Examen Statistiek I Feedback

Transcriptie

1 Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk). Stel dat de getrokken persoon een laaggeschoolde man met bril is. Welke gebeurtenis realiseerde zich? A A B B A C A B D Geen van de andere alternatieven A B realiseert zich als de persoon een bril heeft of als de persoon hooggeschoold is. Alternatief A is dus correct. 2 De formule n! k! (n k)! π k ( π) n k geeft A De kans dat een binomiale variabele met parameters n en π gelijk aan k is B Geen van de andere alternatieven C De waarde van de binomiale variabele met parameters n en π D De kans dat de binomiale variabele met parameters n en π gelijk aan nπ = k is A Zie cursus. C De waarde van een toevalsvariabele is onvoorspelbaar en kan dus niet gegeven worden door een formule. Bij de worp van een dobbelsteen zijn de volgende uitkomsten mogelijk :,2,,4,,6. De gebeurtenis A is even. De gebeurtenis B is oneven. De gebeurtenis C is of 4. Welke bewering is correct? A B en C zijn onafhankelijk B A en C zijn afhankelijk C C = A B D A en B zijn onafhankelijk A P (B) = P ({,, }) = /2. P (B C) = P (B C)/P (C) = P ({})/P ({, 4}) = (/6)/(2/6) = /2. B en C zijn onafhankelijk omdat P (B) = P (B C). B Zelfde redenering als bij A C A B = {, 2,, 4,, 6} terwijl C = {, 4} D Als A zich realiseert ben je zeker dat B zich niet realiseert. De gebeurtenissen A en B zijn dus zeker afhankelijk.

2 4 De bivariate kansverdeling van de toevalsvariabelen X en Y wordt in de volgende tabel gepresenteerd. Welke bewering is correct? A E(Y ) = 0. B X en Y zijn onafhankelijk C E(X) = 2.0 Y X D Stel dat je een persoon hebt getrokken waarbij Y =. De kans dat X = 2 bij die persoon is A E(Y ) = 0 P (Y = 0) + P (Y = ) = ( ) = 0. B P (X = 2 Y = 0) =.22. P (X = 2) P (Y = 0) = ( ) ( ) =.46. =.2. X en Y zijn niet onafhankelijk omdat P (X = 2 Y = 0) P (X = 2) P (Y = 0). Andere methode : P (X = 2 Y = 0) = P (X = 2 Y = 0)/P (Y = 0) = 0.22/0. = P (X = 2) = X en Y zijn niet onafhankelijk omdat P (X = 2 Y = 0) P (X = 2). C E(X) = P (X = ) + 2 P (X = 2) + P (X = ) = (.0 +.0) + 2 ( ) + (.8 +.6) = = = 2.4. D P (X = 2 Y = ) =.24/( ) =.24/. =.48. Twee variabelen X en Y worden in een steekproef van 200 personen geobserveerd. De gemiddelden, de standaarddeviaties en de covariantie worden op basis van de observaties berekend. Men bekomt cov XY = 2, s X =, s Y = 2, x = 0 en y =. Welke bewering is correct? A De vergelijking van de regressielijn van Y op X is : Y = 2X B De regressiecoëfficiënt van de regressielijn van Y op X is 4 C De vergelijking van de regressielijn van Y op X is : Y = 4X D Geen van de andere alternatieven r XY = cov XY /s X s Y = 2/( 2) =. b = r XY s Y /s X = 2/ = 2. b 0 = ȳ b x = 2 0 =. Y = b 0 + b X = + 2X. 2

3 6 De vergelijking van de regressierechte van Y op X in je steekproef (n = 0) is Y = X +2. Welke bewering is correct? A De horizontale afstand tussen het punt (, 6) en de regressierechte is / B Geen van de andere alternatieven is correct C De verticale afstand tussen het punt (, 6) en de regressierechte is 0 D De horizontale afstand tussen het punt (, 6) en de regressierechte is /2 Je kan natuurlijk de rechte en het punt tekenen en dan de afstand met een lat meten. Het is niet zeer precies. Andere aanpak. De horizontale afstand tussen het punt (, 6) en de regressierechte is de afstand tussen de rond punt en de vierkant punt (zie grafiek hieronder). De ordinaat van de vierkant punt is duidelijk dezelfde als die van de cirkel punt; dus y. De abcis van de vierkant punt ga ik x noemen. De vierkant punt ligt op de rechte met vergelijking : Y = b 0 +b X. Dus y = b 0 +b x. Maw, x = (y b 0 )/b = (6 2)/ = 4/. De horizontale afstand is dus x x = 4/ = /. y (x,y) Y =b 0 +b X x x 7 De variabele X is van intervalniveau. Ze wordt in drie steekproeven gemeten (x, x en x ). De gemiddelden zijn x = 6, x = 4 en x = 2. Welke bewering is zinvol? A x x = x x B x x = 2x C x x = x D Geen van de andere alternatieven A Stel dat de gemiddelden op een andere schaal ȳ, ȳ en ȳ zijn. Dan weten we dat x = aȳ + b, x = aȳ + b en x = aȳ + b. De vergelijking x x = x x is dus equivalent aan ay + b (ay + b) = ay + b (ay + b). Dit kan vereenvoudigd worden en we bekomen y y = y y. Dit is dezelfde bewering als de oorspronkelijke. De bewering is dus zinvol. Merk op dat de bewering fout is ( ) maar dit heeft niets te maken met de zinvolheid.

4 8 De steekproefgrootheid X... A Geen van de andere alternatieven is correct B is altijd normaal verdeeld C heeft altijd een variantie gelijk aan σ 2 X D heeft altijd een verwachting gelijk aan µ X / n B De steekproefgrootheid X is normaal verdeeld indien X normaal verdeeld is of n > 0 (bij benadering). Maar als X niet normaal verdeeld is of n < 0, dan is X niet normaal verdeeld C De variantie van X is σ 2 X /n D De verwachting van X is µ X = E(X) 9 De verdeling van de variabele X (hoogste behaalde diploma) wordt in onderstaande tabel weergegeven. Lager 0. Middelbaar 0.4 Hoger 0. Universitair 0.2 Je trekt een steekproef van personen, met teruglegging. Welke bewering is correct? A De kans dat de steekproef 2 personen telt met een diploma van het hoger of universitair onderwijs is /6 B De kans dat de steekproef 2 personen telt met een diploma van het hoger of universitair onderwijs is C De kans dat de steekproef 2 personen telt met een diploma van het hoger of universitair onderwijs is Bij elke trekking is de kans op een persoon met een diploma van het hoger of universitair onderwijs gelijk aan = 0.. De gevraagde kans is P (B(, 0.) = 2). Deze kans is gelijk aan = 0/2 = /6. 2 4

5 0 Je trekt een steekproef van 20 individuen en je observeert de variabele X (lengte, in cm). Het lijndiagram van de frequentieverdeling van X is symmetrisch. Welke bewering is zeker correct? A md = x B md = mo C mo = x Het lijndiagram hieronder is een voorbeeld van een symmetrisch lijndiagram. In dit lijndiagram zijn er twee modi (2 en 6), het gemiddelde is 4 en de mediaan is ook 4. Dit illustreert dat B en C fout zijn X 4 i=2 i/j =... A 9/j B 9/j C 24/j 4 i/j = i/j + i/j + i/j = 2/j + /j + 4/j = 9/j. }{{}}{{}}{{} i=2 i=2 i= i=4 2 Je trekt een steekproef van 00 proefpersonen en je observeert de variabelen X (ratio meetiveau) en Y (interval meetniveau). Je berekent de correlatiecoëfficiënt r XY in je steekproef. Welke bewering is correct? A Geen van de andere alternatieven is correct B Als r XY = 0 dan zijn de variabelen X en Y onafhankelijk C Als de variabelen X en Y onafhankelijk zijn, dan is r XY = 0 D Als de variabelen X en Y onafhankelijk zijn, dan is cov XY = 0 De afhankelijkheid/onafhankelijkheid tussen twee variabelen is een concept van de kansrekening. De associatiematen r XY en cov XY worden in een steekproef waargenomen. Ze zeggen ons niets over het verband tussen twee toevalsvariabelen op populatieniveau.

6 Hieronder zie je de gegroepeerde frequentieverdeling voor de punten op een examen (op 00). P A = 70 Punten [0,20[ [20,40[ [40,60[ [60,80[ [80,00] Frequentie B kan niet berekend worden met de beschikbare gegevens C = 40 F (60)/n = (0 + + )/00 = 40%. F (80)/n = ( )/00 = 80%. P 60 ligt dus precies in het midden van de klasse [60, 80[ en is gelijk aan 70. Andere methode. Je tekent de relatieve cumulatieve frequentiecurve. Je tekent dan een horizontale rechte (met hoogte /2) tot aan de curve en dan een verticale rechte tot aan de x-as. 4 Stel dat X een continue variabele is, met dichtheidsfunctie f en verdelingsfunctie F. Dan P (0 X X 2) =... A P (2 X )/P (X 2) B P (0 X ) P (X 2) C P (0 X )/P (X 2). P (0 X X 2) = P (0 X X 2)/P (X 2) = P (2 X )/P (X 2) 0 X en 2 X 2 X 0 X X 6

7 Hieronder de bivariate frequentieverdeling van twee variabelen X (ratio meetniveau) en Y (interval meetniveau). Y X Welke ruwe data corresponderen niet met deze bivariate frequentieverdeling? A X Y B X 2 2 Y C X 2 2 Y In tabel A heb je duidelijk twee individuen met X = 0 terwijl de bivariate frequentieverdeling geen zulke individu telt. 6 x T = (, 2, ) en y T = (, 2, ). (x T y)x =... A (2, 4, 2) T B (, 2, ) C 4 (x T y)x = ( ( ) ( ) )x = 2x = 2(, 2, ) T = (2, 4, 2) T. 7 X = N(, 2), Y = N(7, ), ρ XY = 0. en Z = 2X. Welke bewering is correct? A Geen van de andere alternatieven B σz 2 = 2 C σz 2 = 4 D σ 2 Z kan niet bepaald worden met de beschikbare gegevens σ 2 Z = 22 σx 2 = 4 4 = 6. }{{} zie oef. 88 in de cursus 7

8 8 X is een discrete variabele met twee mogelijke waarden : 0 en. De waarde 0 komt voor met kans /2. Je trekt steekproeven van drie individuen. De steekproefgrootheid M is de toevalsvariabele die in elke steekproef gelijk is aan de modus van X. Hoeveel is E(M)? A /2 B C 2 De 8 mogelijke steekproeven vind je in de eerste kolom van onderstaande tabl Steekproef modus kans 0,0,0 0 /8 0,0, 0 /8 0,,0 0 /8 0,, /8,0,0 0 /8,0, /8,,0 /8,, /8 De kans op een modus gelijk aan 0 is dus 4 /8 = /2. Maw, P (M = 0) = /2. En P (M = ) = /2. De verwachting E(M) = 0 /2 + /2 = /2. 9 De dichtheidsfunctie f van de variabele X is constant tussen 0 en en is nul buiten het interval [0, ]. Welke bewering is correct? A f(/) = / B f(0) = 0 C f() = D f(/2) = /2 Onderstaande grafiek representeert de dichtheidsfunctie f van de variabele X. f 0 2 X De totale oppervlakte onder de kromme moet zijn. Dat is de oppervlakte van de rechthoek onder de kromme tussen 0 en. De hoogte van de rechthoek moet dus / zijn. 8

9 20 Welke van onderstaande formules is een associatiemaat? A max n i= (x i x)(y i ȳ) B s 2 X s2 Y C n i= (x i x) + n i= (y i ȳ) D n i= (x i x) n i= (y i ȳ) A Laten we max n i= (x i x)(y i ȳ) berekenen bij elke van onderstaande spreidingsdiagrammen. We bekomen 4, -4, -4, 4 en -4. Dit variëert duidelijk met de tendentie. B Bovenstaande spreidingsdiagrammen hebben allemaal dezelfde waarde van s 2 X s2 Y alhoewel de tendentie telkens zeer verschillend is. s 2 X s2 Y is dus geen associatiemaat. C n i= (x i x) is altijd 0 (cursus p.0). Dus n i= (x i x) + n i= (y i ȳ) = 0 en is geen associatiemaat (en geen maat tout court). D Zoals C. 2 De variatiebreedte van een toevalsvariabele X is gelijk aan het verschil tussen de grootste en de kleinste mogelijke waarde van X. Je wil de variatiebreedte van X schatten en je gebruikt de schatter V, waarvan de waarde in elke steekproef gelijk is aan v X (de geobserveerde variatiebreedte). Deze schatter A levert meestal onderschattingen B is zuiver C levert meestal overschattingen De variatiebreedte in de steekproef kan nooit groter zijn dan die van de toevalsvariabele. Ze kunnen eventueel gelijk zijn. De schatter V is dus onzuiver. E(V ) is kleiner dan de variatiebreedte van de toevalsvariabele X. 9

10 22 Het loon van mannen is normaal verdeeld met verwachting 700 en standaardfout 0. Het loon van vrouwen is normaal verdeeld met verwachting 600 en standaardfout 40. De covariantie tussen het loon van mannen en vrouwen in echtparen is 0. Je trekt eerst een man at random en je vraagt hem zijn loon. Dan vraag je zijn vrouw om haar loon. Welke bewering is correct? A De variantie van het totale loon is 600 B De variantie van het totale loon is 70 C De variantie van het totale loon is 200 D Geen van de andere alternatieven T : totale loon, X : loon van vrouwen en Y : loon van mannen. T = X + Y. V (T ) = V (X) + V (Y ) + 2COV X,Y = = De variabele X is normaal verdeeld, met σx 2 minstens 0% afwijkt van µ X is gelijk aan... = 4 en E(X) = 4. De kans dat X met A 0.74 B C 0.84 D Geen van de andere alternatieven P (X < E(X) 0.E(X) X > E(X) 0.E(X)) = P (X < 2 X > 6) = P (X < 2) + P (X > 6) = P (N(0, ) < ) + P (N(0, ) > ) = 2P (N(0, ) > ) (omwille van de symmetrie) = 2( P (N(0, ) )) = 2( 0.84) = =