan ook een Markovketen op Z? Het antwoord is evident nee wanneer de Markovketens niet onafhankelijk van elkaar zijn. Maar het is ook nee wanneer ze wel onafhankelijk van elkaar zijn. 4

5 Schrijf Z n = X n + Y n. Uit de waarde van Z n knnen we niet de waarden van X n en Y n herleiden. Derhalve knnen we niet de conditionele kansverdelingen van X n+ en Y n+ bepalen. De kansverdeling van Z n+ hangt ds niet alleen van Z n af. M.a.w. door de sommatie gaat de Markoveigenschap verloren (zie Definitie. van het boek). (9) [] Laat aan de hand van een voorbeeld zien dat een niet-irredcibele Markovketen op een eindige toestandsrimte verschillende stationaire verdelingen kan hebben. Neem de Markovketen op {,, 3, 4} met overgangskansen p = p =, p 34 = p 43 =, p ij = elders. Dan is elke ( α, α, ( α), ( α)) met α [, ] een stationaire verdeling. () [] Een overgangsmatrix P = (p ij ) i,j S heet dbbel-stochastisch wanneer niet alleen de rijsommen maar ook de kolomsommen gelijk aan zijn, d.w.z. j S p ij = voor alle i S en i S p ij = voor alle j S. Veronderstel dat S eindig is en dat P irredcibel en aperiodiek is. Laat zien dat dan de Markovketen (X n ) n N met overgangsmatrix P voldoet aan lim p ij(n) = n S voor alle i, j S, waar p ij (n) = P(X n = j X = i), i, j S, de n-staps overgangskansen zijn. Hint: Gebrik de convergentiestelling voor Markovketens. De convergentiestelling voor Markovketens (zie Stelling.98 van het boek) zegt dat, wanneer P irredcibel, aperiodiek en positief recrrent is, er geldt dat lim n p ij(n) = π j voor alle i, j S, met π de nieke stationaire verdeling. Het eindig zijn van S impliceert dat P positief recrrent is, ds we mogen de stelling gebriken. Het volstaat derhalve om te laten zien dat π j = / S voor alle j S, m.a.w. π is de niforme verdeling op S. Maar dat laatste volgt atomatisch wanneer P dbbelstochastisch is. Immers, π is de nieke oplossing van de vergelijking π = πp, d.w.z. π j = i S π ip ij, j S, en het is evident dat de niforme verdeling een oplossing is. 5