Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen
|
|
- Vincent Sanders
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen Z-scores Normale verdeling Steekproefverdeling Centrale limietstelling Statistiek 2: 1 / 45 Statistiek 2: 2 / 45 Theoretische kansverdelingen Basisbegrippen Worden bepaald door een wiskundige funktie Geven theoretische basis of theoretisch model voor een verdeling in een grote of oneindige populatie Worden gebruikt om hypotheses te testen Worden gebruikt om te modelleren Experiment: proces waarvan de uitkomst onzeker is, Stochastische variabele: (numerieke) representatie van de uitkomst van een experiment, Stochastische variabele X kan zijn: Discreet Continu Statistiek 2: 3 / 45 Statistiek 2: 4 / 45
2 Discrete stochastische variabele X Mogelijke uitkomsten: x 1, x 2,..., x n. Kansmassafunctie : beschrijving kansverdeling: P(X = xi ) Voorbeeld 0 P(X = xi ) 1 i P(X = x i) = 1 Continue stochastische variabele X Kan elke waarde in een interval aannemen Kansdichtheid f : (Eng: probability density function) Totale oppervlakte onder de grafiek is 1 P(a X b) = b a f (x)dx f(x) Zuivere munt Gooi 4 keer met munt, X is het aantal keren kop. a b Statistiek 2: 5 / 45 Statistiek 2: 6 / 45 Modus, mediaan Modus: Discreet: waarde met maximale kansmassa Continu: waarde met maximale kansdichtheid Mediaan: Een mediaan is een waarde m waarvoor geldt: P(X m) 0.5 én P(X m) 0.5 Statistiek 2: 7 / 45 Verwachtingswaarde ( gemiddelde ) Definities Engels: µ = E(X) = i x i P(X = x i ) µ = E(X) = Mean of Expectation Algemener: x f (x)dx E(g(X)) = i g(x i)p(x = x i ) E(g(X)) = Eigenschappen: g(x)f (x)dx E(cX) = ce(x) E(X + Y) = E(X) + E(Y) Statistiek 2: 8 / 45
3 Variantie, standaarddeviatie Covariantie, correlatie Variantie σ 2 X = var(x) = E ( (X µ) 2 ) = E(X 2 ) µ 2 var(ax + b) = a 2 var(x) var(x + Y) = var(x) + var(y) + 2cov(X, Y) Standaarddeviatie, standaardafwijking σ X = var(x) Gegeven 2 stochastische variabelen X en Y met Simultane verdeling: P(X = x i Y = y j ) = p i,j Covariantie: ( ) cov(x, Y) = E (X µ X )(Y µ Y ) = p i,j (x i µ X )(y j µ Y ) i,j Correlatie: r X,Y = cov(x, Y) σ x σ Y Statistiek 2: 9 / 45 Statistiek 2: 10 / 45 Onafhankelijkheid Twee stochastische variabelen X en Y zijn onafhankelijk als: Continu: P(X A Y B) = P(X A)P(Y B) voor alle verzamelingen A en B Discreet: P(X = a Y = b) = P(X = a)p(y = b) voor alle a en b Als X en Y onafhankelijke stochastische variabelen zijn, dan: E(XY) = E(X)E(Y), cov(x, Y) = 0, var(x + Y) = var(x) + var(y) Statistiek 2: 11 / 45 Theoretische verdelingen: voorbeeld 1 Lars speelt computer game Op level 5 is de succes kans per poging 60% Bij succes door naar volgende ronde, anders nieuwe poging Wat is de kans dat Lars na 4 pogingen doorgaat van level 5 naar level 6? Geometrische verdeling Aantal failures tot het eerste succes bij succes kans p P(X = k) = p(1 p) k E(X) = 1 p p Statistiek 2: 12 / 45
4 Theoretische verdelingen: voorbeeld 2 Computerspel van 8 ronden per level Elke ronde 40% kans op 1 gouden munt Speler mag na 8 ronden altijd door naar volgende level Wat is de kans op 8 munten in een level? Wat is de kans op precies 1 munt? Wat is de kans op precies 5 munten? Binomiale verdeling Aantal successen uit n onafhankelijke pogingen met elk succeskans p ( ) n = aantal deelverzamelingen met k elementen uit een k verzameling met n elementen. ( ) n = k P(X = k) = n! n(n 1) (n k + 1) = k!(n k)! k! ( ) n p k (1 p) n k k E(X) = np. Statistiek 2: 13 / 45 Statistiek 2: 14 / 45 Terug naar de Statistiek: Z-scores X = 7.0, s = 0.3 De beste drie eindcijfers krijgen gratis smartphone. Je eindcijfer is 7.6. Wat zegt dat? Het gemiddelde is 7.0 Wat nu? Het gemiddelde is Het gemiddelde is 7.0 en standaarddeviatie is 0.3 Het gemiddelde is 7.0 en standaarddeviatie is 1.1 Statistiek 2: 15 / 45 Statistiek 2: 16 / 45
5 X = 7.0, s = 1.1 Z-score Standaardscore die de afstand tot het gemiddelde uitdrukt in termen van standaardafwijking oftewel Het aantal standaarddeviaties s dat een bepaalde score X van het gemiddelde X af ligt Z = X X s met (X X) 2 s = is standaarddeviatie van de steekproef. n 1 SS = (X X) 2 wordt vaak aangeduid als de Sum of Squares. Statistiek 2: 17 / 45 Statistiek 2: 18 / 45 Z-score: voorbeelden Kenmerken van Z-scores Data set met gemeten lengtes: Gemiddelde 180 Standaarddeviatie 12 Vragen: Wat is Z-score van iemand met lengte X = 204? (Z = 2) Wat is Z-score van iemand met lengte X = 162? (Z = 1.5) Wat is de lengte van iemand met Z-score Z = 0? (X = 180) Gestandaardiseerde variabelen Lineaire transformatie van ruwe scores Dimensieloos Z = 0, σz 2 = σ Z = 1. Statistiek 2: 19 / 45 Statistiek 2: 20 / 45
6 Steekproef, populatie en nog een stap verder... De normale verdeling Normale verdeling De normale of Gaussische verdeling heeft twee parameters, n.l. µ (gemiddelde), en σ (standaarddeviatie), en heeft dichtheid: Soms kennen we de kansverdeling (theoretisch model), dan kun je er goed mee rekenen. Soms kom je hier moeilijk achter, bijvoorbeeld: Hoe zijn de resultaten van datastructuren verdeeld? Vaak kun je aannames maken... f (x) = 1 ( exp (x ) µ)2 2πσ 2 2σ 2 Notatie: X N(µ, σ 2 ). Genoemd naar Carl Friedrich Gauss ( ). Tegelijkertijd en onafhankelijk ontwikkeld door Gauss (1808) en Adrain (1809) Statistiek 2: 21 / 45 Statistiek 2: 22 / 45 De normale verdeling De normale verdeling, voorbeelden Statistiek 2: 23 / 45 Statistiek 2: 24 / 45
7 Kansen in normale verdelingen Eigenschappen Symmetrisch Continue variabele Mediaan = Modus = Gemiddelde Van veel natuurlijke eigenschappen wordt aangenomen dat zij bij benadering een normale verdeling volgen. Voorbeelden: lengte van Nederlanders, cholesterolgehalte in het bloed, IQ, inhoud van pak rijst... Afwijkingen, fouten, volgen normale verdeling, witte ruis Statistiek 2: 25 / 45 Statistiek 2: 26 / 45 De standaardnormale verdeling Kansen voor de standaardnormale verdeling De scores van een normale verdeling omzetten in standaardscores (Z) levert de standaardnormaalverdeling Deze heeft altijd een gemiddelde van 0, en een standaardafwijking van 1 Dus als X normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ (Notatie: X N(µ, σ 2 )) dan is Z = X µ σ standaardnormaal verdeeld (dus Z N(0, 1)!). Terugtransformatie: X = µ + σz. Deze kansen (en meer) vind je in de tabellen op pag. 290 en Statistiek 2: 27 / 45 Statistiek 2: 28 / 45
8 Kansen berekening voor normale verdelingen De standaardnormaal tabel Toepassingen van de normale verdeling als norm: Kansuitspraken in twee richtingen Stel: de lengte van mannen in een populatie is normaal verdeeld met µ = 180 en σ = 12? 1 Wat is het 90 e percentiel? 2 Hoeveel procent van de mannen is groter dan 186? 3 Is het waarschijnlijk dat een gevonden score van 190 of meer afkomstig is uit een normaal verdeelde populatie met µ = 180 en σ = 12? De tweede richting speelt een cruciale rol bij toetsende (=verklarende) statistiek Statistiek 2: 29 / 45 Standard Normal Cumulative Probability Table Cumulative probabilities for NEGATIVE z-values are shown in the following table: z Statistiek 2: 30 / 45 De standaardnormaal tabel (vervolg) Voorbeeld Standard Normal Cumulative Probability Table Cumulative probabilities for POSITIVE z-values are shown in the following table: z Statistiek 2: 31 / 45 Stel: de lengte van mannen in een populatie is normaal verdeeld met µ = 180 en σ = 12? 1 Wat is het 90 e percentiel? In Z-score: Antwoord A (Tabel p.290): z = 1.28, want de oppervlakte links van 1.28 is ongeveer Antwoord B (Tabel p.291): z = 1.28, want de oppervlakte links van 1.28 is ongeveer Statistiek 2: 32 / 45
9 Voorbeeld (vervolg 1) Voorbeeld (vervolg 2) We weten dus P(Z 1.28) = 0.10 (en ook P(Z 1.28) = 0.90) Combineer met µ = 180 en σ = 12: 0.10 = P(Z 1.28) (transformeer Z-score = 1.28 X : = ) = P(X ) Dus P 90 = Stel: de lengte van mannen in een populatie is normaal verdeeld met µ = 180 en σ = 12? 1 Hoeveel procent van de mannen is groter dan 186 cm??? = P(X 186) = P(Z 0.50) (transformeer X Z-score: = 0.50) = (Tabel p.290) Antwoord: 30.85% Statistiek 2: 33 / 45 Statistiek 2: 34 / 45 Check! Reality check Q: Wat als scores uit de echte wereld helemaal niet lijken op een theoretische verdeling? Oplossing: Q: Een Z-score heeft altijd een standaardnormale verdeling? A: Nee, alleen als de (niet-genormaliseerde) variable X normaal verdeeld is. Kijk niet naar scores van individuen, maar naar scores van steekproeven Verbind deze geobserveerde scores (van bijv. gemiddelden van steekproeven) met de theoretische norm m.b.v. de centrale limietstelling Ook: We weten vaak niet de populatieparameters (als µ, σ). Probeer deze te achterhalen met steekproef. Hoe verhouden observaties uit steekproef zich tot de (theoretische) populatieverdeling? Statistiek 2: 35 / 45 Statistiek 2: 36 / 45
10 Oplossing Centrale limietstelling Steekproefgemiddelde X(n) = X 1 + X X n n Het steekproefgemiddelde, zoals in bovenstaande formule is een stochastische variabele en heeft dus een verdeling, verwachting, variantie,... Q: Hoe bepalen we die? Steekproef X 1,..., X n : onafhankelijk, en identiek willekeurig verdeeld, gemiddelde µ en variantie σ 2. Stelling X(n) = (X 1 + X X n )/n Als n, dan is X(n) bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde µ en variantie σ 2 /n. σ n heet de standaardfout (van het gemiddelde) In de praktijk is n 30 voldoende. X(n) N(µ, σ 2 ), dus Z(n) = X(n) ( µ σ/ ) N(0, 1) bij benadering. n Statistiek 2: 37 / 45 Statistiek 2: 38 / 45 Centrale limietstelling: wat betekent dit? Voorbeeld 1 Theoretische of steekproefverdeling: Meet individuen op variabele X Herhaal dit n keer (b.v. n = 1000) en noteer individuele waarden Histogram representeert steekproefverdeling (Eng: sample distribution) Verdelingen van steekproeven Neem een steekproef van n individuen en meet en bepaal steekproefgemiddelde X(n). Herhaal dit m keer (b.v. m = 1000) en noteer de afzonderlijke steekproefgemiddelden Histogram representeert de verdeling van steekproeven (Eng: sampling distribution) Voorbeeld Gemeten variabele: gewicht X Normale verdeling (µ = 80 kg, σ = 20 kg). n=1 n=4 n=100 X X(4) X(100) Statistiek 2: 39 / 45 Statistiek 2: 40 / 45
11 Voorbeeld 2 Stochastische variabele X met gemiddelde µ = 0 en σ = 5: 0.4 x 25 Voorbeeld 3 Voorbeeld: worp van één dobbelsteen: Elke steekproef = 1 worp: histogram: tel aantal ogen (sample distribution) 0.3 x 10 x Statistiek 2: 41 / 45 Statistiek 2: 42 / 45 Voorbeeld 3 Voorbeeld: worp van twee dobbelstenen: Elke steekproef = 2 worpen: histogram: tel gemiddeld aantal ogen (steekproef verdeling bij steekproefgrootte n = 2) Voorbeeld 3 Voorbeeld: worp van vijf dobbelstenen: Elke steekproef = 5 worpen: histogram: tel gemiddeld aantal ogen (steekproef verdeling voor n = 5) Statistiek 2: 43 / Statistiek 2: 44 / 45
12 Tot zover... Theoretische verdelingen Geometrische verdeling Binomiaalverdeling Normale verdeling Z-scores Centrale Limietstelling Volgende keer: t-verdeling Toetsen van hypotheses. Statistiek 2: 45 / 45
Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling
Nadere informatieCursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)
Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3
Nadere informatieintroductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte
toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 5: Sampling Distributions 5.1: The
Nadere informatieSOCIALE STATISTIEK (deel 2)
SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie
Nadere informatiewerkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions
cursus 4 mei 2012 werkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions Huiswerk P&D, opgaven Chapter 6: 9, 19, 25, 33 P&D, opgaven Appendix A: 1, 9 doen
Nadere informatieExamen Statistiek I Feedback
Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieStatistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette
Statistiek I Samenvatting Prof. dr. Carette Opleiding: bachelor of science in de Handelswetenschappen Academiejaar 2016 2017 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Statistiek, gegevens en statistisch denken... 3 De
Nadere informatieToetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling
Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Moore, McCabe & Craig: 3.3 Toward Statistical Inference From Probability to Inference 5.1 Sampling Distributions for
Nadere informatieMedische Statistiek Kansrekening
Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien
Nadere informatieInleiding Applicatie Software - Statgraphics
Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een
Nadere informatieInleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek
Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur
Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord
Nadere informatieHoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1
Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1 1 Onderwerpen van de lessenserie: De Normale Verdeling Nul- en Alternatieve-hypothese ( - en -fout) Steekproeven Statistisch toetsen Grafisch
Nadere informatieHoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 5 Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies
Nadere informatieDeze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten
Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk
Nadere informatieData analyse Inleiding statistiek
Data analyse Inleiding statistiek 1 Doel Beheersen van elementaire statistische technieken Toepassen van deze technieken op aardwetenschappelijke data 2 1 Leerstof Boek: : Introductory Statistics, door
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur
Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische
Nadere informatieKansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur
Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieDeze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.
Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica
Nadere informatieKansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale
Nadere informatieOefenvragen bij Statistics for Business and Economics van Newbold
Oefenvragen bij Statistics for Business and Economics van Newbold Hoofdstuk 1 1. Wat is het verschil tussen populatie en sample? De populatie is de complete set van items waar de onderzoeker in geïnteresseerd
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September
Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een
Nadere informatieHOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN
HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x
Nadere informatieHoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen
Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen 5.1 Gemiddelde, variantie, standaardafwijking: De variantie is als het ware de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter de variantie
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en
Nadere informatie6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.
Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =
Nadere informatie. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8
Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober
Statistiek voor A.I. College 10 Donderdag 18 Oktober 1 / 28 Huffington Post poll verkiezingen VS - 12 Oktober 2012 2 / 28 Gallup poll verkiezingen VS - 15 Oktober 2012 3 / 28 Jullie - onderzoek Kimberly,
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 2. Donderdag 13 September 2012
Statistiek voor A.I. College 2 Donderdag 13 September 2012 1 / 42 1 Beschrijvende statistiek 2 / 42 Extrapolatie 3 / 42 Verkiezingen 2012 4 / 42 Verkiezingen 2012 5 / 42 1 Beschrijvende statistiek Vandaag:
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober
Statistiek voor A.I. College 10 Dinsdag 16 Oktober 1 / 30 Jullie - onderzoek Geert-Jan, Joris, Brechje Horizontaal: lengte Verticaal: lengte tussen topjes middelvingers met gestrekte armen. DIII 170 175
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke
Nadere informatieStatistiek voor A.I.
Statistiek voor A.I. College 13 Donderdag 25 Oktober 1 / 28 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 28 3 / 28 Jullie - onderzoek Tobias, Lody, Swen en Sander Links: Aantal broers/zussen van het
Nadere informatie1. De wereld van de kansmodellen.
STATISTIEK 3 DE GRAAD.. De wereld van de kansmodellen... Kansmodellen X kansmodel Discreet model Continu model Kansverdeling Vaas Staafdiagram Dichtheidsfunctie f(x) GraJiek van f Definitie: Een kansmodel
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel
Nadere informatieTentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)
WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.
Nadere informatiePopulatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.
Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:
Nadere informatieVoorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)
Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt.
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 15 Dinsdag 2 November 1 / 16 2 Statistiek Indeling: Filosofie Schatten Centraal Bureau voor Statistiek 2 / 16 Schatten Vb. Het aantal tenen plus vingers in jullie huishoudens:
Nadere informatieLesbrief de normale verdeling
Lesbrief de normale verdeling 2010 Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Hoofdstuk 1 de normale verdeling... 2 Hoofdstuk 2 meer over de normale verdeling... 11 Hoofdstuk 3 de n-wet...
Nadere informatieIntroductie tot de statistiek
Introductie tot de statistiek Hogeschool Gent 04/05/2010 Inhoudsopgave 1 Basisbegrippen en beschrijvende statistiek 8 1.1 Onderzoek............................ 8 1.1.1 Data........................... 8
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 1. Dinsdag 11 September 2012
Statistiek voor A.I. College 1 Dinsdag 11 September 2012 1 / 39 Literatuur Website: http://phil.uu.nl/statistiek/ Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William
Nadere informatieHoofdstuk 5: Steekproevendistributies
Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Inleiding Statistische gevolgtrekkingen worden gebruikt om conclusies over een populatie of proces te trekken op basis van data. Deze data wordt samengevat door middel
Nadere informatieTentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2010, 9:00 12:00
Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2, 9: 2: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren alstublieft.
Nadere informatieSamenvatting Statistiek
Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd
Nadere informatieAntwoorden bij 4 - De normale verdeling vwo A/C (aug 2012)
Antwoorden bij - De normale verdeling vwo A/C (aug 0) Opg. a Aflezen bij de 5,3 o C grafiek:,3% en bij de,9 o C grafiek: 33,3% b Het tweede percentage is 33,3 /,3 = 5, maal zo groot. c Bij de 5,3 o C grafiek
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende
Nadere informatie13.1 Kansberekeningen [1]
13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien
Nadere informatieEen Bernoulli experiment is een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten, die we succes ( S ) en mislukking ( M ) noemen.
Hoofdstuk 6 Kansverdelingen 6.1 Discrete stochasten 6.1.1 De Bernoulli verdeling Een Bernoulli experiment is een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten, die we succes ( S ) en mislukking ( M
Nadere informatieSet 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij
Nadere informatieFeedback proefexamen Statistiek I 2009 2010
Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is
Nadere informatieHoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen
Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen 3.1 Schatten: Er moet een verbinding worden gelegd tussen de steekproefgrootheden en populatieparameters, willen we op basis van de een iets kunnen zeggen over de ander.
Nadere informatieVertaling van enkele termen uit de kansrekening en statistiek alternative hypothesis alternatieve hypothese approximate methods benaderende methoden asymptotic variance asymptotische variantie asymptotically
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 16 Donderdag 4 November 1 / 25 2 Statistiek Indeling: Schatten Correlatie 2 / 25 Schatten 3 / 25 Schatters: maximum likelihood schatters Def. Zij Ω de verzameling van
Nadere informatieintroductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets
toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week : de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week : het toetsen van gemiddelden: de t-toets week 5: het toetsen van varianties:
Nadere informatieDeze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie
Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori
Nadere informatiewerkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample
cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012
Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige
Nadere informatieKanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen
Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen 1 Rekenregels kansrekenen Kans van de zekere gebeurtenis: P () = P (U) = 1 Kans van de onmogelijke gebeurtenis: P (;) = 0 Complementregel: P (A c ) = 1 P (A)
Nadere informatieLes 2 / 3: Meetschalen en Parameters
Les 2 / 3: Meetschalen en Parameters I Theorie: A. Algemeen : V is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een toevallig experiment. Een veranderlijke of stochastiek is een afbeelding G die aan
Nadere informatiec Voorbeeldvragen, Methoden & Technieken, Universiteit Leiden TS: versie 1 1 van 6
c Voorbeeldvragen, Methoden & Technieken, Universiteit Leiden TS: versie 1 1 van 6 1. Iemand kiest geblinddoekt 4 paaseitjes uit een mand met oneindig veel paaseitjes. De helft is melkchocolade, de andere
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen S60) op vrijdag 4 januari 0, 4.00 7.00 uur.. Gegeven zijn twee stochastische
Nadere informatieLes 1: de normale distributie
Les 1: de normale distributie Elke Debrie 1 Statistiek 2 e Bachelor in de Biomedische Wetenschappen 18 oktober 2018 1 Met dank aan Koen Van den Berge Indeling lessen Elke bullet point is een week. R en
Nadere informatieDeel I : beschrijvende statistiek
HOOFDSTUK 1 TYPISCHE FOUTEN BIJ STATISTIEK Foute gegevens Fouten in berekening kans Foute interpretatie resultaten Statistiek : de wetenschap van het leren uit data & van het meten, controleren en communiceren
Nadere informatie= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31
Tentamen Statistische methoden 45STAMEY april, 9: : Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend voorbeeld:
Nadere informatie14.1 Kansberekeningen [1]
14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien
Nadere informatieHoofdstuk 7: Statistische gevolgtrekkingen voor distributies
Hoofdstuk 7: Statistische gevolgtrekkingen voor distributies 7.1 Het gemiddelde van een populatie Standaarddeviatie van de populatie en de steekproef In het vorige deel is bij de significantietoets uitgegaan
Nadere informatiePopulaties beschrijven met kansmodellen
Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal
Nadere informatie6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.
Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen
Nadere informatieAlgemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek
Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Robert Fitzner Tim Hulshof 7 Oktober 202 v.3 Voorwoord Deze tekst geeft een overzicht van de stof die behandeld wordt in de meeste cursussen inleiding
Nadere informatieTentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00
Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00 Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober
Statistiek voor A.I. College 12 Dinsdag 23 Oktober 1 / 20 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 20 3 / 20 Jullie - onderzoek Wivine Tijd waarop je opstaat (uu:mm wordt weergeven als uumm). Histogram
Nadere informatieStatistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen
Nadere informatieVoorbeeldtentamen Statistiek voor Psychologie
Voorbeeldtentamen Statistiek voor Psychologie 1) Vul de volgende uitspraak aan, zodat er een juiste bewering ontstaat: De verdeling van een variabele geeft een opsomming van de categorieën en geeft daarbij
Nadere informatie4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1]
4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Relatief frequentiepolygoon van de lengte van mannen in 1968 1 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] In dit plaatje is een frequentiepolygoon getekend.
Nadere informatieHoofdstuk 4 Kansen. 4.1 Randomheid
Hoofdstuk 4 Kansen 4.1 Randomheid Herhalingen en kansen Als je een munt opgooit (of zelfs als je een SRS trekt) kunnen de resultaten van tevoren voorspeld worden, omdat de uitkomsten zullen variëren wanneer
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012
Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren
Nadere informatieLevende Statistiek. Een module voor Wiskunde D VWO. Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede
Levende Statistiek Een module voor Wiskunde D VWO Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede, Leiden 2010 ctwo, Utrecht 2010 Dit lesmateriaal kan gebruikt worden voor
Nadere informatieData analyse Inleiding statistiek
Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen
Nadere informatieUitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een
Nadere informatieKansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2
Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2 Brecht Dekeyser Pedic 20 november 2013 Gent 1 Inhoud Nieuw in Geogebra 4.2 Kansverdelingen: Berekeningen en grafische voorstellingen Manueel in rekenblad
Nadere informatieKansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur
Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.
Nadere informatieFormuleblad. Hoofdstuk 1: Gemiddelde berekenen: = x 1 + x 2 + x 3 + +x n / n Of: = 1/n Σ x i
Formuleblad Hoofdstuk 1: Gemiddelde berekenen: = x 1 + x 2 + x 3 + +x n / n Of: = 1/n Σ x i Plaats van de median berekenen: Oneven aantal observaties: (n+1)/2 Even aantal observaties: gemiddelde van de
Nadere informatieStochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19
Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Herhaling H.1 2/19 Mathematische Statistiek We beschouwen de beschikbare data als realisatie(s) van een stochastische grootheid X.(Vaak een vector
Nadere informatieSet 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)
Nadere informatiebijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 9 de normale verdeling (niet in [PW])
bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 9 de normale verdeling (niet in [PW]) vorige week: kansrekening de uitkomstvariabele was bijna altijd discreet aantal keer een vijf gooien
Nadere informatieKansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop
Nadere informatieData analyse Inleiding statistiek
Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»
Nadere informatie