Wiskundige Analyse II

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Als de partiële afgeleiden van de functie f : R n R niet bestaan in het punt a, dan kan f in a geen lokaal extremum bereiken. Vraag 1.2 Als de functie f : R n R differentieerbaar is in a en f( a) 0, dan kan f in a geen lokaal extremum bereiken. Vraag 1.3 Als de functie f : R n R differentieerbaar is in het punt a en en f bereikt in a een lokaal extremum, dan zijn alle richtingsafgeleiden van f in a gelijk aan nul. Vraag 1.4 Als de kwadratische vorm gehecht aan de onbeperkt continu differentieerbare functie f : R n R positief definiet is (d.w.z. strikt positief voor alle toenamevectoren h 0) in een inwendig punt van haar domein, dan bereikt f in dit punt een lokaal minimum. 1

2 Vraag 1.5 Zij f : R n R een onbeperkt continu differentieerbare functie met kritisch punt a. Als de eerste van nul verschillende partiële afgeleide van f in a er een is van oneven orde, dan is a een zadelpunt voor f. Vraag 1.6 De functie f(x, y) = 6x 4 +2y 2 7x 2 y bezit in (0, 0) een lokaal minimum. Vraag 1.7 De functie f(x, y) = xy 1 x 2 y 2 bereikt op de gesloten eenheidsschijf (met middelpunt in de oorsprong) haar maximale waarde in de punten (± 2 2, ± 2 2 ). Vraag 1.8 In het eerste kwadrant van het XY vlak geldt er dat x 3 y 2 (1 x y)

3 Vraag 1.9 De functie f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 bereikt haar absoluut minimum op de Yas en haar absoluut maximum op de Xas. Vraag 1.10 Voor alle (x, y) in R 2 geldt er dat cos(x) cos(y) cos(x + y) 1 8 3

4 Hoofdstuk 2 Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vraag 2.1 De ongecorreleerde continue toevallige veranderlijken X 1, X 2,..., X 10 zijn uniform verdeeld over het interval [0, 2]. De variantie van Y = (X 1+X 2 + +X 10 )/10 is dan gelijk aan: 1 /30 10 /3 1 /3 1 Vraag 2.2 X en Y zijn twee onafhankelijke toevallige veranderlijken, geometrisch verdeeld met parameter p = 1 /5. De waarschijnlijkheid dat X = Y is dan gelijk aan: 1 /9 1 /6 1 /3 1 /2 Vraag 2.3 Voor een continue toevallige veranderlijke X weten we dat E(X) = 6 en var(x) = 2. Dan levert de Chebyshevongelijkheid de volgende ondergrens voor P (3 X 9): 2 /9 2 /3 4

5 7 /9 1 /3 Vraag 2.4 De professor waarschijnlijkheidsleer Dr. Savage verplicht de 42 studenten die hij heeft opgesloten in zijn martelauditorium om opeenvolgend Russische roulette te spelen met de revolver van Lucky Luke, die een cilindrische houder heeft voor zeven kogels. Telkens zit er één kogel in de houder en elke keer wordt de cilinder zodanig rondgedraaid dat elk van de zeven posities van de houder ten opzichte van de loop even waarschijnlijk is. Met welke zo nauwkeurig mogelijke benadering van de waarschijnlijkheid dat strikt meer dan 35 studenten het overleven, sart hij de studenten (hij en jij verfoeien het rekenen met faculteiten)? 0, , , , Vraag 2.5 Beschouw de toevallige veranderlijken X = n en Y = X n 2n, waarbij de toevallige veranderlijken X i elk standaardnormaal verdeeld en onderling onafhankelijk zijn. Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar? i=1 X i 2 X heeft een χ 2 verdeling. De verdeling van Y convergeert voor n naar de standaardnormale verdeling. De standaardafwijking van X is gelijk aan 2n. Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is niet waar. Vraag 2.6 Welke van de volgende matrices kan een covariantiematrix M van twee toevallige veranderlijken X en Y zijn? ( ) ( )

6 ( ) ( ) Vraag 2.7 Natasja gaat als lid van de lokale jeugdbeweging van huis tot huis in de wijk Zulzeke om bakjes sinaasappelen te verkopen. De waarschijnlijkheid dat ze een bakje verkoopt aan een willekeurige huisdeur is 1 /10. Geen enkele familie koopt meer dan een bakje, en je mag ervan uitgaan dat het koopgedrag van een familie niet door de andere families wordt beïnvloed. Wat is het verwachte aantal huizen waaraan Natasja moet aanbellen tot ze twee bakjes heeft verkocht? (De huizen waar ze inderdaad verkoopt, worden meegeteld). aangezien het over twee bakjes gaat, is er onvoldoende informatie in de vraagstelling aanwezig om het verwachte aantal huizen te kunnen berekenen Vraag 2.8 Er wordt een steekproef met grootte n = 10 genomen uit een standaardnormale verdeling. Welke van de volgende beweringen is juist? 9S10 2 heeft een χ2 9 verdeling 9S10 2 heeft een Nm( 0, 10)verdeling 9S10 2 heeft een χ2 10 verdeling 9S10 2 heeft een Ga( 5, 2)verdeling Vraag 2.9 Een urne bevat 8 ballen waarvan 3 rode en 5 blauwe. Hieruit worden ballen getrokken zonder terugplaatsing. Laat X i met i {1, 2,..., 8} gelijk zijn aan 1 wanneer in de i de trekking een rode bal wordt getrokken, 0 anders. Wat is de verwachtingswaarde van het product X 1 (1 X 3 )? 15 /56 3 /28 6

7 15 /64 geen van de bovenstaande Vraag 2.10 Arland gaat met de tram naar school. In de volgende tabel staan, voor 15 opeenvolgende schooldagen, hoe lang (in minuten) hij aan de tramhalte heeft gewacht: Welke van de volgende figuren vat de data (wachttijden) correct samen in een kadermetstaafdiagram? 7