Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135

Transcriptie

1 Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 35 Faculteit FNWI 6525 AJ Nijmegen Examen NWI-NB00B Inleiding Kansrekening 2 juni 206 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N of I). Het is toegestaan een (grafische) rekenmachine te gebruiken. Maak elke opgave op een apart vel!!. We beschouwen een rij onafhankelijke continue stochasten X, X 2,..., die allen verdeeld zijn volgens de dichtheid { als x [, ) f(x) x 5 0 als x (, ). De onderdelen van deze opgave zijn allemaal los van elkaar te maken! (a) Wat is de kans dat van de 0 stochasten X,..., X 0 er 2 of meer een waarde krijgen groter dan 2? Als het u niet lukt om P(X > 2) te bepalen, neem dan aan dat P(X > 2) 8. (b) Definieer Y /X. Geef de dichtheid van Y. (c) Definieer 90 S X i. Benader de kans dat S groter is dan 25, dus P(S 25). 2. We gooien 5 dobbelstenen, tellen het maximale aantal gelijk gegooide stenen, en noemen dit X. Dus als we {2, 3, 3, 5, 5} gooien, dan geldt X 2, en als we {, 3, 5, 5, 5} gooien, geldt X 3. Merk op dat X {,..., 5}. (a) Geef de verdeling van X (dus bereken P(X k), voor k,..., 5). Hint: bereken P(X 2) als laatste! Mocht u niet in staat zijn geweest om de verdeling van X te bepalen, werk dan met de volgende (onjuiste!) kansen: k P(X k) 3 Na de eerste worp, houden we de X gelijk geworpen dobbelstenen vast (het kan voorkomen dat we meerdere mogelijkheden hebben om X dobbelstenen te kiezen, met name als X ), en gooien de andere 5 X dobbelstenen opnieuw. Na deze tweede worp kijken we weer wat het maximale dobbelstenen met gelijk aantal ogen is, ook de dobbelstenen meetellend die we niet hebben geworpen, en stellen dit gelijk aan X 2. Als voorbeeld: de eerste worp is {, 3, 3, 5, 5}, dus X 2. We houden de twee 3-en vast (of de twee 5-en, dat mag je zelf weten). We gooien de overige drie dobbelstenen en krijgen {2, 3, 6}. De vijf dobbelstenen zijn nu dus {2, 3, 3, 3, 6}, dus X 2 3. Merk op dat X 2 X, en als X 5, dan X

2 (b) Bepaal P(X 2 5). Dit is de kans op Yahtzee in hoogstens twee worpen (bij deze strategie)! 3. Luka spaart dinoplaatjes bij de supermarkt. Voor elke e2 krijgt hij een nieuw kaartje, willekeurig getrokken uit alle verschillende mogelijke dinokaartjes. Er zijn n dino s en de dino s zijn genummerd,..., n. In deze opgave mag u gebruiken dat als X Geo(p), dan geldt E(X) p en Var(X) p p 2. (a) Stel Luka heeft al k verschillende dino s gespaard. Noem T k,n het aantal kaartjes dat hij nog extra moet krijgen totdat hij k + verschillende dino s heeft gespaard. Wat is de verwachting van T k,n? (b) Hoeveel geld moet Luka in verwachting uitgeven in de supermarkt om alle dinokaartjes te bemachtigen? Hint: gebruik (a). (c) Gebruik de ongelijkheid van Chebyshev om de kans te schatten dat als n 00, Luka meer dan 800 kaartjes moet krijgen voordat hij alle dino s heeft. U mag gebruiken dat i 5.87 en i

3 a Tabel : Right tail probabilities Φ(a) P (Z a) of the N(0, )-variabe Z.

4 Full solutions: a Er geldt P(X > 2) 2 x 5 dx [ x ] 2 6. Het aantal van de tien stochasten dat dus een waarde groter dan 2 krijgt, is Bin(0, 6 ) verdeeld. De kans op 2 of meer is dus: ( ) ( ) ( 0 6 ) ( ) In het geval een student (ten onrechte) P(X > 2) 8 heeft genomen, dan krijgen we ( ) ( 0 ) ( 8 b Beschouw voor t [0, ] de verdelingsfunctie F Y (t): F Y (t) P(Y t) ) ( ) P(X t) P(X t ) t x 5 dx [ x ] t t. De dichtheid f van Y is dus gegeven door { y 3 als y [0, ] f(y) 0 als y R \ [0, ]. c We gaan de centrale limiet stelling gebruiken, en hiertoe rekenen we eerst E(X ) en Var(X ) uit: E(X ) 3. xf(x) dx x dx Verder: E(X 2 ) 2. x 2 f(x) dx x 3 dx

5 Dus Var(X ) Dus E(S) 20 en Var(S) 20. We weten dat de som van een groot aantal onafhankelijke en gelijk verdeelde stochasten ongeveer normaal verdeeld is. Dit betekent: 2a Er geldt: P(S 25) P (N(20, 20) 25) ( ) P N(0, ) 20 P(N(0, ).2) 0.3. P(X ) en P(X 5) 6. Verder geldt dat het totale aantal worpen met X 3 gelijk is aan 6 (5 3) , dus P(X 3) 250. Het totale aantal worpen met X 6 is gelijk aan Dus P(X ) 25. Tot slot moet dus gelden dat 6 P(X 2) Dit kunnen we ook als volgt inzien: het aantal worpen met 2 gelijken en drie verschillenden is gelijk aan 6 (5 3) Het aantal worpen met 2 keer 2 gelijken en andere is ( ( 6 2) 5 2) 800. Dit geeft P(X 2) Als X, dan geldt P(X 2 5 X ) P(X 5) 6. Als X k 2, dan geldt P(X 2 5 X k) 6 5 k. Merk op dat deze formule ook waar is als k! Dus P(X 2 5) 5 P(X 2 5 X k)p(x k) k a De kans dat een volgend kaartje nieuw is, is gelijk aan k/n. Als het kaartje niet nieuw is, is de situatie bij het volgende kaartje weer hetzelfde. Dus T k,n heeft een Geo( k/n) verdeling. Dit betekent dat E(T k,n ) n n k.

6 3b Noem het totale aantal kaartjes totdat Luka elke dino heeft X. Dan geldt Dus E(X) n X T k.n. n k0 k0 n n n k n Het verwachte betaalde bedrag is dus 2 keer zo groot. 3c Eerst moeten we de variantie van X bepalen: n Var(X) Var(T k,n ) k0 Dit betekent dat Dus n k0 n k/n (n k) 2 /n 2 n k0 i. k n (n k) 2 n k n k k 2 n 2 E(X) 58.7 en Var(X) P(X > 800) P(X E(X) > ) P( X E(X) > ) Var(X) n k n k 2 n k. k