Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42

2 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 42

3 Vragen: cirkels Een computer genereert willekeurige punten in de grote cirkel. Wat is de kans dat het punt in de kleine cirkel valt? Merk op: de uitkomstenruimte is continu. 3 / 42

4 Vragen: magneet Een metalen balletje wordt geworpen op een langwerpige magneet van 1 m. waarvan de magnetische kracht gelijkmatig toeneemt naar de rechter kant. Wat is de kans dat het balletje op de rechter helft van de magneet terecht komt? 4 / 42

5 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig punt in tweeën gebroken. Wat is de kans dat een van de delen kleiner is dan 1 4? Merk op: de uitkomstenruimte is het interval (0, l), waarbij l de lengte van de lineaal is. 5 / 42

6 Vragen: telefoontjes Zij X de continue stochast waarvan de waardes de tijdsduur tussen twee opeenvolgende telefoontjes in een alarmcentrale zijn. Wat voor kansverdeling heeft X en kan, bijvoorbeeld, de kans berekend worden dat de tijdsduur tussen twee opeenvolgende telefoontje groter dan 5 minuten is? 6 / 42

7 Eigenschappen van kansen 7 / 42

8 Eigenschappen van kansen: vereniging St. P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C). St. P(A 1 A n) = P(A 1 ) + + P(A n) P 1 i<j n P(A i A j ) + P 1 i<j<h n P(A i A j A h ). ±P(A 1 A n). 8 / 42

9 Eigenschappen van kansen: vereniging Vb. Van drie ziektes Z 1, Z 2, Z 3 is het percentage mensen onderzocht dat aan een van die ziektes of een combinatie daarvan lijdt: Z 1 Z 2 Z 3 Z 1 &Z 2 Z 1 &Z 3 Z 2 &Z 3 Z 1 &Z 2 &Z 3 percentage Wat is de kans dat iemand een (of meer) van die ziektes heeft? P(Z 1 Z 2 Z 3 ) = = / 42

10 Eigenschappen van kansen: partities St. P(A) = P(A B) + P(A B). Def. B 1,..., B n vormen een partitie van de uitkomstenruimte als zij onderling disjunct zijn en S = B 1 B 2 B n. St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n). 10 / 42

11 Eigenschappen van kansen: partitie Vb. Het percentage mensen met dyslexie is 20%, met dyscalculi 4% en 0.9% heeft dyslexie én dyscalculi. Wat is het percentage mensen dat aan precies één van de twee lijdt? 0.2 = P(dyslexie) = P(dyslexie en dyscalculi) + P(dyslexie en niet dyscalculi) 0.04 = P(dyscalculi) = P(dyslexie en dyscalculi) + P(dyscalculi en niet dyslexie). Dus P(dyslexie en niet dyscalculi) = = P(dyscalculi en niet dyslexie) = = Dat geeft P(dyslexie en niet dyscalculi) + P(dyscalculi en niet dyslexie) = = / 42

12 Eigenschappen van kansen: samenvatting 0 P(A) 1 en P(S) = 1 (axioma s). P(A) = 1 P(A). Als A 1, A 2,... onderling disjunct zijn, dan geldt (axioma) [ P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C). P(A) = P(A B) + P(A B). Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n). 12 / 42

13 Oneindige discrete uitkomstenruimtes 13 / 42

14 Oneindige discrete uitkomstenruimtes Vb. Een dobbelsteen wordt gegooid totdat er de eerste keer een 2 wordt gegooid. De uitkomstenruimte bestaat uit het aantal worpen, en is dus oneindig: S = {1, 2, 3, 4,... } = N >0. Er moet P(S) = 1 gelden, en inderdaad: P(X = 1) = 1 P(X = 2) = = 5 36 P(X = 3) = = X n=1 P(X = n) = 5n 1 6 n P(X = n) = = 1 14 / 42

15 Antwoord op een vraag: natuurlijke getallen Vb. Wat is de kans dat je uit een zak gevuld met de natuurlijke getallen een 7 trekt? Intuïtie: voor elk getal is de kans om het te trekken even groot. Stel dat die kans p is, en laat X de stochast zijn. Dan is voor elk getal n, P(X = n) = p. Omdat de gebeurtenissen disjunct zijn en P(X N) = 1 geldt X X j 0 als p = 0 1 = P(X N) = P(X = n) = p = als p > 0. n=1 n=1 Een tegenspraak: 1 = 0 of 1 =. Consclusie: aan dit experiment kan geen kansverdeling toegekend worden die overeenkomt met bovengenoemde intuïtie. Aan de vraag wat P(X = 7) is, kan daarom geen zinvolle betekenis gegeven worden. Let wel: de eis van uniformiteit van de verdeling is hier essentiëel, want de vorige slide toonde een voorbeeld van een (niet-uniforme) kansverdeling op een discrete oneindige uitkomstenruimte. 15 / 42

16 Continue uitkomstenruimtes 16 / 42

17 Continue uitkomstenruimtes: kansen toekennen Intuïtie: 0 r 1 r 1 Als X willekeurige waarden aanneemt in [0,1], dan moet gelden dat P(X [0, r]) = P(X [1 r, 1]). r a b c d s Als X willekeurige waarden aanneemt in [r, s] en (d c) = 2(b a), dan moet gelden dat P(X [c, d]) = 2 P(X [a, b]). Hieraan wordt voldaan als P(X [a, b]) = (b a) (s r). 17 / 42

18 Continue uitkomstenruimtes: kansen toekennen Intuïtie: 1 r 1 r r 0 r 1 Als X willekeurige waarden aanneemt in [0, 1] [0, 1], dan moet gelden dat P(X [0, r] [0, r]) = P(X [1 r, 1] [1 r, 1]). 18 / 42

19 Continue uitkomstenruimtes: kansen toekennen Intuïtie: B r A s Als X willekeurige waarden aanneemt in de rechthoek en de oppervlakte van B is twee maal de oppervlakte van A, dan moet gelden dat Hieraan wordt voldaan als P(X B) = 2 P(X A). oppervlakte A P(X A) = oppervlakte rechthoek = oppervlakte A. r s 19 / 42

20 Continue uitkomstenruimtes: kansen toekennen Intuïtie: A O Als X willekeurige waardes aanneemt in een oppervlak O R 2 en A is een oppervlak in O, dan moet gelden dat P(X A) = oppervlakte A oppervlakte O. 20 / 42

21 Continue stochasten 21 / 42

22 Continue stochasten Intuïtie: Discrete stochasten: P(X A) = X i A P(X = i). Continue stochasten: X i A Z. A 22 / 42

23 Continue stochasten Def. Een stochast X met uitkomstenruimte S is continu als er een kansdichtheid f : S R 0 is zodat voor elke gebeurtenis A S geldt: Z Z P(X A) = f (x)dx en f (x)dx = 1. A S Vergelijk Voor een discrete stochast X met kansverdeling f geldt f : S [0, 1] en P(X A) = X X f (i) en f (i) = 1. i A i S Conventie: Vaak wordt P(A) i.p.v. P(X A) geschreven. 23 / 42

24 Continue stochasten Vb. Zij X de continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in [0,1]. Dan heeft X de volgende kansdichtheid: j 1 als 0 x 1 f (x) = 0 anders. Inderdaad geldt dat Z f (x)dx = 1. In overeenstemming met de intuïtie geldt voor elk interval [a, b] in [0,1]: Z b Z b P(X [a, b]) = P(a X b) = f (x)dx = 1dx = x b a= b a. a a 24 / 42

25 Continue stochasten Vb. Zij X de continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in [r, s]. Dan heeft X de volgende kansdichtheid: j 1 als r x s f (x) = s r 0 anders. Inderdaad geldt dat Z 1 dx = 1. s r In overeenstemming met de intuïtie geldt voor alle r a b s dat Z b P(a X b) = a Z b f (x)dx = a 1 s r dx = x s r b a = b a s r. 25 / 42

26 Continue stochasten Vb. Zij X de continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in een rechthoek met lengte r en hoogte s. Dan heeft X de volgende kansdichtheid: j 1 als x in de rechthoek ligt f (x, y) = r s 0 anders. Er geldt dat Z d Z b Z d Z b 1 P(X [a, b] [c, d]) = f (x, y)dxdy = c a c a r s dxdy = Z b = a (d c) (d c) x dx = b a r s r s (b a)(d c) =. r s 26 / 42

27 Continue stochasten Vb. De kansdichtheid f van het IQ van mensen: Z 115 P(85 X 115) = f (x) = Z 130 P(70 X 130) = f (x) = / 42

28 Antwoord op een vraag: telefoontjes Vb. Zij X de continue stochast waarvan de waardes de tijdsduur (in minuten) tussen twee opeenvolgende telefoontjes in een alarmcentrale zijn. Uit onderzoek blijkt dat de kansdichtheid van X de volgende is: j 1 f (x) = 5 e x 5 als x 0 0 anders. Merk op: f neemt willekeurig grote waardes aan. De kans dat de tijdsduur tussen twee telefoontjes tussen de 6 en 7 minuten ligt: Z 7 1 P(6 X 7) = 6 5 e x 5 dx = e x = e e 6 5 = De kans dat de tijdsduur tussen twee telefoontjes groter is dan 5 minuten: Z 1 P(X > 5) = 5 5 e x 5 dx = e x 5 5 = e 1 = 1 e = / 42

29 Antwoord op een vraag: magneet Vb. Een metalen balletje wordt geworpen op een langwerpige magneet van 1 m. waarvan de magnetische kracht gelijkmatig toeneemt naar de rechter kant. X is de continue stochast waarvan de waardes de plaats van het balletje op de magneet zijn. Gegeven is dat de kansdichtheid van X f is, waarbij f j 2x als 0 x 1 f (x) = 0 anders. 0 1 De kans dat het balletje op de rechter helft van de magneet valt is: Z 1 P(0.5 X 1) = 2xdx = x = De kans dat het balletje op de linker helft van de magneet valt is: Z 0.5 P(0 X 0.5) = 2xdx = x = / 42

30 Continue stochasten: eigenschappen De eigenschappen van discrete stochasten die behandeld zijn gelden ook voor continue stochasten: 0 P(A) 1 en P(S) = 1. P(A) = 1 P(A). Als A 1, A 2,... onderling disjunct zijn, dan geldt [ P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C). P(A) = P(A B) + P(A B). Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n). 30 / 42

31 Continue stochasten: de kans van een getal Een van de voorgaande voorbeelden ging over een kansdichtheid die alle waarden in [0, ) aanneemt. Voor continue stochasten kan f (r) dus niet geïnterpreteerd worden als P(X = r). Voor continue stochasten is P(X = r) = 0 voor elk getal r: Z r+ɛ P(X = r) = lim P(r ɛ X r + ɛ) = lim f (x)dx = ɛ 0 ɛ 0 r ɛ = lim F (x) r+ɛ ɛ 0 r ɛ = lim `F (r + ɛ) F (r ɛ) = 0. ɛ 0 Hierbij is F de primitieve van f (d.w.z. f is de afgeleide van F ). 31 / 42

32 Uniforme verdelingen 32 / 42

33 Uniforme verdelingen Def. Een discrete stochast heeft een uniforme verdeling als alle uitkomsten gelijke kans hebben, d.w.z. als de kansverdeling constant is: x S y S : f (x) = f (y). Def. Een continue stochast heeft een uniforme verdeling als de kansdichtheid een constante functie is: x S y S : f (x) = f (y). 33 / 42

34 Uniforme verdelingen: discrete stochasten Vb. De stochast waarvan de waardes de uitkomsten bij het werpen van een dobbelsteen zijn, heeft een uniforme verdeling: f (i) = P(X = i) = 1 6. De stochast die de som van de getallen is bij het werpen van twee dobbelstenen heeft geen uniforme verdeling, omdat bijv. P(X = 2) = 1 36 P(X = 4) = 3 36 = / 42

35 Uniforme verdelingen: continue stochasten Vb. De volgende continue stochasten zijn uniform verdeeld: De continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in [0,1] heeft kansdichtheid: f (x) : [0, 1] R 0 f (x) = 1. De continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in een reëel interval [r, s] heeft kansdichtheid: f (x) : [r, s] R 0 f (x) = 1 s r. De continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in een rechthoek [r, s] [u, v] heeft kansdichtheid: f (x) : [r, s] [u, v] R 0 f (x, y) = 1 (s r) (v u). 35 / 42

36 Uniforme verdelingen: willekeur Als een experiment bestaat uit het willekeurig kiezen van een punt in een oppervlak (lijnstuk), dan is de bijbehorende stochast uniform verdeeld. Omdat moet gelden R S f (x, y)dxdy = 1 ` R S f (x)dx = 1 en f constant is, geldt f (x, y) = 1 grootte oppervlak `f (x) = 1. lengte lijnstuk 36 / 42

37 Antwoord op een vraag: cirkels Vb. Zij X de continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in een cirkel O met straal r: O C r Dan is X uniform verdeeld, met de volgende kansdichtheid: f (x, y) : {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2 } R 0 f (x, y) = 1 πr 2. Voor elke cirkel C met straal s r geldt dat P(X C) = oppervlakc oppervlako = πs2 πr 2 = s2 r / 42

38 Niet-uniform verdeelde continue stochasten Vb. Een stochast die als waardes de tijdsduur (in dagen) tussen twee opeenvolgende emissies van een isotoop heeft: is niet uniform verdeeld, omdat 1 5 e x 5 f (t) : R 0 R 0 f (t) = 7e 7t, geen constante functie is. De kans dat de tijsduur tussen twee opeenvolgende emissies tussen de 2 en 3 dagen ligt is Z 3 P(2 X 3) = 7e 7t dt = 1 2 e 7t 3 2 = 1 e 14 1 e / 42

39 Antwoord op een vraag: lengte Vb. Een lineaal wordt op een willekeurig punt in tweeën gebroken. Wat is de kans dat tenminste één van de delen kleiner is dan 1 4? Zij X de continue stochast die de lengte van het linker deel is. X heeft een uniforme verdeling. De uitkomstenruimte is het interval (0, l), waarbij l de lengte van de lineaal is. De kansdichtheid is De gevraagde kans is P(X < 1 4 of X > l 1 4 ) = Z 1 4 f (x) : (0, l) R 0 f (x) = 1 l. 0 Z 1 l Z 1 l dx + 1 l 1 l dx = l dx = 2 1 = 1 4l 2l / 42

40 De Monte Carlo methode voor het schatten van oppervlakken Met behulp van continue stochasten kunnen grootheden geschat worden. Vb. Een computer produceert willekeurige getallen in [0,1]. Een paar (x, y) van twee dergelijke getallen kan opgevat worden als een punt in een rechthoek met zijdes van lengte 1: De straal van de cirkel is 1. Dus de kans dat een punt in de cirkel valt is 2 oppervlakte cirkel oppervlakte rechthoek = π 4. Als de computer veel willekeurige paren (x, y) genereert, dan is het percentage dat in de cirkel valt een benadering van π. Zo kan via de kansrekening π benaderd worden / 42

41 Betrands paradox Het begrip willekeurig hangt soms af van de manier waarop we de uitkomstenruimte representeren. Vb. Een cirkel in het zand, waaroverheen een tak willekeurig valt. De tak is zo lang dat die altijd de cirkel raakt of op twee punten snijdt. Wat is de kans dat de lengte l van de koorde (dat deel van de tak dat binnen de cirkel valt) groter dan 3 is? y x Het antwoord hangt af van de manier waarop de koorde gegeven wordt! De volgende twee representaties geven een verschillend antwoord: De coördinaten van het middelpunt van de koorde. Dit geeft P(X > 3) = 1 4. De poolcoördinaten van het middelpunt van de koorde. Dit geeft P(X > 3) = / 42

42 Finis 42 / 42