VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

Transcriptie

1 VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

2 . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een kansmodel voor een populatie..... Het populatiemodel..... De populatieparameters.... Een kansmodel voor een steekproef Een steekproef van grootte n=: experimenteel en benaderend Een steekproef van grootte n=: theoretisch en exact..... Kansmodel voor een steekproef van willekeurige grootte Schematisch overzicht...0 Centrum voor Statistiek

3 . Populatie: een intuïtieve definitie In de module over exploratieve statistiek heb je al kennis gemaakt met de begrippen populatie en steekproef. Bij het onderzoek naar de kleuren van M&M snoepjes werden de snoepjes in één zakje voorgesteld als een lukrake schep uit een reuzegrote container waarin alle gefabriceerde snoepjes zaten. De snoepjes in dat zakje bekeek je als een klein deel (een steekproef) van een veel groter geheel (de populatie). Ook bij de studie over het schatten van de duurtijd van een minuut heb je met een steekproef gewerkt (40 medeleerlingen) terwijl je wou weten hoe alle leerlingen van je hele school (de populatie) de minuut zouden schatten. In de praktijk kan je ervan uitgaan dat het bijna nooit mogelijk is om een volledige populatie te onderzoeken. Daarom zal je alleen maar over een deel van de populatie informatie verzamelen. In de afzonderlijke tekst over Steekproefmethoden staan voorbeelden waar je kan zien waarom het nodig is om met een steekproef te werken. Als je daar iets meer wil over weten, lees dan in die tekst de eerste paragraaf: Waarom met een steekproef werken?. Je vindt die tekst op de website: Er zijn heel veel manieren om uit een populatie een steekproef te trekken. In deze tekst beperken we ons tot de EAS, de enkelvoudige aselecte steekproef. Bij een vaasmodel betekent dat lukraak trekken met terugleggen.. Een kansmodel voor een populatie.. Het populatiemodel Als je iets wil weten over de geboortegewichten van de kinderen die in 00 in Vlaanderen geboren zijn, dan zou je uit de volledige namenlijst van die kinderen een steekproef van grootte 400 kunnen trekken. Je hebt dan 400 namen. Die namen verwijzen naar kinderen. Bij die kinderen horen geboortegewichten. Uiteindelijk heb je 400 getallen, en die bestudeer je dan. Op die manier kan je zeggen dat de populatie van geboortegewichten 400 getallen naar jou heeft gestuurd. De belangrijke vraag is nu: Op welke manier krijg je welke getallen als je uit een populatie trekt?. Een populatie kan zeer groot zijn en eigenlijk niet op te meten, zoals de lengte van alle volwassen Chinezen. Of zij kan bestaan uit alleen maar denkbare en, zoals alle mogelijke meetfouten van een precisieweegschaal. Dat zijn allemaal voorbeelden waar je de concrete getallen van de volledige populatie niet te pakken krijgt. Om dan toch nog met zo n populatie te kunnen werken moet je overstappen op een geïdealiseerd model voor die populatie. In de statistiek beschrijf je een populatie met behulp van een geïdealiseerd model. Zo n model vertelt je met welke kans je welke getallen zal vinden. Het is een kansmodel. Kansmodellen ken je al. Alles wat je daarover geleerd hebt kan je nu gebruiken om populaties te beschrijven. - Je kan spreken over een populatie X waar een kansverdeling bij hoort. Dan beschrijf je een populatie waarbij de mogelijke en discreet zijn. - Je kan ook spreken over een populatie X waar een kansdichtheid bij hoort. Dat doe je om populaties aan te duiden waarbij de en een continuüm (een interval) bestrijken. Centrum voor Statistiek

4 Opdracht Een populatie noteer je met een hoofdletter. Waarom? In principe kan elk kansmodel optreden als populatiemodel. Of dit zinvol is hangt af van de context van je onderzoek. Het kansmodel X van de rode dobbelsteen kan bij een bepaald onderzoek bijvoorbeeld een goed model zijn voor de populatie. Als kansmodel wordt de populatie X dan volledig vastgelegd door tabel. x P(X=x) Kansmodel van de populatie X Tabel.. De populatieparameters Kansmodellen hebben modeleigenschappen, zoals de verwachtingswaarde (het gemiddelde) en de standaardafwijking. De algemene notatie voor die modeleigenschappen ken je al. Het gemiddelde van het kansmodel X noteer je met EX ( ) en voor de standaardafwijking schrijf je sd( X ). Een populatie X wordt beschreven door een kansmodel en je kan dus de gekende formules voor kansmodellen gebruiken om het gemiddelde en de standaardafwijking van die populatie te berekenen. De getallen die je zo vindt worden populatieparameters genoemd. Zij krijgen een heel bijzondere notatie. Het gemiddelde E( X ) van de populatie X noteer je door (Griekse letter mu). De standaardafwijking sd( X ) van de populatie X noteer je door (Griekse letter sigma). Als je dus ergens ziet staan dan weet je dat het gaat over het gemiddelde van de populatie die in dat onderzoek wordt bestudeerd. Als je tegenkomt dan gaat het over de standaardafwijking van de bestudeerde populatie. Het gaat dus altijd over de bestudeerde populatie, of die nu de naam X of Y of Z gekregen heeft. Het gemiddelde van een populatie noem je altijd en de standaardafwijking altijd. Opdracht Hoeveel is en voor de populatie X uit tabel? Centrum voor Statistiek

5 . Een kansmodel voor een steekproef.. Een steekproef van grootte n=: experimenteel en benaderend Als populatie X neem je hier tabel. Dat is de rode dobbelsteen. Uit deze populatie ga je nu een steekproef trekken. Om de berekeningen eenvoudig te houden trek je een heel kleine steekproef, namelijk een steekproef van grootte n. Het resultaat van je eerste keer gooien noem je het resultaat van je eerste trekking. Noem dat x. Als jij met jouw dobbelsteen een één gevonden hebt dan is voor jou x. Het resultaat van je tweede trekking uit X krijg je door die dobbelsteen opnieuw te gooien. Het resultaat noem je x. Als jij de tweede keer een zes gegooid hebt dan heb jij dat x. Als je nu zegt: ik heb een steekproef van grootte n getrokken en één van mijn en was een één en de andere was een zes dan weet ik niet wat jij voor x gevonden hebt. Als je dus wil zeggen wat het resultaat van jouw steekproef was, dan moet je alle informatie geven. Daar hoort ook de volgorde bij. Een mogelijke van een steekproef van grootte n is dus, in volgorde, het getal dat je bij de eerste trekking vindt gevolgd door het getal bij de tweede trekking. In de wiskunde noteer je dat als ( x, x ). Je spreekt dan van een koppel of een geordend tweetal. De volgorde van de getallen is belangrijk. Opdracht Werk in een groepje van 5 leerlingen. Elke leerling voert eerst het experiment uit en daarna breng je de resultaten samen. Zoals eerder afgesproken experimenteer je hier met de rode dobbelsteen. Jij hebt als van je steekproef van grootte n bijvoorbeeld (,) gevonden. Wat zou er gebeuren als je nog eens een steekproef van grootte n uit diezelfde populatie zou trekken? En nog eens en nog eens? Probeer dat even uit. Zet het juiste vaasmodel in h in je GRM en gebruik RANDVAAS waarbij je zegt dat je een steekproef van grootte n wil trekken. Het resultaat vind je dan in lijst d waarbij het bovenste getal jouw x is en het tweede getal jouw x.trek 0 keer zo n steekproef van grootte n en noteer telkens welke je vindt. Gebruik tabel. Centrum voor Statistiek 4

6 steekproef steekproef steekproef steekproef 4 steekproef 5 steekproef steekproef 7 steekproef 8 steekproef 9 steekproef 0 e trekking de trekking steekproef Tabel Breng nu de resultaten van je groepje van 5 leerlingen samen zodat je ziet wat er gebeurt als je 50 keer een steekproef van grootte n trekt uit die populatie X. Gebruik de tabellen, 4, en 5. ste trekking Tabel relatieve de trekking steekproef (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Tabel 4 Tabel 5 relatieve relatieve Centrum voor Statistiek 5

7 .. Een steekproef van grootte n=: theoretisch en exact Opdracht 4 Kijk nu eerst naar tabel. Daar staat een samenvatting van de resultaten bij de eerste trekking. Je merkt dat de enig mogelijke en, en zijn. Dit zijn resultaten voor deze 50 herhalingen. Heb jij enig idee welke relatieve s je in tabel zou vinden bij oneindig veel herhalingen? Waarom? Opdracht 5 Als je een gevonden resultaat bij de eerste trekking algemeen noteert door x dan is het logisch dat je het bijhorende kansmodel noteert als X. Daarbij is X de notatie voor het model dat zegt wat alle mogelijke en en hun kansen zijn bij een eerste trekking. Kan jij nu X voorstellen in tabelvorm? Opdracht Tabel Je kan op dezelfde manier redeneren voor tabel 4. Daar gaat het over en die je krijgt bij de tweede trekking. Wat je daar gevonden hebt stel je algemeen voor door x. Wat zijn hier alle mogelijke waarden die je kan hebben voor x en wat zijn hun bijhorende kansen? Als je dat weet, dan ken je X, het kansmodel voor en bij de tweede trekking. Stel nu ook X voor in tabelvorm. Tabel 7 Wat zouden bij oneindig veel herhalingen de relatieve s van tabel 5 worden? Hoe geraak je daar aan de echte kansen? Wat alle mogelijke en zijn heb je reeds ontdekt. Herinner je dat de volgorde belangrijk is en dat één van een steekproef van grootte n een koppel (x, x ) is. Centrum voor Statistiek

8 Als je de eerste keer een en de tweede keer een gooit dan is je (x, x ) = (, ). Wat is de kans dat zoiets gebeurt? Wat is de kans dat het model X je de oplevert en dat tegelijkertijd het model X je daarna een oplevert? Zoiets schrijf je als PX (, X ). De komma betekent en zodat PX (, X ) hetzelfde is als PX ( en X ) of voluit: de kans dat je de eerste keer een en de tweede keer een hebt. Welk getal je de tweede keer gooit hangt niet af van het getal dat je de eerste keer vond zodat je de rekenregels voor onafhankelijkheid mag gebruiken. Misschien heb je vroeger geleerd dat je dan de kansen mag vermenigvuldigen. Als je dat niet gezien hebt, neem dan nu gewoon aan dat dit inderdaad mag zodat PX (, X ) PX ( ) PX ( ). Uit de kansmodellen voor de afzonderlijke trekkingen (tabel en tabel 7) haal je dat PX ( ) en dat PX ( ) zodat PX (, X ). Opdracht 7 Nu je dit systeem kent kan je alle mogelijke en (x, x ) met hun bijhorende kansen uitrekenen. Vul tabel 8 aan en controleer dat de som van de kansen gelijk is aan. eerste trekking PX ( x) tweede PX ( x) kans van deze trekking (x, x ) PX ( x, X x) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) PX ( ) PX ( ) PX (, X ) Tabel 8 Bemerk dat je hier 9 verschillende mogelijke enkoppels hebt. Die hebben allemaal hun bijhorende kans. Centrum voor Statistiek 7

9 Je kan het kansmodel voor deze steekproef van grootte n ook voorstellen door een vaas met kaartjes. Op elk kaartje staat een getallenkoppel, met twee getallen in de juiste volgorde. Als je bij de eerste trekking een kan vinden en bij de tweede een dan moet er in het vaasmodel zeker een kaartje van de vorm zitten.?? Vaasmodel voor ( X, X ) In deze vaas zitten kaartjes. Twee van deze kaartjes zien eruit als wat betekent dat het koppel (,) met kans / voorkomt. Je hebt dus een kans van / d at je bij een steekproef van grootte n eerst een en dan een zal trekken. Opdracht 8 Het kansmodel voor ( X, X ) wordt soms in een tabel voorgesteld die er iets anders uitziet dan tabel 8. Begrijp je hoe tabel 9 gemaakt is? Wat staat er in de randen en wat staat er in het midden? Kan je hieruit het volledige kansmodel van ( X, X ) aflezen? Uitkomsten van X Uitkomsten van X 9 4 Kansmodel voor ( X, X ) Tabel 9 Centrum voor Statistiek 8

10 Nota. Ook uit een continue populatie kan je steekproeven trekken en ook daarvoor kan je kansmodellen opstellen. Als de populatie X gedefinieerd is door een dichtheidsfunctie f ( x) en je trekt hieruit een steekproef van grootte n dan is het kansmodel voor ( X, X ) een dichtheidsfunctie in twee veranderlijken f X, X x, x die het gezamenlijk gedrag van het koppel ( X, X ) vastlegt. Kansmodellen voor steekproeven uit een continue populatie worden beschreven door functies in meerdere veranderlijken... Kansmodel voor een steekproef van willekeurige grootte Als voorbeeld kan je blijven denken aan de populatie X die zich gedraagt zoals de rode dobbelsteen. Uit die populatie X ga je nu een steekproef van grootte n trekken. Je gooit een eerste keer met die rode dobbelsteen. Daarna een tweede, een derde,.en tenslotte een n de keer. Je hebt nu eigenschappen: - Wat je bij elke afzonderlijke trekking zal vinden wordt beschreven door het kansmodel van de populatie waaruit je trekt. Dat betekent dat elke X i zich gedraagt zoals de populatie X. Het is telkens hetzelfde model, met dezelfde en en dezelfde bijhorende kansen. - Wat je zal vinden bij de vierde trekking (of bij om het even welke trekking) hangt niet af van wat je gevonden hebt bij de andere trekkingen. Dus heb je onafhankelijkheid. Als je dat nu allemaal samen bekijkt, dan kan je over een steekproef spreken in de voorwaardelijke wijs. Wat zou ik allemaal kunnen uitkomen en met welke kansen als ik uit deze populatie X een steekproef van grootte n zou gaan trekken? Het model dat je hierop een antwoord geeft noteer je met hoofdletters. X, X,... X,... X kansmodel voor een steekproef elke X gedraagt zich zoals de populatie X en de i X ' s zijn onafhankelijk van elkaar i i n Centrum voor Statistiek 9

11 Als je nu echt je steekproef trekt dan vind je bij de eerste trekking een getal. Dat getal is één van de mogelijke en van het model X en dat noteer je met een kleine letter x. De na de tweede trekking noteer je met x, enz. De notatie met kleine letters betekent: dit zijn mijn toevallige resultaten die ik na het trekken van mijn steekproef gevonden heb. x, x,... x,... x het resultaat dat ik in mijn steekproef gevonden heb i n 4. Schematisch overzicht In het algemeen Met een voorbeeld Een populatie X x ken je volledig als je het kansmodel kent P(X=x) Kansmodel van de populatie X Het kansmodel van Uitkomsten van X een steekproef ( X, X,... X ) kan je afleiden uit het kansmodel van de populatie X n Uitkomsten van X 9 4 Kansmodel voor ( X, X ) Centrum voor Statistiek 0