Functies van één veranderlijke

Transcriptie

1 Functies van één veranderlijke Docent : Anton Stoorvogel A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

2 Maxima en minima Gegeven een functie f met domein D. De functie heeft een globaal minimum in c als f.c/ 6 f.x/ voor alle x 2 D. De functie heeft een globaal maximum in c als f.c/ > f.x/ voor alle x 2 D. 2/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

3 Zij f een functie gedefinieerd op Π1; 3:5 met de volgende grafiek: /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

4 Maxima en minima Gegeven een functie f met domein D. De functie heeft een lokaal minimum in c als f.c/ 6 f.x/ voor alle x in de buurt van c. De functie heeft een lokaal maximum in c als f.c/ > f.x/ voor alle x in de buurt van c. 4/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

5 Maxima en minima Gegeven een functie f met domein D. De functie heeft een globaal minimum in c als f.c/ 6 f.x/ voor alle x in het domein D. De functie heeft een globaal maximum in c als f.c/ > f.x/ voor alle x in het domein D. 5/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

6 Het globale minimum is altijd ook een lokaal minimum Het globale maximum is altijd ook een lokaal maximum. 6/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

7 Kandidaat extrema zijn: Randpunten Punten waar de functie niet differentieerbaar is. Punten waar de afgeleide gelijk is aan 0. 7/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

8 Buigpunt Een punt waar de tweede afgeleide van de functie van teken wisselt, wordt een buigpunt genoemd. Stel een functie is twee keer differentieerbaar. In een punt waar de afgeleide gelijk is aan 0 geldt één van de volgende drie eigenschappen: We hebben een lokaal minimum, We hebben een lokaal maximum, We hebben een buigpunt. 8/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

9 De functie f.x/ D x 3 met x 2 Π1; 1 heeft een buigpunt: /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

10 De tweede afgeleide geeft extra informatie: Als f 0.c/ D 0 en f 00.c/ > 0 dan heeft de functie een lokaal minimum in c. Als f 0.c/ D 0 en f 00.c/ < 0 dan heeft de functie een lokaal maximum in c. Als f 0.c/ D 0 en f 00.c/ D 0 kunnen we geen uitspraak doen. 10/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

11 Taylor polynoom f.a/ C f 0.a/Œx a C f 00.a/ Œx 2Š a 2 C f 000.a/ Œx 2Š a 2 C 11/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

12 /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

13 Voor de randpunten kunnen we uit de eerste afgeleide extra informatie halen. Voor een linker randpunt: Als f 0.c/ > 0 dan heeft de functie een lokaal minimum in c. Als f 0.c/ < 0 dan heeft de functie een lokaal maximum in c. Als f 0.c/ D 0 kunnen we geen uitspraak doen. Voor een rechter randpunt: Als f 0.c/ > 0 dan heeft de functie een lokaal maximum in c. Als f 0.c/ < 0 dan heeft de functie een lokaal minimum in c. Als f 0.c/ D 0 kunnen we geen uitspraak doen. 13/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

14 Extreme waarde stelling Een continue functie gedefinieerd op een gesloten interval heeft een globaal maximum en een globaal minimum. 14/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

15 /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

16 f.x/ D 3x 4 16x 3 C 18x 2 ; 1 6 x /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

17 f.x/ D 3x 4 16x 3 C 18x 2 ; 1 6 x D f 0.x/ D 12x 3 48x 2 C36x D 12x.x 2 4xC3/ D 12x.x 3/.x 1/ Kandidaat extremen: x D 1; x D 0; x D 1; x D 3; x D 4 f 00.x/ D 36x 2 96x C 36 D 12.3x 2 8x C 3/ 17/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

18 Lokale maxima: -1, 1, 4 Lokale minima: 0, 3 Globale maximum: -1 Globale minimum: 3 18/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

19 f.x/ D 2x 3 9jxjx C 12x 1; 4 6 x y=2x 3-9 x x+12x /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

20 f.x/ D 2x 3 9jxjx C 12x 1; 4 6 x D f 0.x/ D 6x 2 18xC12 D 6.x 2 3xC2/ D 6.x 2/.x 1/ x > 0 0 D f 0.x/ D 6x 2 C18xC12 D 6.x 2 C3xC2/ D 6.xC2/.xC1/ x < 0 Kandidaat extremen: x D 4; x D 2; x D 1; x D 0; x D 1; x D 2; x D 4 f 00.x/ D 6.2x 3/;.x > 0/ f 00.x/ D 6.2x C 3/;.x < 0/ 20/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

21 Lokale maxima: -2, 1, 4 Lokale minima: -4, -1, 2 Globale maximum: 4 Globale minimum: -4 21/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

22 Tussenwaardestelling Gegeven is een functie f die continu is op het gesloten interval Œa; b. Zij N een getal tussen f.a/ en f.b/. Er bestaat een c 2.a; b/ zodanig dat f.c/ D N. Het geval N D 0 wordt de stelling van Weierstrass genoemd. 22/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

23 Toon aan dat de vergelijking: een oplossing heeft tussen 1 en 2. 4x 3 6x 2 C 3x 2 D 0 23/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

24 f.x/ D 4x 3 6x 2 C 3x 2 f.1/ D 1; f.2/ D 12 24/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

25 Middelwaardestelling Zij f een functie die continu is op het gesloten interval Œa; b, differentieerbaar is op het open interval.a; b/. Dan bestaat er een getal c 2.a; b/ zodanig dat: f 0.c/ D f.b/ b f.a/ a 25/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

26 Bewijs : Kijk naar de functie: h.x/ D f.x/ f.a/ f.b/ b f.a/.x a/ a 26/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

27 Stel dat f.0/ D groot kan f.2/ dan zijn? 3 en f 0.x/ 6 5 voor alle waarden van x. Hoe 27/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

28 We hebben: f.2/ D f.0/ C f 0.c/.2 0/ 6 3 C 5 2 D 7 Gelijkheid volgt voor f.x/ D 3 C 5x. 28/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

29 Stelling.a; b/. Als f 0.x/ D 0 voor alle x 2.a; b/ dan is f constant op Voorbeeld Toon aan: 1 arctan x D arccos p 1 C x 2 29/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

30 1 0 arccos p D 1 C x 2.arctan x/ 0 D 1 1 C x 2 r p 1Cx 2 2 x.1 C x 2 / 3=2 D D q Cx 2 1 p.1 C x 2 / 1 1 p 1 C x 2 x 1 C x 2 x 1 C x 2 D 1 1 C x 2 30/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

31 Bovendien: 1 arctan.0/ D 0 D arccos p 1 C /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

32 /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

33 Limieten We weten: als lim g.x/ 0. x!a lim x!a f.x/ lim f.x/ g.x/ D x!a lim g.x/ x!a Wat doen we als dit laatste niet waar is? 33/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

34 Als f en g gladde functies zijn kunnen we ze approximeren met een Taylor reeks: f.x/ f.a/ C f 0.a/Œx g.x/ g.a/ C g 0.a/Œx a C f 00.a/ Œx 2Š a 2 a C g00.a/ Œx 2Š a 2 34/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

35 Als we nu bekijken: lim x!a f.x/ g.x/ D lim x!a f.a/ C f 0.a/Œx g.a/ C g 0.a/Œx a C f 00.a/ 2Š Œx a 2 a C g00.a/ 2Š Œx a 2 Als f.a/ D 0 en g.a/ D 0 maar g 0.a/ 0 vinden we: lim x!a f.x/ g.x/ D f 0.a/ g 0.a/ 35/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

36 Stelling van l Hôpital Als Dan geldt: lim f.x/ D 0; lim x!a lim x!a f.x/ g.x/ D lim x!a vooropgesteld dat de rechter limiet bestaat. g.x/ D 0 x!a f 0.x/ g 0.x/ 36/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

37 Voorbeeld sin.x/ lim, x!0 x 37/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

38 lim x!0 sin.x/ x lim sin.x/ D 0 lim x D 0 x!0 x!0 lim x!0 sin.x/ x D lim x!0 cos.x/ 1 D 1 38/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

39 Voorbeeld lim x!0 x sin.x/ x 3, 39/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

40 lim x!0 x sin.x/ x 3 lim x sin.x/ D 0 lim x!0 x!0 x3 D 0 lim x!0 x sin.x/ x 3 D lim x!0 1 cos.x/ 3x 2 lim 1 cos.x/ D 0 lim x!0 x!0 3x2 D 0 lim x!0 1 cos.x/ 3x 2 D lim x!0 sin.x/ 6x 40/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

41 lim x!0 sin.x/ 6x lim sin.x/ D 0 lim 6x D 0 x!0 x!0 lim x!0 sin.x/ 6x D lim x!0 cos.x/ 6 D /43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

42 Voorbeeld ln.1 C x/ lim. x!0 x 42/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

43 lim x!0 ln.1 C x/ x lim ln.1 C x/ D 0 lim x D 0 x!0 x!0 lim x!0 ln.1 C x/ x D lim x!0 1 1Cx 1 D 1 43/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI