TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica"

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk en overzichtelijk te worden opgeschreven. Het aantal punten van elk onderdeel staat bij elke opgave. Er zijn onderdelen. Het cijfer is het totaal van de behaalde punten gedeeld door , afgerond op een geheel getal. Op elk ingeleverd vel de naam van de student, de code van het college en de datum van het tentamen noteren. U mag gebruik maken van een onbeschreven Statistisch Compendium en een (grafische rekenmachine.. Knikkers in urnen. In een urn zitten 3 knikkers, waarvan blauw en 2 rood. We trekken deze knikkers één voor één. Als we een knikker trekken, dan stoppen we 2 knikkers van dezelfde kleur terug. (a ( punten Wat is de kans dat de eerste knikker rood is? Wat is de kans dat de tweede knikker rood is? (b ( punten Wat is de kans dat de eerste én de tweede knikker rood zijn? Zijn deze twee gebeurtenissen onafhankelijk? En wat is de kans dat de tweede én de derde knikker rood zijn? Reflecteer op het antwoord. (c (5 punten Laat zien dat de kans p n dat de nde knikker rood is gelijk is aan p n E[R n ] n + 2, waarbij R n het aantal rode knikkers is na n trekkingen. Leid hiermee een recursie af voor het verwachte aantal rode knikkers in de nde trekking. Gebruik deze om een formule te geven voor p n voor elke n. (d ( punten Stel S n is het aantal getrokken rode knikkers na n trekkingen. centrale limiet stelling gebruiken om de kans dat S 7 te benaderen? Mogen we de 2. Sommen van exponentiele verdelingen. Laat E,..., E n onafhankelijk en gelijkverdeelde exponentiële random variabelen zijn met parameter, zodat f Ei (x e x voor x en anders. (a ( punten Wat is de dichtheid van e 2E? (b ( punten Laat zien dat S n E + + E n de volgende dichtheid heeft: { y <, f Sn (y y n (n! e y y >. (c (5 punten Gebruik het vorige onderdeel om te laten zien dat, met X een Poisson verdeling met parameter t, voor alle t > en k, P(X k P(E + + E k+ > t.

2 (d (5 punten Laat zien dat, voor elke k en t >, t tk P(E + + E k < t < E + + E k+ e k!. (e ( punten Benader de kans dat E + + E >. 3. Gezamenlijke verdeling. De (continue random variabelen X en Y hebben een dusdanige gezamenlijke verdeling dat de marginale verdeling van X uniform op [, ] is verdeeld, en dat de conditionele kansverdeling van Y op de gebeurtenis {X x} uniform op [, x] is verdeeld (voor x (, ]. (a (5 punten Geef de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie van X en Y. (b ( punten Geef f X Y (x y. (c ( punten Bereken E[Y X x] en E[X Y y]. (d ( punten Bereken E[Y ]. (Hint: gebruik de conditionele verwachting. 4. Je eigen playlist ontwerpen. Stel dat een ipod 3 liedjes bevat. De gemiddelde lengte van deze liedjes is 3, 45 minuten en de standaardafwijking is, 63 minuten. (a ( punten Je gaat 3 uur lang fietsen en je wil een random playlist maken van 45 liedjes. Wat is, bij benadering, de kans dat jouw random playlist lang genoeg duurt voor jouw fietstocht? (b ( punten Je gaat een vliegreis maken die 6 uur gaat duren. Hoeveel liedjes moet je bij benadering kiezen opdat je met, 95 kans een playlist hebt waarvan het afspelen langer duurt dan de vliegreis? 5. Geef een gemotiveerd antwoord op de volgende vragen: (a ( punten A, B, C zijn drie onafhankelijke gebeurtenissen met P(A /2, P(B /4 en P(C /6. Wat is de conditionele kans dat A optreedt gegeven dat A B C optreedt? (b ( punten Bewijs, vanuit de definitie van de verwachtingswaarde van een discrete random variabele, dat voor elke discrete random variabele met eindige verwachtingswaarde, en voor elke a, b R, geldt dat E[aX + b] ae[x] + b. (c (5 punten Laat X een Cauchy verdeling hebben, ofwel, de kansdichtheid van X is f X (x [π( + x 2 ] voor x R. Bereken de dichtheid van X /4. Is E[ X /4 ] <? (d (5 punten Laat X,..., X n i.i.d. uniforme random variabelen zijn op [,], zodat de dichtheid van X i gelijk is aan f Xi (x voor x [, ] en f Xi (x anders. Stel M n max{ X,..., X n } is het maximum van de wortels van X,..., X n. Laat zien dat n(m n convergeert in verdeling. Herken de verdeling van de limietvariabele. Succes! 2

3 Uitwerkingen:. Knikkers in urnen. In een urn zitten 3 knikkers, waarvan blauw en 2 rood. We trekken deze knikkers één voor één. Als we een knikker trekken, dan stoppen we 2 knikkers van dezelfde kleur terug. (a ( punten Wat is de kans dat de eerste knikker rood is? Wat is de kans dat de tweede knikker rood is? Antwoord: Noem A i de gebeurtenis dat de ide knikker rood is. We dienen P(A en P(A 2 te berekenen. De eerste knikker wordt met gelijke kans getrokken, dus P(A 2/3. Voor P(A 2 gebruiken we de wet van de totale kans in de vorm P(A 2 P(A 2 A P(A + P(A 2 A c P(A c. We merken op dat als A gebeurt, dan zijn er in de tweede ronde 4 knikkers, waarvan 3 rode, zodat P(A 2 A 3/4. Op vergelijkbare wijze is P(A 2 A c 2/4 /2. We krijgen dat P(A (b ( punten Wat is de kans dat de eerste én de tweede knikker rood zijn? Zijn deze twee gebeurtenissen onafhankelijk? En wat is de kans dat de tweede én de derde knikker rood zijn? Antwoord: We rekenen uit dat P(A A 2 P(A 2 A P(A 2. Dat is niet gelijk aan P(A P(A 2 4 9, dus deze gebeurtenissen zijn afhankelijk. Voor P(A 2 A 3 gebruiken we weer de wet van de totale kans om te schrijven We rekenen uit dat terwijl zodat Deze kansen zijn dus hetzelfde. P(A 2 A 3 P(A 2 A 3 A P(A + P(A 2 A 3 A c P(A c. P(A 2 A 3 A , P(A 2 A 3 A c , P(A 2 A (c (5 punten Laat zien dat de kans p n dat de nde knikker rood is gelijk is aan p n E[R n ] n + 2, waarbij R n het aantal rode knikkers is na n trekkingen. Leid hiermee een recursie af voor het verwachte aantal rode knikkers in de nde trekking. Gebruik deze om een formule te geven voor p n voor elke n. Antwoord: We conditioneren op R n om uit te rekenen dat P(A n E[E[I An R n ]] E[ R n n + 2 ], 3

4 omdat er na n trekkingen precies n + 2 knikkers zijn, waarvan er (per definitie R n rood zijn. We merken op dat R n 2 + I A + + I An, zodat E[R n ] E[R n ] + E[I An ] E[R n ] + p n E[R n ] n + 3 n + 2. Omdat R 2 krijgen we dus dat E[R n ] 2(n + 3/3 (dit kan je bijvoorbeeld d.m.v. inductie bewijzen. Hiermee krijgen we dus dat p n 2/3 voor alle n. (d ( punten Stel S n is het aantal getrokken rode knikkers na n trekkingen. centrale limiet stelling gebruiken om de kans dat S 7 te benaderen? Mogen we de Antwoord: Dit mag niet. Het is wel zo dat S n I + + I n, waarbij I i de indicator is dat in de ide beurt een rode knikker getrokken wordt. Ook is het zo dat P(A n 2/3 voor elke n. Echter, deze indicatoren zijn sterk afhankelijk, en daardoor mogen we de CLS niet toepassen. 2. Sommen van exponentiele verdelingen. Laat E,..., E n onafhankelijk en gelijkverdeelde exponentiële random variabelen zijn met parameter, zodat f Ei (x e x voor x en anders. (a ( punten Wat is de dichtheid van e 2E? Antwoord: We rekenen de verdelingsfunctie van Y E uit door, voor y, F Y (y P(e 2E y P(E (log y/2 F E ((log y/2 e (log y/2 y. De dichtheid van Y e 2E is dus, voor y, en f Y (y voor y <. f Y (y F Y (y 2 y 3. (b ( punten Laat zien dat S n E + + E n de volgende dichtheid heeft: { y <, f Sn (y y n (n! e y y >. Antwoord: We gebruiken inductie. Voor n is er niets te bewijzen. Stel, de claim is waar voor n. Dan is de dichtheid van S n de convolutie van die van S n en E n, ofwel, voor y >, f Sn (y (f Sn f En (y e y y Voor y < is de dichtheid. x n 2 yn dx (n 2! (n! e y. f Sn (xf En (y xdx y x n 2 (n 2! e x e (y x dx 4

5 (c ( punten Gebruik het vorige onderdeel om te laten zien dat, met X een Poisson verdeling met parameter t, voor alle t > en k, P(X k P(E + + E k+ > t. Antwoord: We gebruiken onderdeel (b om te berekenen dat We integreren partieel, en krijgen P(E + + E k+ > t P(E + + E k+ > t [ yk k! e y ] t Herhaaldelijk deze stap herhalen levert dat ky k t k! t y k k! e y dy. ( e y dy tk k! e t + t y k (k! e y dy. P(E + + E k+ > t k l t l l! e t P(X k. (d ( punten Laat zien dat, voor elke k en t >, t tk P(E + + E k < t < E + + E k+ e k!. Antwoord: Noem S k E + + E k, zodat de gevraagde kans gelijk is aan P(E + + E k < t < E + + E k+ P(S k < t < S k + E k+. De gezamenlijke dichtheid van (S k, E k+ is, voor x, y, gelijk aan f Sk,E k+ (x, y xk (k! e x e y. We krijgen dus dat P(E + + E k < t < E + + E k+ waarbij B {(x, y: x t x + y}. We vullen in P(E + + E k < t < E + + E k+ t t t x t tk e k!. (e ( punten Benader de kans dat E + + E >. B f Sk,E k+ (x, ydxdy, x k (k! e x e y dydx x k (k! e x e (t x dx e t Antwoord: We gebruiken de centrale limiet stelling, en volgen de 4 stappen. t x k (k! dx 5

6 Stap : Checken of we de CLS mogen toepassen. random variabelen, en hebben dus een eindige variantie. E,..., E n zijn i.i.d. exponentiele Stap 2: Bereken de verwachtingswaarde en variantie van de sommanden. We berekenen dat E[E i ] Var(E i. Stap 3: Standaardiseren. We herschrijven ( ( P (E + + E > P E i > P E i >. Stap 4: Toepassen CLS. Er geldt dus vanwege de Centrale Limietstelling dat P (E + + E > P(Z >, 843, Gezamenlijke verdeling. De (continue random variabelen X en Y hebben een dusdanige gezamenlijke verdeling dat de marginale verdeling van X uniform op [, ] is verdeeld, en dat de conditionele kansverdeling van Y op de gebeurtenis {X x} uniform op [, x] is verdeeld (voor x (, ]. (a Geef de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie van X en Y. Antwoord: Gegeven is dat Er geldt dus (b Geef f X Y (x y. f X (x als x [, ] en f Y X (y x x als y [, x]. f X,Y (x, y f Y x (y xf X (x { x als x (, ] en y [, x], anders. Antwoord: Er geldt x dx als y [, ], f Y (y f X,Y (x, ydx y 2 anders, { 2( y als y [, ], anders. Dus f X Y (x y f X,Y (x, y f Y (y { 2 x( y anders. als y [, ] en x (y 2, ], (c Bereken E[Y X x] en E[X Y y]. Antwoord: Er geldt E[Y X x] x yf Y X (y xdy 6 y x dy x 2,

7 en E[X Y y] y 2 x 2 x( y dx [ 2 x 3/2 3 2( y] 2 y 3 y 2 3 2( y 3 ( + y + y2. (d Bereken E[Y ]. (Hint: gebruik de conditionele verwachting. Antwoord: We gebruiken dat E[Y ] E[E[Y X]] en krijgen dat E[Y ] E[Y X x]f X (xdx x 2 dx Je eigen playlist ontwerpen. Stel dat een ipod 3 liedjes bevat. De gemiddelde lengte van deze liedjes is 3, 45 minuten en de standardafwijking is, 63 minuten. (a Je gaat 3 uur lang fietsen en je wil een random playlist maken van 45 liedjes. Wat is, bij benadering, de kans dat jouw random playlist lang genoeg duurt voor jouw fietstocht? Antwoord: We gebruiken de centrale limiet stelling, en volgen de 4 stappen. Stap : Checken of we de CLS mogen toepassen. Omdat de liedjes willekeurig gekozen worden, is het redelijk om te veronderstellen dat de lengten van de liedjes onafhankelijk zijn. Stap 2: Bereken de verwachtingswaarde en variantie van de sommanden. De lengte van 45 willekeurig gekozen liedjes heeft daarom een verwachting van 45 3, 45 55, 25 minuten en een standaardafwijking van 45, 63 73, 35 minuten (want Var ( n X i n Var(X i voor onafhankelijke stochasten. Stap 3: Standaardiseren. P ( 45 X i > 8 We herschrijven P ( 45 X i 55, 25 >, , 25., 93 Stap 4: Toepassen CLS. Er geldt dus vanwege de Centrale Limietstelling dat ( 45 P X i > 8 P(Z > 2, 26, 988, 2. (b Je gaat een vliegreis maken die 6 uur gaat duren. Hoeveel liedjes moet je kiezen opdat je met, 95 kans een playlist hebt waarvan het afspelen langer duurt dan de vliegreis? Antwoord: Analoog aan het vorige onderdeel geldt nu dat ( n ( n P X i > 36 P X i n 3, n 3, 45 > n, 63 n, 63, 95. 7

8 Aangezien P(Z, 645, 95 volgt hieruit dat moet gelden 36 n 3, 45 n, 63, 645 2, 68 n 36 n 3, 45. We substitueren nu x n en krijgen hierdoor de kwadratische ongelijkheid 3, 45 x 2 2, 68 x 36. Met de abc-formule vinden we dat de wortels van de corresponderende vergelijking gelijk zijn aan x, 6 en een negatieve wortel. Aangezien x n, vervalt de negatieve wortel. Uit het tekenverloop volgt nu dat n (, , 6. De playlist moet dus uit minstens 2, 59 liedjes bestaan, ofwel 3. Omdat 3 liedjes in verwachting 389,85 duren, is het redelijk logisch dat dit voldoende is. 5. Geef een gemotiveerd antwoord op de volgende vragen: (a ( punten A, B, C zijn drie onafhankelijke gebeurtenissen met P(A /2, P(B /4 en P(C /6. Wat is de conditionele kans dat A optreedt gegeven dat A B C optreedt? Antwoord: We herschrijven (6pt P(A A B C P(A (A B C P(A B C P(A P(A B C Gegeven is dat P(A /2, terwijl P(A B C P(A c B c C c (/2(3/4(5/6 5/6 /6. We concluderen dat P(A A B C (/2/(/6 8/. (4pt (b ( punten Bewijs, vanuit de definitie van de verwachtingswaarde van een discrete random variabele, dat voor elke discrete random variabele met eindige verwachtingswaarde, en voor elke a, b R, geldt dat E[aX + b] ae[x] + b. Antwoord: De definitie zegt dat, voor een discrete random variabele Y met kansmassafunctie f Y (y, (2pt E[Y ] yf Y (y. y We berekenen dat (4pt f Y (y P(Y y P(aX + b y P(X (y b/a f X ((y b/a. Ofwel, met de substitutie x (y b/a (4pt E[Y ] y yf X ((y b/a x (ax + bf X (x a x f X (x + b x f X (x ae[x] + b, omdat x f X(x. (c (5 punten Laat X een Cauchy verdeling hebben, ofwel, de kansdichtheid van X is f X (x [π( + x 2 ] voor x R. Bereken de dichtheid van X /4. Is E[ X /4 ] <? Antwoord: Noem Y X /4. We berekenen dat, voor y, (4pt F Y (y P(Y y P( X /4 y P( y 4 X y 4 F X (y 4 F X ( y 4. We differentieren (2pt f Y (y F Y (y [f X (y 4 + f X ( y 4 ](4y 3 8 8y 3 π( + y 8.

9 Verder is f Y (y voor y <. (pt Merk op dat (2pt omdat, voor y, (3pt E[ X /4 ] E[Y ] yf Y (ydy 8y 4 π( + y 8 (8/πy 4, en (8/πy 4 is integreerbaar op [,, terwijl, voor y, (3pt wat integreerbaar is op [, ]. 8y 4 π( + y 8 (8/π, 8y 4 π( + y 8 dy <, (d (5 punten Laat X,..., X n i.i.d. uniforme random variabelen zijn op [,], zodat de dichtheid van X i gelijk is aan f Xi (x voor x [, ] en f Xi (x anders. Stel M n max{ X,..., X n } is het maximum van de wortels van X,..., X n. Laat zien dat n(m n convergeert in verdeling. Herken de verdeling van de limietvariabele. Antwoord: Neem x R en noem Y n n(m n. We berekenen dat (3pt F Yn (x P(n(M n x P(M n + x/n P(max{ X,..., X n } + x/n. Omdat het maximum kleiner is dan a precies dan als alle termen kleiner zijn dan a, krijgen we dus dat (2pt P(n(M n x P(M n +x/n P( X +x/n,..., X n +x/n P( X +x/n n, het laatste vanwege onafhankelijkheid en het feit dat X,..., X n dezelfde verdeling hebben. Voor x > is deze kans, voor x < is deze kans (voor n zo groot dat x/n > gelijk aan (2pt P(n(M n x P(X ( + x/n 2 n [( + x/n 2 ] n ( + x/n 2n. Als n convergeert dit naar (3pt F Yn (x e 2x F Y (x. Y heeft dus dezelfde verdeling als 2E, waarbij E een exponentiele verdeling heeft. (5pt 9

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden. Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20 Handout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van der Hofstad 13 januari 017 Samenvatting In deze hand out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer detail, behandelen we de volgende

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3

Nadere informatie

Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 2014-2015 1. (Het sleutelprobleem) In een denkbeeldige wedstrijd kunnen deelnemers auto s

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2S610

Kansrekening en stochastische processen 2S610 Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en

Nadere informatie

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek UNIVERSITY OF GHENT Samenvatting Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek Auteur: Nicolas Vanden Bossche Lesgever: Prof. Hans De Meyer Hoofdstuk 1 Het kansbegrip en elementaire kansrekening

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur Tentamen Kansrekening en statistiek wi205in 25 juni 2007, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen

Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen 1 Rekenregels kansrekenen Kans van de zekere gebeurtenis: P () = P (U) = 1 Kans van de onmogelijke gebeurtenis: P (;) = 0 Complementregel: P (A c ) = 1 P (A)

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, 14.00 16.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na

Nadere informatie

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07) Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg) Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt.

Nadere informatie

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e.

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e. Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 april 2011, 9:00 12:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend

Nadere informatie

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014 Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012 Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009 Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht UitwerkingOefQuiz Kansreking 29 1. James Bond zoekt e brief in één van de drie ladkast in het voormalige

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

13.1 Kansberekeningen [1]

13.1 Kansberekeningen [1] 13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 24 juni 2013 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 11 juni 2012 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 8 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van

Nadere informatie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori

Nadere informatie

Introductie tot traditionele herverzekering

Introductie tot traditionele herverzekering Introductie tot traditionele herverzekering Module AN17 Schadeverzekering 26 maart 2012 Nico de Boer nico.de.boer@aaa-riskfinance.nl Lesindeling onderdeel herverzekering Datum Te behandelen 19 maart Hoofdstuk

Nadere informatie

14.1 Kansberekeningen [1]

14.1 Kansberekeningen [1] 14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 16 januari 2014 Tijd: 14.00-17.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening - Opgave. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat drie keer zo vaak valt als 4 en twee keer zo vaak als 5. Verder vallen,, en even

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 29 juli 2013 Tijd: 14.00-17.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van

Nadere informatie

Gegeven is een kansvariabele X met cumulatieve verdelingsfunctie P(X x)= 1/3 x voor 0 < x < 3. Bereken (a) P(2<X 3) (b) E(X) (c) Var(X)

Gegeven is een kansvariabele X met cumulatieve verdelingsfunctie P(X x)= 1/3 x voor 0 < x < 3. Bereken (a) P(2<X 3) (b) E(X) (c) Var(X) Opgave 1 Een kom tomatensoep voor 6 personen bevat 30 balletjes. De soep wordt willekeurig uitgeschonken over 6 borden. Bereken (a) De kans dat er geen enkel balletje in je bord terecht komt (b) De kans

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,

Nadere informatie

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen)

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen) Hoofdstuk 4: Aavullede Begrippe (Extra Oefeige) 9. Veroderstel dat X e Y ormaal verdeeld zij met resp. gemiddelde waarde µ X e µ Y e met dezelfde variatie 2. Wat is da de distributie va X Y? Bepaal de

Nadere informatie

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] KU Leuven Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 25 maart 2015 Docent: Prof. Tim Verdonck Inhoudsopgave 1 Voorkennis 3 1.1 Verzamelingen.......................................

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Schroefas Opgave 1. In de figuur trekken we een lijn tussen 2600 tpm op de linkerschaal en

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde A

Samenvatting Wiskunde A Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 28 januari 2013 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012 Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren

Nadere informatie

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast, Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Donderdag 18 Oktober 1 / 28 Huffington Post poll verkiezingen VS - 12 Oktober 2012 2 / 28 Gallup poll verkiezingen VS - 15 Oktober 2012 3 / 28 Jullie - onderzoek Kimberly,

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 VERSIE MT15303 1308 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 5 augustus 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen Uitwerkingen Hst. 0 Kansverdelingen. Uittellen: 663 ; 636 ; 366 ; 654 (6 keer) ; 555 0 mogelijkheden met som 5.. Som geen 5 = 36 som 5 Som 5: 4, 3, 3, 4 4 mogelijkheden dus 3 mogelijkheden voor som geen

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 9. Donderdag 11 Oktober

Statistiek voor A.I. College 9. Donderdag 11 Oktober Statistiek voor A.I. College 9 Donderdag 11 Oktober 1 / 48 2 Deductieve statistiek Bayesiaanse statistiek 2 / 48 Reistijd naar college (minuten). Jullie - onderzoek Tim Histogram of CI Frequency 0 1 2

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:

Nadere informatie

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2. Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

De Wachttijd-paradox

De Wachttijd-paradox De Wachttijd-paradox Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Mastercourse 15 november 25 Peter Spreij spreij@science.uva.nl 1 Het probleem In deze mastercourse behandelen

Nadere informatie

Alleen deze bladen inleveren! Let op je naam, studentnummer en klas

Alleen deze bladen inleveren! Let op je naam, studentnummer en klas Naam: Studentnummer: Klas/groep: HvA-HES Amsterdam, Fraijlemaborg 133, 1102 CV Amsterdam Postbus 22575, 1100 DB Amsterdam Nummer Studiegids: Code onderwijseenheid: 1012_KM1-T2 KM1VPAFE01 Toets 2 Versie

Nadere informatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Wisnet-hbo Verwachtingswaarde update maart 200 De verwachtingswaarde van een kansvariabele is een soort gemiddelde waarde. Deze wordt aangeduid met E(k)

Nadere informatie

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur Toets 3 Calculus voor MST, 450CALCY donderdag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer)

Nadere informatie