Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten

Transcriptie

1 Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Voorbeeld: V = de windsnelheid H = hoogte van het waterniveau in een rivier/zee De combinatie (V, H) is van belang voor een overstroming en niet zozeer V of H afzonderlijk De gezamenlijke kansverdeling van (V, H) is het geheel dat bestaat uit alle mogelijke combinaties, die (V, H) kan aannemen, en de bijbehorende kansen daarop college wi1321tb week 5 di 3/4 1

2 Gezamenlijke kansmassafunctie van discrete stochasten Herriner de kansmassfunctie van een discrete stochast X: p X (a) = P(X = a) voor < a < (tek) Definitie De gezamenlijke kansmassafunctie p van twee discrete stochastische variabelen X en Y is de functie p : R 2 [0, 1], gedefinieerd door p(a,b) = P(X = a,y = b) voor < a, b < We schrijven ook wel p X,Y (a,b) = P(X = a,y = b) (tek) college wi1321tb week 5 di 3/4 2

3 Som en maximum van twee dobbelstenen P(S = a, M = b) a / / /36 2/ /36 2/ /36 2/36 2/ /36 2/36 2/ /36 2/36 2/ /36 2/ /36 2/ / /36 b college wi1321tb week 5 di 3/4 3

4 Van gezamenlijke naar individuele kansen Merk op dat de gebeurtenis {S = 6} de disjuncte vereniging is van {S = 6,M = 1}, {S = 6, M = 2},, {S = 6, M = 6} Zodoende is P(S = 6) = P(S = 6, M = 1) + + P(S = 6,M = 6) = = 5 36 college wi1321tb week 5 di 3/4 4

5 P(S = a, M = b) b a P(S = a) 2 1/ / / / /36 2/ / /36 2/ / /36 2/36 2/36 0 5/ /36 2/36 2/36 6/ /36 2/36 2/36 5/ /36 2/36 4/ /36 2/36 3/ /36 2/ /36 1/36 P(M = b) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 1 college wi1321tb week 5 di 3/4 5

6 P(S = a, M = b) b a P(S = a) 2 1/ / / / /36 2/ / /36 2/ / /36 2/36 2/36 0 5/ /36 2/36 2/36 6/ /36 2/36 2/36 5/ /36 2/36 4/ /36 2/36 3/ /36 2/ /36 1/36 P(M = b) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 1 college wi1321tb week 5 di 3/4 6

7 Gezamenlijke en marginale discrete kansverdeling p X,Y (a, b) = P(X = a, Y = b) is de gezamenlijke kansmassafunctie Deze karakteriseert de gezamenlijke kansverdeling van (X,Y ) p X (a) = P(X = a) is de marginale kansmassafunctie van X en p Y (b) = P(Y = b) is de marginale kansmassafunctie van Y Deze karakteriseren de marginale kansverdelingen van X en van Y P(X = a) = b P(X = a, Y = b) en P(Y = b) = a P(X = a,y = b) college wi1321tb week 5 di 3/4 7

8 Marginale verdelingen zijn onvoldoende voor de gezamenlijke verdeling (QE 92) b a 0 1 P(X = a) 0 1/4 ε 1/4 + ε 1 1/4 + ε 1/4 ε P(Y = b) college wi1321tb week 5 di 3/4 8

9 Marginale verdelingen zijn onvoldoende voor de gezamenlijke verdeling (QE 912) b a 0 1 P(X = a) 0 1/4 ε 1/4 + ε 1/2 1 1/4 + ε 1/4 ε 1/2 P(Y = b) 1/2 1/2 1 college wi1321tb week 5 di 3/4 9

10 Gezamenlijke en marginale verdelingsfunctie Definitie De gezamenlijke verdelingsfunctie F van twee stochastische variabelen X en Y is de functie F : R 2 [0, 1], gedefinieerd door F(a, b) = P(X a, Y b) voor < a, b < Van gezamenlijke naar marginale verdelingsfunctie De marginale verdelingsfuncties van X en Y worden gegeven door F X (a) = P(X a) = F(a, + ) = lim b F(a, b) F Y (b) = P(Y b) = F(+, b) = lim a F(a, b) college wi1321tb week 5 di 3/4 10

11 Maak opgaven 91, 92a, 93, 94, 95a college wi1321tb week 5 di 3/4 11

12 Gezamenlijke kansverdeling van continue stochasten Herinner de definitie voor een continue stochast X: er is een f(x) met P(a < X b) = oppervlakte onder f op interval [a, b] f ց P(a X b) a b college wi1321tb week 5 di 3/4 12

13 Gezamenlijke kansverdeling van continue X en Y Analoog: er is een f(x, y) met P(a 1 X b 1, a 2 Y b 2 ) = inhoud onder f op [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] f(x,y) y x college wi1321tb week 5 di 3/4 13

14 Voorbeelden 2-dimensionale normale dichtheid f(x,y) = y 2 +80xy π e 50x rekenvoorbeeld: f(x, y) = 2 75( 2x 2 y + xy 2) voor 0 x 3 en 1 y 2, (Maple) college wi1321tb week 5 di 3/4 14

15 Verband tussen gezamenlijke verdelingsfunctie en kansdichtheid Bij één continue stochast F(x) = oppervlakte onder f op (,x] en f(x) = d dx F(x) Bij twee continue stochasten (tek) F(x, y) = inhoud onder f op (,x] (, y] en f(x, y) = 2 x y F(x,y) college wi1321tb week 5 di 3/4 15

16 De inhoud onder een 2-dimensionale dichtheid De inhoud onder een 2-dimensionale kansdichtheid f(x, y) op een rechthoek [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] is de herhaalde integraal b1 a 1 b2 a 2 f(x,y) dxdy Op rechthoeken is dit niets anders als twee keer integreren van binnen naar buiten: ( b2 ) b1 ( b1 ) b2 f(x,y) dx dy of f(x, y) dy dx a 1 a 2 a 2 a 1 college wi1321tb week 5 di 3/4 16

17 Voorbeeld: gezamenlijke kansen uitrekenen ( P 1 X 2, 4 3 Y 5 ) 3 = 2 1 = 2 75 = 2 75 = f(x, y) dxdy ( (2x 2 y + xy 2 ) dy ([ x 2 y xy3 ] ) dx ) dx ( x ) 81 x dx = college wi1321tb week 5 di 3/4 17

18 Van gezamenlijke naar marginale kansdichtheid Herinner het discrete geval: P(X = a) = b P(X = a, Y = b) Van gezamenlijke naar marginale kansdichtheid Zij f de gezamenlijke kansdichtheid van stochasten X and Y Dan kunnen de marginale kansdichtheden van X en van Y gevonden worden door: f X (x) = f(x, y) dy en f Y (y) = f(x, y) dx (Maple) college wi1321tb week 5 di 3/4 18

19 Gezamenlijke kansverdeling van meer dan twee stochasten Voorbeeld: vaas met ballen genummerd 1, 2,, N We trekken n ballen zonder teruglegging X i is resultaat van i-de trekking (dus X 1, X 2,,X n zijn afhankelijk) Alle mogelijke combinaties (a 1, a 2,,a n ) zijn even waarschijnlijk, zodat de gezamenlijke kansen voor X 1, X 2,,X n allemaal gelijk zijn: P(X 1 = a 1, X 2 = a 2,,X n = a n ) = 1 N(N 1) (N n + 1), Wat is de kans dat de i de bal nummer k heeft? college wi1321tb week 5 di 3/4 19

20 Trekken zonder teruglegging Bijvoorbeeld: trek 4 ballen zonder teruglegging uit een vaas met 100 ballen Wat is nu de kans dat 3 de bal nummer 13 heeft? P(X 3 = 13) = P(X 1 = a 1, X 2 = a 2, X 3 = 13,X 4 = a 4 ) = , waarbij de som loopt over alle combinaties van 4 nummers met X 3 = 13 Omdat er van dergelijke combinaties zijn, is P(X 3 = 13) = = Bij trekken van n ballen zonder teruglegging uit N is P(X i = k) = 1/N college wi1321tb week 5 di 3/4 20

21 Onafhankelijke stochastische variabelen Hoofdstuk 3: gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk, als P(A B) = P(A) P(B) Bij discrete stochasten X en Y ligt het voor hand om te zeggen dat X en Y onafhankelijk zijn als de gebeurtenissen {X = a} en {Y = b} onafhankelijk zijn, dwz P(X = a, Y = b) = P(X = a)p(y = b) voor alle mogelijke keuzes van a en b Echter, dit is een zinloze definitie voor continue stochasten college wi1321tb week 5 di 3/4 21

22 Onafhankelijke stochastische variabelen Definitie Stochastische variabelen X en Y zijn onafhankelijk als P(X a,y b) = P(X a) P(Y b), dat wil zeggen, als X en Y gezamenlijke verdelingsfunctie F hebben, is F(a, b) = F X (a)f Y (b), voor alle mogelijke keuzes van a en b Stochasten die niet onafhankelijk zijn, noemen we afhankelijk college wi1321tb week 5 di 3/4 22

23 Onafhankelijkheid van X en Y is equivalent met In het algemeen: P(X V,Y W) = P(X V )P(Y W) voor alle V,W R Voor discrete stochasten: P(X = a,y = b) = P(X = a) P(Y = b) voor alle a en b Voor continue stochasten: f(x, y) = f X (x)f Y (y) voor alle x en y college wi1321tb week 5 di 3/4 23

24 Zijn S en M onafhankelijk? P(S = a, M = b) b a P(S = a) 2 1/ / / / /36 2/ / /36 2/ / /36 2/36 2/36 0 5/ /36 2/36 2/36 6/ /36 2/36 2/36 5/ /36 2/36 4/ /36 2/36 3/ /36 2/ /36 1/36 P(M = b) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 1 Nee, want bijvoorbeeld P(S = 2, M = 1) = 1 36 P(S = 2) P(M = 1) college wi1321tb week 5 di 3/4 24

25 Voor welke waarde van ε zijn X en Y onafhankelijk? b a 0 1 P(X = a) 0 1/4 ε 1/4 + ε 1/2 1 1/4 + ε 1/4 ε 1/2 P(Y = b) 1/2 1/2 1 Voor ε = 0, want dan is voor alle combinaties (a, b) P(X = a, Y = b) = P(X = a)p(y = b) college wi1321tb week 5 di 3/4 25

26 Doorgeven van onafhankelijkheid Als X en Y onafhankelijk zijn, zijn dan ook X 2 en 1/Y onafhankelijk? Doorgeven van onafhankelijkheid Zij X 1,X 2,,X n onafhankelijke stochastische variabelen Voor elke i, zij h i : R R een functie en definieer de stochastische variabele Y i = h i (X i ) Dan zijn Y 1, Y 2,,Y n ook onafhankelijk college wi1321tb week 5 di 3/4 26

27 Huiswerk Opgaven 91 t/m 97 college wi1321tb week 5 di 3/4 27