Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur

Transcriptie

1 Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Ook toegestaan is een formuleblad, dat wordt uitgedeeld en na afloop weer moet worden ingeleverd! Normering: Er zijn 5 meerkeuzevragen en 4 open vragen. Voor elke meerkeuzevraag krijgt u 2 punten, voor elke open vraag 5 punten. Totaal zijn er dus 50 punten te behalen. U krijgt 5 punten kado. Cijfer: aantal punten gedeeld door 5,5. Meerkeuze vragen. A, A 2 en A zijn drie onafhankelijke gebeurtenissen met Wat is P A A 2 A )? P A ) = 2, P A 2) = 6, P A ) = 8. a) 76 b) 6 c) 60 d) 9 e) 72 f) Een codewoord in morsecode) bestaat uit tenminste één en ten hoogste vijf karakters. Voor de karakters kan worden gekozen uit twee symbolen punt of streep). Hoeveel verschillende codewoorden kunnen worden gevormd? a) 0 b) 20 c) 24 d) 28 e) 2 f) 62. Twee studenten lossen problemen op, en leggen de antwoorden op een tafel. Student A lost twee keer zo veel problemen op als student B. De kans dat student A een juiste antwoord vind is 0.6, de kans dat student B een juiste antwoord vind is De docent neemt een willekeurige oplossing van de tafel. Gegeven dat het antwoord juist is, wat is bij benadering) de kans dat dit antwoord door student A gevonden was? a) 0.59 b) 0.68 c) 0.76 d) 0. e) 0.66 f) Punt C is uniform gekozen in het interval [A, B] met lengte L. Wat is de kans dat het kleinste interval [A, C] of [C, B] een lengte L/ heeft? a) b) 4 c) 9 d) L e) L 4 f) L 9

2 5. Een rij random getallen bestaat voor uit nullen en voor 2 uit éénen m.a.w. dit is een rij van onafhankelijke, gelijkverdeelde stochasten X, X 2,... met P X = 0) = P X = ) = ). Zij N de eerste index waarvoor X + + X N = 0. Bereken E [N]. a) 20 b) 0 c) 2 2 d) 5 e) 20 f) 0 6. Laten X en Y onafhankelijke stochasten zijn met een normale N, 2) verdeling. De verdeling van Z = X + 4Y + 5 is a) N 2, 4) b) N 5, 4) c) N 2, 50) d) N 5, 50) e) N 2, 00) f) anders 7. De continue stochast X is uniform verdeeld op 0, ) X U0, )). De verdeling van Z = λ log X, λ > 0, is a) uniform op [0, ) b) uniform op [0, λ ) c) Gammaλ) d) Expλ) e) Exp λ) f) Exp λ ) 8. Stochasten X, Y hebben gezamelijke dichtheid { λ 2 e λy, 0 x y, λ > 0, f X,Y x, y) = 0, anders De marginale dichtheid f X x) is a) uniform op [0, y] b) uniform op [0, λ ) c) Exp) d) Expλ) e) Exp λ) f) Exp λ ) 9. Stochast X heeft een momentgenererende functie M X t) = et + e t ). Bereken E [ X 2]. a) 0 b) 0.25 c) 0.5 d) 0.75 e) f) 2 0. Men kiest willekeurig n = 00 punten in het interval, ). Gebruik de ongelijkheid van Chebychev om de kans dat het gemiddelde van deze punten meer dan 0. van het punt nul is verwijderd af te schatten met een nauwkeurigheid van decimaal; kies de kleinste schatting van boven). a) 0. b) 0.2 c) 0. d) 0.4 e) 0.5 f) 0.6. Men kiest willekeurig n = 00 punten in het interval, ). Gebruik de normale benadering om de kans dat het gemiddelde van deze punten 2

3 meer dan 0. van het punt nul is verwijderd te schatten. Gebruik één of meerdere waardes van de standaard normale verdelingsfunctie: Φ0) = 0.5, Φ) = 0.84, Φ 2) = , Φ ) = , Φ2) = , Φ) = a) b) c) d) e) f) Stochast X is uniform verdeeld op [0, 2]. Wat is de kans P X + X )? a) 8 b) 6 c) 4 d) e) 2 f) 5. Een organisatie bestaat uit een groot aantal werknemers. Elke werknemer is ingeschaald volgens één van drie mogelijke salarisklassen en verandert jaarlijks van klasse volgens de volgende Markov matrix: Geef voor elk van de drie salarisklassen het percentage werknemers dat na een groot aantal jaren) in de klasse verkeert. a) 24%, 5%, 4%) b) 5%, 24%, 4%) c) 4%, 24%, 5%) d) 24%, 4%, 5%) e) 5%, 4%, 24%) f) 4%, 5%, 24%) 4. Stochasten X en Y hebben gezamenlijke dichtheid { xe xy+), x, y 0, f X,Y x, y) = 0, anders De conditionele verwachting E [Y X = x] is a) 8 b) 2x c) x 2 d) /x e) 2 f) e x 5. Nieuwe gebruikers registreren zich op een website volgens Poisson proces met intensiteit λ =. Wat is bij benadering) de kans dat er tussen de tiende en de elfde registratie drie dagen of meer verloopt? a) 0.0 b) 0.02 c) 0.05 d) 0.0 e) 0.5 f) 0.20

4 Open vragen. Gegeven is P A E) P B E) en P A E c ) P B E c ). Bewijs dat P A) P B). 2. Uw koelkast kan in twee toestanden verkeren, aan en uit. De gemiddelde lengte van een aan periode is 5 minuten, die van een uit periode 2 uur. Wanneer de koelkast aan is verbruikt hij 400 Watt stroom. Aangenomen wordt dat het gaat om een continue tijd Markov keten. Schrijf de generator G druk uw eenheden uit in uren). Bereken de evenwichtsverdeling π en de kosten van de koelkast per dag als de kilowattuurprijs 0 cent bedraagt.. Een bacteriecultuur wordt bestraald met radioactieve straling en heeft daardoor het volgende groeipatroon. Iedere seconde is er voor elke bacterie een kans 0. om te sterven, een kans 0.4 om te overleven zonder zich te vermenigvuldigen, en een kans 0.5 om te overleven en één nieuwe bacterie te produceren. Wanneer men begint met 500 culturen, elk met één bacterie, en men bestraalt deze culturen gedurende 24 uur, wat is dan het gemiddelde aantal overlevende culturen? 4. Bewijs dat voor x 0 en n + e n k: k n x n n k k! x x 2π e 2 u2 du. Aanwijzing: Kies geschikte stochasten, en pas daarmee de Centrale Limietstelling toe. 4

5 Antwoorden multiple choice: B 2 F A PA A 2 A ) = PA ) + PA 2 ) + PA ) PA A 2 ) PA A ) PA 2 A ) + PA A 2 A ) = = 6 = = 62 P Juist) = P Juist A) P A) + P Juist B) P B) = = 0.68 P A Juist) = P Juist A) P A) P Juist) = = A P min{c A, B C} L ) = P C [A + L/, B L/]) = 5 D T = N i= B L/ A+L/ X i = 0 0 = E [T ] = E [N] E [X ] = 2 E [N] E [N] = 5 Alternatief: de tijd tot de eerste is geometrisch verdeeld met parameter 2/. De verwachte tijd tot de 0de is dus gelijk aan 0 /2 = 5. 6 C E [Z] = E [X] + 4E [Y ] + 5 = 2, Var Z) = 2 Var X) Var Y ) = 50 L dx =. 7 D P Z < t) = P X > e λt) = e λt Z Expλ). 5

6 8 D 9 C 0 D S = i= f X x) = x λ 2 e λy dy = λe λx, x 0. E [ X 2] = d2 dt 2M Xt) t=0 = 2. X i, X i U, ) E [X i ] = 0, VarX i ) = ). Dus E [S] = 0, VarS) = 00 VarX). en Chebyshev ongelijkheid) B S = 00 P S > 0.) 0.) 2VarS) = VarX) =. 00 i= X i, X i U, ) E [X i ] = 0, VarX i ) = ). Dus E [S] = 0, VarS) = 00 VarX) = 00. en normale benadering, Centrale Limietstelling) ) S P S > 0.) = P > 0. P VarS) /00 en Z > ), Z N 0, ), P Z > ) = 2P Z > ) = 2 Φ )) = C Oplossen van de kwadratische vergelijking geeft P X + X 2 ) = P X ) = E πp = π π = 6 7, 7 7, 4 ) 5%, 4%, 24%) 7 6

7 4 D E [Y X = x] = f X x) = = x xe xy+) dy = e x, 0 x <. yf Y X y x)dy = y f X,Y x, y) dy = 0 f X x) te t dt = ] [ + t)e t x = 0 x 0 xye xy dy 5 C Voor het Poisson proces {Nt)} met intensiteit λ, zijn de tussenaankomsttijden T k = S k+ S k, S k = inf{t 0 : Nt) = k}, k = 0,,..., exponentieel verdeeld met parameter λ: Dus P T k ) = e Antwoorden open vragen: P T k t) = e λt. Dus P A E) P B E) P A E) P B E) P A E c ) P B E c ) P A E c ) P B E c ) P A) = P A E) + P A E c ) P B E) + P B E c ) = P B). In een ruk opgeschreven: 2 P A) = P A E) + P A E c ) = P A E) P E) + P A E c ) P E c ) P B E) P E) + P B E c ) P E c ) = P B E) + P B E c ) = P B) G = ) λ λ, λ = 4, µ = µ µ 2. πg = 0: λπ 0 µπ = 0, en π 0 + π =. π 0 = µ λ + µ = 9, π = λ λ + µ = 8 9. Kosten zijn 24 π = 2 cent per dag. 7

8 Elke cultuur gedraagt zich als vertakking proces met p 0 = P Z = 0) = 0., p = P Z = ) = 0.4, p 2 = P Z = 2) = 0.5. De kans op uitsterven π 0 is de kleinste niet-negatieve oplossing van de vergelijking s = s + 0.5s 2 5s 2 6s + = 0 s = 5,, dus π 0 = 0.2. Er geldt ook π 0 = lim n P X n = 0). De vraag gaat over n = aantal seconden in 24 uur), dus n is groot, en we kunnen aannemen dat P X = 0) π 0 = 0.2, P X n > 0) 0.8. Dus uit 500 culturen zouden er gemiddeld 80% dus 400 overleven. 4 Stel X, X 2,... zijn onafhankelijke Pois)-stochasten, dan heeft S n = n i= X i een Poisn) verdeling, en Centrale Limiet Stelling) e n k: k n x n n k k! = P Sn n n ) x x Φx) Φ x) = x 2π e 2 u2 du. 8