TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
|
|
- Marina Michiels
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk en overzichtelijk te worden opgeschreven. Elk onderdeel levert punten op. Het cijfer is het totaal van de behaalde punten gedeeld door 7, afgerond op een geheel getal. Er is één bonusopgave, wat het 8de onderdeel is, dat extra punten kan opleveren. Op elk ingeleverd vel de naam van de student, de code van het college en de datum van het tentamen noteren. U mag gebruik maken van een onbeschreven Statistisch Compendium en een (grafische) rekenmachine.. Compulsieve gokker. Een compulsieve gokker bezoekt een casino en ziet een rij van n gokautomaten. Hij kan zich er niet van weerhouden op elke gokautomaat te spelen net zolang totdat hij een keer gewonnen heeft op elke gokautomaat. We nemen aan dat verschillende spellen onafhankelijk zijn van elkaar. De i de gokautomaat heeft kans p i (, ) op winst. (a) Laat X i het aantal malen zijn dat hij speelt op gokautomaat i. Geef de kansmassafunctie van X i. (b) Laat M : min(x,..., X n ) het minimale aantal keren dat hij op dezelfde automaat speelt. Wat is de kansmassafunctie van M? [Hint: kijk naar P(M > k) voor elke k.] (c) Stel dat p p 2 p n p, en definieer S : X + X X n. Geef een uitdrukking voor P(S k). (d) Stel p /3 en n 5. Benader de kans dat S 8. (e) Een random variabele X die waarden in N {, 2,...} aanneemt heet geheugenloos als P(X > k + l X > k) P(X > l) voor alle k, l N. Laat zien dat elke geometrisch verdeelde random variabele geheugenloos is. (f) Stel dat Y een discrete random variabele is die waarden in N {, 2,...} aanneemt, en geheugenloos is. Laat zien dat Y geometrisch verdeeld moet zijn. 2. Laat X, Y, Z onafhankelijk en gelijkverdeelde uniforme random variabelen zijn op het interval (, ), zodat f X (x) f Y (x) f Z (x) voor x (, ) en anders. (a) Als n N een (willekeurig, maar vast) positief geheel getal is, welke verdeling heeft nx dan? Hier is x het kleinste gehele getal groter dan x R. (b) Laat U : XY Z en S : X 2 + Y 2 + Z 2. Bereken E[U], Var(U) en E[S]. (c) Stel g : [, ] [, ] is een functie. Laat zien dat P(X < g(y )) g(y)dy.
2 3. Gezamenlijke verdeling. De (continue) random variabelen (X, Y ) hebben een gezamenlijke kansdichtheid op [, ) 2 van de vorm f X,Y (x, y) c(x + y) 5, x y <, voor een zekere c >. De gezamenlijke kansdichtheid is nul anders. (a) Laat zien dat c 92. (b) Bereken E[XY ]. Zijn X en Y onafhankelijk? (c) Bereken E[Y X 2]. 4. Moment genererende functie. De momentgenererende functie van de random variabele X wordt gegeven door (a) Bereken E[X]. M X (t) E[e tx ] 2 (b) Laat zien dat E[X k ] /[2(k + )] voor alle k. [ e t t ] + 2. (c) (Bonus opgave voor punten) Wat is P(X )? En wat is de verdeling van X? 5. Geef een gemotiveerd antwoord op de volgende vragen: (a) Op een Sinterklaasfeest geeft en krijgt iedereen 2 kados. De lootjes worden verdeeld door van alle deelnemers 2 briefjes met hun naam erop in een bak te doen, en iedereen twee briefjes te laten trekken. We noemen een loting geldig als niemand zichzelf trekt, en we noemen een loting saai als iemand 2 keer dezelfde persoon trekt. Wat is de kans dat een loting in een gezin van 3 mensen geldig en niet saai is? (b) Stel dat X,..., X onafhankelijk en gelijk verdeeld zijn met dichtheid f X (x) (3/2) x voor x en f X (x) anders. Geef een benadering voor P(X + + X 5). (c) Stel dat U, U 2,..., U n een rij van onafhankelijke en gelijkverdeelde uniforme random variabelen is op het interval (, a) voor een zekere a >. Laat zien dat n min(u,..., U n ) in verdeling convergeert naar een exponentiële random variabele met parameter /a. Succes! 2
3 Uitwerkingen:. (a) Laat X i het aantal malen zijn dat hij speelt op gokautomaat i. Geef de kansmassafunctie van X i. X i is geometrisch met succeskans p i, dus, voor k N, P(X i k) p i ( p i ) k. Dit kan je ook begrijpen doordat X i k precies als de gokker de eerste k spellen heeft verloren, en de kde wint. Omdat de verschillende spellen onafhankelijk zijn, geeft dat bovenstaande. (b) Laat M : min(x,..., X n ) het minimale aantal keren dat hij op dezelfde automaat speelt. Wat is de kansmassafunctie van M? Om de verdeling van M te berekenen, beginnen we met de observatie dat P(M > k) P(X > k,..., X n > k) P(X > k) P(X n > k) n ( n k. ( p i ) k ( p i )) De verdeling van M is dus geometrisch met succeskans q n i ( p i), dus P(M k) q( q) k. (c) Stel dat p p 2 p n p, en definieer S : X + X X n. Geef een uitdrukking voor P(S k). De gebeurtenis dat S k betekent dat de gokker in de eerste k spellen precies n keer moet hebben gewonnen, en dat de kde weer winst geeft. Omdat alle kansen voor de verschillende automaten gelijk zijn, maakt het niet uit op welke automaat de gokker speelt. De kans op precies n keer winst in k spellen is ( ) k p n ( p) k n, n en de kans op winst in het laatste spel is p zodat, voor k n, ( ) k P(S k) p n ( p) k n. n Alternatieve oplossing is met genererende functies, omdat ( G S (s) G X (s) n e t ) n, ( p) e t wat de genererende functie is van een negatief binomial verdeling (zie statistisch compendium). (d) Stel p /3 en n 5. Benader de kans dat S 8. Stap : S X + + X 5, waarbij (X i ) 5 i onafhankelijke en gelijkverdeelde Geometrische random variabelen zijn met succeskans p, met eindige verwachting en variantie. Dus, we mogen de centrale limiet stelling gebruiken. Stap 2: We berekenen E[X i ] /p 3, Var(X i ) ( p)/p 2 6. Standaardizeren geeft dus ( S ( S 5 ) P(S 8) P ) P, i i 3
4 Stap 3: Benader met Stap 4: Tabel: P(S 8) P(Z, 732), P(S 8) P(Z, 732) (e) Een random variabele X die waarden in N aanneemt heet geheugenloos als P(X > k + l X > k) P(X > l) voor alle k, l N. Laat zien dat elke geometrisch verdeelde stochast geheugenloos is. Voor een geometrische random variabele met parameter k geldt dat P(X > k) ( p) k. Hiermee rekenen we uit P(X > k+l X > k) P(X > k + l, X > k) P(X > k) P(X > k + l) P(X > k) ( p)k+l ( p) k ( p) l P(X > l). Dus is X inderdaad geheugenloos. (f) Stel dat Y een discrete random variabele is die waarden in N aanneemt, en geheugenloos is. Laat zien dat Y geometrisch verdeeld moet zijn. Noem p P(Y ). Dan rekenen we uit dat (met een telescoping product) P(Y > k) P(Y > k) k P(Y > ) i P(Y > k + ) P(Y > k) k P(Y > k+ Y > k) waarbij we in de een na laatste gelijkheid de geheugenloosheid gebruiken. Dus, i k P(Y > ) ( p) k, P(Y k) P(Y > k ) P(Y > k) ( p) k ( p) k p( p) k, ofwel Y is geometrisch met kans p. 2. (a) Als n N een (willekeurig, maar vast) positief geheel getal is, welke verdeling heeft nx dan? Hier is x het kleinste gehele getal groter dan x R. U : nx heeft de uniforme verdeling op {,..., n}, want ( P(U i) P X ( i n, i ] ) n i { als i of i > n, en n als i {,..., n}. (b) Laat U : XY Z en S : X 2 + Y 2 + Z 2. Bereken E[U], Var(U) en E[S]. We rekenen eerst uit dat E[X] xf X (x)dx /2, E[X 2 ] x 2 f X (x)dx /3. De random variabelen Y en Z hebben dezelfde verdeling en dus dezelfde momenten. Daarom is, vanwege onafhankelijkheid, E[U] E[XY Z] E[X]E[Y ]E[Z] /8, en E[U 2 ] E[(XY Z) 2 ] E[X 2 Y 2 Z 2 ] E[X 2 ]E[Y 2 ]E[Z 2 ] /27. 4
5 Er geldt dus dat Verder geldt dat Var(U) E[U 2 ] E[U] 2 27 ( 8 ) E[S] E[X 2 + Y 2 + Z 2 ] E[X 2 ] + E[Y 2 ] + E[Z 2 ]. (c) Stel g : [, ] [, ] is een functie. Laat zien dat P(X < g(y )) g(y)dy. We rekenen uit, met B {(x, y): x < g(y)}, P(X < g(y )) f X,Y (x, y)dxdy. Omdat X en Y onafhankelijk zijn en g(x) [, ], geldt P(X < g(y )) B B f X (x)f Y (y)dxdy g(y) dxdy g(y)dy. 3. Gezamenlijke verdeling. De (continue) random variabelen (X, Y ) hebben een gezamenlijke kansdichtheid op [, ) 2 van de vorm f X,Y (x, y) c(x + y) 5, x y <, voor een zekere c >. De gezamenlijke kansdichtheid is nul anders. (a) Laat zien dat c 92. Er moet gelden dat We rekenen uit: Dus, c 92. f X,Y (x, y)dydx x (b) Bereken E[XY ]. Zijn X en Y onafhankelijk? We berekenen E[XY ] f X,Y (x, y)dydx. c(x+y) 5 dxdy xyf X,Y (x, y)dydx c We schrijven y (x + y) x om te komen op E[XY ] xyf X,Y (x, y)dydx c Nu kunnen we beide termen integreren over y: [ c 4 (x+y) 4 ] x dx c 64 x x xy(x + y) 5 dydx. x(x + y) 4 x 2 (x + y) 5 dydx. x 4 dx c 92. E[XY ] c x[ 3 (x + y) 3 ] x x 2 [ 4 (x + y) 4 ] x dx c x 24 x 3 x 2 64 x 4 dx. 5
6 Dit kunnen we verder uitrekenen met E[XY ] c( ) x 2 dx c( ) 92( ) 5. X en Y zijn afhankelijk, want P(X [2, 3], Y [, 2]), maar P(X [2, 3]) P(X [2, 3], Y [3, 4]) en P(Y [, 2]) P(X [, ], Y [, 2]), die beide strikt positief zijn omdat de dichtheid op deze rechthoeken strikt positief is. (c) Bereken E[Y X 2]. We rekenen eerst f X (x) uit: f X (x) Voor x 2 geeft dit f X (2) uit E[Y X 2] Derhalve is f X,Y (x, y)dy c x (x + y) 5 dy c[ 4 (x + y) 4 ] x c 64 x 4. c 24. Nu gebruiken we f Y X(y x) f X,Y (x, y)/f X (x) en rekenen yf Y X (y 2)dy 24 2 y(2+y) 5 dy 24 2 (2+y) 4 2(y+2) 5 dy. E[Y X 2] 24[ 3 (2 + y) 3 ] 2 248[ 4 (y + 2) 4 ] Moment genererende functie. De momentgenererende functie van de random variabele X wordt gegeven door (a) Bereken E[X]. M X (t) E[e tx ] 2 [ e t t ] + 2. We gebruiken dat E[X] M X (). Hievoor rekenen we uit M X(t) [ e t t [e t ] ] 2 t 2 [ [e t ]t [e t t] ] 2 t 2 Nu gebruiken we dat zodat e t t lim t t 2 2, lim [e t ]t t t 2, E[X] M X() 2 [ 2 ] 4. (b) Laat zien dat E[X k ] /[2(k + )]voor alle k. We gebruiken dat Invullen geeft Hieruit rekenen we uit dat M X (t) 2 k e t t k k! k t k k! k t k (k + )!. E[X k ] M (k) X () k! 2 (k + )! 2(k + ). 6
7 (c) (Bonus opgave voor punten) Wat is P(X )? En wat is de verdeling van X? We herkennen et t als de moment genererende functie van een uniforme verdeling. Verder is 2 M Y (t) + 2 de moment genererende functie van de random variabele die is met kans /2, en met kans /2 een uniforme verdeling aanneemt. Dus P(X ) /2 en X heeft dezelfde verdeling als IU, waarbij I een Bernoulli verdeling heeft met succeskans /2 en U een uniforme verdeling op [, ]. 5. Geef een gemotiveerd antwoord op de volgende vragen: (a) Op een Sinterklaasfeest geeft en krijgt iedereen 2 kados. De lootjes worden verdeeld door van alle deelnemers 2 briefjes met hun naam erop in een bak te doen, en iedereen twee briefjes te laten trekken. We noemen een loting geldig als niemand zichzelf trekt, en we noemen een loting saai als iemand 2 keer dezelfde persoon trekt. Wat is de kans dat een loting in een gezin van 3 mensen geldig en niet saai is? Er zijn 3 deelnemers. De eerste deelnemer dient twee verschillende lootjes te krijgen, een van beide andere deelnemers. Die kans is Als de eerste deelnemer zijn lootjes heeft gekregen, zijn er nog 4 lootjes, een van elk van de overgebleven deelnemers, en 2 van de deelnemer die zijn lootjes al heeft. De kans dat de tweede deelnemer niet zichzelf trekt en ook verschillend zijn in dus, conditioneel op dat de eerste al een goede trekking had, gelijk aan P(deelnemer 2 geldig en niet saai deelnemer geldig en niet saai) P(2 geldig en niet saai e lotje 2 is van )P(e lotje 2 is deeln. ) + P(2 geldig en niet saai e lotje 2 is van 3)P(e lotje 2 is deeln. ) 2/4 /3 + 2/3 /3. Als de tweede deelnemer ook goede lootjes heeft getrokken, blijven er voor deelnemer 3 nog 2 lootjes over van deelnemer en van 2, en zijn de lootjes van deelnemer 3 dus correct. We krijgen dat de kans op een goede loting gelijk is aan Je moet dus wel een paar keer trekken voordat dit goed gaat! (b) Stel dat X,..., X onafhankelijk en gelijk verdeeld zijn met dichtheid f X (x) (3/2) x voor x en f X (x) anders. Geef een benadering voor P(X + + X 5). Stap : We gebruiken de centrale limiet stelling. Dat mag, omdat X,..., X onafhankelijk en gelijk verdeeld zijn, met eindige verwachting en variantie. Stap 2: We berekenen µ E[X i ] xf X (x)dx 3 2 x 3/2 dx , 7
8 terwijl E[X 2 i ] x 2 f X (x)dx 3 2 x 5/2 dx , zodat σ 2 Var(X i ) E[Xi 2 ] E[X i ] (3 5 ) Daarmee kunnen we standaardizeren: ( X + + X µ P(X + + X 5) P σ ). σ 2 Stap 3: We benaderen , σ 2 2/75 en dus, vanwege de centrale limiet stelling Stap 4: Dit zoeken we op in de tabel P(X + + X 5) P(Z 3.82). P(X + + X 5) P(Z 3.82) P(Z 3.82) <.. (c) Stel dat U, U 2,..., U n een rij van onafhankelijke en gelijkverdeelde uniforme random variabelen is op het interval (, a) voor een zekere a >. Laat zien dat n min(u,..., U n ) in verdeling convergeert naar een exponentiële random variabele met parameter /a. Laat X n n min(u,..., U n ). We rekenen uit F Xn (x) P(X n x) P(X n > x) P(n min(u,..., U n ) > x) P(U > x/n,..., U n > x/n). We gebruiken dat, voor n zo groot dat x/n (, a), P(U > x/n,..., U n > x/n) P(U > x/n) P(U n > x/n) P(U > x/n) n ( x/(an)) n e x/a. We concluderen dat voor x <, F Xn (x) en voor x >, lim F X n n (x) e x/a. Aangezien dit de verdelingsfunctie is van een exponentiële verdeling met parameter /a, geldt dat X n in verdeling naar een exponentiële verdeling met parameter /a convergeert. 8
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen
Nadere informatieSet 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke
Nadere informatieCursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)
Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135
Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 35 Faculteit FNWI 6525 AJ Nijmegen Examen NWI-NB00B Inleiding Kansrekening 2 juni 206 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N
Nadere informatieUitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een
Nadere informatieKansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieHet tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.
Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel
Nadere informatieTentamen Kansrekening (NB004B)
NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en
Nadere informatieGezamenlijke kansverdeling van twee stochasten
Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Voorbeeld: V = de windsnelheid H = hoogte van het waterniveau in een rivier/zee De combinatie (V, H) is van belang voor een overstroming en niet zozeer V
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Tentamen Inleiding Kansrekening 6 juni 7, : 7: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen.
Nadere informatieSchrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N of I). Het is toegestaan een (grafische) rekenmachine te gebruiken.
Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135 Faculteit FNWI 655 AJ Nijmegen Examen NWI-NBB Inleiding Kansrekening 1 januari 1 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting W, N of
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur
Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische
Nadere informatieKansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur
Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:
Nadere informatieOefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.
Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4,
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim
Nadere informatieTentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander
Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 6, : 3: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met onderdelen. Elk onderdeel
Nadere informatieTentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatie. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8
Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander
Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur
Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine
Nadere informatieSet 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)
Nadere informatieTentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)
WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal
Nadere informatieb) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)
Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012
Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige
Nadere informatieHertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 07, 4:00 7:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur
Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 20 September 1 / 29 1 Kansrekening Indeling: Cumulatieve distributiefuncties Permutaties en combinaties 2 / 29 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert
Nadere informatieHandout limietstellingen Kansrekening 2WS20
Handout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van der Hofstad 13 januari 017 Samenvatting In deze hand out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer detail, behandelen we de volgende
Nadere informatieHandout limietstellingen Kansrekening 2WS20
Handout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van der Hofstad 11 januari 018 Samenvatting In deze hand out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer detail, behandelen we de volgende
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September
Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012
Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten
Nadere informatieVandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatieDeze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.
Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica
Nadere informatie= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31
Tentamen Statistische methoden 45STAMEY april, 9: : Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend voorbeeld:
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieTentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 29 juli 2013 Tijd: 14.00-17.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van
Nadere informatieHoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen)
Hoofdstuk 4: Aavullede Begrippe (Extra Oefeige) 9. Veroderstel dat X e Y ormaal verdeeld zij met resp. gemiddelde waarde µ X e µ Y e met dezelfde variatie 2. Wat is da de distributie va X Y? Bepaal de
Nadere informatieUitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 juli 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 jli 5, 4. 7. r Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebrik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn vragen. Elke vraag is
Nadere informatiemodule SC 12 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur
module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 13.30-16.30 uur Examen module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 Voordat u met de beantwoording van de vragen van dit examen
Nadere informatie10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e.
Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 april 2011, 9:00 12:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend
Nadere informatieOpdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.
Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur
Nadere informatieVrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan.
Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Statistics Deeltentamen 2 Statistics Vrije Universiteit 28 mei 2015 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen: opgaven 1,2,3,4. Cijfer=
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve
Nadere informatieUitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009
Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht UitwerkingOefQuiz Kansreking 29 1. James Bond zoekt e brief in één van de drie ladkast in het voormalige
Nadere informatieDeeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013
Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Algemene Statistiek Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen:
Nadere informatieTentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2010, 9:00 12:00
Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2, 9: 2: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren alstublieft.
Nadere informatieDeze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten
Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3
Nadere informatieHoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 5 Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, 4. 7. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieVoorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014
Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de
Nadere informatieKanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen
Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen 1 Rekenregels kansrekenen Kans van de zekere gebeurtenis: P () = P (U) = 1 Kans van de onmogelijke gebeurtenis: P (;) = 0 Complementregel: P (A c ) = 1 P (A)
Nadere informatieMedische Statistiek Kansrekening
Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien
Nadere informatieVoorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)
Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt.
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober
Statistiek voor A.I. College 10 Dinsdag 16 Oktober 1 / 30 Jullie - onderzoek Geert-Jan, Joris, Brechje Horizontaal: lengte Verticaal: lengte tussen topjes middelvingers met gestrekte armen. DIII 170 175
Nadere informatieExamen Statistiek I Feedback
Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 24 oktober 22, 3.45 6.45 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieOpgaven voor Kansrekening
Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel A (2XE6) op maandag 2 mei 25, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieTentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00
Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00 Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieWiskundige Analyse II
Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Als de partiële afgeleiden van de functie f : R n R niet bestaan in het punt a, dan kan f in a geen lokaal extremum bereiken. Vraag 1.2 Als de functie f : R
Nadere informatieSet 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 2014-2015 1. (Het sleutelprobleem) In een denkbeeldige wedstrijd kunnen deelnemers auto s
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek voor T (2S070) op vrijdag 8 oktober 1999, uur De u
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek voor T (2S070) op vrijdag 8 oktober 1999, 14.00-17.00 uur De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieSamenvatting Statistiek
Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd
Nadere informatieTentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur
Tentamen Kansrekening en statistiek wi205in 25 juni 2007, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop
Nadere informatieDe enveloppenparadox
De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 11 juni 2012 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 8 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van
Nadere informatieOpgaven voor Kansrekening
Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatie