Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33

2 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33

3 3 / 33

4 Suggestie Dezelfde resultaten gepresenteerd via scores en standaardscores: 4 / 33

5 Populatie en steekproef 5 / 33

6 Populatie en steekproef Def. Een populatie bevat alle elementen van een bepaalde groep. Een parameter is een eigenschap van de elementen in de populatie. Een steekproef is een deelverzameling van de groep. Een statistiek is een eigenschap van de elementen in de steekproef. Een constante is een eigenschap die hetzelfde is voor alle elementen van de populatie. Een variabele is een eigenschap die verschillende waarden kan aannemen voor verschillende elementen van de populatie. 6 / 33

7 Populatie en steekproef Vb. Vb. De verzameling van alle Nederlanders is een populatie. Elke groep Nederlanders is een steekproef van deze populatie. De gemiddelde lengte van alle Nederlanders is een parameter. De gemiddelde lengte van een groep Nederlanders is een statistiek. De eigenschap Nederlander is een constante voor de populatie. De eigenschap vrouw is een variabele voor de populatie. De verzameling van alle moleculen is een gegeven glas water is een populatie. De verzameling van alle moleculen in een slok water die iemand uit dat glas neemt, is een steekproef. Het gemiddelde aantal waterstofmoleculen in het glas is een parameter. Het gemiddelde aantal waterstofmoleculen in de slok is een statistiek. De eigenschap molecuul is een constante voor de populatie. De eigenschap zuurstofmolecuul is een variabele voor de populatie. 7 / 33

8 Maten 8 / 33

9 Maten: variantie Def. De variantie van een populatie ter grootte N is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde µ: P n σ 2 i=1 = (X i µ) 2. N Def. De standaard afwijking van een populatie is de wortel uit de variantie: s Pn i=1 σ = (X i µ) 2. N Def. De variantie van een steekproef ter grootte n is P n s 2 i=1 = (X i X ) 2. n 1 Def. De standaard afwijking van een steekproef is de wortel uit de variantie: s Pn i=1 s = (X i X ) 2. n 1 9 / 33

10 Maten: variantie Vb. De populatie is een vijver met 5 vissen. De lengtes in cm. zijn: v 1 v 2 v 3 v 4 v Gemiddelde van de populatie: µ = 6 cm. Variantie van de populatie: σ 2 = (6 6)2 + (5 6) 2 + (9 6) 2 + (4 6) 2 + (6 6) 2 5 = = 2.8. Standaardafwijking van de populatie: σ = 2.8 = Er wordt een steekproef uit de vijver gehengeld bestaande uit v 2, v 4 en v 5. Gemiddelde van de steekproef: Variantie van de steekproef: X = = 5 cm. s 2 = (5 5)2 + (4 5) 2 + (6 5) = = 1. Standaardafwijking van de steekproef : s = 1 = / 33

11 Maten: variantie St. De som van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde is minimaal. Bew. We bewijzen dat voor iedere steekproef, en het geldt dus in het bijzonder voor de gehele populatie. Laat f (y) = nx (X i y) 2 = i=1 f (y) = Dus f is minimaal in X. i=1 nx nx (Xi 2 2X i y + y 2 ) = i=1 i=1 (X 2 i 2X i y) + ny 2. nx nx 2X i + 2ny = 2( X i + ny) f (X ) = 0. i=1 11 / 33

12 Maten: notatie Def. Notatie: populatie steekproef aantal N n gemiddelde µ X variantie σ 2 s 2 standaard afwijking σ s 12 / 33

13 Standaardscores 13 / 33

14 Standaardscores Def. Gegeven een steekproef met gemiddelde X en standaardafwijking s, is de standaardscore (standard score) van score X : X X. s De standaarscore van score X i wordt vaak aangegeven met z i. 14 / 33

15 Standaardscores Vb. Scores: X 1 = 2 X 2 = 4 X 3 = 6. Gemiddelde: X = 4. Standaardscores: van X 1 : z 1 = s 2 = (2 4)2 + (4 4) 2 + (6 4) 2 2 = 1, van X 2 : z 2 = = 4 s = 4 = 2. = 0, van X 3 : z 3 = Vb. Scores: Y 1 = 1 Y 2 = 2 Y 3 = 3 (de vorige gedeeld door 2). Gemiddelde: X = 2. Standaardscores: van Y 1 : y 1 = s 2 = (1 2)2 + (2 2) 2 + (3 2) 2 2 = 1, van Y 2 : y 2 = = 1 s = 1 = 1. = 0, van Y 3 : y 3 = = 1. = 1. Merk op: De verdelingen van X en Y lijken zodanig op elkaar dat hun standaardscores gelijk zijn. 15 / 33

16 Normale verdeling 16 / 33

17 Normale verdeling Def. Een continue stochast X heeft een normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ als de kansdichtheid deze vorm heeft: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2. De standaard normale verdeling is de normale verdeling met gemiddelde µ = 0 en standaardafwijking σ = 1. De kansdichtheid is: f (x) = 1 2π e x2 2. De verdeling wordt vaak aangeduid met P s. 17 / 33

18 Normale verdeling en binomiale verdeling Vb. Lengte van mannen en vrouwen: 18 / 33

19 Normale verdeling Vb. De verhouding tussen wijs- en ringvinger bij mannen en vrouwen: 19 / 33

20 Normale verdeling Vb. Het IQ: 20 / 33

21 Normale verdeling St. Voor elke een normaal verdeelde stochast X met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt: P(µ σ X µ + σ) = P(µ 2σ X µ + 2σ) = P(µ 3σ X µ + 3σ) = / 33

22 Normale verdeling Vb. Hoe groter de standaardafwijking hoe breder de klok: 22 / 33

23 Normale verdeling en binomiale verdeling St. Bij toenemende n gaat de binomiale verdeling n k p k (1 p) n k lijken op de normale verdeling met gemiddelde p en variantie p(1 p). Dat wil zeggen: Zij X een binomiaal verdeelde stochast met verdeling `n k pk (1 p) n k. Dan geldt voor grote n dat de kans dat het aantal successen tussen k 1 en k 2 ligt, benaderd kan worden door de normale verdeling: Z k2 1 P(k 1 X k 2 ) p e (x p)2 2p(1 p) dx. k 1 p(1 p) 2π Feit: Veel verdelingen lijken op de normale verdeling (Centrale Limietstelling). 23 / 33

24 Normale verdeling en binomiale verdeling Vb. 24 / 33

25 Normale verdeling en binomiale verdeling Vb. 25 / 33

26 Normale verdeling: normaliseren St. Als X een normale verdeling heeft met gemiddelde µ en standaardafwijking σ, dan heeft de stochast X µ σ de standaard normale verdeling. Dat wil zeggen dat de standaardscores van X de standaard normale verdeling hebben. Omdat X µ σ de standaardscore van X is, geldt dat P(X a) = P( X µ σ Met tabel C.1 kan de X waarvoor P s( X µ σ a µ σ ) = Ps( X µ a µ σ σ ). a µ ) geldt bepaald worden. σ 26 / 33

27 Normale verdeling: normaliseren Vb. Zij X een normaal verdeelde stochast met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. De kans dat X 8 is P(X 8) = P( X ) = P X 7 s( ). Uit tabel C.1 blijkt dat ( 1 3 afgerond op 2 decimalen) P s(z 1 3 ) = Dus P(X 8) = / 33

28 Normale verdeling: normaliseren Vb. Zij X een normaal verdeelde stochast met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. De kans dat X 5 is P(X 5) = P( X ) = P X 7 s( ). Uit tabel C.1 blijkt dat P s(z 2 3 ) = Dus Ps(z 2 ) = , en daarmee 3 P s(z 2 ) = = Dus P(X 5) = / 33

29 Normale verdeling: normaliseren Vb. Zij X een normaal verdeelde stochast met gemiddelde -3 en standaardafwijking 2. Het 40 e percentiel is de waarde x waarvoor P(X x) = 0.4. Dat wil zeggen, de x waarvoor P s( X +3 x ) = 0.4. Uit tabel C.1 blijkt dat P s(z 0.26) = 0.4, dus P s(z 0.26) = 0.4. Daarmee P s( X ) = 0.4. Het 40 e percentiel is dus x = 2 ( 0.26) 3 = / 33

30 Stochast en populatie 30 / 33

31 Stochast en populatie Er bestaat het volgende verband tussen een populatie en een kansexperiment. Def. Beschouw een eindige populatie en een parameter met eindig veel mogelijke waardes: X 1,..., X n. Laat f i de frequentie (het aantal) van de elementen in de populatie met waarde X i zijn. Beschouw het kansexperiment bestaande uit het willekeurig kiezen van een element uit de populatie, waarbij de stochast X de waarde van de parameter voor het gekozen element is. Dan is X een stochast met mogelijke mogelijke waardes X 1,..., X n en verdeling: P(X = X i ) = f i N. X is de bij de populatie en de parameter behorende stochast. 31 / 33

32 Stochast en populatie Def. Voor een discrete stochast X met eindig veel waardes X 1,..., X n is de verwachtingswaarde van X : E(X ) = nx P(X = X i )X i. i=1 St. Bij het beschouwen van een eindige populatie en een parameter met eindig veel waardes X 1,..., X n, is de verwachtingswaarde van de bijbehorende stochast X gelijk aan het gemiddelde µ van de parameter in de populatie: E(X ) = µ. Bew. Zij N het aantal elementen in de populatie en f i de frequentie (het aantal) van de elementen in de populatie met waarde X i. Dan geldt dat P n i=1 µ = f i X i N nx f i X i nx = N = P(X = X i )X i = E(X ). i=1 i=1 32 / 33

33 Finis 33 / 33