Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)"

Transcriptie

1 Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt. De uitkomstenruimte S bestaat uit alle rijtjes van 4 symbolen die we kunnen kiezen uit {K, M}: KKKK KKKM KKMK KKMM KMKK KMKM KMMK KMMM MKKK MKKM MKMK MKMM MMKK MMKM MMMK MMMM We zijn echter niet geinteresseerd in de rijtjes, maar in het aantal keer dat Kop gegooid wordt, en met name in de mogelijke waarden van dat aantal en de kansen hierop. Noem X: het aantal malen Kop in de worp. Hfdstk 3: / 70 Hfdstk 3: Inleiding 2 / 70 Voorbeeld (vervolg) Voorbeeld 2A X is in feite een functie van de uitkomstenruimte S van het eperiment naar de reële getallen R: We noemen X een stochastische: variabele: De waarde van de variabele is niet bekend vóórdat het eperiment uitgevoerd wordt. Er zijn een aantal waarden mogelijk (die niet allemaal even waarschijnlijk hoeven te zijn). Op de kermis staat een attractie waarbij de speler een dartpijl op een cirkelbord moet mikken met straal. Voor het eperiment nemen we aan: De uitkomstenruimte is een cirkel met straal. Elk punt in de cirkel wordt even waarschijnlijk geraakt. We definiëren Z als het aantal behaalde punten. Z is een afbeelding van de uitkomstenruimte S naar de verzameling {, 2, 5, 0}, een stochastische variabele. Hfdstk 3: Inleiding 3 / 70 Hfdstk 3: Inleiding 4 / 70

2 Definitie (Afbeelding) Met X : A B geven we aan dat X een afbeelding is van de verzameling A naar de verzameling B. Definitie (Stochastische variabele) Een stochastische variabele of stochastische grootheid (engels: random variable) bij een kanseperiment met uitkomstenruimte S is een reëelwaardige functie, ofwel X : S R. Enkele opmerkingen In Nederlandstalige literatuur worden stochastische variabelen vaak weergegeven door onderstreepte letters, zoals X, Y. In de Engelstalige literatuur worden voor stochastische variabelen vaak gewone hoofdletters gebruikt. In de praktijk korten we de uitdrukking stochastische variabele X ook vaak af tot stochast X. Voor een goede wiskundige definitie moeten er enkele technische eisen gelden voor de functie X : S R. Voor alle tijdens dit college gebruikte functies mag verondersteld worden dat aan deze eisen is voldaan. Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Definitie 5 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Definitie 6 / 70 Definitie (Kansverdeling) Veronderstel We hebben een kanseperiment op een kansruimte S, met daarop een kansmaat P gedefiniëerd, X : S R een stochastische variabele is op S, dan is de kansverdeling van X (engels: probability distribution) als volgt gedefiniëerd: Voor elke deelverzameling A R is P(X A) := P({s : X(s) A}). Opmerking In de praktijk zijn we vaak meer geinteresseerd in de kansen van een stochast X dan in de onderliggende uitkomstenruimte S met zijn kansmaat. Vaak is het zelfs zo dat men de stochast X en zijn bijbehorende verdeling direct voorschrijft, zonder zich te bekommeren om de onderliggende S. Voorbeeld (Vervolg) Eperiment met 4 werpen met een zuivere munt Stochastische variabele X = aantal keer Kop Stochast X Kansverdeling van X volgt uit tellen in de inkomstenruimte S: P(X = 0) = P({MMMM}) = 6 P(X = ) = P({MMMK, MMKM, MKMM, KMMM}) = 4 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Definitie 7 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Voorbeelden 8 / 70

3 Voorbeeld 2A We kunnen de kansverdeling van X ook rechtstreeks berekenen met behulp van de binomiaalcoëfficienten uit Hoofdstuk : Totale aantal uitkomsten in S is 6. Aantal uitkomsten waarvoor X gelijk is aan (voor = 0,..., 4) is ( ) 4 en dus P(X = ) = 6 ( ) 4 In het voorbeeld van het dartbord werd de stochast Y gedefinieerd op de uitkomstenruimte S, de eenheidscirkel. Omdat alle punten even waarschijnlijk waren, geldt voor de kansmaat op S het volgende: Voor elke A S geldt: P(A) = Opp(A). π Voor de stochast Y betekent dit: P(Y = 0) = 6 P(Y = 5) = 4 6 = 3 6 P(Y = 2) = = 5 6 P(Y = ) = 9 6 = 7 6 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Voorbeelden 9 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Voorbeelden 0 / 70 Voorbeeld (Vervolg) Definitie (Discrete stochastische variabele) Een stochastische variabele X is een discrete stochastische variabele (ofwel X heeft een discrete verdeling) als X slechts een eindig of een aftelbaar aantal waarden {, 2,...} aan kan nemen. De functie f () = P(X = ) noemen we de kansmassafunctie (engels: probability function of probability mass function) van stochast X. De stochastische variabele X uit Voorbeeld, die het aantal keer Kop aangeeft, is een discrete stochast. De kansmassafunctie van X is f() /2 / Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Discrete Verdeling / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Discrete Verdeling 2 / 70

4 Eigenschappen Discrete Uniforme Verdeling Een discrete stochast X, gedefiniëerd op uitkomstenruimte S, met kansmassafunctie f () voldoet aan de volgende eigenschappen: f () 0 voor alle R. Als voor alle s S geldt dat X(s), dan is f () = 0. f ( i ) =. i= Voor elke deelverzameling A R geldt P(X A) = i A f ( i ). Een discrete stochast X heeft een uniforme of homogene verdeling (Eng. uniform) op de waarden {, 2,..., n}, als de kansmassafunctie f van X gelijk is aan f (k) = Voorbeelden, als k =, 2,..., n; n Aantal ogen bij gooien met één dobbelsteen; Uitslag van een loterij; Uitslag van roulette (als we 0 ook meetellen!) Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Discrete Verdeling 3 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Discrete Verdeling: Uniform 4 / 70 Binomiale Verdeling Binomiale verdeling (vervolg) Een discrete stochast X heeft een binomiale verdeling met parameters n en p (notatie: X Bin(n, p), Eng. binomial) als de kansmassafunctie van X gelijk is aan ( ) n p k ( p) n k, als k = 0,, 2,..., n; k f (k) = Voorbeelden Het aantal keer Kop bij 4 maal opwerpen van een zuivere munt: Bin(4, 2 ) verdeling. Vaas met R rode ballen en B blauwe ballen en we kiezen 5 maal aselect met teruglegging één bal. Het aantal rode ballen heeft een binomiale verdeling: Vraag: Wat voor een? Een machine produceert 00 items. Elk item heeft een kans 0.4 dat het defect is, en de items zijn o.o. Het aantal defecte items: Bin(00, 0.4) verdeling. Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Discrete Verdeling: Binomiaal 5 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Discrete Verdeling: Binomiaal 6 / 70

5 z { z { Voorbeeld 2B Voorbeeld 2B (vervolg) We kunnen ook de volgende stochast Z definiëren: Z is de afstand van waar de pijl landt tot het middelpunt van de cirkel Ook voor Z kunnen we kansen uitrekenen: Z is ook een stochastische variabele, want Z is een afbeelding van S naar R, P(Z 0.5) = P(0.2 Z 0.8) =?. P(Z = 0.4) =? Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling 7 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling 8 / 70 Stoom/Verfrissings-cursus Integralen Definitie (Continue stochastische variabele) Een stochastische variabele X is een continue stochastische variabele (ofwel X heeft een continue verdeling) als er een functie f bestaat zodat voor alle a, b R (a < b) geldt P(a < X b) = b a f ()d De integraal van een functie f () 0 over het interval [a, b] is gelijk aan het oppervlak begrens door de -as, de lijn = a, de lijn = b, en de kromme y = f (). f() De functie f heet de kansdichtheid (engels: probability density function (p.d.f.)) of simpelweg dichtheid. a b Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling 9 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling 20 / 70

6 Stoom/Verfrissings-cursus Integralen (vervolg) Stoomcursus Integralen (vervolg) Deze integraal is de limiet van de oppervlakte benadering met rechthoeken met breedte h, waarbij we h 0 naderen. f() Als F : R R een differentieerbare functie is, waarvoor geldt F () = f (), dan geldt b a f ()d = F(b) F(a) (Notatie : [ F() ] =b =a ) F heet een primitieve functie van f. Voorbeeld a b 3 2 [ ] =3 ( )d = = = = [ ] =2 e 2 d = 2 e2 = = 2 e4 2 e2 = 23,6045 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling 2 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling 22 / 70 Eigenschappen Een continue stochast X met een kansdichtheidsfunctie f voldoet aan de volgende eigenschappen: f () 0 for all R; f ()d =. Voor alle a, b R, (a < b) is b a en dus ook f ()d = P(a < X b) = P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) P(X = a) = P(a X b) P(a < X b) = 0 Definitie (Continue Uniforme Verdeling) Een continue stochast X heeft een uniforme of homogene verdeling op het interval [a, b] (notatie: X U(a, b)) als de kansdichtheidsfunctie f van X constant is op het interval [a, b] en 0 daarbuiten, ofwel c, als a b; f () = Voorbeeld Een continue stochast X: X U(0, 200), heeft kansdichtheid: f() / Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling 23 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Continue Verdeling: Uniform 24 / 70

7 Verdelingsfuncties Tot nu toe hebben we gezien: Discrete stochast: P(X A) = A f () (kansmassa) Continue stochast: P(X A) = A f ()d (kansdichtheid) Een karakterisering die we voor beide typen stochasten kunnen gebruiken, is de kansverdelingsfunctie. Definitie (Kansverdelingsfunctie) De kansverdelingsfunctie (engels: probability distribution function of cumulative distribution function) van een stochastische variabele X is gedefiniëerd voor y R als F() = P(X ) = P ( {s : X(s) } ), Voorbeeld We hebben reeds gezien dat de kansmassafunctie van stochast X in Voorbeeld de volgende vorm heeft. f() /2 / F() 3/4 /2 / De kansverdelingsfunctie van X kunnen we hieruit bepalen. Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Verdelingsfuncties 25 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Verdelingsfuncties 26 / 70 Voorbeeld De kansdichtheid van een continue stochast X op het interval [0, 200] heeft kansdichtheid: Verdelingsfuncties van discrete stochasten De verdelingsfunctie F van een discrete stochast X met kansmassafunctie f is een trapfunctie: F is constant over de intervallen waar f () = 0, f() / F() De kansverdelingsfunctie is dan gegeven door F() = 0 f (y) dy. F maakt een sprong met grootte f (i ) op de punten i waar f ( i ) > 0. Verdelingsfuncties van continue stochasten De verdelingsfunctie van een continue stochast X is continu. Voor de verdelingsfunctie F en de kansdichtheidsfunctie f van een continue stochast X gelden: F() = f (t) dt en F () = df() = f (). d Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Verdelingsfuncties 27 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Verdelingsfuncties 28 / 70

8 Voorbeeld 2B In het eperiment met het dartbord was Z de afstand van waar de pijl landt tot het middelpunt van het bord. De kansdichtheid f (z) van Z is lastig rechtstreeks te berekenen, maar de kansverdelingsfunctie F(z) is wel makkelijk te berekenen: F() f(z) 2 0 z F(z) = P(Z z) = z 2 f (z) = d F(z) = 2z dz Percentielen Kansverdelingsfunctie: Vraag: Uitspraak van de vorm De kans dat X 00 is 75%. voor welke waarde van geldt dat de kans op X gelijk is aan 75%? Voorbeeld We wedden op de uitkomst van een eperiment met stochast X. Als de uitkomst kleiner of gelijk is aan een vast te stellen 0, dan winnen we één euro. Als de uitkomst groter is dan 0, dan verliezen we één euro. Voor een eerlijke weddenschap moet je 0 zó kiezen dat P(X 0 ) = z Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Verdelingsfuncties 29 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Percentielen 30 / 70 We kunnen de waarden van F() doorlopen tot we zo n waarde vinden. Als F een één-op-één functie is, dan kunnen we de inverse F (y) van F() gebruiken, immers dan geldt P(X ) = F() = p F (p) = Definitie (Percentielen) Als de kansverdelingsfunctie F van een stochast X continu en één-op-één is op het gebied waarop X waarden kan aannemen, dan noemen we de inverse functie F de kwantielfunctie van X (Eng. quantile). De waarde F (p), (0 < p < ) heet het p kwantiel van X. De waarde van F (p) noemen we ook wel het 00p-de percentiel van X (Eng. percentile). Voorbeeld (Uniform) De uniforme verdeling op het interval [0, 20] heeft kansverdelingsfunctie 0, als 0, 0 F() =, als 0 < 20, 0, als > 20. De kwantielfunctie is dan Dus F (p) = 0p + 0 F (0.8) = 8 is het 0.8 kwantiel. F (0.2) = 2 is het 0.2 kwantiel, of 20-e percentiel. Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Percentielen 3 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Percentielen 32 / 70

9 Sommige kwantielen (en percentielen) hebben speciale namen Voorbeeld Het /2 kwantiel (of 50 percentiel) heet mediaan (Eng. median). Het /4 kwantiel (of 25 percentiel) heet het eerste kwartiel (Eng. lower quartile). Het 3/4 kwantiel (of 75 percentiel) heet het derde kwartiel (Eng. upper quartile). Voor een kansverdelingsfunctie van een discreet verdeelde stochast bestaat geen inverse. We kunnen wel de definitie van kwantielen voor continue stochasten aanpassen. Definitie Als F een kansverdelingsfunctie is, dan noemen we de kleinste waarde waarvoor F() p het p kwantiel van de verdeling F (en ook het 00p-de percentiel). De kansverdelingsfunctie van Voorbeeld (Het aantal malen Kop in 4 worpen met een munt) hebben we eerder uitgerekend: F() 3/4 /2 / Een gedeelte van de kwantielfunctie bij deze verdeling is: (Bereken de rest zelf!) F - (p) /4 /2 3/4 p Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Percentielen 33 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Variabelen Percentielen 34 / 70 Bivariate verdelingen Voorbeeld 2C (X,Y) In het eperiment met het dartbord kunnen we ook kijken naar de coördinaten van het punt waar de pijl landt. Noem het punt waar de pijl landt (X, Y), met (0, 0) in het middelpunt. X en Y zijn beide stochastische variabelen, die ook samenhang vertonen! Hiertoe gebruiken we stochastische vectoren die de simultane verdeling van twee of meer stochastische variabelen weergeven. Stochast: X is een stochast bij uitkomstenruimte S als X : S R. Definitie (Stochastische Vector) Een 2-dimensionale stochastische vector Z = (X, Y) bij een uitkomstenruimte S is een afbeelding Z : S R 2. Definitie (Simultane Verdeling) De simultane verdeling (engels: joint distribution) van een 2-dimensionale stochast Z = (X, Y) is als volgt gedefiniëerd: Voor elke B R 2 is P ( (X, Y) B ) = P( {s : ( X(s), Y(s) ) B } ). De simultane verdeling van een 2-dimensionale stochast noemen we ook wel een bivariate verdeling. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 35 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 36 / 70

10 Net als in het -dimensionale geval bestaan er discrete en continue simultane verdelingen. Voorbeeld 3 Een 2-dimensionale stochastische vector Z = (X, Y) heeft een discrete verdeling als Z slechts een eindig of aftelbaar aantal waarden (, y) aan kan nemen. ( ) De functie f (, y) = P (X, Y) = (, y) noemen we de simultane kansmassafunctie (Engels: joint probability (mass) function) van de stochast Z. De kansmassafunctie voldoen aan eigenschappen als: f (, y) 0 voor alle (, y) R 2 f (, y) =. (,y) P ( (X, Y) A ) = (,y) A f (, y). Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 37 / 70 Eperiment met continue uitkomstenruimte S = [0, ], alle uitkomsten even waarschijnlijk. Speler krijgt uitbetaling als de uitslag in interval [0.0, 0.5] ligt, en 0 anders. Speler 2 krijgt uitbetaling als de uitslag in interval [0., 0.6] ligt, en 0 anders. De uitbetaling aan speler i noteren we als X i, i =, 2. (X, X 2 ) is een stochastische vector. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 38 / 70 Voorbeeld 3 (Vervolg) De simultane kansverdeling volgt uit de definitie: ( ) ( ) P (X, X 2 ) = (0, 0) = P {s s [0.6,.0]} = 0.4 ( ) ( ) P (X, X 2 ) = (0, ) = P {s s [0.5, 0.6]} = 0. ( ) ( ) P (X, X 2 ) = (, 0) = P {s s [0.0, 0.]} = 0. ( ) ( ) P (X, X 2 ) = (, ) = P {s s [0., 0.5]} = 0.4 Of in een tabel: X Voorbeeld 4 We beschouwen twee discrete stochasten X en Y. X kan 3 waarden aannemen, n.l., 2, en 3. Y kan 4 waarden aannemen, n.l., 2, 3 en 4. De simultane kansmassafunctie is gegeven in de volgende tabel. Y X X Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 39 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 40 / 70

11 Een 2-dimensionale stochast Z = (X, Y) heeft een continue simultane verdeling als er een functie f : R 2 R bestaat waarvoor geldt dat voor elke deelverzameling A R 2 geldt: P ( (X, Y) A ) = f (, y)d dy A De functie f noemen we de simultane kansdichtheidsfunctie. Een simultane kansdichtheidsfunctie voldoet aan de eigenschappen: f (, y) 0, voor alle (, y) R 2. f (, y) d dy =. Voorbeeld 2C De stochast Z = (X, Y) die we verkregen door een willekeurig punt te kiezen in de cirkel (dartboard) met straal : { (, y) : 2 + y 2 }. De kansdichtheidsfunctie in een plaatje is: f(,y) Vraag: Wat is de waarde van c? y ofwel f (, y) = { c, als 2 + y 2 ; = Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 4 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdeling 42 / 70 Definitie (Simultane Verdelingsfunctie) De simultane verdelingsfunctie (engels: joint distribution function) van een 2-dimensionale stochastische vector Z = (X, Y) is de functie F : R 2 [0, ] waarvoor geldt F(, y) = P(X Y y), voor alle (, y) R 2. Met de kansverdelingsfunctie kunnen we bijvoorbeeld ook de kans uitrekenen dat (X, Y) in een rechthoekig gebied ligt: y d c P(a < X b c < Y d) = F(b, d) F(a, d) F(b, c)+f(a, c) Marginale verdeling Neem de kansmassafunctie uit Voorbeeld 3. Soms zijn we geïnteresseerd in de kansverdeling van slechts één component, bijvoorbeeld P(X = )? Twee methoden: Rechtstreeks uit uitkomstenruimte: ( ) P(X = ) = P {s s [0.0, 0.5]} = Uit de tabel: ( ) P(X = ) = P (X, X 2 ) = (, 0) = 0.5 ( ) + P (X, X 2 ) = (, ) = a b Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Simultane Verdelingsfunctie 43 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Marginale Verdeling 44 / 70

12 Neem de kansmassafunctie uit Voorbeeld 4. Y f X () X f Y (y) Als we de kansmassafunctie van X aangeven met f X, dan geldt f X () = P(X = ) = y P(X = Y = y) = y en de kansmassafunctie f Y van Y is dan f Y (y) = P(Y = y) = f (, y) f (, y), Definitie (Marginale Verdeling (Discreet)) Bij een 2-dimensionale discrete stochast Z = (X, Y) noemen we de functies f X en f Y die gedefiniëerd zijn als f X () = P(X = ), R, f Y (y) = P(Y = y), y R, de marginale kansmassafuncties van X, respectievelijk Y. De kansverdelingsfuncties F X en F Y, gedefiniëerd als F X () = P(X ), R, F Y (y) = P(Y y), y R, heten de marginale kansverdelingsfuncties van X resp. Y. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Marginale Verdeling 45 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Marginale Verdeling 46 / 70 Notatie Soms wordt de kansmassafunctie f X ook geschreven als f om aan te geven dat het de marginale kansmassafunctie betreft van de eerste componenent van Z = (X, Y). De functie f Y wordt dan f 2, F X wordt F, etc. Berekeningen De marginale verdelingen kunnen als volgt berekend worden. f X () = y f (, y), f Y (y) = f (, y), F X () = lim y P(X, Y y) = lim y F(, y) F Y () = lim P(X, Y y) = lim F(, y) Definitie (Marginale Verdeling (Continu)) Bij een 2-dimensionale continue stochast Z = (X, Y) noemen we de de kansverdelingsfuncties F X en F Y, gedefiniëerd als F X () = P(X ), R, F Y (y) = P(Y y), y R, de marginale kansverdelingsfuncties van X resp. Y. X en Y zijn continue stochasten en hun kansdichtheidsfuncties f X, resp. f Y waarvoor geldt F X () = F Y (y) = y f X (t)dt, f Y (t)dt, noemen we de marginale kansdichtheidsfuncties. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Marginale Verdeling 47 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Marginale Verdeling 48 / 70

13 Berekeningen De continue marginale verdelingen kunnen als volgt berekend worden. f X () = f (, y)dy, f Y (y) = f (, y)d, F X () = lim y F(, y) F Y () = lim F(, y) Voorbeeld 2C { π De kansdichtheidsfunctie was f (, y) =, als 2 + y 2 ; De marginale verdeling van X in het interval [, +] is: y+ y- f X () = = = y + y f (, y)dy π dy 2 2 = 2 π 2 π dy Voor buiten het interval [, ] geldt f X () = 0. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Marginale Verdeling 49 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Marginale Verdeling 50 / 70 Onafhankelijkheid Onafhankelijkheid van gebeurtenissen A en B: P(A B) = P(A)P(B). Onafhankelijkheid van stochastische variabelen X en Y: als voor alle mogelijke deelverzamelingen A, B R de gebeurtenissen {X A} en {Y B} onafhankelijk zijn, ofwel Definitie (Onafhankelijke Stochastische Variabelen) Twee stochasten X en Y heten onderling onafhankelijk (o.o) als voor alle, y R, geldt F(, y) = F X () F Y (y) voor alle A, B : P(X A Y B) = P(X A)P(Y B) In het bijzonder geldt dit voor verzamelingen van de vorm {X } en {Y y}, ofwel voor alle, y : P(X Y y) = P(X )P(Y y) Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Onafhankelijkheid 5 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Onafhankelijkheid 52 / 70

14 Voorbeeld 4 (vervolg) Als X en Y twee discrete stochasten zijn met simultane kansmassafunctie f en marginale kansmassafunctie f X voor X en f Y voor Y, dan zijn X en Y o.o. als geldt, voor alle, y R : f (, y) = f X () f Y (y). Als een of beide stochasten een continue verdeling hebben, dan zijn de kansdichtheidsfuncties niet uniek. We zeggen dan dat X en Y o.o. zijn als er versies van f, f X en f Y bestaan, zodat geldt voor alle, y R : f (, y) = f X () f Y (y). De kansmassafunctie van Z = (X, Y) uit Voorbeeld 4 was gegeven door Y f X () X Vraag: Zijn X en Y onafhankelijk? f Y (y) Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Onafhankelijkheid 53 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Onafhankelijkheid 54 / 70 Voorbeeld 2C De kansdichtheidsfunctie van Z = (X, Y) was gegeven door f(,y) Vraag: zijn X en Y onafhankelijk? y f (, y) = π, als 2 + y 2 ; Wanneer we (X, Y) willekeurig mogen kiezen in de rechthoek {(, y) :, y }, dan zijn X en Y wel o.o., want dan wordt de kansdichtheid f (, y) = 4, als, y ; Hierbij geldt f (, y) = f X ()f Y (y) met 2, als ; f X () = f Y (y) = 2, als y ; Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Onafhankelijkheid 55 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Onafhankelijkheid 56 / 70

15 Conditionele verdelingen Twee discrete stochasten X en Y: de verdeling van X onder dat gegeven {Y = y} P(X = Y = y) = P(X = Y = y) P(Y = y) Definitie (Discrete Conditionele Verdeling) Stel (X, Y) is een discrete stochastische vector met kansmassafunctie f (, y). De voorwaardelijke kansmassa van X gegeven Y is Notatie: Soms noteren we g X Y ( y) ook wel als g ( y) als duidelijk is om welke variabelen het gaat. Het boek gebruikt ook deze notatie. Opmerking: Voor elke waarde van y met f Y (y) > 0 is g X Y ( y) daadwerkelijk een kansmassafunctie over alle mogelijke waarden van X, immers g X Y ( y) 0 en X g X Y ( y) = f Y (y) X f (, y) = f Y (y) f Y(y) = g X Y ( y) = P(X = Y = y) = f (, y) f Y (y) voor die waarden van y waarvoor P(Y = y) = f Y (y) > 0. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 57 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 58 / 70 Voorbeeld 4 (vervolg) Continue Conditionele Verdeling Y f X () X f Y (y) De voorwaardelijke kansmassa van Y gegeven X is: Y f Y X (y ) /2 0 /2 0 f Y X (y 2) /2 0 /6 /3 f Y X (y 3) Wanneer (X, Y) een continue stochastische vector is, hebben de afzonderlijke stochasten X en Y een continue marginale verdeling. Er geldt dus P(Y = y) = 0, en dus P(X A Y = y) is niet gedefinieerd. We kunnen wel een conditionele kansdichtheidsfunctie definiëren op dezelfde manier als we voor een discrete stochastische vector hebben gedaan. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 59 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 60 / 70

16 Definitie (Continue Conditionele Verdeling) Stel (X, Y) is een continue stochastische vector met kansdichtheidsfunctie f (, y), marginale kansdichtheidsfunctie f X () voor X, kansdichtheidsfunctie f Y (y) voor Y. Als y een getal is waarvoor f Y (y) > 0 dan definiëren we de als conditionele kansdichtheidsfunctie van X gegeven Y = y g X Y ( y) = f (, y) f Y (y) Voor de waarden y waarvoor f Y (y) = 0 definiëren we g X Y ( y) als een willekeurige kansdichtheidsfunctie op X. Voorbeeld 2C De simultane verdeling van (X, Y) gegeven was door { π, als 2 + y 2 ; f (, y) = en de marginale verdeling van Y door { 2 f Y (y) = π y 2, als y ; De conditionele kansdichtheidsfunctie g X Y ( y) van X gegeven Y = y is nu { g X Y ( y) =, als y 2 y 2 ; 2 y 2 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 6 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 62 / 70 Vraag In plaatjes: y g X Y ( y) - g X Y ( 0) Als X en Y onafhankelijk zijn, wat is dan g X Y (, y)? g X Y ( y) g X Y ( y) g X Y ( 0.86) g X Y ( 0.94) - - Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 63 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 64 / 70

17 Toepassing Conditionele verdelingen worden vaak gebruikt om simultane verdelingen uit te rekenen die direct af te leiden zijn. Uit deze simultane verdelingen kunnen we dan weer ander marginale en conditionele verdelingen uitrekenen. Voorbeeld 5 De behandeling van longontsteking bij patient A heeft een kans van slagen gelijk aan p. De waarde van p is onbekend: het is een stochast die uniform verdeeld is U(0, ). We willen de conditionele kansdichtheid van p bepalen, gegeven de uitslag van de behandeling. Voorbeeld 5 (Vervolg) Definieer twee stochastische variabelen X: X = als de behandeling een succes is, en X = 0 anders. P: kans op succes (stochastische variabele!) De marginale kansdichtheid f P (p) van P is {, als 0 p ; f P (p) = Conditionele kansmassafunctie van X, gegeven P = p: { p, als = (succes); g X P ( p) = p, als = 0 (geen succes). Alternatieve schrijfwijze: g X P ( p) = p ( p) voor = 0,. Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 65 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 66 / 70 Voorbeeld 5 (Vervolg) De gevraagde conditionele verdeling van P gegeven X gaan we in stappen uitrekenen. In de afzonderlijke stappen berekenen we: Voorbeeld 5 (Vervolg) De conditionele kansdichtheid van P gegeven X = wordt dan voor 0 p en = 0,. f (, p) f X () g P X (p ) De simultane kansdichtheidsfunctie f (, p) is nu gelijk aan: { p ( p), {0, }, 0 p f (, p) = g X P ( p) f P (p) = 0, anders De marginale verdeling f X () van X is: g P X (p ) = f (, p) f X () = 2 p ( p). g P X (p 0) g P X (p ) f X () = f (, p) dp = 0 p ( p) dp = 2 p p Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 67 / 70 Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 68 / 70

18 Voor de conditionele kansmassa- en kansdichtheidsfuncties gelden dezelfde rekenregels als voor conditionele kansen. Conditionele kansen van gebeurtenissen Totale Kans P(A) = i P(A B i)p(b i ) P(B A)P(A) Regel van Bayes P(A B) = P(B) Discrete conditionele verdelingen Totale Kans f X () = y g X Y( y)f Y (y) Regel van Bayes g X Y ( y) = g 2(y )f X () voor f Y (y) > 0 f Y (y) Continue conditionele verdelingen Totale Kans Regel van Bayes f X () = g X Y( y)f Y (y)dy g X Y ( y) = g 2(y )f X () f Y (y) voor f Y (y) > 0 Met de stof van Hoofdstuk 3 moet je kunnen: Stochastische variabele Modelleren uit probleembeschrijving: discreet/continu, kansmassa/dichtheid/kansverdelingsfunctie bepalen Kansmassa/dichtheid kansverdelingsfunctie bepalen Stochastische vectoren Modelleren uit probleembeschrijving Marginale verdeling uitrekenen Onafhankelijkheid bepalen Conditionele verdelingen uitrekenen Hfdstk 3: Stochastische Vectoren Conditionele Verdelingen 69 / 70 Hfdstk 3: Samenvatting 70 / 70

Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten

Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Voorbeeld: V = de windsnelheid H = hoogte van het waterniveau in een rivier/zee De combinatie (V, H) is van belang voor een overstroming en niet zozeer V

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren

Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren Overzicht Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Voorwaardelijke kans Rekenregels Onafhankelijkheid Voorwaardelijke Onafhankelijkheid

Nadere informatie

Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 2010: Antwoorden op de opgaven

Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 2010: Antwoorden op de opgaven Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200: Antwoorden op de opgaven Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 Antwoorden op de opgaven Als we bij een vergelijking een formule

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012

Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012 Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012 Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 07, 4:00 7:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 6, : 3: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met onderdelen. Elk onderdeel

Nadere informatie

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette Statistiek I Samenvatting Prof. dr. Carette Opleiding: bachelor of science in de Handelswetenschappen Academiejaar 2016 2017 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Statistiek, gegevens en statistisch denken... 3 De

Nadere informatie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012 Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij

Nadere informatie

Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N of I). Het is toegestaan een (grafische) rekenmachine te gebruiken.

Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N of I). Het is toegestaan een (grafische) rekenmachine te gebruiken. Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135 Faculteit FNWI 655 AJ Nijmegen Examen NWI-NBB Inleiding Kansrekening 1 januari 1 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting W, N of

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 20 September 1 / 29 1 Kansrekening Indeling: Cumulatieve distributiefuncties Permutaties en combinaties 2 / 29 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens

Nadere informatie

Vertaling van enkele termen uit de kansrekening en statistiek alternative hypothesis alternatieve hypothese approximate methods benaderende methoden asymptotic variance asymptotische variantie asymptotically

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Kansen. 4.1 Randomheid

Hoofdstuk 4 Kansen. 4.1 Randomheid Hoofdstuk 4 Kansen 4.1 Randomheid Herhalingen en kansen Als je een munt opgooit (of zelfs als je een SRS trekt) kunnen de resultaten van tevoren voorspeld worden, omdat de uitkomsten zullen variëren wanneer

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 4 Donderdag 22 September 1 / 31 1 Kansrekening Vandaag : Vragen Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen 2 / 31 Vragen: multiple choice Bij

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: In een vaas zitten 10 rode, 5 witte en 6 blauwe knikkers. Er worden 9 knikkers uit de vaas gepakt.

5.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: In een vaas zitten 10 rode, 5 witte en 6 blauwe knikkers. Er worden 9 knikkers uit de vaas gepakt. 5.0 Voorkennis Voorbeeld 1: In een vaas zitten 10 rode, 5 witte en 6 blauwe knikkers. Er worden 9 knikkers uit de vaas gepakt. a) Bereken de kans op minstens 7 rode knikkers: P(minstens 7 rood) = P(7 rood)

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009 Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht UitwerkingOefQuiz Kansreking 29 1. James Bond zoekt e brief in één van de drie ladkast in het voormalige

Nadere informatie

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C) WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Robert Fitzner Tim Hulshof 7 Oktober 202 v.3 Voorwoord Deze tekst geeft een overzicht van de stof die behandeld wordt in de meeste cursussen inleiding

Nadere informatie

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan.

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Statistics Deeltentamen 2 Statistics Vrije Universiteit 28 mei 2015 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen: opgaven 1,2,3,4. Cijfer=

Nadere informatie

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders. Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4,

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Woensdag 9 September 1 / 39 Site: http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Literatuur: Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 5 Dinsdag 28 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen Voor software R: van http://sourceforge.net

Nadere informatie

Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties

Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties Discrete Distributiefuncties 3. Er zijn 3 studenten aan het begin van de dag aanwezig bij een symposium. De kans dat een student volhoudt

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening

Kansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening Kansrekening en Statistiek Overzicht Kansrekening 1 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten X - distributiefuncties f P(X A) = i A f (x) = i A P(X = i). 2 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten

Nadere informatie

Voorbeeld 1: kansverdeling discrete stochast discrete kansverdeling

Voorbeeld 1: kansverdeling discrete stochast discrete kansverdeling 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Yvette pakt vier knikkers uit een vaas waar er 20 inzitten. 9 van de knikkers zijn rood en 11 van de knikkers zijn blauw. X = het aantal rode knikkers dat Yvette pakt. Er zijn

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135

Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135 Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 35 Faculteit FNWI 6525 AJ Nijmegen Examen NWI-NB00B Inleiding Kansrekening 2 juni 206 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N

Nadere informatie

Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013

Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Algemene Statistiek Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen:

Nadere informatie

Gegeven is een kansvariabele X met cumulatieve verdelingsfunctie P(X x)= 1/3 x voor 0 < x < 3. Bereken (a) P(2<X 3) (b) E(X) (c) Var(X)

Gegeven is een kansvariabele X met cumulatieve verdelingsfunctie P(X x)= 1/3 x voor 0 < x < 3. Bereken (a) P(2<X 3) (b) E(X) (c) Var(X) Opgave 1 Een kom tomatensoep voor 6 personen bevat 30 balletjes. De soep wordt willekeurig uitgeschonken over 6 borden. Bereken (a) De kans dat er geen enkel balletje in je bord terecht komt (b) De kans

Nadere informatie

36, P (5) = 4 36, P (12) = 1

36, P (5) = 4 36, P (12) = 1 Les 2 Kansverdelingen We hebben in het begin gesteld dat we de kans voor een zekere gunstige uitkomst berekenen als het aantal gunstige uitkomsten gedeelt door het totale aantal mogelijke uitkomsten. Maar

Nadere informatie

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:

Nadere informatie

Examen Statistiek I Feedback

Examen Statistiek I Feedback Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse (September 2008)

Examen Complexe Analyse (September 2008) Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst

Nadere informatie

Binomiale verdelingen

Binomiale verdelingen Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening (NB004B)

Tentamen Kansrekening (NB004B) NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en

Nadere informatie

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 6 Donderdag 30 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 25 Vraag: Afghanistan Vb. In het leger wordt

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Tentamen Inleiding Kansrekening 6 juni 7, : 7: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen.

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Doel Beheersen van elementaire statistische technieken Toepassen van deze technieken op aardwetenschappelijke data 2 1 Leerstof Boek: : Introductory Statistics, door

Nadere informatie

werkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions

werkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions cursus 4 mei 2012 werkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions Huiswerk P&D, opgaven Chapter 6: 9, 19, 25, 33 P&D, opgaven Appendix A: 1, 9 doen

Nadere informatie

Inleiding. Kansrekening. & Statistiek I. Voorjaar Richard Gill. -> teaching -> this course...

Inleiding. Kansrekening. & Statistiek I. Voorjaar Richard Gill.   -> teaching -> this course... Inleiding Kansrekening & Statistiek I Voorjaar 2007 Richard Gill http://www.math.leidenuniv.nl/~gill -> teaching -> this course... 1 Bonuspunt regeling Wie bij nagenoeg alle werkcolleges (serieus) aanwezig

Nadere informatie

13.1 Kansberekeningen [1]

13.1 Kansberekeningen [1] 13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

14.1 Kansberekeningen [1]

14.1 Kansberekeningen [1] 14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014 Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de

Nadere informatie

= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31

= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31 Tentamen Statistische methoden 45STAMEY april, 9: : Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend voorbeeld:

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Wiskundige Analyse II

Wiskundige Analyse II Hoofdstuk Wiskundige Analyse II Vraag. Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van de baan

Nadere informatie

Voorbeeld. Preview. imr. ян -S1Q 9-nm /, Statistiek -- Termen, definities en symbolen. 2e Ontw. NEN Statistics -- Terms, definitions and symbols

Voorbeeld. Preview. imr. ян -S1Q 9-nm /, Statistiek -- Termen, definities en symbolen. 2e Ontw. NEN Statistics -- Terms, definitions and symbols imr. ян -S1Q 9-nm /, PUBLIKATIE UITSLUITEND TER KRITIEK Statistiek -- Termen, definities en symbolen 2e Ontw. NEN 3117 Statistics -- Terms, definitions and symbols mei 1990 Inhoud Zal NEN 3117, 2e druk,

Nadere informatie

Wiskundige Analyse II

Wiskundige Analyse II Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.2 Kansveranderlijken en verdelingen 1 Veranderlijken Beschouw een toevallig experiment met uitkomstenverzameling V (eindig of oneindig), de verzameling van alle gebeurtenissen

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:

Nadere informatie

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26 Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 8 juni 2009

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 8 juni 2009 EUROPEES BACCALAUREAAT 2009 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 8 juni 2009 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 huur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 5 Dinsdag 27 September 1 / 30 1 Kansrekening Vandaag: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 30 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar:

Nadere informatie

Opgaven Inleiding Analyse

Opgaven Inleiding Analyse Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3

Nadere informatie

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel.

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. 9.0 Voorkennis Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. Productregel: Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere kansexperiment

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde

Nadere informatie