Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten"

Transcriptie

1 Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk 7: 1 / 37 Hfdstk 7: 2 / 37 Overzicht Schatten Kwaliteit van schatter resultaat Bayesiaans niet-bayesiaans verdeling van θ a posteriori - verdeling één waarde voor θ Bayes schatter M.L.-schatter interval voor θ betrouwbaarheidsintervallen Definitie Hoofstuk 6 Een schatter van een parameter θ, gebaseerd op een aselecte steekproef X = X 1,..., X n, is een reëelwaardige functie δx 1,..., X n. Een schatting is de waarde van de schatter voor een gegeven realisatie x = x 1,..., x n, van de steekproef, i.e. δx 1,..., x n. Vraag: Wat is een goede schatter? Een goede schatter voor een parameter θ is een schatter die, voor elke realisatie een schatting oplevert die dichtbij θ ligt. Vraag: Hoe meten we hoe goed een schatter is? Hfdstk 7: Inleiding 3 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 4 / 37

2 Zuivere schatter Notatie Neem aan dat de stochasten X 1,..., X n een aselecte steekproef vormen uit een verdeling met kansdichtheidsfunctie of kansmassafunctie f x θ met een onbekende parameter θ. Voor elke stochast Z = gx 1,..., X n gebruiken we de notatie E θ Z om aan te geven dat de verwachting is berekend met behulp van de kansdichtheid dan wel kansmassa f x θ. Wanneer we de simultane kansdichtheid van X = X 1,..., X n, aanduiden met f n x θ, dan is dus E θ Z = E θ gx = gx f n x θ dx 1 dx n We zouden kunnen denken dat een schatter goed is, als hij in verwachting gelijk is aan de gezochte parameter. Zo n schatter noemen we zuiver. Definitie Zuivere schatter We noemen een schatter δ zuiver Engels: unbiased voor θ als E θ δx = θ We noemen bovendien Biasδ, dat is gedefinieerd als Biasδ = E θ δx θ de onzuiverheid Engels: bias van δ. Hfdstk 7: Zuivere Schatters 5 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 6 / 37 Verliesfunctie herhaling Hoofdstuk 6 Volgens de definitie is de verliesfunctie Lθ, a = de strafboete als we als schatting voor parameter θ de waarde a kiezen. We hebben ook gezien dat we voor L vaak een kwadratische functie nemen. Een schatter is een reëelwaardige functie van X, en dus is δx zelf ook een stochast. Dit houdt in dat het zinvol is om te kijken naar het verwachte verlies bij gebruik van de schatter δ: E θ [L θ, δx ] = L θ, δx f n x θ dx 1 dx n Dit is een speciaal geval van E θ gx, waarbij gx = L θ, δx Definitie Als we nu Lθ, a = θ a 2 nemen, dan wordt deze uitdrukking gelijk aan de MSE Mean Squared Error: MSEδ = E θ [ δx θ 2 ] We kunnen de MSEδ uitdrukken in Biasδ en Varδ: 2 ] MSEδ = E θ [δ E θ δ + E θ δ θ 2 = E θ [δ E θ δ + 2 δ E θ δ E θ δ θ + [ E θ δ θ ] ] 2 = Varδ + Biasδ 2 Gevolg: Voor een zuivere schatter δ is Biasδ = en MSEδ = VarδX: Hfdstk 7: Zuivere Schatters 7 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 8 / 37

3 Afweging Voorbeeld Bernoulli verdeling MSEδ = Varδ + Biasδ 2 Bij zuivere schatter valt term Biasδ in de MSEδ weg, maar kan juist de Varδ term groter worden. We zullen toch altijd de twee termen tegen elkaar moeten afwegen. Notatie Vanaf nu laten we bij het uitrekenen van verwachtingen en varianties de steekproefstochast X weg, dus met Eδ bedoelen we EδX en met Varδ bedoelen we VarδX. In Hoofdstuk 6 hebben we gezien dat de M.L.-schatter voor de parameter p van een Bernoulli verdeling, gebaseerd op een steekproef X 1,..., X n, gelijk is aan het steekproefgemiddelde: ˆp = X n = 1 n X i Vraag: Is deze schatter zuiver? Vraag: Wat is de MSEˆp? Hfdstk 7: Zuivere Schatters 9 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 1 / 37 Voorbeeld Schatten van de verwachting Laat X 1,..., X n, een aselecte steekproef zijn uit dezelfde verdeling met E X i = µx en VarX i = σx 2. Het steekproefgemiddelde X n = 1 n X i Voorbeeld Schatten van de variantie Neem X 1,..., X n, een aselecte steekproef uit dezelfde verdeling met verwachting EX i = µ en VarX i = σ 2. Wanneer µ bekend is, kunnen we σ 2 schatten m.b.v. is een zuivere schatter voor µ, immers E X n = E Xi. De MSE is gelijk aan Var X n ofwel σ 2 /n. ŝ = 1 n X i µ 2. Als X i Nµ, σ 2, dan is EX n = µ en MSEX n = σ 2 /n. Als X i exponentieel verdeeld is met parameter λ, dan is EX i = 1/λ en VarX i = 1/λ 2. Er volgt nu EX n = 1 λ en MSEX n = 1 λ 2 n. Deze schatter is natuurlijk zuiver voor σ 2. Waarom? Hfdstk 7: Zuivere Schatters 11 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 12 / 37

4 Schatten van variantie met onbekend gemiddelde Wanneer µ niet bekend is, zouden we µ kunnen vervangen door een schatter, bijvoorbeeld X n. De schatter wordt nu ŝ 1 = 1 n X i X n 2. Dit levert een schatter die echter niet zuiver is. Om dit te zien schrijven we eerst: X i X n 2 = Er volgt dan Eŝ 1 = n 1 n σ2 Xi 2 nx 2 n We zien dat ŝ 1 geen zuivere schatter is voor σ 2, maar we kunnen dit corrigeren in een nieuwe schatter ŝ 2 : Definitie Steekproefvariantie De schatter ŝ 2, gedefinieerd als ŝ 2 = n n 1 ŝ1 = 1 n 1 X i X n 2, is een zuivere schatter van σ 2. LET OP! ŝ 2 is een zuivere schatter is voor σ 2, maar ŝ2 is geen zuivere schatter is voor σ! Hfdstk 7: Zuivere Schatters 13 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 14 / 37 Voorbeeld Parameter uniforme verdeling We nemen aan dat X 1,..., X n, een aselecte steekproef is uit een uniforme verdeling op het interval [, θ], waarbij θ een onbekende te schatten parameter is. We zagen in Hoofdstuk 6 dat de M.L.-schatter ˆθ 1 gelijk is aan ˆθ 1 = max{x 1,..., X n } We vermoeden dat ˆθ 1 geen zuivere schatter van θ kan zijn. Waarom? Dit kunnen we inderdaad bewijzen. We bepalen hiertoe eerst de kansverdelingsfunctie Fˆθ1 en de kansdichtheid fˆθ1 van ˆθ 1 : Fˆθ1 t = Pˆθ 1 t = F X t n Hieruit volgt Fˆθ1 t = t n θ n, t θ, en fˆθ1 = d dt Fˆθ1 t = ntn 1 θ n. We kunnen nu uitrekenen: en Eˆθ 1 = θ t fˆθ1 t dt = θ Eˆθ 1 2 = t 2 t dt = fˆθ1 waaruit volgt θ θ t ntn 1 θ n dt = nθ n + 1 t 2 ntn 1 θ n dt = nθ2 n + 2 Var ˆθ1 = Eˆθ 1 2 Eˆθ 1 2 nθ 2 = n + 2n Biasˆθ 1 = Eˆθ 1 θ = MSEˆθ 1 = 2θ 2 n + 2n + 1 θ n + 1. Hfdstk 7: Zuivere Schatters 15 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 16 / 37

5 We kunnen de onzuiverheid van ˆθ 1 corrigeren in een nieuwe schatter: ˆθ 2 = n + 1 n θ 1 Voor deze schatter geldt Eˆθ 2 = θ en dus Biasˆθ 2 = en Var ˆθ2 = n + 12 n 2 Var ˆθ1 = θ 2 nn + 2 = MSEˆθ 2 We kunnen ook op een andere manier een zuivere schatter construeren. Bedenk dat voor het steekproefgemiddelde geldt EX n = EX i = θ 2 Definieer nu de derde schatter: ˆθ 3 = 2X n. Deze schatter is zuiver en bovendien geldt Var ˆθ3 = 4Var 4VarX 1 X n = = θ2 n 3n Hfdstk 7: Zuivere Schatters 17 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 18 / 37 We kunnen nu voor de drie genoemde schatters de MSE vergelijken: MSEˆθ 2 = θ 2 nn + 2 θ2 3n = MSEˆθ 3 met gelijkheid alleen voor n = 1 dan is ˆθ 2 = ˆθ 3. Ook geldt MSEˆθ 1 = 2θ 2 n + 2n + 1 θ2 3n = MSEˆθ 3 De kleinste MSE krijgen we met de onzuivere schatter ˆθ 4 = n + 2 n + 1 ˆθ 1, want dan is de MSEˆθ 4 = θ 2 n met gelijkheid alleen voor n = 1 en n = 2. Hfdstk 7: Zuivere Schatters 19 / 37 Hfdstk 7: Zuivere Schatters 2 / 37

6 Betrouwbaarheidsintervallen Tot nu toe hebben we drie soorten puntschatters gezien: A posteriori schatter: Resultaat van de schatting is een verdeling van de onbekende parameter, gegeven het resultaat van de steekproef. Bayes schatters: Resultaat van de schatting van een onbekende parameter is een verwachte waarde van die parameter. M.L.-schatters: Resultaat van de schatting is één aannemelijke waarde van de onbekende parameter. Voorbeeld Beschouw een stochast Z met een standaardnormale verdeling, Z N, 1. Kies een interval [c 1, c 2 ] zo klein mogelijk, zodat met kans.99 de uitkomst van Z in het interval ligt. In een plaatje: Opp =.99 Oplossing: Opp =.99 Intervalschatter Levert per schatting een interval waarvan het aannemelijk is dat de onbekende parameter daarin ligt. De lengte van het betrouwbaarheidsinterval geeft een indicatie hoe nauwkeurig we een parameter kunnen schatten. We noemen dit een betrouwbaarheidsinterval. c 1 c 2 -c c Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 21 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 22 / 37 Voorbeeld Algemeen Beschouw een stochast Z met een standaardnormale verdeling, Z N, 1. Neem een γ, < γ < 1. Bepaal een interval c 1 γ, c 2 γ waarvan 1 we met betrouwbaarheid γ kunnen zeggen dat Z in dat interval ligt, ofwel P c 1 γ Z c 2 γ = γ 2 de lengte van het interval, i.e. c 2 γ c 1 γ, zo kort mogelijk is. Zo n interval c 1 γ, c 2 γ heeft altijd de vorm c γ, c γ : Opp = γ Opp = γ In een plaatje Opp = γ -c γ c γ c 1 γ c 2 γ c 1 γ c 2 γ Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 23 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 24 / 37

7 Betrouwbaarheidsinterval De waarde van c γ waarvoor deze gelijkheid geldt: ofwel γ = cγ c γ φxdx = Φc γ Φ c γ = 2Φc γ 1 Φc γ = 1 + γ 2 of 1 + γ c γ = Φ 1. 2 De waarde van c γ horende bij γ is dus gelijk aan het 1 + γ/2 kwantiel van de standaardnormale verdeling. Uit de tabel achter in het boek volgt bijvoorbeeld voor γ =.95 dat c γ = Schat een interval voor het gemiddelde van een normale verdeling. Ga uit van een aselecte steekproef X 1,..., X n, uit een normale verdeling Nµ, σ 2, waarvan µ een onbekende parameter is en σ 2 bekend is. We weten dat X n µ N, 1. σ 2 /n Hieruit volgt P c γ < X n µ σ 2 /n < c γ = γ ofwel P X n σc γ < µ < X n + σc γ = γ n n Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 25 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 26 / 37 Betrouwbaarheidsinterval Definieer de stochasten AX en BX als AX = X n σc γ BX = X n + σc γ dan geldt P AX < µ < BX = γ Wanneer we nu een realisatie x van de steekproef invullen en dit levert de waarden Ax = a en Bx = b, dan noemen we a, b een betrouwbaarheidsinterval voor µ met betrouwbaarheid γ. Opmerkingen Soms geven we het interval ook weer als X n ± c γ σ/. Een betrouwbaarheidsinterval voor µ betekent NIET: De waarde van µ ligt met kans γ in het interval a, b. Het geldt zelfs niet als we een a priori en een a posteriori kansverdeling voor µ hebben. Het betekent WEL: Als je de steekproef vele malen herhaalt, dan zal het betrouwbaarheidsinterval in 1γ% van de gevallen de werkelijke waarde van µ bevatten. Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 27 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 28 / 37

8 Definitie Betrouwbaarheidsinterval Veronderstel X 1,..., X n, een aselecte steekproef uit een verdeling met een onbekende parameter θ. Laat AX 1,..., X n en BX 1,..., X n twee functies zijn, waarvoor geldt dat, ongeacht de werkelijke waarde van θ: P AX 1,..., X n < θ < BX 1,..., X n = γ, voor een gegeven γ, met < γ < 1. Als een realisatie x 1,..., x n, de waarden Ax 1,..., x n = a en Bx 1,..., x n = b oplevert, dan noemen we het interval a, b een betrouwbaarheidsinterval Engels: confidence interval voor θ met betrouwbaarheidscoëfficient γ. Voorbeeld Willekeurige verdeling We nemen een aselecte steekproef X 1,..., X n, uit een willekeurige verdeling, met een onbekende verwachting µ en bekende variantie σ 2. Uit de centrale limietstelling weten we dat Xn µ P σ 2 /n x Φx, als n. Voor γ, < γ < 1, en c γ = Φ 1 1+γ 2, geldt nu P c γ < X n µ σ 2 /n < c γ γ Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 29 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 3 / 37 Vervolg voorbeeld willekeurige verdeling Voorbeeld Vervolg: onbekende σ 2 ofwel P AX < µ < BX γ voor de twee stochasten AX en BX gedefinieerd als AX = X n σc γ BX = X n + σc γ Wanneer we nu een realisatie x van de steekproef invullen en dit levert de waarden Ax = a en Bx = b, dan noemen we a, b een benaderend betrouwbaarheidsinterval voor µ met betrouwbaarheid γ. Bij de meeste statistische problemen is zowel de verwachting µ als de variantie σ 2 onbekend. Als we toch al aan het benaderen zijn, kunnen we AX en BX vervangen door: A X = X n c γs n, en B X = X n + c γs n, waarbij S 2 n een schatter is voor σ 2, bijvoorbeeld: S 2 n = 1 n 1 2. Xi X n Ook in dit geval levert een ingevulde realisatie x in A x = a en B x = b een interval a, b op, dat een benaderend betrouwbaarheidsinterval is voor µ met betrouwbaarheid γ. Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 31 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 32 / 37

9 Opmerkingen Opmerkingen vervolg Als σ van X wel bekend is: De betrouwbaarheidsintervallen zijn gebaseerd op een verdeling voor de stochast Z = Xn µ σ/. Als X normaal verdeeld is, dan weten we de verdeling van Z exact n.l. Z N, 1. Als X niet normaal verdeeld is, dan weten we de verdeling van Z in het algemeen niet, maar benaderen we deze met N, 1. Als σ van X niet bekend is: De betrouwbaarheidsintervallen zijn gebaseerd op een verdeling voor de stochast Z = Xn µ S / n. Als X normaal verdeeld is, dan weten we deze verdeling exact een zogenaamde t-verdeling met n 1 vrijheidsgraden 1, maar in dit college benaderen we deze met een N, 1 verdeling. Als X niet normaal verdeeld is, dan weten we de exacte verdeling van Z in het algemeen niet, maar benaderen we deze verdeling met een N, 1 verdeling. 1 Deze wordt in het boek wel behandeld, maar is geen tentamenstof Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 33 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 34 / 37 Voorbeeld De Consumentenbond heeft een onderzoek uitgevoerd naar het aantal kcal dat in gevulde koeken zit. In een aselecte steekproef van 16 koeken werden de volgende aantallen gemeten: 278, 314, 292, 248, 37, 285, 334, 311, 328, 292, 283, 32, 313, 349, 272, 267 We willen nu een benaderend 9% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde aantal kcal bepalen. Het steekproefgemiddelde is x n = 4793/16 = De steekproefvariantie is S 2 n = 1 n 1 x i x n 2 = De ondergrens wordt dus Ax = en de bovengrens wordt Bx = = = We moeten γ gelijknemen aan.9, zodat uit de tabel van Φt volgt dat c γ = Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 35 / 37 Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 36 / 37

10 Na bestudering van dit hoofdstuk moet je: Kunnen bepalen of een bepaalde schatter zuiver is, De onzuiverheid bias en MSE van een schatter uit kunnen rekenen. Een zuivere schatter voor variantie kennen. Een benaderende betrouwbaarheidsinterval uit kunnen rekenen. Hfdstk 7: Betrouwbaarheidsinterval 37 / 37

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan.

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Statistics Deeltentamen 2 Statistics Vrije Universiteit 28 mei 2015 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen: opgaven 1,2,3,4. Cijfer=

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013

Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Algemene Statistiek Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen:

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 15 Dinsdag 2 November 1 / 16 2 Statistiek Indeling: Filosofie Schatten Centraal Bureau voor Statistiek 2 / 16 Schatten Vb. Het aantal tenen plus vingers in jullie huishoudens:

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen

Nadere informatie

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter. STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens 2004 5 1 (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters.

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, 14.00 16.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 6, : 3: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met onderdelen. Elk onderdeel

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek UNIVERSITY OF GHENT Samenvatting Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek Auteur: Nicolas Vanden Bossche Lesgever: Prof. Hans De Meyer Hoofdstuk 1 Het kansbegrip en elementaire kansrekening

Nadere informatie

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C) WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2S610

Kansrekening en stochastische processen 2S610 Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en

Nadere informatie

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1

Nadere informatie

Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2010, 9:00 12:00

Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2010, 9:00 12:00 Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2, 9: 2: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren alstublieft.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

DH19 Bedrijfsstatistiek MC, 2e Bach Hir, Juni 2009

DH19 Bedrijfsstatistiek MC, 2e Bach Hir, Juni 2009 Naam:... Voornaam:... DH19 Bedrijfsstatistiek MC, 2e Bach Hir, Juni 2009 Slechts één van de vier alternatieven is juist. Kruis het bolletje aan vóór het juiste antwoord. Indien je een meerkeuzevraag verkeerd

Nadere informatie

Statistiek voor A.I.

Statistiek voor A.I. Statistiek voor A.I. College 13 Donderdag 25 Oktober 1 / 28 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 28 3 / 28 Jullie - onderzoek Tobias, Lody, Swen en Sander Links: Aantal broers/zussen van het

Nadere informatie

Toetsen van hypothesen

Toetsen van hypothesen Les 4 Toetsen van hypothesen We hebben tot nu toe enigszins algemeen naar grootheden van populaties gekeken en bediscussieerd hoe we deze grootheden uit steekproeven kunnen schatten. Vaak hebben we echter

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Dinsdag 16 Oktober 1 / 30 Jullie - onderzoek Geert-Jan, Joris, Brechje Horizontaal: lengte Verticaal: lengte tussen topjes middelvingers met gestrekte armen. DIII 170 175

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 11 Dinsdag 25 Oktober 1 / 27 2 Statistiek Vandaag: Hypothese toetsen Schatten 2 / 27 Schatten 3 / 27 Vragen: liegen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18 t-toetsen 2 / 18 Steekproefgemiddelde en -variantie van normale observaties Stelling. Laat X 1,..., X n o.o. zijn en N(µ, σ 2 )-verdeeld. Dan:

Nadere informatie

SCHATTEN. A.W. van der Vaart en anderen

SCHATTEN. A.W. van der Vaart en anderen SCHATTEN A.W. van der Vaart en anderen VOORWOORD Dit diktaatje wordt gebruikt bij het vak Biostatistiek 2 voor MNW. Het is een uittreksel van het boek Algemene Statistiek geschreven door A.W. van der Vaart

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 16 Donderdag 4 November 1 / 25 2 Statistiek Indeling: Schatten Correlatie 2 / 25 Schatten 3 / 25 Schatters: maximum likelihood schatters Def. Zij Ω de verzameling van

Nadere informatie

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek voor T (2S070) op vrijdag 8 oktober 1999, uur De u

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek voor T (2S070) op vrijdag 8 oktober 1999, uur De u TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek voor T (2S070) op vrijdag 8 oktober 1999, 14.00-17.00 uur De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale

Nadere informatie

Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00

Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00 Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 juli 2010, 9:00 12:00 Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren

Nadere informatie

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg) Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt.

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in the Mathematische Statistiek. staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten

Stochastiek 2. Inleiding in the Mathematische Statistiek. staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten Stochastiek 2 Inleiding in the Mathematische Statistiek staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten 1 / 12 H.1 Introductie 2 / 12 Wat is statistiek? - 2 Statistiek is de kunst van het (wiskundig) modelleren van situaties

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 17

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 17 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 17 Statistische toetsen 2 / 17 Toetsen - algemeen - 1 Setting: observatie X in X, model {P θ : θ Θ}. Gegeven partitie Θ = Θ 0 Θ 1, met Θ 0 Θ 1

Nadere informatie

4.2 Mean Square Error

4.2 Mean Square Error 4 Schatters 4.1 Introductie Een statistisch model bestaat uit alle kansverdelingen welke a priori mogelijk worden geacht voor de gegeven data. Gegeven een correct opgesteld model gaan we ervan uit dat

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Continue distributies als stochastische

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Meetkunde en Lineaire Algebra

Meetkunde en Lineaire Algebra Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra Vraag 1.1 Zij p en q twee veeltermfuncties met reële coëfficiënten en A een reële vierkante matrix. Dan is p(a) diagonaliseerbaar over R als en slechts dan als

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is

Nadere informatie

Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling

Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Moore, McCabe & Craig: 3.3 Toward Statistical Inference From Probability to Inference 5.1 Sampling Distributions for

Nadere informatie

Meetkunde en Lineaire Algebra

Meetkunde en Lineaire Algebra Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra Vraag 1.1 Zij p en q twee veeltermfuncties met reële coëfficiënten en A een reële vierkante matrix. Dan is p(a) diagonaliseerbaar over R als en slechts dan als

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening (NB004B)

Tentamen Kansrekening (NB004B) NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en

Nadere informatie

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen S. Vansteelandt Academiejaar 006-007 1. Een team van onderzoekers wil nagaan of een bepaald geneesmiddel Triptan meer effectief is dan aspirine

Nadere informatie

Introductie tot traditionele herverzekering

Introductie tot traditionele herverzekering Introductie tot traditionele herverzekering Module AN17 Schadeverzekering 26 maart 2012 Nico de Boer nico.de.boer@aaa-riskfinance.nl Lesindeling onderdeel herverzekering Datum Te behandelen 19 maart Hoofdstuk

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen 24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$

Nadere informatie

Levende Statistiek. Een module voor Wiskunde D VWO. Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede

Levende Statistiek. Een module voor Wiskunde D VWO. Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede Levende Statistiek Een module voor Wiskunde D VWO Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede, Leiden 2010 ctwo, Utrecht 2010 Dit lesmateriaal kan gebruikt worden voor

Nadere informatie

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INHOUD H 10: INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK H 11: PUNTSCHATTING 11.1 ALGEMEEN 11.1.1 Definities 11.1.2 Eigenschappen 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE 11.3

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen

Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen 3.1 Schatten: Er moet een verbinding worden gelegd tussen de steekproefgrootheden en populatieparameters, willen we op basis van de een iets kunnen zeggen over de ander.

Nadere informatie

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders. Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4,

Nadere informatie

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x

Nadere informatie

Bedrijfskunde. Hoofdstuk 1. Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse

Bedrijfskunde. Hoofdstuk 1. Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse Hoofdstuk 1 Bedrijfskunde Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse - McGregor - Elton Mayo - Frank Lilian Gilbreth - Alfred Sloan - Henri Fayol Vraag 1.2 Je

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

variantie: achtergronden en berekening

variantie: achtergronden en berekening variantie: achtergronden en berekening Hugo Quené opleiding Taalwetenschap Universiteit Utrecht 8 sept 1995 aangepast 8 mei 007 1 berekening variantie Als je de variantie met de hand moet uitrekenen, is

Nadere informatie

Voorbeeld 1: kansverdeling discrete stochast discrete kansverdeling

Voorbeeld 1: kansverdeling discrete stochast discrete kansverdeling 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Yvette pakt vier knikkers uit een vaas waar er 20 inzitten. 9 van de knikkers zijn rood en 11 van de knikkers zijn blauw. X = het aantal rode knikkers dat Yvette pakt. Er zijn

Nadere informatie

WenS eerste kans Permutatiecode 0

WenS eerste kans Permutatiecode 0 WenS eerste kans 2012 2013 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Leg je studentenkaart

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e.

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e. Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 april 2011, 9:00 12:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden

Nadere informatie

Mathematische Statistiek

Mathematische Statistiek Mathematische Statistiek Bert van Es Korteweg-de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam 5 februari 2007 ii Inhoudsopgave 1 Introductie 1 2 Algemene begrippen

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Herhaling H.1 2/19 Mathematische Statistiek We beschouwen de beschikbare data als realisatie(s) van een stochastische grootheid X.(Vaak een vector

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN Inleiding Statistische gevolgtrekkingen (statistical inference) gaan over het trekken van conclusies over een populatie op basis van steekproefdata.

Nadere informatie

Hoofdstuk 12: Eenweg ANOVA

Hoofdstuk 12: Eenweg ANOVA Hoofdstuk 12: Eenweg ANOVA 12.1 Eenweg analyse van variantie Eenweg en tweeweg ANOVA Wanneer we verschillende populaties of behandelingen met elkaar vergelijken, dan zal er binnen de data altijd sprake

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Deel I Schatters en toetsen 1

Inhoudsopgave. Deel I Schatters en toetsen 1 Inhoudsopgave Deel I Schatters en toetsen 1 1 Hetschattenvanpopulatieparameters.................. 3 1.1 Inleiding:schatterversusschatting................. 3 1.2 Hetschattenvaneengemiddelde..................

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

Sheets K&S voor INF HC 10: Hoofdstuk 12

Sheets K&S voor INF HC 10: Hoofdstuk 12 Sheets K&S voor INF HC 1: Hoofdstuk 12 Statistiek Deel 1: Schatten (hfdst. 1) Deel 2: Betrouwbaarheidsintervallen (11) Deel 3: Toetsen van hypothesen (12) Betrouwbaarheidsintervallen (H11) en toetsen (H12)

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Robert Fitzner Tim Hulshof 7 Oktober 202 v.3 Voorwoord Deze tekst geeft een overzicht van de stof die behandeld wordt in de meeste cursussen inleiding

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Twee populaties: parametrische toetsen

Hoofdstuk 6 Twee populaties: parametrische toetsen Hoofdstuk 6 Twee populaties: parametrische toetsen 6.1 De t-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden: In veel onderzoekssituaties zijn we vooral in de verschillen tussen twee populaties geïnteresseerd.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen

Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen 5.1 Gemiddelde, variantie, standaardafwijking: De variantie is als het ware de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter de variantie

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Donderdag 18 Oktober 1 / 28 Huffington Post poll verkiezingen VS - 12 Oktober 2012 2 / 28 Gallup poll verkiezingen VS - 15 Oktober 2012 3 / 28 Jullie - onderzoek Kimberly,

Nadere informatie

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden. Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie