Kansrekening en Statistiek

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Kansrekening en Statistiek"

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23

2 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23

3 Stochast en populatie 3 / 23

4 Stochast en populatie Def. Voor een discrete stochast X met eindige veel waardes X 1,..., X n is de variantie van X : nx Var(X ) = E((X E(X )) 2 ) = P(X = X i )(X i E(X )) 2. St. Bij het beschouwen van een eindige populatie en een parameter met eindig veel waardes X 1,..., X n, is de variantie van de bijbehorende stochast X gelijk aan de variantie σ 2 van de parameter in de populatie: Var(X ) = σ 2. Bew. Zij N het aantal elementen in de populatie en f i de frequentie (het aantal) van de elementen in de populatie met waarde i. Omdat de gehele populatie beschouwd wordt, en niet een steekproef, geldt: i=1 P(X = X i ) = f i N. Uit de vorige stelling volgt dat voor het gemiddelde µ van de populatie geldt dat µ = E(X ). Daaruit volgt dat σ 2 = P n i=1 f i (X i µ) 2 N nx f i (X i E(X )) 2 = N i=1 nx = P(X = X i )(X i E(X )) 2 = Var(X ). i=1 4 / 23

5 Experimenten herhalen 5 / 23

6 Experimenten herhalen Def. Stel dat X een stochast is bij een experiment dat als uitkomsten getallen heeft. Als dat experiment n maal wordt herhaald, dan staat X n voor de gemiddelde waarde van de n uitkomsten. X n is ook een stochast. Een steekproef ter grootte n kan gezien worden als het n maal herhalen van een experiment. Daarom zijn beide notaties X (voor steekproef en stochast) met elkaar in overeenstemming. 6 / 23

7 Experimenten herhalen Vb. X is de stochast bij het 1 maal werpen van een munt: X = 1 bij K en X = 0 bij M. Het n maal werpen van een munt is het n maal herhalen van het experiment. Laat X i de uitkomst van het i e experiment zijn. Dan geldt P n i=1 X n = X i. n (Hetzelfde als bij het gemiddelde van een steekproef.) De mogelijke waardes van X n zijn: 0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1. X n heeft een binomiale verdeling: P(X n = k n ) = n k (0.5) n. 7 / 23

8 Experimenten herhalen Vb. Stel de populatie bestaat uit vier mensen met respectievelijke lengtes (in meters) m 1 = 1.73, m 2 = 1.60, m 3 = 1.81 en m 4 = µ = Stel dat er telkens een steekproef ter grootte 3 uit de populatie genomen wordt, wat is dan de kansverdeling van X 3? Er zijn vier mogelijke steekproeven en dus vier mogelijke waardes voor X 3 : steekproef steekproefgemiddelde X 3 {m 1, m 2, m 3 } 1.71 {m 1, m 2, m 4 } 1.69 {m 1, m 3, m 4 } 1.76 {m 2, m 3, m 4 } 1.72 Merk op: Het gemiddelde van de steekproefgemiddeldes is 1.72 = X. De variantie van de populatie is: ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 4 = De variantie van het steekproefgemiddelde is ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 4 = / 23

9 Experimenten herhalen St. Als X een stochast is met E(X ) = µ en Var(X ) = σ 2 en het bijbehorende experiment wordt n maal herhaald, dan geldt E(X n) = µ Var(X n) = σ2 n. St. Wanneer uit een populatie met gemiddelde µ en variantie σ 2 steekproeven ter grootte n worden genomen, dan is het steekproefgemiddelde X n een stochast, met als gemiddelde en variantie respectievelijk E(X n) = µ Var(X n) = σ2 n. 9 / 23

10 Wet van de Grote Getallen 10 / 23

11 Wet van de Grote Getallen Vb. Experiment: het aantal malen succes k bij het 100 maal werpen van een munt. Dit experiment is 25 maal herhaald. 21 van de 25 keer gold 45 k 55, d.w.z. dat 21 van de 25 keer 0.45 X Histogram of f Frequency f 11 / 23

12 Wet van de Grote Getallen Vb. Experiment: het aantal malen succes k bij het 100 maal werpen van een munt. Dit experiment is 50 maal herhaald. 36 van de 50 keer gold 45 k 55, d.w.z. dat 36 van de 50 keer 0.45 X van de 50 keer gold 45 k 60, d.w.z. dat 45 van de 50 keer 0.45 X Histogram of f Frequency f 12 / 23

13 Wet van de Grote Getallen: de Markov ongelijkheid St. (Markov Ongelijkheid) Zij X een stochast waarvan alle waardes positief zijn. Dan geldt voor elk getal t 0: P(X t) E(X ). t Bew. We bewijzen de stelling voor een discrete stochast met waardes X 1,..., X n. Dan E(X ) = nx i=1 X i P(X = X i ) = X X i <t X i P(X = X i ) + X X i t Omdat alle waardes van X positief zijn volgt hieruit E(X ) X X i t X i P(X = X i ) X X i t X i P(X = X i ). tp(x = X i ) = tp(x t). 13 / 23

14 Wet van de Grote Getallen: de Chebyshev ongelijkheid St. (Chebyshev Ongelijkheid) Voor elk getal t > 0 geldt: P( X E(X ) t) Var(X ) t 2. Bew. Laat Y de stochast (X E(X )) 2 zijn. Dan zijn alle waardes van Y positief en E(Y ) = Var(X ). Uit de Markov ongelijkheid volgt: P( X E(X ) t) = P(Y t 2 ) E(Y ) t 2 = Var(X ) t 2. St. Voor elk getal t > 0 geldt: P( X E(X ) < t) 1 Var(X ) t 2. St. Voor elk getal ɛ > 0 geldt: P( X n µ < ɛ) 1 σ2 nɛ 2. Bew. Laat µ en σ 2 het gemiddelde en de variantie van X zijn. We zagen dat geldt: Dus volgt met Chebyshev: E(X n) = µ Var(X n) = σ2 n. P( X n µ < ɛ) 1 σ2 nɛ / 23

15 Wet van de Grote Getallen St. (Wet van de Grote Getallen) Voor een stochast X met verwachtingswaarde µ geldt voor elke ɛ > 0: lim P( X n µ < ɛ) = 1. n Bij toenemende n neemt de waarschijnlijkheid dat X n dicht bij µ ligt toe. Bew. Dit volgt uit de laatste stelling op de vorige stelling en het feit dat lim n σ 2 nɛ 2 = / 23

16 Wet van de Grote Getallen Vb. Kan door vaak een munt te gooien de waarschijnlijkheid dat het gemiddelde aantal keren dat kop gegooid wordt meer dan 0.3 afwijkt van 0.5, kleiner dan 0.01 worden? X n is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X n ) Met Chebyshev: P( X n ) 0.25 n(0.3) 2. Dus P( X n ) 0.01 voor n (0.3) 2 = / 23

17 Wet van de Grote Getallen Vb. Kan voor elk willekeurig getal 0 < δ < 1 door vaak te gooien de waarschijnlijkheid dat het gemiddelde minder dan 0.01 afwijkt van 0.5, groter dan δ worden? X n is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X n 0.5 < 0.01) δ. Met Chebyshev: P( X n 0.5 < 0.01) n(0.01) 2. Daarmee P( X n 0.5 < 0.01) δ voor n waarvoor n(0.01) 2 δ. Dus n δ. Merk op: als δ x maal zo groot, dan n x maal zo groot. 17 / 23

18 Wet van de Grote Getallen Vb. Een wijnboer verkoopt wijn per doos en wil dat de kans dat het percentage bedorven flessen in een doos meer dan 0.4% afwijkt van gemiddelde µ hoogstens 0.2 is. Hij weet µ niet en neemt voor de variantie Hoeveel flessen wijn moeten de dozen minimaal bevatten? Met Chebyshev: P( X n µ 0.004) n(0.004) 2. Dus P( X n µ 0.004) 0.2 voor n (0.004) 2 = De dozen moeten minimaal 16 flessen bevatten. 18 / 23

19 Centrale Limietstelling 19 / 23

20 Centrale Limietstelling Vb. Benadering van een binomiale verdeling door de normale verdeling. 20 / 23

21 Centrale Limietstelling St. (Centrale Limietstelling) Voor een stochast X met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking σ geldt voor elke a: lim P( X n µ n σ a) = P s(z a). n Bij toenemende n benadert X n de normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ n. De Centrale Limietstelling is een versterking en precisering van de Wet van de Grote Getallen. Def. σ X = σ n is de standaardfout van het gemiddelde. 21 / 23

22 Centrale Limietstelling Vb. Zij X een stochast met E(X ) = 3 en Var(X ) = 4 waarvoor de verdeling onbekend is of moeilijk te berekenen. Er wordt gevraagd naar de kans dat het steekproef gemiddelde van een willekeurige steekproef ter grootte n = kleiner is dan Aangenomen wordt dat n voldoende groot is om de verdeling van X = X als een normale verdeling met verwachtingswaarde µ = 3 en standaardafwijking 4 n = 2 = 0.02 te beschouwen. 100 Onder die aanname geldt: P(X 2.95) = P X 3 s( ) = P X 3 s( ) = P s( X ). Wegens de symmetrie van de standaard normale verdeling rond 0 geldt P s( X ) = Ps( X ). Uit tabel C.1 blijkt dat P s(z 2.25) = Dus P(X 2.95) = / 23

23 Finis 23 / 23

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober Statistiek voor A.I. College 12 Dinsdag 23 Oktober 1 / 20 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 20 3 / 20 Jullie - onderzoek Wivine Tijd waarop je opstaat (uu:mm wordt weergeven als uumm). Histogram

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 1 November 1 / 26 2 Statistiek Vandaag: Power Grootte steekproef Filosofie 2 / 26 Power 3 / 26 Power Def. De power (kracht) van een hypothese toets is (1 β),

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 5 Dinsdag 28 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen Voor software R: van http://sourceforge.net

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 16 Donderdag 4 November 1 / 25 2 Statistiek Indeling: Schatten Correlatie 2 / 25 Schatten 3 / 25 Schatters: maximum likelihood schatters Def. Zij Ω de verzameling van

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 26 Oktober 1 / 24 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Filosofie 2 / 24 Hypothese toetsen 3 / 24 Hypothese toetsen: toepassingen Vb. Een medicijn wordt

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 14. Dinsdag 30 Oktober

Statistiek voor A.I. College 14. Dinsdag 30 Oktober Statistiek voor A.I. College 14 Dinsdag 30 Oktober 1 / 16 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 16 Grootte steekproef Voorbeeld NU.nl 26 Oktober 2012: Helft broodjes döner kebab vol bacteriën.

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

13.1 Kansberekeningen [1]

13.1 Kansberekeningen [1] 13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

14.1 Kansberekeningen [1]

14.1 Kansberekeningen [1] 14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 6 Donderdag 30 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 25 Vraag: Afghanistan Vb. In het leger wordt

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 9. Donderdag 11 Oktober

Statistiek voor A.I. College 9. Donderdag 11 Oktober Statistiek voor A.I. College 9 Donderdag 11 Oktober 1 / 48 2 Deductieve statistiek Bayesiaanse statistiek 2 / 48 Reistijd naar college (minuten). Jullie - onderzoek Tim Histogram of CI Frequency 0 1 2

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 2. Donderdag 13 September 2012

Statistiek voor A.I. College 2. Donderdag 13 September 2012 Statistiek voor A.I. College 2 Donderdag 13 September 2012 1 / 42 1 Beschrijvende statistiek 2 / 42 Extrapolatie 3 / 42 Verkiezingen 2012 4 / 42 Verkiezingen 2012 5 / 42 1 Beschrijvende statistiek Vandaag:

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

Oefeningen statistiek

Oefeningen statistiek Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Dinsdag 19 Oktober 1 / 39 2 Statistiek Indeling: Maten Standaardscores Normale verdeling 2 / 39 Grapje http://abstrusegoose.com/54: 3 / 39 Vragen: Simpson paradox

Nadere informatie

introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte

introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 5: Sampling Distributions 5.1: The

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1]

4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Relatief frequentiepolygoon van de lengte van mannen in 1968 1 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] In dit plaatje is een frequentiepolygoon getekend.

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 12 Oktober 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Stelling van Bayes Bayesiaans leren 2 / 21 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling

Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Moore, McCabe & Craig: 3.3 Toward Statistical Inference From Probability to Inference 5.1 Sampling Distributions for

Nadere informatie

Een Bernoulli experiment is een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten, die we succes ( S ) en mislukking ( M ) noemen.

Een Bernoulli experiment is een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten, die we succes ( S ) en mislukking ( M ) noemen. Hoofdstuk 6 Kansverdelingen 6.1 Discrete stochasten 6.1.1 De Bernoulli verdeling Een Bernoulli experiment is een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten, die we succes ( S ) en mislukking ( M

Nadere informatie

3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1]

3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] Voorbeeld: Op een schijf staan een zestal afbeeldingen in even grote vakjes: 3 keer appel, 2 keer banaan, 1 keer peer. Sandra draait zes keer aan de schijf. a)

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e.

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e. Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 april 2011, 9:00 12:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend

Nadere informatie

Antwoorden bij 4 - De normale verdeling vwo A/C (aug 2012)

Antwoorden bij 4 - De normale verdeling vwo A/C (aug 2012) Antwoorden bij - De normale verdeling vwo A/C (aug 0) Opg. a Aflezen bij de 5,3 o C grafiek:,3% en bij de,9 o C grafiek: 33,3% b Het tweede percentage is 33,3 /,3 = 5, maal zo groot. c Bij de 5,3 o C grafiek

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Lesbrief de normale verdeling

Lesbrief de normale verdeling Lesbrief de normale verdeling 2010 Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Hoofdstuk 1 de normale verdeling... 2 Hoofdstuk 2 meer over de normale verdeling... 11 Hoofdstuk 3 de n-wet...

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 7. Dinsdag 2 Oktober

Statistiek voor A.I. College 7. Dinsdag 2 Oktober Statistiek voor A.I. College 7 Dinsdag 2 Oktober 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft is de kans op een positieve

Nadere informatie

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel.

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. 9.0 Voorkennis Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. Productregel: Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere kansexperiment

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20 Handout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van der Hofstad 13 januari 017 Samenvatting In deze hand out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer detail, behandelen we de volgende

Nadere informatie

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INHOUD H 10: INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK H 11: PUNTSCHATTING 11.1 ALGEMEEN 11.1.1 Definities 11.1.2 Eigenschappen 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE 11.3

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 4 Donderdag 23 September 1 / 22 1 Kansrekening Indeling: Permutaties en combinaties 2 / 22 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens twee van jullie op dezelfde

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Toetsen van Hypothesen. Het vaststellen van de hypothese

Toetsen van Hypothesen. Het vaststellen van de hypothese Toetsen van Hypothesen Wisnet-hbo update maart 2008 1. en Het vaststellen van de hypothese De nulhypothese en de Alternatieve hypothese. Het gaat in deze paragraaf puur alleen om de formulering. Er wordt

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Woensdag 7 Oktober 1 / 51 Kansrekening en Statistiek? Bevordert luieren de fantasie? Psychologie 2 / 51 Kansrekening en Statistiek? Bevordert luieren de fantasie? Psychologie

Nadere informatie

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori

Nadere informatie

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek UNIVERSITY OF GHENT Samenvatting Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek Auteur: Nicolas Vanden Bossche Lesgever: Prof. Hans De Meyer Hoofdstuk 1 Het kansbegrip en elementaire kansrekening

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Statistiek. Beschrijvend statistiek

Statistiek. Beschrijvend statistiek Statistiek Beschrijvend statistiek Verzameling van gegevens en beschrijvingen Populatie, steekproef Populatie = o de gehele groep ondervragen o parameter is een kerngetal Steekproef = o een onderdeel van

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Herhaling H.1 2/19 Mathematische Statistiek We beschouwen de beschikbare data als realisatie(s) van een stochastische grootheid X.(Vaak een vector

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen 24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$

Nadere informatie

Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2

Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2 Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2 Brecht Dekeyser Pedic 20 november 2013 Gent 1 Inhoud Nieuw in Geogebra 4.2 Kansverdelingen: Berekeningen en grafische voorstellingen Manueel in rekenblad

Nadere informatie

Levende Statistiek. Een module voor Wiskunde D VWO. Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede

Levende Statistiek. Een module voor Wiskunde D VWO. Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede Levende Statistiek Een module voor Wiskunde D VWO Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede, Leiden 2010 ctwo, Utrecht 2010 Dit lesmateriaal kan gebruikt worden voor

Nadere informatie

Werkbladen 3 Terugzoeken

Werkbladen 3 Terugzoeken Werkbladen Terugzoeken We keren nu de vraag om. Bij een gegeven percentage (oppervlakte zoeken we de bijbehorende grenswaarde(n. Als voorbeeld zoeken we hoe groot een Nederlandse vrouw anno 97 moest zijn

Nadere informatie

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:

Nadere informatie

Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK

Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent. Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieke Marix Va Daele MarixVaDaele@UGetbe Vakgroep Toegepaste Wiskude e Iformatica Uiversiteit Get Steekproefstatistieke p 1/20 Schattige Waeer uit ee steekproef de waarde

Nadere informatie

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Rik Lopuhaä TU Delft 30 januari, 2015 Rik Lopuhaä (TU Delft) Schatten van de Duitse oorlogsproductie 30 januari,

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen Zeldzame en extreme gebeurtenissen Ruud H. Koning 19 March 29 Outline 1 Extreme gebeurtenissen 2 3 Staarten 4 Het maximum 5 Kwantielen Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 2 /

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009 Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht UitwerkingOefQuiz Kansreking 29 1. James Bond zoekt e brief in één van de drie ladkast in het voormalige

Nadere informatie

variantie: achtergronden en berekening

variantie: achtergronden en berekening variantie: achtergronden en berekening Hugo Quené opleiding Taalwetenschap Universiteit Utrecht 8 sept 1995 aangepast 8 mei 007 1 berekening variantie Als je de variantie met de hand moet uitrekenen, is

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 6: Steekproeven en empirische distributies

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 6: Steekproeven en empirische distributies Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 6: Steekproeven en empirische distributies 6.. Uit een normaal verdeeld universum X met gemiddelde waarde µ = en standaardafwijking σ = worden 0 onafhankelijke steekproefwaarden

Nadere informatie

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen Uitwerkingen Hst. 0 Kansverdelingen. Uittellen: 663 ; 636 ; 366 ; 654 (6 keer) ; 555 0 mogelijkheden met som 5.. Som geen 5 = 36 som 5 Som 5: 4, 3, 3, 4 4 mogelijkheden dus 3 mogelijkheden voor som geen

Nadere informatie

Alex van den Brandhof. Kansrekening. een introductie. Epsilon Uitgaven Utrecht

Alex van den Brandhof. Kansrekening. een introductie. Epsilon Uitgaven Utrecht Alex van den Brandhof Kansrekening een introductie Epsilon Uitgaven Utrecht Voorwoord In moderne wetenschappen is kansrekening een onmisbaar vak. Het verdient daarom een vaste plaats in het wiskundeonderwijs.

Nadere informatie

Binomiale verdelingen

Binomiale verdelingen Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet?

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Verklarende Statistiek: Toetsen Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Toetsen, Overzicht Nulhypothese - Alternatieve hypothese (voorbeeld: toets voor p = p o in binomiale steekproef) Betrouwbaarheid

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening - Opgave. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat drie keer zo vaak valt als 4 en twee keer zo vaak als 5. Verder vallen,, en even

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 11 juni 2012 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 8 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Wisnet-hbo Verwachtingswaarde update maart 200 De verwachtingswaarde van een kansvariabele is een soort gemiddelde waarde. Deze wordt aangeduid met E(k)

Nadere informatie

10e editie Inhoudsopgave leerjaar 5

10e editie Inhoudsopgave leerjaar 5 10e editie Inhoudsopgave leerjaar 5 2 Inhoud 5 havo A Blok 1 Analyse Hoofdstuk 1 Allerlei formules 10 Voorkennis 12 1-1 Recht evenredig en omgekeerd evenredig 14 1-2 Formules met breuken 16 1-3 Formules

Nadere informatie

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, 14.00 16.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na

Nadere informatie

WenS eerste kans Permutatiecode 0

WenS eerste kans Permutatiecode 0 WenS eerste kans 2012 2013 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Leg je studentenkaart

Nadere informatie

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd 2007-2008 Modeloplossing Opmerking vooraf: Deze modeloplossing is een heel volledig antwoord op de gestelde vragen. Om de maximumscore op een vraag

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie