OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.

Transcriptie

1 Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4, 1 f X () = f() =, anders. (a) Bepaal c. (b) Bepaal variantie Var(X) van X. (c) Bepaal P ( 1 16 < X < 1 4 ). (d) Zij Y = 1 + X. Bepaal de verdelingsfunctie F Y en de kansdichtheid f Y van Y. uitwerking (a): Dus, c = 5. 1 = c 4 d = c 5. uitwerking (b): en E(X) = E(X ) = 5 5 d = 5 6, 5 6 d = 5 7. Dus, Var(X) = E(X ) (E(X)) = 5 5 = uitwerking (c): Merkop dat X neemt waarden in [, 1], dus P ( 1 16 < X < 1 4 ) = P (1 4 < X < 1 ) = / 1/4 5 4 d = =.37. uitwerking (d): Merkop dat Y neemt waarden in het interval [, ]. Voor y [, ], P (Y y) = P ( 1 + X y) = P (X y 1) = 1 y d = (y 1) 5.

2 Dus, de verdelingsfunctie van Y wordt gegeven door 1 y > F Y (y) = (y 1) 5, y y <. De kansdichtheid van Y wordt gegeven door f Y (y) = df 1y(y 1) 4, y Y dy (y) =, anders.. Geven twee onafhankelijke stochasten X en Y. (a) Stel dat X en Y standaard normaal verdeeld zijn. Bepaal P (X 1 3Y ). (b) Stel nu dat X en Y uniform verdeeld op (, 1) zijn. Bepaal P (Y X), en P (Y X X + Y 1). uitwerking (a): Merkop dat X is normaal N(, 4) verdeeld, en 3Y is normaal N(, 9) verdeeld. Dus X + 3Y is normaal N(, 13) verdeeld, en de stochast X + 3Y is standaard normaal verdeeld. 13 X + 3Y P (X 1 3Y ) = P (X + 3Y 1) = P ( 1 ) =.613, de numerieke waarde wordt van de normale tabel gelezen. uitwerking (b): Merkop dat de simultane kansdichtheid van X en Y wordt gegeven door 1, y 1 f(, y) =, anders. Dus, en P (Y X) = P (X + Y 1) = P (Y X, X + Y 1) = P (Y X X + Y 1) = / 1 dy d = 1 4, /3 1 dy d = 1, 1 dy d = 1 6, P (Y X, X + Y 1) P (X + Y 1) = 1 3.

3 3. Stel dat de simultane dichtheid van X en Y gegeven wordt door als < y < < 1 f(, y) = anders. (a) Bepaal de marginale kansdichtheden f X en f Y van X en Y. (b) Bepaal E(XY ). (c) Bepaal P (X + Y 1). (d) Bepaal de kansdichtheid van Z = X. (e) Laat zien dat voor < < 1, de conditionele kansdichtheid f Y X (y ) van Y gegeven X = wordt gegeven door f Y X (y ) = y als < y < anders. (f) Bepaal E(Y X = ) voor < < 1. Bepaal vervolgens E(Y ). uitwerking (a): We bepalen eerst de marginale dichtheid van X. Voor < < 1, Dus Voor < y < 1, Dus f X () = f Y (y) = f X () = y f Y (y) = dy = y =. { < < 1; anders. d = ln 1 y = ln y. { ln y < y < 1; anders. uitwerking (b):. E(XY ) = y dy d = 3 3 d = = 1/3 uitwerking (c): P (X + Y 1) = / dy d + 1/ dy d = ln

4 uitwerking (d): Voor < z < 1, P (Z z) = P (X z) = P (X z) = z d = z = z. Dus f Z (z) = { 1 < z < 1; anders. In andere woorden Z is uniform verdeeld op het interval (, 1). uitwerking (e): Voor < < 1, f Y X (y ) = f(, y) f X () = y als < y < anders. uitwerking (f): Voor < < 1, en E(Y X = ) = E(Y ) = y f Y (y X = ) dy = E(Y X = ) f X () d = y dy = 3, 3 d = Zij X een eponentieel verdeelde stochast met parameter α (d.w.z. X heeft dichtheid f X () = αe α, an elders), en Y een eponentieel verdeelde stochast met parameter β. Veronderstel dat X en Y onafhankelijk zijn. (a) Laat zien dat P (X > Y ) = β α+β. (b) Laat zien dat Z = min(x, Y ) eponentieel verdeeld is met parameter α + β. (c) Bepaal de dichtheid van X + Y. uitwerking (a): X en Y zijn onafhankelijk, dus is de simultane dichtheid van X en Y gegeven door f (X,Y ) (, y) = f(, y) = f X ()f Y (y), d.w.z. αβe α βy als < <, < y < f(, y) = elders. Dus, P (X > Y ) = αβe α βy dy d = = β α + β. uitwerking (b): Zij z >, dan 4

5 Dus, P (Z > z) = P (X > z, Y > z) P (Z z) = 1 e (α+β)z = = P (X > z)p (Y > z) = e αz e βy = e (α+β)z. z (α + β)e (α+β)u du, zodat Z is eponentieel verdeeld met parameter α + β (met dichtheid f Z (z) = (α + β)e (α+β)z als z > en anders. uitwerking (c): f X+Y (z) = f(, z ) d, waarbij f(, y) = f X()f Y (y) de simultane dichtheid van X en Y is. Omdat f(, z ) > voor >, z > en is anders, krijgen we voor z > f X+Y (z) = z αβe α βz+β d z = αβe βz e (β α) d = αβe βz β α e(β α) z = αβe βz = ( e z(β α) 1 ) β α αβ ( e αz e βz) β α 5. Zij N, X 1, X, X 3, een rij van onafhankelijke stochasten met N Poisson verdeeld met parameter λ >, en X i standaard normaal verdeeld voor i 1. Definieer een stochast Y door X 1 + X + + n X n als N = n, n 1 Y = als N =. (a) Bepaal P (Y t N = n) voor n, en t R. (b) Bepaal E(Y N = n) en E(Y N = n). (c) Laat zien dat Var(Y ) = λ + λ. uitwerking (a): Merkop dat ix i normaal N(, i) verdeeld is en dat de stochast X 1 + X + + n X n normaal N(, n(n+1 ) verdeeld is. Vanwege onafhankelijkheid, P (Y t N = n) = P ( n t i Xi t) = i=1 5 1 e ( πn(n + 1) n(n+1) ) d.

6 uitwerking (b): E(Y N = ) =, en E(Y N = ) =. Voor n 1 de conditionele verdeling van Y gegeven N = n normaal N(, n(n + 1)/) is. Dus E(Y N = n) =, en E(Y N = n) = Var(Y N = n) = n(n + 1)/. uitwerking (c): Uit onderdeel (b) hebben we E(Y ) = n= E(Y N = n)p (N = n) = en E(Y N) = N(N + 1)/. Dus Var(Y ) = E(Y ), en E(Y ) = E(E(Y N)) = E(N(N + 1)/) = 1 (E(N ) + E(N)) = in de laatste gelijkheid gebruikten we dat E(N ) = λ + λ en E(N) = λ. λ + λ, 6