Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Transcriptie

1 Tentamen Inleiding Kansrekening 6 juni 7, : 7: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen. Elk onderdeel is een aantal punten waard, dat vet gedrukt is aangegeven. Het totaal aantal punten is. Er zijn vragen in drie categorieën: R = reproductie, T = toepassing, I = inzicht. Schrijf je naam, studentnummer en studierichting op elk blad dat je inlevert. Motiveer steeds je antwoorden: een los antwoord zonder uitleg is niet voldoende. Elke berekening dient van een toelichting te worden voorzien. () [R] Gegeven zijn drie gebeurtenissen A, B, C met P(A) =, P(B) = 5, P(C) = 5 6. (a) [5] Laat zien dat P(A B C). 6 Hint: Kijk ook naar de gebeurtenissen A c, B c, C c. (b) [5] Geef voorbeelden, aan de hand van een Venn-diagram, waaruit blijkt dat de ondergrens en de bovengrens bereikt kunnen worden. () [R] Het tripel R-waardige continue stochasten (X, Y, Z) heeft gezamenlijke kansdichtheidsfunctie { C, x < y < z, f X,Y,Z (x, y, z) =, elders. (a) [] Bereken C. (b) [6] Bereken E(X), E(Y ), E(Z). (c) [] Bereken cov(x, Y ). Hint: Integreer steeds eerst over x, daarna over y en vervolgens over z. () [R] Zij X de N -waardige discrete stochast met kansmassafunctie { CN ( p X (k) = )k, k < N, C N ( )k, k N,

2 waarbij N N een parameter is. (a) [] Bereken C N. (b) [5] Bepaal de convergentiestraal van de kansgenererende functie s G X (s) en leidt een formule af voor G X (s) binnen de convergentiecirkel. (c) [5] Bereken E(X). Hint: Gebruik de formule in onderdeel (b). Indien de afleiding daarvan niet gelukt is, geef dan een direkte berekening. () [T] Het paar R-waardige continue stochasten (X, Y ) heeft gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f X,Y (x, y) = ( x)( y), x < y,, elders. (a) [] Bereken P(X ). (b) [6] Bereken E(Y X ). (5) [I] Gegeven zijn twee paren van stochasten (U, U ) en (V, V ), die elk paarsgewijs onafhankelijk zijn. (a) [5] Laat zien dat cov(u + U, V + V ) [var(u ) + var(u )] [var(v ) + var(v )]. (b) [5] Laat zien dat, wanneer U, U, V, V elk gemiddelde nul hebben, cov(u U, V V ) var(u ) var(u ) var(v ) var(v ). Hint: Gebruik de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. (6) [T] Zij (W i ) i N een i.i.d. rijtje stochasten, elk standaard normaal verdeeld, en zij N een N-waardige discrete stochast met kansmassafunctie k p N (k). (a) [5] Druk de momentgenererende functie M SN (t) van de som S N = N i= W i uit in termen van de kansgenererende functie s G N (s) van N. (b) [8] Stel dat N Binomiaal verdeeld is met parameters n = en p =. Bereken E(S N ) en var(s N ). Hint: Gebruik de formule in onderdeel (a). Indien de afleiding daarvan niet gelukt is, geef dan een direkte berekening.

3 (7) [T] Zij X = (X n ) n N de Markovketen met toestandsruimte S = {,, } en overgangsmatrix P = (a) [5] Is X irreducibel? Is X aperiodiek?. (b) [5] Bereken de invariante kansverdeling π = (π, π, π ). (c) [5] Is π reversibel? (8) [I] Drie kaarten genummerd,, worden op tafel gelegd, in de volgorde. Achtereenvolgens wordt steeds één willekeurig gekozen kaart opgepakt en weer teruggelegd tússen de twee andere kaarten. (a) [5] Laat zien dat de aldus gegenereerde -rijtjes een Markovketen X = (X n ) n N vormen. (b) [5] Wat is de toestandsruimte S van X? Wat is de overgangsmatrix P van X? (c) [5] Hoe lang duurt het gemiddeld voor het rijtje weer terugkeert?

4 OPLOSSINGEN () (a) De ondergrens volgt uit de ongelijkheid P(A c B c C c ) P(A c ) + P(B c ) + P(C c ), de bovengrens volgt uit de ongelijkheid P(A B C) min{p(a), P(B), P(C)}. (b) De ondergrens wordt bereikt door A c, B c, C c disjunct te kiezen, de bovengrens door A B C te kiezen. () (a) Bereken = = C = C dx R Derhalve geldt C = 6. (b) Bereken E(X) = 6 = 6 dy R R y dy f X,Y,Z (x, y, z) z = 6 C. dx = C y dy dx x = 6 6 z = 6 =. Op analoge wijze vinden we E(Y ) = en E(Z) =. (c) Bereken E(XY ) = 6 = 6 y dy y dx x = 6 8 z = 6 =. dy y dy y dy y Derhalve volgt dat cov(x, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = =.

5 () (a) Bereken N [ ( = p X (k) = C N ( )k + C N ( )k = C )N N k= k= k=n Derhalve geldt /C N = [ ( )N ] + ( )N. (b) De convergentiestraal van de kansgenererende functie G X (s) = p X (k)s k k= + ( ] )N. is gelijk aan s =. Omdat N eindig is wordt de convergentiestraal bepaald door de waarden van p X (k) voor k N. Een berekening analoog aan hierboven geeft [ ( G X (s) = C s)n N s + ( ] s)n s, s <. (c) Bereken G X(s) = C N [ N( s)n s + Hieruit volgt () (a) Bereken E(X) = G X() [ ( s)n ] ( + s) N( s)n s + = C N [ N( )N + 6[ ( )N ] + N( )N + ( )N]. P(X ) = dx = dx x dy ( x)( y) x [ y] y= y=x = dx =. ( ] s)n (. s) (b) Merk op dat E(Y X ) = E( Y X ). Bereken vervolgens ( ) E ( Y ) { y X } = dx dy x = dx x = 6 [ ( x) ] x= x= dy [ ( y) / ] y= y=x = =. 5 x dx ( x)

6 Derhalve geldt E(Y X ) = =. (5) (a) De Cauchy-Schwarz ongelijkheid geeft Cov(U + U, V + V ) Var(U + U ) Var(V + V ). Vanwege de onafhankelijkheid binnen elk paar is de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties. (b) De Cauchy-Schwarz ongelijkheid geeft (6) (a) Schrijf Cov(U U, V V ) Var(U U ) Var(V V ). Vanwege de onafhankelijkheid binnen elk paar, plus het feit dat alle gemiddelden nul zijn, is de variantie van het product gelijk aan het product van de varianties. M SN (t) = E(e ts N ) = = = p N (k) E ( e ts N N = k ) k= p N (k) E(e ts k ) = k= p N (k) [ E(e tw ) ] k k= p N (k) [e t / ] k = G N (e t / ). k= (b) Wanneer N Binomiaal verdeeld is met parameters n = en p =, dan geldt G N (s) = ( + s). Derhalve volgt dat M SN (t) = ( + et / ). Twee keer differentiëren naar t geeft M S N (t) = ( + et / ) 9 tet /, M S N (t) = 9( + et / ) 8 ( tet / ) + ( + et / ) 9 [ + ( t) ] e t /. Hieruit leiden we af E(S N ) = M S N () =, var(s N ) = M S N () + M S N () = 5. 6

7 Dit antwoord kan ook worden afgeleid uit de observaties ( N ) E(S N ) = E W i = E(N) E(W ) = 5 =, i= ( N ) var(s N ) = var W i = E(N) var(w ) = 5 = 5. i= (7) (a) X is irreducibel omdat met alle toestanden met een strikt positieve kans vanuit elkaar bereikbaar zijn. X is aperiodiek omdat terugkeertijden veelvouden van en zijn. (b) De invariante kansverdeling is een oplossing van de vergelijking π = πp. Dit geeft de vergelijkingen π = π + π, π = π + π, π = π + π. Hieruit berekenen we dat π = π = π. Omdat π + π + π =, volgt dat (π, π, π ) = ( 5, 5, 5 ). (c) Omdat π i p ij = π j p ji voor alle i < j, volgt dat π reversibel is. Bijvoorbeeld, π p = = en π 5 p = =. 5 (8) (a) Omdat kaarten onafhankelijk worden getrokken, is de uitkomst van elk volgend rijtje slechts afhankelijk van het vorige rijtje. (b) De toestandsruimte is S = {,,,,, }. De overgangsmatrix is P =. (c) De invariante kansverdeling is uniform: π = (,,,,, ). De gemiddelde terugkeertijd van elke toestand is derhalve gelijk aan