Introductie tot traditionele herverzekering

Transcriptie

1 Introductie tot traditionele herverzekering Module AN17 Schadeverzekering 26 maart 2012 Nico de Boer

2 Lesindeling onderdeel herverzekering Datum Te behandelen 19 maart Hoofdstuk 3 - Theorie Hoofdstuk 3 Opgaven 26 maart Hoofdstuk 4 Theorie Hoofdstuk 4 Opgaven 2

3 Agenda Vandaag Tarifering voor herverzekering Methodes bepaling schadelast Tarifering herverzekering Opgaven HF4 Examenopgave mbt HF4 3

4 Tarifering voor herverzekering Wat is de theorie achter de premieberekening (veel kansrekening) Hoe wordt de premie afgeleid voor de vorige week behandelde contracten 4

5 Tarifering herverzekering Algemene formule voor tarifering alle herverzekeringvarianten P(ZT) = g (µ ZT ) + r(zt) g (µ ZT ) is een functie van de verwachtingswaarde r(zt) is een risico opslag (% maal St. Dev) 5

6 Bepaling totale schadelast Methodes voor de bepaling van de totale schadelast (verdeling+verwachting + variantie) Convolutie (vb syllabus) Collectieve model (vb syllabus) Simulatietechnieken Burning cost methode (blz 128 / opgave 4.2) Pay back period 6

7 Convolutie Het stapsgewijs samennemen van de kansverdelingen van de individuele polissen Methode is theoretisch exact maar voor de praktijk veel te bewerkelijk 7

8 Convolutie Kansverdeling twee polissen samenvoegen Voorbeeld uit Syllabus blz 109 Totale schadebedragen Polis ,90 0,05 0,05 2 0,80 0,10 0, ,720 0,130 0,135 0,010 0,005 P[50.000] => 0,90 x 0,10 + 0,05 x 0,80 + 0,05 x 0,10 = 0,135 P[75.000] => 0,05 x 0,10 + 0,05 x 0,10 = 0,010 P[ ] => 0,05 x 0,10 = 0,005 Let op. Check dat 0, , , , ,005 = 1 8

9 Collectieve model Als de Verwachting en Variantie van X en N bekend zijn weten we ze ook van de totale Schadelast S Verwachting en Variantie van totale schadelast S Individuele schades onafhankelijk en alle stochasten X i hebben dezelfde kansverdeling Verwachting E[S]=E[X]. E[N] µ S = µ X. µ N Variantie Var[S]=E[N]. Var[X]+E[X] 2. Var[N] Var[S]= µ N. σ 2 X + µ 2 X. σ 2 N 9

10 Quota share + Surplus De herverzekeringsuitkering(zi) is gelijk aan de quote (α) maal de schadelast van een verzekeringspost (Xi) Z i = α X i EZ [ ] = E[ α X] = α EX [ ] Var Z = Var α X = α Var X 2 [ ] [ ] [ ] Surplus: Eerst de Quote (α) bepalen met onderstaande formule min herverzekeringscapaciteit ; verzekerde som eigen behoud verzekerde som ( ) Vervolgens is Surplus gelijk aan Quota Share 10

11 Tarifering herverzekering Proportionele herverzekering (QS & Surplus) g (µ ZT ) = (1+θ) x α x µ S =(1+θ) x µ ZT r(zt) = 0 => vrij af te spreken opslagen Tarief afhankelijk van Quota, verwachting schadelast en een kostenopslag 11

12 Excess-of-loss Herverzekeringsuitkering(Z) is afhankelijk van schadelast verzekeringspost(x) en eigen behoud(d) Z 0 X d = ( X d) X > d 12

13 Excess-of-loss Eigen behoud van

14 Excess-of-loss E[ZT]=0,4 x = Var[ZT]= µ N. σ 2 Z + µ 2 Z. σ 2 N = 0,40 x x 0,40 =

15 Stop Loss Stop Loss heeft betrekking op een hele portefeuille Geen eenvoudige kansverdeling af te leiden Het gaat om totale schadelast (S) ZT 0 S d = ( S d) S > d 15

16 Tarifering herverzekering Niet proportionele herverzekering g (µ ZT ) = (1+θ) x µ ZT r(zt) = γ x σ ZT of r(zt) = γ x σ ZT 2 Tarief afhankelijk van verwachting schadelast, kostenopslag en risico-opslag Vervolg Voorbeeld XL: 1,10 x x =

17 Burning Cost Bepaal kansverdeling van de herverzekeringsuitkering Schatter verwachtingswaarde van de herverzekeringsuitkering is gelijk aan het gemiddelde van de fictieve kosten van de herverzekeringskosten per schadejaar Schaderatio uitdrukken in bijv. bruto premie Geen info over risicoprofiel portefeuille Toelichting te vinden op blz opgave

18 Payback period Gebruiken bij moeilijk verkrijgen van risico-informatie Bepaal maximaal aannemelijke uitkering en verwachte terugkeertijd Onnauwkeurige methode Tarief: maximaal aannemelijke uitkering verwachte terugkeertijd Voorbeeld: Max. Uitkering = Verw. Terugkeertijd = 1 x in 25 jaar Tarief = / 25 =

19 Opgave 4.3a Kans op schade = 0,2 en heeft betrekking op één verzekerd object Binomiaal (1,p) = Bernoulli (p) Verwachting = n x p = 1 x 0,2 = 0,2 Variantie = n x p x (1-p) = 1 x 0,2 x 0,8 = 0,16 Elke schade is Uniform verdeeld tussen 0 en f(x) = 1/(b-a) => a=0 en b= Verwachting = =>(a+b) / 2 of met integraal Variantie = => (b-a) 2 /12 of met integraal Eigen behoud van

20 Opgave 4.3a Toepassen van volgende formules Verwachting = µ X. µ N Variantie= µ N. σ 2 X + µ 2 X. σ 2 N Verwachting = 0,2 x = Variantie = 0,2 x x 0,16 = St. dev = Wortel ( ) =

21 Opgave 4.3b Kans op schade = 0,2 x 0,25 = 0,05 Verwachting = n x p = 1 x 0,05 = 0,05 Variantie = n x p x (1-p) = 1 x 0,05 x 0,95 = 0,0475 Herv. Schade Uniform verdeeld met 0 en Verwachting = Variantie = Verwachting= 0,05 x = 625 Variantie= 0,05 x x 0,0475 = ,65 St. dev=

22 Opgave 4.3c Kans op schade = 0,2 opnieuw geldt Verwachting = n x p = 1 x 0,2 = 0,2 Variantie = n x p x (1-p) = 1 x 0,2 x 0,8 = 0,16 Schade tot eigen behoud is Uniform verdeeld met 0 en Daarnaast is er een kans van 25% dat je een bedrag van moet betalen indien schade groter is dan het eigen behoud Verwachting = x/ Integraal over (0, )+ 25% x = Variantie = x 2 / Integraal over (0, ) + 25% x = Verwachting totaal= 0,2 x = Variantie totaal= 0,2 x x 0,16 = St. dev=

23 Tent. November 2008 Opgave 3 D Branche A Verwachte schade=75% x % x % x 500 = 42,5 Variantie schade= 75% x % x % x ,5 2 = St. dev schade= =106 Verwachte herv. Schade = 28,75 Variantie herv. Schade = St. dev schade=103 Premie = 28, % x 103 = 28, ,75 = 54,5 23

24 Tent. November 2008 Opgave 3 E mogelijke schades 10+5 =15 75% x 75% = 56,25% =35 75% x 20% = 15,00% 5+50 =55 75% x 20% = 15,00% =75 20% x 20% = 4,00% =310 75% x 5% = 3,75% =350 20% x 5% = 1,00% =505 75% x 5% = 3,75% =525 20% x 5% = 1,00% =800 5% x 5% = 0,25% 24

25 Overige zaken Probeer het praktische voorbeeld uit de syllabus goed te begrijpen Winstcommissie en Verliescompensatie Tentamen op 5 april

26 Introductie tot traditionele herverzekering Module AN17 Schadeverzekering 26 maart 2012 TOEVOEGING KANSREKENING

27 Basisbegrippen Statistiek Stochast/Random Variable X Kansdichtheidsfunctie f x () => pdf Cumulatieve verdelingsfunctie F x () => cdf Verdelingen kennen voor examen: Normaal(μ, σ 2 ) Uniform(a,b) Binomiaal(n,p) => Bernoulli(1,p) dus n=1 Poisson(λ) 27

28 Basisbegrippen Statistiek Verwachtingswaarde =>E[X] = μ x Variantie =>Var[X] = σ x 2 = E[X 2 ] -/- E[X] 2 Stel we hebben een functie van een stochast X: αx Verwachtingswaarde E[αX] => α. E[X] Variantie Var[αX] => α 2. Var[X] 28

29 Basisbegrippen Statistiek Afleiding verwachtingswaarde en tweede moment uit verdeling E( X ) = x f ( x) dx Steekproefvariantie 1 n 2 s = xi x n 1 i= E( X ) x f ( x) dx ( ) 2 = 29

30 Kansdichtheidsfunctie Voorbeeld van kansdichtheidsfuncties Discreet Continue Kans Schadelast 30

31 Definities syllabus Xi = schadelast van een verzekeringspost F X () is de kansverdelingsfunctie met verwachtingswaarde µ X standaarddeviatie σ X N = aantal positieve schades F N () is de kansverdelingsfunctie met verwachtingswaarde µ N standaarddeviatie σ N S = schadelast van de totale verzekeringsportefeuille F S () is de kansverdelingsfunctie met verwachtingswaarde µ S standaarddeviatie σ S 31

32 Definities syllabus Zi = herverzekeringsuitkering van een verzekeringspost F Z () is de kansverdelingsfunctie met verwachtingswaarde µ Z standaarddeviatie σ Z ZT = totale herverzekeringsuitkering F ZT () is de kansverdelingsfunctie met verwachtingswaarde µ ZT standaarddeviatie σ ZT Yi = schade eigen rekening van een verzekeringspost F Y () is de kansverdelingsfunctie met verwachtingswaarde µ Y standaarddeviatie σ Y YT = totale schade eigen verzekering F YT () is de kansverdelingsfunctie met verwachtingswaarde µ YT standaarddeviatie σ YT 32

33 Collectieve model Als de Verwachting en Variantie van X en N bekend zijn weten we ze ook van de totale Schadelast S Verwachting en Variantie van totale schadelast S Individuele schades onafhankelijk en alle stochasten X i hebben dezelfde kansverdeling Verwachting E[S]=E[X]. E[N] µ S = µ X. µ N Variantie Var[S]=E[N]. Var[X]+E[X] 2. Var[N] Var[S]= µ N. σ 2 X + µ 2 X. σ 2 N 33