Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Transcriptie

1 Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica Hfdstk 5: 1 / 62 Hfdstk 5: 2 / 62 Bernoulli verdeling Bernoulli verdeling Een stochast X heeft een Bernoulli verdeling met parameter p als de kansmassafunctie f (k p) = P(X = k) van X gelijk is aan p, als k = 1, f (k p) = (1 p), als k =,, anders. We kunnen de kansmassafunctie ook compacter opschrijven als { p k (1 p) 1 k, als k =, 1, f (k p) =, anders. Toepassing Een Bernoulli verdeling komt overeen met de uitslag van een enkelvoudig experiment met kans p op succes (X = 1), en kans 1 p op mislukking (X = ). Voorbeeld Werpen met een zuivere of onzuivere munt (Success == Kop) Enkele eigenschappen E(X) = p, E(X 2 ) = p, Var(X) = p(1 p), MGF: ψ(t) = pe t + (1 p) Vaak wordt 1 p wel als q aangegeven (ook in boek!). Hfdstk 5: Bernoulli verdeling 3 / 62 Hfdstk 5: Bernoulli verdeling 4 / 62

2 Verdelingen: Binomiaal verdeling Binomiaal verdeling: Toepassingen Binomiaal verdeling Een stochast X heeft een binomiaal verdeling met parameters n en p als zijn kansmassafunctie f (k n, p) = P(X = k) gelijk is aan ( ) n p k (1 p) n k, als k =, 1,..., n, f (k n, p) = k, anders. Notatie: X Bin(n, p). Een binomiaal verdeling met parameters n en p komt overeen met het aantal successen in n o.o. deelexperimenten, met ieder deelexperiment kans p op succes en kans 1 p op mislukking. Eigenschappen De som van n o.o. Bernoulli verdeelde stochasten met parameter p is een binomiaal verdeelde stochast met parameters n en p. E(X) = np, Var(X) = np(1 p), MGF: ψ(t) = ( pe t + (1 p) ) n Als de o.o. stochasten X i Bin(n i, p), voor i = 1,..., k, en we definiëren X = X X k, dan geldt X Bin(n n k, p). Hfdstk 5: Binomiaal verdeling 5 / 62 Hfdstk 5: Binomiaal verdeling 6 / 62 Binomiaal verdeling: Kansmassafunctie Voorbeelden van de kansmassafuncties van 3 binomiale verdelingen met parameters n = 1 en p =.1, respectievelijk.3, en.5 zien er als volgt uit: Wat hebben de volgende stochasten gemeen? ".1" ".3" ".5" Het aantal klanten per uur in de SPAR. Het aantal printjobs per uur op de printer laser5. Het aantal zieke bomen in een hectare bos Hfdstk 5: Binomiaal verdeling 7 / 62 Hfdstk 5: Poisson verdeling 8 / 62

3 Poisson verdeling: Eigenschappen Poisson verdeling Een stochast X heeft een Poisson verdeling met verwachting λ > als de kansmassafunctie f (k λ) = P(X = k) gelijk is aan e λ λ k, als k =, 1, 2,..., f (k λ) = k!, anders. Notatie: X Poisson(λ). De verwachting van X is inderdaad λ: E ( X ) = kf (k λ) = λ k= k=1 e λ λ k 1 (k 1)! = λ l= e λ λ l l! = λ Met een soortgelijke truc kunnen we de variantie van X uitrekenen. We schrijven E ( X(X 1) ) = λ 2 en dus is E ( X 2) = λ 2 + λ en Var(X) = E ( X 2) ( E ( X )) 2 = λ Hfdstk 5: Poisson verdeling 9 / 62 Hfdstk 5: Poisson verdeling 1 / 62 Poisson verdeling: Kansmassafunctie Poisson verdeling: MGF en Additieve eigenschap De kansmassafuncties van een Poissonverdeling met verwachting respectievelijk λ =.5, 1 en 5, zien er als volgt uit ".5" "1" "5" MGF Stelling ψ(t) = e λ(e t 1) Als de stochasten X 1,..., X n o.o. zijn en X i is Poisson verdeeld met verwachting λ i, en we definiëren Y = X X n, dan heeft Y een Poisson verdeling met verwachting λ λ n Hfdstk 5: Poisson verdeling 11 / 62 Hfdstk 5: Poisson verdeling 12 / 62

4 Poisson verdeling: Toepassingen Toepassingen De Poisson verdeling is heel geschikt om het binnenkomen van klanten te modelleren. Bekijk de volgende model voor een winkel: Per uur komen er gemiddeld 2 klanten De aantallen klanten in afzonderlijke uren zijn o.o. Het aantal klanten in een uur is Poisson verdeeld Wanneer we willen weten hoe het aantal klanten in een periode van 3 uur verdeeld is, dan volgt uit de additieve eigenschap van de Poisson verdeling: Het aantal klanten in 3 uur heeft een Poisson verdeling met gemiddelde 6. Het modelleren van binnenkomende klanten kent toepassingen als bijvoorbeeld: Het aantal calls per uur in een callcenter Het aantal printjobs per dag voor een printserver Het aantal klanten per kwartier bij de kassa van de Spar. Het aantal gesprekken per uur in een telefooncentrale Het aantal defecte chips op een wafer Het aantal zieke bomen per ha bos Hfdstk 5: Poisson verdeling 13 / 62 Hfdstk 5: Poisson verdeling 14 / 62 Vraag Nauw verwant aan de Poisson verdeling is het Poisson proces. Poisson proces Een Poisson proces met intensiteit λ is een proces van events, waarvoor geldt: Het aantal events in een tijdsinterval met een lengte t heeft een Poisson verdeling met verwachting λ t. De aantallen events in twee disjuncte tijdsintervallen zijn onderling onafhankelijk. Bekijk het volgende model voor een webserver van een verzekeringsmaatschappij: session requests web server page requests Vraag: Vormen de page requests een Poisson proces voor de webserver? Hfdstk 5: Poisson proces 15 / 62 Hfdstk 5: Poisson proces 16 / 62

5 Voorbeeld (Helpdesk callcenter) Vragen komen binnen volgens Poisson proces met gemiddelde 1 per uur, 6% van de vragen betreft hardware, 4% van de vragen betreft software. Men overweegt om de software en hardware helpdesks te splitsen door ze aparte telefoonnummers te geven. Wat voor proces vormen de binnenkomst van vragen bij de afzonderlijke helpdesks? Antwoord Het oorspronkelijke proces is een Poisson proces met intensiteit λ = 1. Neem een tijdsinterval met lengte t > en noem X = het totale aantal hardwarevragen in het interval [, t]. Y = het totale aantal softwarevragen in het interval [, t] Z = het totale aantal helpdeskvragen in het interval [, t] (X, Y, Z) is een stochastische vector, met Z = X + Y heeft een Poisson verdeling heeft met verwachting λt, Als gegeven is dat Z = n, dan is X Bin(n,.6) en Y Bin(n,.4). Hfdstk 5: Poisson proces 17 / 62 Hfdstk 5: Poisson proces 18 / 62 Voorbeeld (vervolg) We gaan berekenen: f Z (z) g X Z (k z) f X (k) De marginale kansmassafunctie f Z van Z is λt (λt)l P(Z = l) = f Z (l) = e l! De conditionele kansmassafunctie voor X, gegeven Z = n is g X Z (k n) = ( ) n k p k (1 p) n k De marginale kansmassafunctie van X kunnen we nu uitrekenen met de rekenregel van Totale Kans uit Hoofdstuk 3: (pλ)t (pλt)k f X (k) = e k! Geometrische verdeling Beschouw een experiment waarbij we een bepaald Bernoulli deelexperiment herhalen totdat we voor de eerste keer een succes kunnen noteren. De kans op succes per deelexperiment is p, ( < p 1). De kans dat voor de eerste keer succes optreedt bij het eerste deelexperiment is p, tweede deelexperiment is (1 p) p, derde deelexperiment is (1 p)(1 p) p,... n-de deelexperiment is (1 p) n 1 p. Noem X het aantal mislukte deelexperimenten voordat we voor de allereerste keer een succes hebben. We zien dus X Poisson(pλt). Hfdstk 5: Poisson proces 19 / 62 Hfdstk 5: Geometrische verdeling 2 / 62

6 Geometrische verdeling: Kansmassafunctie Geometrische verdeling Een stochast X heeft een geometrische verdeling met parameter p als de kansmassa f (k p) = P(X = k) gelijk is aan f (k p) = Notatie X Geom(p). { p(1 p) k, als k =, 1, 2,...,, anders. De geometrische verdeling voor parameter p =.3, resp..5 en.7 ziet er uit als: ".7" ".5" ".3" Hfdstk 5: Geometrische verdeling 21 / 62 Hfdstk 5: Geometrische verdeling 22 / 62 Momenten en MGF Geometrische verdeling: Geheugenloosheid De verwachting van een geometrisch verdeelde stochast X 1 is E ( X 1 ) = 1 p p en de variantie is Var(X 1 ) = 1 p p 2 De MGF: ψ(t) = p 1 qe t Neem X een stochast met een geometrische verdeling met parameter p, voor een zekere p < 1. Vraag: Wat is de kans P(X = n X k)? Antwoord: P(X = n X k) = P(X = n X k) P(X k) Als n < k dan krijgen we dus P(X = n X k) =. Als n k, dan krijgen we P(X = n X k) = P(X = n) P(X k) = p(1 p)n (1 p) k = p(1 p) n k Vraag: Wat is de kans P(X k = n X k)? Hfdstk 5: Geometrische verdeling 23 / 62 Hfdstk 5: Geometrische verdeling 24 / 62

7 Negatief-binomiale verdeling Normale Verdeling Er bestaat ook een uitgebreidere variant van de Geometrische verdeling: Noem X het aantal deelexperimenten uitgevoerd voordat het r-de succes wordt waargenomen, als elk deelexperiment met kans p succes oplevert. X heeft een zogenoemde negatief-binomiale verdeling met parameters r en p. Voor meer info: zie boek! De normale verdeling is wellicht dé belangrijkste verdeling uit de kansrekening, en wel om drie redenen: Natuurlijke verschijnselen. Interessante rekenkundige eigenschappen. Centrale limietstelling. Hfdstk 5: Geometrische verdeling 25 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Inleiding 26 / 62 Normale verdeling: Kansdichtheidsfunctie Normale verdeling Een stochast X heeft een normale verdeling met verwachting µ ( < µ < ) en variantie σ 2 (σ > ), als X een continue verdeling heeft met kansdichtheidsfunctie f (x µ, σ 2 ) gelijk aan [ f (x µ, σ 2 1 ) = exp 1 ( x µ ) ] 2 2πσ 2 2 σ Notatie X N(µ, σ 2 ). De normale verdeling wordt ook vaak een Gauss verdeling genoemd, met name in de Engelstalige literatuur. De kansdichtheidsfunctie voor een normale verdeling met µ = en σ = 1, resp. 2 en 5 zien er als volgt uit: f (x) is symmetrisch rond x = µ f (x) is maximaal voor x = µ. f (x) heeft een knik bij x = µ ± σ Hfdstk 5: Normale verdeling Definitie 27 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Definitie 28 / 62

8 Eigenschappen Verwachting Variantie E ( X ) = µ Var(X) = σ 2 MGF ψ(t) = exp (µ t σ2 t 2) Stelling (Lineaire transformatie) Als X N(µ, σ 2 ) en we definiëren Y = ax + b, voor gegeven constanten waarbij a, dan is Als X N(µ, σ 2 ) en we nemen Y = (X µ)/σ, dan is Y N(, 1). Definitie (Standaard normale verdeling) Een stochast X heeft een standaard normale verdeling als X N(, 1). De kansdichtheid wordt vaak aangegeven met φ en de kansverdelingsfunctie met Φ, ofwel φ(t) = 1 2π e 1 2 x2 Φ(t) = P(X t) = t φ(x) dx Y N(aµ + b, a 2 σ 2 ) Hfdstk 5: Normale verdeling Eigenschappen 29 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Standaard normale verdeling 3 / 62 Standaard normale verdeling: eigenschappen Als X N(, 1) dan geldt: φ(t) is symmetrisch rond t =, dus P(X t) = P(X t), Φ( t) = 1 Φ(t), ofwel Φ(t) + Φ( t) = 1. φ(x) P(X -t) P(X t) -t t x Hfdstk 5: Normale verdeling Standaard normale verdeling 31 / 62 Normale verdelingen: berekeningen Voor de standaard normale verdeling bestaan tabellen van Φ: x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) Stel: we hebben X N(5, 4) en we willen P(1 < X < 8) berekenen. Kies Z = (X 5)/2, dan is Z N(, 1) en we kunnen berekenen: ( 1 5 P(1 < X < 8) = P < X 5 < 8 5 ) = P( 2 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) P(Z < 2) = Φ(1.5) Φ( 2) ( ) = Φ(1.5) 1 Φ(2) =.9332 (1.9773) =.915 Hfdstk 5: Normale verdeling Standaard normale verdeling 32 / 62

9 Normale verdelingen: Eigenschappen Steekproefgemiddelde uit normale verdeling Som van normaal verdeelde stochasten Veronderstel: X 1,..., X k zijn o.o. normaal verdeelde stochasten, met X i N(µ i, σi 2 ), en a 1,..., a k en b zijn constanten met minstens één a i, en we definiëren Y = a 1 X a k X k + b, dan heeft Y ook een normale verdeling en wel met verwachting µ Y = a 1 µ a k µ k + b en variantie σ 2 Y = a2 1 σ a2 k σ2 k. Als X 1,..., X k een steekproef vormen uit een normale verdeling met verwachting µ en variantie σ 2, dan is het steekproefgemiddelde X n = 1 ( ) X X n n ook een stochast die normaal verdeeld is en wel met verwachting µ Xn = µ en variantie σ 2 X n = σ2 n. Hfdstk 5: Normale verdeling Standaard normale verdeling 33 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Standaard normale verdeling 34 / 62 Steekproefgemiddelde: Voorbeeld In Hoofdstuk 4 zagen we een voorbeeld van een importeur van kazen. Neem aan dat het gewicht van elke kaas normaal verdeeld is met gemiddelde µ = 1 kg en variantie σ 2 =.25 kg 2. Voor een afzonderlijke kaas geldt: ( Xi 1 P(X i < 9.75) = P <.5 ) = Φ(.5) = We nemen een steekproef van 25 kazen: X i, i = 1, 2,..., 25. Voor het steekproefgemiddelde geldt nu: ( X25 1 P(X 25 < 9.75) = P <.1 ) = Φ( 2.5) =.62.1 Stelling (Centrale Limietstelling) Veronderstel X 1,..., X n zijn o.o. stochastische grootheden, die allemaal dezelfde verdeling hebben, met verwachting µ = E ( X i ), en variantie σ 2 = Var(X i ), dan geldt voor elke x R ( lim P n X n µ σ 2 /n x ) = Φ(x). ofwel, bij benadering als n, X n N (µ, σ2 ). n Hfdstk 5: Normale verdeling Standaard normale verdeling 35 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Centrale Limietstelling 36 / 62

10 Voorbeeld Stochastische variabele X N(, 25): Voorbeeld Stochastische variabele X met gemiddelde µ = en σ = 5:.4 x 25.4 x 25.3 x 1 x.3 x 1 x Hfdstk 5: Normale verdeling Centrale Limietstelling 37 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Centrale Limietstelling 38 / 62 Opmerkingen De Centrale Limietstelling eist alleen dat alle X i o.o. en identiek verdeeld zijn. We kunnen zeggen dat X n N(µ, σ 2 /n), als n, of dat n X i N(nµ, nσ 2 ) als n. i=1 We kunnen de tabellen voor de standaardnormale verdeling gebruiken om benaderingen voor de kansverdelingsfunctie van X n uit te rekenen. Voor willekeurig x 1 en x 2 (x 1 < x 2 ) geldt bijvoorbeeld dat ( P x 1 < X ) n µ σ/ n x 2 Φ(x 2 ) Φ(x 1 ) als n voldoende groot. Voorbeeld Stel we werpen 1 maal met een zuivere dobbelsteen. We noemen het aantal ogen in de i-de worp X i en X = X X 1. Vraag: Hoe groot is de kans P(X > 36)? Antwoord De verwachting en de variantie van X i zijn µ Xi = E ( X i ) = 3.5 en σ 2 Xi = Var(X i ) = Uit de Centrale Limietstelling volgt bij benadering X N(35, 292) De gevraagde kans is dus bij benadering P(X > 36) =? Hfdstk 5: Normale verdeling Centrale Limietstelling 39 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Centrale Limietstelling 4 / 62

11 Continuïteitscorrectie Veronderstel we hebben: discreet verdeelde stochast X met kansmassafunctie f (x) we benaderen met een continue verdeelde stochast Y met kansdichtheidsfunctie g(x). g(x) Belangrijk! Punten om in de gaten te houden als je een stochast X met een andere stochast Y wilt benaderen: Zorg voor E(X) = E(Y) en Var(X) = Var(Y) Als X discreet en Y continu, pas dan continuïteitscorrectie toe P(2 X 5) = f (2) + f (3) + f (4) + f (5) g(x) dx 1.5 Hfdstk 5: Normale verdeling Continuïteitscorrectie 41 / 62 Hfdstk 5: Normale verdeling Continuïteitscorrectie 42 / 62 Voorbeeld We gooien 2 keer met een zuivere munt en willen uitrekenen wat de kans is op 1 maal Kop. Antwoord Noem X het aantal keren Kop in die 2 worpen. X Bin(2, 1/2), met (tabel uit boek) P(X = 1) =.1762 Vraag: Benader P(X = 1) door X te benaderen met een normale verdeling. Gamma verdeling Een stochast X heeft een Gamma verdeling met parameters α > en β > als de kansdichtheidsfunctie f (x α, β) van X gelijk is aan f (x α, β) = 1 Γ(α) βα x α 1 e βx als x >, als x. waarbij Γ de Gamma functie is, d.w.z. Γ(α) = x α 1 e x dx. (Notatie X Gamma(α, β)) Hfdstk 5: Normale verdeling Continuïteitscorrectie 43 / 62 Hfdstk 5: Gamma Verdeling 44 / 62

12 Gamma verdeling: Plots kansdichtheid De Gamma functie heeft de volgende eigenschap die erg handig is bij de berekeningen aan de kansdichtheid van de Gamma verdeling: 1.8 alpha = 1., beta = 1. alpha = 2., beta = 1. alpha = 5., beta = alpha 2., beta =.5 alpha = 2., beta = 1. alpha = 2., beta = 1.5 alpha = 2., beta = Voor elke α > 1 geldt Γ(α) = (α 1)Γ(α 1) In het bijzonder Γ(1) = 1 en daarom is voor elke integer n 2: Γ(n) = (n 1)! Parameters De parameters hebben een naam die aanduidt welke rol ze spelen voor de kansdichtheidsfunctie: β : schaalparameter (Eng. scale parameter) 1/α : vormparameter (Eng. shape parameter) Hfdstk 5: Gamma Verdeling 45 / 62 Hfdstk 5: Gamma Verdeling 46 / 62 Gamma verdeling: Eigenschappen Verwachting: E ( X ) = α β Variantie: Exponentiële Verdeling (α = 1) Een stochast X heeft een exponentiële verdeling (Eng. exponential) met parameter β, als de kansdichtheidsfunctie f (x β) gelijk is aan β e βx als x >, f (x β) = als x. Var(X) = α β 2 MGF: ψ(t) = ( β ) α β t Additieve eigenschap Als de stochasten X 1,..., X k o.o. zijn en X i Gamma(α i, β), dan geldt voor de som X X k Gamma(α α k, β). Uit de eerdere afleidingen voor de Gamma verdeling volgt nu: E ( X ) = 1 β Var(X) = 1 β 2 ψ(t) = β β t Hfdstk 5: Gamma Verdeling Eigenschappen 47 / 62 Hfdstk 5: Gamma Verdeling Exponentiële verdelingen 48 / 62

13 Exponentiële verdeling: Geheugenloosheid Exponentiële verdeling: Toepassingen Stel we hebben een stochast X die exponentieel verdeeld is met parameter λ, dus P(X x) = ofwel P(X > x) = x x λe λt dt (x ). [ λe λt dt = e λt] t= = e λx t=x De exponentiële verdeling wordt veel gebruikt om de tijd te modelleren totdat een bepaalde gebeurtenis optreedt, bijvoorbeeld de tijd totdat een component defect raakt, de tijd nodig om een klant te helpen, de tijd tussen de aankomsten van twee opeenvolgende klanten. Er geldt P(X > x X > z) = e λ(x z), en dus ook P(X z > x X > z) = e λx! Hfdstk 5: Gamma Verdeling Exponentiële verdelingen 49 / 62 Hfdstk 5: Gamma Verdeling Exponentiële verdelingen 5 / 62 Verband Poisson proces en Exponentiële verdeling Combineren van Poisson processen In een Poisson proces met intensiteit λ zijn de tussenaankomsttijden exponentiëel verdeeld met parameter λ. Bewijs (schets) Neem een tijdsduur t >. Definieer X de tijd tot de eerste aankomst startend vanaf, en Y het aantal aankomsten in de periode [, t]. De volgende twee gebeurtenissen zijn equivalent: {X t} {Y 1} Y heeft een Poisson verdeling met parameter λ t, dus Eigenschap Veronderstel De stochasten X 1,..., X k zijn o.o. en X i heeft een exponentiële verdeling met parameter λ i, Definieer Y = min{x 1,..., X k }, Dan heeft Y een exponentiële verdeling met parameter λ = λ λ k. P(X t) = P(Y 1) = 1 P(Y = ) = 1 e λt Hfdstk 5: Gamma Verdeling Exponentiële verdelingen 51 / 62 Hfdstk 5: Gamma Verdeling Exponentiële verdelingen 52 / 62

14 Combineren van Poisson processen: Voorbeeld Een helpdesk callcenter handelt de gesprekken af voor 3 bedrijven. 1 Computerfabrikant, Poisson proces, intensiteit λ 1 =.1, 2 Printerfabrikant, Poisson proces, intensiteit λ 2 =.5, 3 Internetprovider, Poisson proces, intensiteit λ 3 =.7. Beschouw het moment onmiddellijk nadat een (willekeurig) gesprek is binnengekomen. De tijd tot de eerstvolgende gesprek van type 1 is exponentieel verdeeld met parameter λ 1, type 2 is exponentieel verdeeld met parameter λ 2, type 3 is exponentieel verdeeld met parameter λ 3, De tijd tot het eerstkomende gesprek (van willekeurige type) heeft exponentiële verdeling met parameter λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1.3. Volgens deze berekening kunnen we dus de som van een aantal Poisson processen vervangen door één Poisson proces met een intensiteit gelijk aan de som van de afzonderlijke intensiteiten: is equivalent met λ 1 λ 2 λ 3 λ 1 +λ 2 +λ 3 callcenter callcenter Hfdstk 5: Gamma Verdeling Exponentiële verdelingen 53 / 62 Hfdstk 5: Gamma Verdeling Exponentiële verdelingen 54 / 62 Beta verdeling: Voorbeelden kansdichtheidsfuncties Beta verdeling Een stochast X heeft een Beta verdeling met parameters α en β als de kansdichtheidsfunctie f (x α, β) gelijk is aan f (x α, β) = (Notatie: X Beta(α, β)) Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1, < x < 1,, anders. 1 Beta(.5,.5) Beta(1,1) Beta(2,.5) Beta(2,1) Beta(.5,2) Beta(2,2) 1 1 Hfdstk 5: Beta Verdeling 55 / 62 Hfdstk 5: Beta Verdeling 56 / 62

15 Momenten van de Beta verdeling Beta verdeling: Toepassing Met de speciale vorm van de kansdichtheidsfunctie van de Beta verdeling kunnen we de momenten rechtstreeks uitrekenen: = E ( X k) = 1 x k f (x α, β) dx = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) 1 x k x α 1 (1 x) β 1 dx Γ(α + β) Γ(α + k)γ(β) Γ(α)Γ(β) Γ(α + k + β) = α(α + 1) (α + k 1) (α + β)(α + β + 1) (α + β + k 1) Voor de verwachting en de variantie levert dit? Voorbeeld (Medicijnentest) Onbekende kans P op succes bij behandeling met Imipramine. Veronderstel: P Beta(α, β), met α = 1 en β = 1. Medicijn wordt o.o. uitgeprobeerd op 1 patiënten. Definieer: Stochast X i = 1, i = 1,..., 1, als het Imipramine succes oplevert, en X i = anders. X = X X 1. Vraag: Wat is de kansverdeling van P als we weten dat er onder die 1 patiënten bij 45 patiënten een succesvol effect van behandeling met Imipramine waarnamen? Ofwel wat is g P X (p 45)? Hfdstk 5: Beta Verdeling 57 / 62 Hfdstk 5: Beta Verdeling 58 / 62 Volgorde berekeningen: f P (p) g X P (45 p) f X (45) g P X (p 45) f P (p) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) pα 1 (1 p) β 1, voor < p < 1. ( ) 1 g X P (k p) = p k (1 p) 1 k, k =,..., 1. k f X (45) = = = 1 ( g X P (45 p) f P (p) dp ( ) 1 p Γ(α + β) (1 p) 45 Γ(α)Γ(β) pα 1 (1 p) β 1 dp ) Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) Γ(α + 45)Γ(β + 55) Γ(α + β + 1) Met behulp van Bayes volgt dan: g P X (p 45) = f X,P(45, p) f X (45) = = = g X P(45, p)f P (p) f X (45) ( 1 ) 45 p 45 (1 p) 55 Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) pα 1 (1 p) β 1 f X (45) Γ(α + β + 1) Γ(α + 45)Γ(β + 55) pα+45 1 (1 p) β+55 1, < p < 1. We waren gestart met α = β = 1. Ofwel, gegeven de uitkomst X = 45 de a posteriori verdeling voor P een Beta(46, 56)-verdeling Hfdstk 5: Beta Verdeling 59 / 62 Hfdstk 5: Beta Verdeling 6 / 62

16 Conclusies van medicijnenonderzoek Na bestudering van Hoofdstuk 5 moet je: Kansverdeling voor onbekende P: A priori: Beta(1,1) x 1 A posteriori: Beta(46,56) x 1 Uit een beschrijving kunnen distilleren welke verdeling het experiment het beste beschrijft. Gebruik: Discreet/Continu? Range voor uitkomst? Verdelingstype herkennen uit kansmassa/kansdichtheid-functie. Weten welke kansmassa/kansdichtheid-functie bij een verdeling hoort. Weten hoe je kansen uit kunt rekenen of opzoeken. Centrale limietstelling kunnen gebruiken om kansen te benaderen. Hfdstk 5: Beta Verdeling 61 / 62 Hfdstk 5: Beta Verdeling 62 / 62