Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.

Transcriptie

1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij een supermarkt worden voetbalplaatjes uitgedeeld. Een jongen wil alle plaatjes van zijn favoriete eredivisieclub hebben. Er zijn plaatjes per club en 8 clubs. De kaartjes worden per stuk weggegeven. (a) ( punten) Hoeveel plaatjes moet hij, in verwachting, verzamelen wil hij alle plaatjes van zijn favoriete club compleet hebben? Wat is de variantie van het aantal kaartjes dat hij moet verzamelen? Geef zowel een exact getal als een numerieke benadering. (b) ( punten) Wat is de moment genererende functie van het aantal plaatjes dat hij moet verzamelen voor hij alle plaatjes van zijn favoriete club compleet heeft? (c) ( punten) Stel, de jongen heeft een broer. De broer is supporter van een andere club. Ze delen hun verzameling samen (hoe maakt voor deze vraag niet uit). Hoeveel plaatjes moeten zij samen, in verwachting, verzamelen willen zij beiden alle plaatjes van hun favoriete clubs compleet hebben? Geef zowel een exact getal als een numerieke benadering. (d) ( punten) Als de jongen supporter is van dezelfde club als zijn broer, moet hij dan, in verwachting, meer of minder plaatjes verzamelen voor zij beiden alle plaatjes van hun favoriete club compleet hebben? Motiveer je antwoord! 2. Stel dat (X, Y ) gezamenlijke kansdichtheid f X,Y hebben die gegeven wordt door { 2e x y voor y x <, f X,Y (x, y) = anders. (a) ( punten) Bereken de (gezamenlijke) moment genererende functie van X en Y. Bereken ook de moment genererende functie van X en Y alleen, en identificeer de marginale verdelingen van X en Y. (b) ( punten) Wat is P(X > 2Y )? 3. Geef een gemotiveerd antwoord op de volgende vragen: (a) ( punten) Bereken E[X k ] voor alle k N als de moment genererende functie van X gegeven wordt door M X (t) = /( t 2 ). (b) ( punten) Van welke stochast X is M X (t) = /( t 2 ) de moment genererende functie? (c) ( punten) U is Unif[, ] verdeeld en E is exponentieel met verwachting, ofwel, de dichtheid van E is e x voor x en anders. Wat is de dichtheid van U + E als U en E onafhankelijk zijn? (d) ( punten) X is een random variabele met dichtheid f(x) = 5x 6 voor x en f(x) = anders. Bereken E[X 5/6 ] door de dichtheid van X 5/6 te berekenen en de definitie van de verwachtingswaarde te gebruiken. Bereken E[X 5/6 ] vervolgens door de wet van de bewusteloze statisticus te gebruiken.

2 2 Antwoorden en puntentelling Het maximaal aantal te behalen punten is, verdeeld zoals onder aangegeven. Cijfer krijg je door te delen door. De antwoorden moeten helder uitgelegd zijn, met het noemen van de gebruikte resultaten. Bij de antwoorden is duidelijk aangegeven voor welk deelresultaat je hoeveel punten krijgt.. Voetbalplaatjes. Bij een supermarkt worden voetbalplaatjes uitgedeeld. Een jongen wil alle plaatjes van zijn favoriete eredivisieclub hebben. Er zijn plaatjes per club en 8 clubs. De kaartjes worden per stuk weggegeven. (a) Hoeveel plaatjes moet hij, in verwachting, verzamelen wil hij alle plaatjes van zijn favoriete club compleet hebben? Het aantal plaatjes tot hij het eerste plaatje van zijn club krijgt is geometrisch met succeskans /( 8) = /8. Het aantal plaatjes extra tot hij zijn tweede plaatje van zijn club krijgt is geometrisch met succeskans /( 8), etc. Voor een geometrische verdeling Y met succeskans p is E[Y ] = /p, Var(Y ) = ( p)/p 2. Dus, met X het totaal aantal plaatjes, geldt dat X = X + + X, waarbij X i geometrisch is met parameter ( i + )/( 8), onafhankelijk van elkaar. (5pt) Hieruit berekenen we (5pt) E[X] = E[X ] + + E[X ] = 8 en, vanwege de onafhankelijkheid van X,..., X, = , Var(X) = Var(X )+ +Var(X ) = Beide kun je numeriek uitrekenen. ( 8) )2 +( 2 8 8) ( 2 = (b) Wat is de moment genererende functie van het aantal plaatjes dat hij moet verzamelen voor hij alle plaatjes van zijn favoriete club compleet heeft? X = X + + X, waarbij X i geometrisch is met succeskans p i = ( i + )/( 8), onafhankelijk van elkaar. Merk op dat M Xi (t) = p i e t /( ( p i )e t ). Dus (pt) M X (t) = i= M Xi (t) = i= i+ 8 et i+. 8 et (c) Stel, de jongen heeft een broer. De broer is supporter van een ander team. Hoeveel plaatjes moeten zij samen, in verwachting, verzamelen willen zij beiden alle plaatjes van hun favoriete clubs compleet hebben? Noem het aantal Y. Dan is Y = Y + + Y 22, met Y i geometrisch met parameter (22 i + )/( 8). (5pt) Er geldt dus dat (5pt) E[Y ] = = , 78.

3 3 (d) Als de jongen supporter is van een dezelfde club als zijn broer, moet hij dan, in verwachting, meer of minder plaatjes verzamelen voor zij beiden alle plaatjes van hun favoriete club compleet hebben? Motiveer je antwoord! Ze moeten in verwachting meer plaatjes verzamelen als ze beiden supporter zijn van hetzelfde team. Immers, noem X i en Y i het aantal kaartjes dat de jongens moeten krijgen tussen het ide en (i + )ste verschillende gewilde voetbalplaatje, waarbij X i de situatie bekijkt waarin de broers supporter zijn van een verschillend team en Y i de situatie bekijkt waarin de broers supporter zijn van hetzelfde team. Dan zijn zowel X i en Y i geometrisch verdeeld, waarbij X i succeskans (22 i + )/(8 ) heeft, en die van Y i afhangt van welke kaartjes de broers al hebben gekregen. De succeskans van Y i is echter altijd maximaal (22 i + )/(8 ), en voor i =,..., is deze zelfs strict kleiner. 2. Stel dat (X, Y ) gezamenlijke kansdichtheid f X,Y hebben die gegeven wordt door { 2e x y voor y x <, f X,Y (x, y) = anders. (a) ( punten) Bereken de (gezamenlijke) moment genererende functie van X en Y. Bereken ook de moment genererende functie van X en Y alleen, en identificeer de marginale verdelingen van X en Y. We rekenen uit, met de wet van de bewusteloze statisticus, (2pt) M X,Y (t, s) = E[e tx+sy ] = Invullen geeft, mist t < en t + 2 < 2, (3pt) M X,Y (t, s) = y e tx+sy 2e x y dxdy = 2 t e tx+sy f X,Y (x, y)dxdy. e (t+s)y 2e 2y dxdy = 2 t 2 t s. Dit geeft dat M X (t) = M X,Y (t, ) = 2/[( t)(2 t)] voor t < en M Y (s) = M X,Y (, s) = 2/(2 s) voor s < 2. (2pt) X heeft dus dezelfde verdeling als E + E 2, waarbij E en E 2 onafhankelijke exponentiële random variabelen zijn met parameters en 2, en Y is exponentieel met parameter 2. (3pt) (b) ( punten) Wat is P(X > 2Y )? We rekenen uit (5pt) P(X > 2Y ) = 2y f X,Y (x, y)dxdy = 2y 2e x y dxdy. Dat geeft (5pt) P(X > 2Y ) = 2e 3y dy = 2/3. 3. (a) ( punten) Bereken E[X k ] voor alle k N als de moment genererende functie van X gegeven wordt door M X (t) = /( t 2 ).

4 4 We expanderen (2pt) M X (t) = /( t 2 ) = t 2k. De coefficienten voor t n in deze machtreeks zijn gelijk aan E[X n ]/n!. (3pt) Dit betekent dat E[X n ] = voor n oneven (2pt), en E[X n ] = (n/2)! voor n even. (3pt) (b) ( punten) Van welke stochast X is M X (t) = /( t 2 ) de moment genererende functie? We herschrijven (2pt) k= M X (t) = t + t. De functie /( t) is de moment genererende functie van E, waarbij E een exponentiele random variabele is met parameter. (2pt) De functie /( + t) is de moment genererende functie van E 2, waarbij E 2 een exponentiele random variabele met parameter : (3pt) M E2 (t) = E[e te 2 ] = e tx f E2 (x)dx = e tx e x dx = /( + t). M X (t) is dus de moment genererende functie van de random variabele E E 2, waarbij E en E 2 onafhankelijke exponentiele stochasten zijn. Dus, X heeft dezelfde verdeling als E E 2. (3pt) (c) U is Unif[, ] verdeeld en E is exponentieel met verwachting, ofwel, de dichtheid van E is e x voor x en anders. Wat is de dichtheid van U + E als U en E onafhankelijk zijn? De dichtheid van X = U + E is, voor x, (5pt) f X (x) = omdat x u voor x. Voor x [, ], (5pt) f X (x) = f U (u)f E (x u)du = f U (u)f E (x u)du = x e (x u) du = e (x ) e x, e (x u) du = e (x ). (d) (totaal punten) X is een random variabele met dichtheid f(x) = 5x 6 voor x en f(x) = anders. Bereken E[X 5/6 ] door de dichtheid van X 5/6 te berekenen en de definitie van de verwachtingswaarde te gebruiken. Bereken E[X 5/6 ] vervolgens door de wet van de bewusteloze statisticus te gebruiken. De verdelingsfunctie van X is, voor x, (2pt) F X (x) = x f(y)dy = x De verdelingsfunctie van Y = X 5/6 is dus, voor y, (2pt) 5y 6 dy = x 5. F Y (y) = P(Y y) = P(X 5/6 y) = P(X y 6/5 ) = y 6, en de dichtheid van Y is f Y (y) = F Y (y) = 6y 7.

5 5 De verwachting van Y = X 5/6 is dus (2pt) yf Y (y)dy = y6y 7 dy = 6 Vanwege de wet van de bewusteloze statisticus geldt (2pt) We rekenen nu uit dat (2pt) Gelukkig zijn deze inderdaad gelijk! x 5/6 5x 6 dx = 5 x 5/6 f(x)dx. y 6 dy = 6/5. x 3/6 dx = 5[ 6 25 x 25/6 ] = 6/5.