module SC 12 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur

Transcriptie

1 module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur

2 Examen module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 Voordat u met de beantwoording van de vragen van dit examen begint, wijzen wij u o de volgende unten die van belang zijn: Secifiek voor dit examen 1. Dit examen bestaat uit 3 ogaven.. Per ogave is aangegeven hoeveel unten u maximaal kunt behalen. Wanneer een ogave uit meer onderdelen bestaat, is de normering uitgeslitst er onderdeel. 3. U kunt voor dit examen maximaal 100 unten behalen. Met een score van 55 unten of meer bent u geslaagd. Algemene examenrocedure 1. U dient de ogaven in de aangegeven volgorde te beantwoorden en het betreffende nummer duidelijk bij het antwoord te vermelden.. De antwoordvellen dient u doorloend te nummeren, te beginnen met nummer Alle antwoordvellen die ingeleverd worden moeten alleen voorzien zijn van uw examennummer, uw tafelnummer en het modulenummer (zie de informatie o de uitnodiging). O de antwoordvellen dus niet uw naam vermelden. 4. Na afloo van het examen dient u alle antwoordvellen en de examenogave(n) direct in te leveren. 5. De in het examenreglement van het Actuarieel Instituut vastgelegde regels en rocedures zijn o dit examen van toeassing. 6. De auteursrechten van dit examen berusten bij het Actuarieel Instituut. 7. De uitslag van dit examen wordt binnen vijf weken schriftelijk aan u bekend gemaakt. Er wordt geen mondelinge informatie verstrekt over de uitslag. 8. Het Actuarieel Instituut wenst u veel succes!

3 Ogave 1 (40 unten) De schade X i er gebeurtenis is ex(β) verdeeld, met β = 1. Het aantal schades N is geometrisch() verdeeld met = 0,. (4) a. Geef de verwachtingswaarde en de variantie van zowel X i als van N. De totale schade S van dit schaderoces is gelijk aan N S X. i 1 i (4) b. Bereken de verwachtingswaarde en de variantie van S. (6) c. Toon aan dat de momentgenererende functie (mgf) van S gelijk is aan: t ms t t Deze mgf kan worden geschreven als: ms t 1 t. Dit hoeft u niet aan te tonen. (6) d. Beaal de kansverdeling van S. (6) e. Bereken de kans dat S kleiner is dan 1. Rond uw antwoord af o vier cijfers achter de komma. (10) f. Bereken de 3 e cumulant en de scheefheid van S. Rond de waarde van de scheefheid af o vier cijfers achter de komma. Veronderstel nu dat de schadegrootte X i discreet verdeeld is, waarbij negatieve schades niet mogelijk zijn. Het aantal schades is nog steeds geometrisch() verdeeld. (4) g. Is het mogelijk om met behul van Panjers Recursieformule de kansverdeling van S uit te rekenen? Motiveer uw antwoord. 3

4 Ogave (35 unten) Voor een schadeverdeling S die Gamma(α;β) verdeeld is met verdelingsfunctie G(s;α;β), met s 0, kan worden afgeleid dat de stolossremie van S met d > 0 gelijk is aan: ES ( d) 1 Gd ( ; 1; ) d1 Gd ( ; ; ) Veronderstel nu de schadeverdeling S als boven met α = 0,64 en β = 0,0016. Een verzekeraar biedt een stolossverzekering aan bij retentie 1,5 E(S). (1) a. Beaal de benodigde remieoslag odat de kans o ontoereikendheid van de stolossremie maximaal gelijk is aan 15%. Maak daarbij gebruik van de tabellen in de bijlage. In de Stoloss-theorie kan voor stochasten U en W, waarbij voor U en W met kans 1 geldt dat U 0 en W 0, en dat EU ( ) E(W), de volgende benadering worden afgeleid: E[( U t) ] ( t) Var[ U] E[( W t) ] ( t) Var[ W] () b. Hoe ziet de benadering eruit voor t? Na hernieuwde inschatting blijkt de schade beter in te schatten met schadeverdeling S* waarvan de verwachting 400 is en de standaarddeviatie gelijk is aan 600. (6) c. Geef een benadering van de stolossremie E(S* d) + van S* met retentie d = 1,5 E(S*). In deze ogave wordt vanaf nu gekeken vanuit het oogunt van de verzekerde. Veronderstel dat een verzekerde een nutsfunctie u(.) heeft en beginkaitaal w, en dat de verzekerde een stolosscontract wil afsluiten ter dekking van schade S bij retentie d. (6) d. Beschrijf de nutsevenwichtsvergelijking voor de bealing van de maximale remie P + in het kader van een stolosscontract dat de verzekerde wil afsluiten. (4) e. Beaal de verwachte schade eigen rekening van de verzekerde en ga daarbij uit van dat de schade S net als in ogave a, Gamma(α = 0,64; β = 0,0016) verdeeld is, en dat de retentie gelijk is aan d = 1,5 E(S). Voor willekeurige schade eigen rekening X met E(X) = μ en Var(X) = σ en risicoaversiefunctie r(.) kan worden afgeleid dat bij benadering geldt dat: P + = μ + ½r(w μ)σ. Neem aan dat de verzekerde een nutsfunctie u(w) = log(a + w) heeft, met w > a. (5) f. Beaal de risicoaversiefunctie r(w) van de verzekerde. 4

5 Ogave 3 (5 unten) (4) a. Geef voor een comound-poisson-risicoroces de definitie van het ruïnegetal. Veronderstel nu dat voor een comound-poisson(λ)-risicoroces S geldt dat de schade X wordt gegeven door de kansdichtheid: x 4x ( x) e e, x 0 X Verder is gegeven dat E(S) = 10, Var(S) = 17. (8) b. Beaal α, β, en λ. Het ruïnegetal voor bovenstaand comound-poisson-risicoroces is gelijk aan 1 / 4. (6) c. Beaal de veiligheidsoslag in de remie. Ga nu uit van een ander comound-risicoroces waarbij de schade Y exonentieel verdeeld is met verwachting 1 / 5. (7) d. Beaal de ruïnekans ψ van het risicoroces, waarbij het beginkaitaal gelijk is aan 15 en er een veiligheidsoslag van 0% wordt gehanteerd. 5

6 Bijlagen Verdelingsfunctie Gammaverdeling Parameter α 0,64 1,64 β 0,0016 0,0016 s G(s;α;β) G(s;α;β) 0 0,000 0, ,140 0, ,14 0, ,74 0, ,34 0, ,368 0, ,408 0, ,443 0, ,476 0, ,506 0, ,533 0, ,559 0, ,583 0, ,605 0, ,66 0, ,645 0, ,663 0, 45 0,680 0, ,696 0, ,71 0, ,76 0,9 55 0,739 0, ,75 0, ,764 0, ,776 0, ,786 0, ,796 0, ,806 0, ,815 0, ,84 0, ,83 0, ,840 0, ,848 0, ,855 0, ,861 0, ,868 0, ,874 0, ,880 0, ,885 0, ,890 0, ,895 0,59 6

7 Parameters α 0,64 β 0,0016 G 1 (s;α;β). s. 8% 10,3 10% 14,69 1% 19,63 14% 5,11 16% 31,11 18% 37,63 0% 44,67 % 5, 4% 60,8 6% 68,88 8% 78,00 30% 87,68 3% 97,93 34% 108,76 36% 10,0 38% 13,7 40% 145,01 4% 158,44 44% 17,6 46% 187,57 48% 03,36 50% 0,04 5% 37,66 54% 56,31 56% 76,07 58% 97,03 60% 319,31 6% 343,0 64% 368,33 66% 395,40 68% 44,45 70% 455,7 7% 489,5 74% 56,1 76% 566,6 78% 610,6 80% 658,95 8% 713,3 84% 774,73 86% 845,07 88% 97,1 90% 1.05,0 9% 1.146,58 94% 1.304,94.. 7

8 8

9 9

10 10

11 Uitwerkingen examen SC 1 7 november 013 Ogave 1 (40 unten) E X 1 1 1; var X ; var N 0 (4) a. E N var S E Xvar Nvar XEN (4) b. ES EX EN 11 mx t 11 t t t t 1 t (6) c. ms t mnlnmx t m S t (6) d. De mgf kan worden geschreven als: m t m t 1 m t met m t 1 en m t S1 S t S S1 S Hieruit volgt dat S geschreven kan worden als: 1 met P(I = 1) = en P(I = 0) = 1. S IS I S 1 De stochasten S 1 en S kunnen worden beaald omdat hun momentgenererende functies bekend zijn. Er geldt: S 1 = 0 en S ~ ex(β) PS1 1 PS FS 1 ex 1 ex 1 Hieruit volgt dat PS 1 1ex = 0,3450. (6) e. P S P S PI 1P S PI 0 en 1

12 (10) f. De derde cumulant van S kan o twee manieren worden berekend. De examenkandidaten hoeven slechts één methode te gebruiken. Methode 1: Differentieer de moment genererende functie van S twee, resectievelijk drie keer en vul dan nul in. Dit geeft het e en het 3 e moment van S. Het eerste moment is al bekend, zie onderdeel a. Gebruik deze momenten om de 3 e cumulant van S uit te rekenen. Methode : Stel de cumulant genererende functie van S o, differentieer deze 3 keer, en vul dan nul in. Dit geeft rechtstreeks de 3 e cumulant van S zonder dat de momenten berekend worden. Uitwerking methode 1: m t 1 t S 1 3 S S 1 1 m t t m t t E S E S E S S E S E S E S E S Uitwerking methode : t ln S ln t ln t t t 1 1 S t t t S t t 3 3 t S t S Met de variantie van S (zie onderdeel b) vinden we dan: 3 1 S, (4) g. Ja, dit is mogelijk. De geometrische verdeling is een seciaal geval, namelijk met r = 1, van de negatief binomiale verdeling. De algemene vorm van Panjers Recursieformule kan gebruikt worden als het aantal schades negatief binomiaal verdeeld is, zie formule (3.7) van Modern Actuarial Risk Theory.

13 Ogave (35 unten) (1) a. P((S d) + > E(S d) + + oslag) = 15% ofwel: 1 ( ) 15% gtdt d ( d) oslag d ( d ) oslag gtdt 0 ( ) 85% {interoleren tussen 84% en 86%} 809,90 π(d) = E(S d) + = E(S)[1 G(d = 500; α = 1,64; β = 0,0016)] d[1 G(d = 500; α = 0,64; β = 0,0016)] = 145,98 Dus oslag is: 809,90 d π(d) = 809, ,98 = 16,66. () b. E[( U t) ] Var[ U] E[( W t) ] Var[ W] (6) c. Maak gebruik van de benadering uit ogave b want E(S) = E(S*) en t = 1,5 E(S*) dus: E(S* d) + = E(S d) + var(s*)/var(s) = 145,98 (600 / 500) = 10,1 (6) d. E[u(w S)] = E[u(w (S (S d) + ) P + )] (4) e. ES ( ( Sd) ) ES ( ) ES ( d) [1 Gd ( ; 1; )] d[1 Gd ( ; ; )] ,98 54,0 (5) f. r(w) = u(w) / u(w) u(w) = (a + w) 1, u(w) = (a + w). Dus r(w) = (a + w) / (a + w) 1 = (a + w) 1 3

14 Ogave 3 (5 unten) (4) a. Voor een comound Poisson-risicoroces is het ruïnegetal R bij schades X 0 met E[X] > 0 de ositieve olossing van de volgende vergelijking in r: 1 + (1 + θ) E[X]r = m X (r), waarbij θ de veiligheidsoslag is. x x (8) b. Er geldt 1 X ( x) dx e dx e dx { 1, 4} 1 4, x X x EX [ ] x ( xdx ) xe dx xe dx x x x x xe e xe e dx dx x x e e { 1, 4} 16 x x X x x x x EX [ ] x ( xdx ) xe dx xe dx xe xe xe xe dx dx x x x x xe e xe e 0 dx 0 dx x x e e { 1, 4} E(S) = E(N) E(X) = = 16 = 10 var(s) = E(X ) = 3 3 = 3 = 17 Hieruit volgt = 16, = ½ en =. (6) c. Voor het ruïnegetal R geldt 1 + (1 + θ) E(X)R = m X (R).(*) en daarbij: mx ( r) r r 1r 4r 1 10 EX [ ] Vervolgens is met het gegeven dat R= 1 / 4 de veiligheidsoslag θ uit (*) o te lossen, dat geeft: θ = 0,8 (= 7 / 5 ). 4

15 (7) d. Voor het ruïnegetal R geldt 1 + (1 + θ) E(Y)R = m Y (R).(*) 5 E(Y) = 1/5. Y~ ex(5) dus mx ( r) 5 r 1 + (1 + θ) E(Y)R = m Y (R) {R > 0} R = θ / ((1 + θ) E(Y)) Dus R = 5 / 6 Ru 1 Ru 5 1,5 ( u) (0) e e e 1 6 5