WenS oude examenvragen tot en met

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "WenS oude examenvragen tot en met"

Transcriptie

1 WenS oude examenvragen tot en met

2 Een toevallige steekproef (X,X 2,...,X n ) van lengte n wordt getrokken uit een normale verdeling met verwachtingswaarde µ = 0 en variantie σ 2. Welke van de volgende beweringen is dan correct? A var ( n k= (X k X n ) 2) = 2(n )σ 4. B n k= (X k X n ) 2 is χ 2 -verdeeld met n vrijheidsgraden. C n k= (X k X n ) 2 is χ 2 -verdeeld met n vrijheidsgraden. D E ( n k= (X k X n ) 2) = nσ 2. 2 De toevallige veranderlijke X is chi-kwadraatverdeeld met v N vrijheidsgraden. Welke begrenzing op P(X < 2E(X)) volgt uit de Markov-ongelijkheid? Hint: We bedoelen wel degelijk de Markov-ongelijkheid, en niet de Chebyshevongelijkheid. A P(X < 2E(X)) 2 B P(X < 2E(X)) 2 C P(X < 2E(X)) 4v D geen van de bovenstaande 3 Twee toevallige veranderlijken X en X 2 zijn beide standaardnormaal verdeeld. Ze zijn bovendien ongecorreleerd. Een derde toevallige verandelijke Y die onafhankelijk is van X en van X 2, is chi-kwadraatverdeeld met 4 vrijheidsgraden. Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar? A X 2 + X 2 2 +Y is chi-kwadraatverdeeld met 6 vrijheidsgraden. B 2X 2 + 3X 2 2 is chi-kwadraatverdeeld met 5 vrijheidsgraden. C X 2 + X 2 2 is gamma-verdeeld met parameters α = en β = 2. D E(X 2 + X 2 2 ) = var( 2 Y ). 2

3 4 De kinetische energie E kin = 2 mv 2 van een eendimensionaal deeltje met gekende massa m in een ideaal gas is een toevallige veranderlijke. Dat betekent dat ook zijn snelheid V een toevallige veranderlijke is. De wet van Maxwell Boltzmann impliceert dat 2E kin kt χ 2 -verdeeld is met één vrijheidsgraad. Hierin is k de constante van Boltzmann, en T de absolute temperatuur van het ideale gas (in Kelvin). Welke van de volgende uitspraken kan correct zijn voor alle waarden van T? A V is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 0 en variantie kt m. B V 2 is χ 2 -verdeeld met één vrijheidsgraad. C E(E kin ) = kt. D var(e kin ) = (kt ) 2. 5 X en Y zijn twee onafhankelijke toevallige veranderlijken die allebei uniform verdeeld zijn over het interval (0,2). De waarschijnlijkheid dat max{x,y } > 3min{X,Y } is dan gegeven door: A /6 B /4 C /3 D /2 6 De (toevallige) tijd tussen het verval van twee radioactieve kernen verloopt volgens een exponentiële verdeling met parameter β. We willen een idee krijgen van de parameter β van een bepaald type kernen, en daartoe meten we 300 keer de tijdspanne tussen twee vervallen. Uit deze metingen blijkt dat het steekproefgemiddelde van de tijdspanne tussen twee vervallen gelijk is aan 2,4. Welk van de volgende is dan een (benaderd en tweezijdig) betrouwbaarheidsinterval voor β met betrouwbaarheidsdrempel 5%? A (2,3;2,67) B (2,7;2,63) C (2,36;2,44) D (2,38;2,42) 3

4 7 Bij het beantwoorden van een meerkeuzevraag met m mogelijke antwoorden kent Thom het antwoord met waarschijnlijkheid p, of hij kent het antwoord niet met waarschijnlijkheid p. Als Thom het antwoord kent, dan beantwoordt hij de vraag zeker correct. Kent hij het antwoord niet, dan gokt hij lukraak en beantwoordt daarom de vraag correct met een waarschijnlijkheid /m. Als je weet dat Thom de vraag correct heeft beantwoord, wat is dan de waarschijnlijkheid dat hij het antwoord kende? A B p m (m )p+ C D mp (m )p+ mp m+ 8 Beschouw een verzameling mensen van wie de haarkleur blond of zwart is, en van wie de ogen blauw of bruin zijn. Alle mogelijke combinaties zijn in de verzameling aanwezig. Wanneer zijn de deelverzamelingen A en B logisch onafhankelijk? A A en B worden allebei elk apart volledig gekarakteriseerd door een haarkleur. B A wordt volledig gekarakteriseerd door een haarkleur en B wordt volledig gekarakteriseerd door een oogkleur. C A wordt volledig gekarakteriseerd door een haarkleur en een oogkleur en B wordt volledig gekarakteriseerd door een oogkleur. D A en B worden allebei elk apart volledig gekarakteriseerd door een haarkleur en een oogkleur. 9 Het gooien van twee faire muntstukken gebeurt onafhankelijk. Noem A de gebeurtenis dat de eerste worp kruis levert, en B de gebeurtenis dat de tweede worp kruis levert. C is de gebeurtenis dat tweemaal dezelfde uitkomst wordt gegooid tweemaal kruis of tweemaal munt. Welke van de volgende uitspraken is vals? A A en B zijn onafhankelijk. B A en C zijn niet onafhankelijk. C A, B en C zijn niet logisch onafhankelijk. D De waarschijnlijkheid van C is 2. 4

5 0 De gemeenschappelijke densiteit van twee continue veranderlijken X en Y is gegeven door: { u + v als (u,v) (0,) 2 f (X,Y ) (u,v) = 0 elders. De densiteit van de toevallige veranderlijke Z = ln(x + ) is dan gegeven door: A f Z (w) = e 2w 2 ew voor w (0,ln2), nul elders B f Z (w) = e 2w voor w (0,ln2), nul elders C f Z (w) = e w 2 voor w (0,ln2), nul elders D f Z (w) = (/2 + ln(w + ))/(w + ) voor w (0,e ), nul elders De discrete toevallige veranderlijke X heeft als mogelijkhedenverzameling X = {2,3,4,5}, als massafunctie f X en als distributiefunctie F X. De continue toevallige veranderlijke Y heeft als mogelijkhedenverzameling Y = [2,3] [4,5), als densiteit f Y en als distributiefunctie F Y. We weten dat f X (x) > 0 voor alle x in X en dat f Y (y) > 0 voor alle y in Y. Welke van de onderstaande uitspraken is dan niet correct? A P(Y A) > 0 voor alle A Y waarvoor A /0. B P(X A) > 0 voor alle A X waarvoor A /0. C var(e(y )) = 0. D F X (2) > F Y (2). E P(X [3,4]) > P(Y [3,4]). 2 X en Y zijn twee gezamenlijk normaal verdeelde toevallige veranderlijken met verwachtingswaarden µ X = µ Y = en covariantiematrix [ ] 2 M =. 3 Voor de veranderlijken U = X +Y and V = X Y is de correlatie ρ(u,v ) gegeven door: A / 2 B /2 C /5 D geen van de bovenstaande 5

6 3 De toevallige veranderlijken X en Y hebben een gemeenschappelijke densiteit { 8xy als 0 < y < x <, f X,Y (x,y) = 0 elders. Wat is de gemeenschappelijke densiteit voor U = X Y en V = Y /X? A B C D E f U,V (u,v) = f U,V (u,v) = f U,V (u,v) = f U,V (u,v) = f U,V (u,v) = { 9 28 u 4 3 v 3 als 0 < v < en 0 < u < 0 elders { 6 3 u 5 3 v 3 als 0 < v < en 0 < u < v 0 elders { 6 3 u 5 3 v 3 als 0 < v < en 0 < u < 0 elders { 8u 4 3 v 3 0 elders als 0 < v < en 0 < u < v { 8u 4 3 v 3 als 0 < v < en 0 < u < 0 elders 4 Voor een continue toevallige veranderlijke X weten we dat E(X) = 6 en var(x) = 2. Dan levert de Chebyshev-ongelijkheid de volgende ondergrens voor P(3 X 9): A 2/9 B 2/3 C 7/9 D /3 6

7 5 N k is de verzameling van de positieve veelvouden van k (zonder 0). Stel dat je weet dat P(N 2 ) = /2 en P(N 3 ) = /3. Welke van de volgende uitspraken is waar? A P(N 6 N 2 ) > P(N 6 N 3 ). B P(N 6 N 2 ) < P(N 6 N 3 ). C P(N 6 N 2 ) = P(N 6 N 3 ). D er zijn onvoldoende gegevens om te bepalen welke van de twee getallen P(N 6 N 2 ) of P(N 6 N 3 ) het grootst is. 6 Veronderstel dat ˆΘ de maximale-likelihoodschatter is van de reëelwaardige parameter θ. Welke van de volgende uitspraken is dan niet noodzakelijk juist? A ˆΘ is consistent. B g( ˆΘ) is de maximale-likelihoodschatter voor de parameter g(θ), voor elke continu afleidbare functie g op de reële getallen. C ˆΘ is de meest efficiënte schatter. D ˆΘ is benaderd normaal verdeeld. 7 Welke van de volgende antwoorden geeft een (eventueel benaderend) 95% betrouwbaarheidsinterval voor de parameter θ voor een toevallige steekproef met als steekproefgemiddelde x n? A (, x n +,96 ) x n ( x n ) n, wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een Bernoulli-verdeling Be( θ) ( ) B x n,65 n,+, wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een normale verdeling Nm( θ,) ( C x n,96 x n n, x n +,96 x n n ), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een Poisson-verdeling Ps( θ) ( D x n,65 x n n, x n +,65 x n n ), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een exponentiële verdeling Exp( θ) 7

8 8 In een enkelvoudige lineaire regressie komt met elke predictor x k een toevallige respons Y k overeen (k =,...,n). We nemen aan dat voldaan is aan de basisveronderstellingen van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. De maximalelikelihoodmethode geeft dan een schatting ˆB,ML voor de helling β in de formule Y = β 0 + β X + ε. Welke uitspraak over Y n en ˆB,ML is dan niet correct? A Y n en ˆB,ML zijn normaal verdeeld. B Y n en ˆB,ML zijn toevallige veranderlijken. C Y n en ˆB,ML zijn gecorreleerd. D Y n en ˆB,ML zijn onafhankelijk. 9 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, zo dat C = A B, zoals in de onderstaande figuur: A C B Verder is gegeven dat P(A) > 0 en P(B) > 0, en dat de waarschijnlijkheid van A strikt stijgt na observatie van B. Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker waar? A P(C A) > P(B). B P(C A) < P(B). C P(C A) = P(C). D P(A B)P(B A) P(A)P(B). 8

9 20 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige verandelijken X en Y wordt gegeven door ( α x y + ) (x )y als 6 (x )y 4 en 4 x y f X,Y (x,y) = en y < 0, 0 elders, waarbij α de normalisatieconstante is. Zie de onderstaande figuur: y (0,0) y = 4(x ) y = x (,0) x (x )y = /6 (x )y = /4 De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = (X )Y en V = (X )/Y. Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte? A f U,V (u,) = 2α(u + )u als 4 u 2. B f U,V (u,) = α(u + ) als 4 u 2. C U en V zijn niet logisch onafhankelijk. D U en V zijn onafhankelijk. 2 De toevallige veranderlijke X heeft een gamma-verdeling met parameters α = na en β = b, met a > 0, b > 0 en n een natuurlijk getal (verschillend van nul). Wat is, bij benadering, en voor voldoende grote n, de waarschijnlijkheid dat X strikt groter is dan (n + )ab? Hint: gebruik de centrale limietstelling. A Φ ( ) a n B Φ( a) C Φ(n na) D Φ ( ) nb E geen van de bovenstaande 9

10 22 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven door: α als 3 ( f X,Y (x,y) = x a )2 + ( y b )2 en x > 0 0 elders, waarbij α de normalisatieconstante is, a > 0 en b > 0. De toevallige veranderlijken R en V worden gedefinieerd als R = ( X a )2 + ( Y b )2 en V = ay /bx. Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte? abr A f R,V (r,v) = α als +v 2 3 r en v R. B α = 9 abπ 4. r C f R,V (r,v) = α ab als +v 2 3 r en v R. D X en Y zijn onafhankelijk. 23 De meetfout X van een sensor wordt verondersteld Nm( µ,σ 2 ) normaal verdeeld te zijn. Hierbij is σ 2 een maat voor de nauwkeurigheid van de sensor. Om de nauwkeurigheid van de sensor na te gaan wordt een steekproef van lengte n = 6 opgemeten. De resultaten vind je in onderstaande tabel. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2,36 2,29 2,58 2,65 2,57 2,53 Welke van onderstaande antwoorden komt overeen met een 95%- betrouwbaarheidsinterval voor σ 2? A [0; 0, 0089) B [0; 0, 0078) C [0; 0, 0858) D [0; 0, 060) 0

11 24 De continue reële toevallige veranderlijken X en Y zijn onafhankelijk en exponentieel verdeeld met dezelfde parameter β. Wat is de waarschijnlijkheid P(X ky ) met k > 0? A B 2k k k+ C k+ D geen van de bovenstaande 25 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, zo dat C B, zoals in de onderstaande figuur. A C B Verder is gegeven dat P(A B) = P(A C) en dat zowel P(A), P(B), P(C) als P(B \C) strikt positief zijn. Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker vals? A P(C A) P(B A). B P(A B C) > P(A B C). C P(A C c B) = P(A B) P(A C) P(B) P(C). D Als A B = /0 dan P(A C) = 0.

12 26 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van een reële toevallige veranderlijke X getekend. F X (x) 3/4 /2 / x Welke van de onderstaande gebeurtenissen heeft de grootste waarschijnlijkheid? A X < B X = 3 C (X 3) 2 D X (3,4] 27 De reële toevallige veranderlijke X heeft een deel van R >0 als mogelijkhedenverzameling, verwachtingswaarde E(X) gelijk aan 2 en variantie var(x) gelijk aan. We beschouwen de toevallige veranderlijke Y := 3 X. Wat kunnen we zeker zeggen over P(Y > ) met behulp van de Chebyshev-ongelijkheid? A 2 25 P(Y > ). B 0 P(Y > ) C 4 25 P(Y > ) 2 5. D 3 5 P(Y > ) E Er volgen geen grenzen op P(Y > ) uit de Chebyshev-ongelijkheid. 2

13 28 Beschouw de toevallige veranderlijken X = n i= X i 2 en Y = X n 2n, waarbij de toevallige veranderlijken X i elk standaardnormaal verdeeld en onderling onafhankelijk zijn. Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar? A X heeft een χ 2 -verdeling. B De verdeling van Y convergeert voor n naar de standaardnormale verdeling. C De standaardafwijking van X is gelijk aan 2n. D Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is niet waar. 29 X, X 2,..., X n+ zijn n+ onafhankelijke Bernoulli-verdeelde toevallige veranderlijken met parameter p. Definieer de toevallige veranderlijken Y en Y 2 als Y := n i= X i en Y 2 := n+ i=2 X i. Waaraan is cov(y,y 2 ) gelijk? A 0 B p n (p p n ) C p n ( p n ) D p n+ p n 30 Twee toevallige veranderlijken X en Y voldoen aan het verband X + 2Y =. Dan is de correlatie ρ(x,y ) gelijk aan: A + B C /2 D +/2 E geen van bovenstaande 3

14 3 Er is geweten dat 2/5 van de studenten WenS in eerste zit slaagt voor dit vak. Van de studenten die niet in eerste zit slagen wordt verondersteld dat ze ofwel in tweede zit slagen ofwel niet slagen (er wordt geen rekening gehouden met studenten die bijvoorbeeld niet deelnemen of ziek zijn). Als we een student geslaagd noemen, dan bedoelen we hiermee dat hij ofwel in eerste, ofwel in tweede zit slaagde. Welke van de onderstaande uitspraken is waar? Hint: maak gebruik van de onderstaande figuur en laat p variëren tussen 0 en. (G=geslaagd in eerste zit, NG=niet geslaagd in eerste zit, G2=geslaagd in tweede zit, NG=niet geslaagd, G=geslaagd) 0 2/5 G NG p G2 NG A De waarschijnlijkheid dat een willekeurige student geslaagd is, kan kleiner zijn dan /5. B De waarschijnlijkheid dat een willekeurige student geslaagd is, is zeker groter dan /2. C De waarschijnlijkheid dat een geslaagde student in eerste zit slaagde, is zeker groter dan /2. D De waarschijnlijkheid dat een geslaagde student in tweede zit slaagde, kan groter zijn dan /2. 32 X is de verzameling van alle toevallige veranderlijken. Dus is X 2 de verzameling van alle koppels toevallige veranderlijken. Noem L X 2 de verzameling van alle logisch onafhankelijke koppels en noem O X 2 de verzameling van alle onafhankelijke koppels. Welke uitspraak is dan zinvol en correct? A O en L zijn logisch onafhankelijk. B O en L zijn logisch afhankelijk. C O en L zijn onafhankelijk. D O en L zijn afhankelijk. 4

15 33 X en Y zijn gecorreleerde gemeenschappelijk normaal verdeelde toevallige veranderlijken met E(X) = E(Y ) = 0 en covariantiematrix M = ( ) De reële toevallige veranderlijken U en V zijn gegeven door U = X Y 2 Welke van de onderstaande uitspraken is dan waar? en V = X+Y 2. A U en V zijn onafhankelijk. B De gemeenschappelijke densiteit van (X,Y ) is gegeven door f X,Y (x,y) = 4π exp( x2 +xy 2+y 2 ) 2, voor (x,y) R 2. C De correlatie tussen X en Y is gegeven door ρ(x,y ) = D var(u) = 2 2. E Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. 34 Laat X en Y twee standaardnormaal verdeelde veranderlijken zijn waarvoor geldt dat cov(x,y ( ) = 0. Beschouw de transformatie met inverteerbare transformatiematrix α β A := R γ δ 2 2 : ( ) ( ) U X = A = V Y ( α β γ δ )( ) X. Y 2 2. Welke van de volgende uitspraken is dan de sterkste uitspraak die waar is? A U en V zijn gemeenschappelijk normaal verdeeld en onafhankelijk, ongeacht de keuze van A. B U en V zijn gemeenschappelijk normaal verdeeld, ongeacht de keuze van A. C Door een gepaste keuze van A kan elke gemeenschappelijk normaal verdeelde densiteit voor U en V verkregen worden. D Deze vraag kan niet opgelost worden omdat X en Y niet onafhankelijk verondersteld werden. 5

16 35 X en Y zijn twee onafhankelijke continue toevallige veranderlijken die elk uniform verdeeld zijn over [,]. De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = X +Y en V = X Y. Welke van de onderstaande uitspraken is waar? A f U,V (u,v) = /4 als u + v 2. B U en V hebben dezelfde marginale verdelingen. C U en V zijn onafhankelijk. D Geen van de bovenstaande uitspraken is correct. 36 We gooien twee keer met een faire dobbelsteen, en de worpen gebeuren onafhankelijk van elkaar. X k is het aantal gegooide ogen van de k-de worp, met k =,2. De toevallige veranderlijke Y neemt de waarde aan als in beide worpen hetzelfde aantal ogen wordt gegooid, en 0 als dat niet zo is. Y 2 is 0 als in beide worpen hetzelfde aantal ogen wordt gegooid, en als dat niet zo is. Y 3, ten slotte, is als het absolute verschil tussen het aantal ogen dat in beide worpen gegooid wordt gelijk is aan, en 0 als dat niet zo is. Welke van de onderstaande uitspraken is dan onwaar? A Y en Y 2 zijn logisch afhankelijk. B X en Y 2 zijn onafhankelijk. C X + X 2 en Y 3 zijn onafhankelijk. D Y en Y 3 Y 2 zijn afhankelijk. E X en X 2 zijn logisch onafhankelijk. 37 Welke van onderstaande mogelijkheden genereert in MATLAB een n m-matrix X van herhaalde en onderling onafhankelijke Bernoulli-steekproeven. Hierbij moet de waarschijnlijkheid van de uitkomst telkens gelijk zijn aan p en die van de uitkomst 0 telkens gelijk aan p. A X = rand(n,m); B X = rand(n,m) < p; C X = randn(n,m) > p; D X = rand(n,m) >= p; 6

17 38 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, en een waarschijnlijkheidsmaat P gedefinieerd op deze gebeurtenissen, waarvoor P(B) > 0. Welke van de onderstaande uitspraken is altijd waar? A Als A en B logisch onafhankelijk zijn, dan geldt P(A B) = P(A)P(B). B Als A en B logisch onafhankelijk, B en C logisch onafhankelijk en A en C logisch onafhankelijk zijn, dan zijn A, B en C logisch onafhankelijk. C Als P(A) = P(A B), dan zijn A en B logisch onafhankelijk. D Als A, B en C logisch onafhankelijk zijn, dan zijn A C en B logisch onafhankelijk. 39 Gegeven is een experiment met steekproefruimte Z. Geef aan in welk geval de gebeurtenissen A en B logisch onafhankelijk zijn. A A := N en B := {2n : n N} B A := N en B := {2n : n Z} C A := {2n : n Z} en B := {2n : n Z} D Geen van de bovenstaande. 7

18 40 Arland gaat met de tram naar school. In de volgende tabel staan, voor 5 opeenvolgende schooldagen, hoe lang (in minuten) hij aan de tramhalte heeft gewacht: Welke van de volgende figuren vat de data (wachttijden) correct samen in een kadermet-staafdiagram? A B C D We beschouwen een ideaal gas van deeltjes met massa m, in een geïsoleerde container op absolute temperatuur T. De wet van Maxwell Boltzmann zegt dan dat we de snelheidscomponenten V x, V y en V z van een willekeurige deeltje in het gas kunnen beschrijven als onafhankelijke, normaal verdeelde toevallige veranderlijken met gemiddelde waarden 0 en varianties kt/m, waarin k de constante van Boltzmann is. Wat kun je dan zeggen over de kinetische energie E van zo n deeltje? A 2E/kT is χ 2 -verdeeld met één vrijheidsgraad. B E is χ 2 -verdeeld met gemiddelde waarde 3/2kT. C 2E/kT is χ 2 -verdeeld met drie vrijheidsgraden. D E is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 3/2kT. 8

19 42 Een toevallige veranderlijke X heeft de volgende distributiefunctie F X : F X (z) a Welke uitspraak is altijd juist gegeven de figuur? A E(X) b. B E(X) = b. C E(X) b. b z D Er is onvoldoende informatie om deze vraag op te lossen. 43 Een student vindt in zijn notities van het vak Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek het onderstaande kader-met-staafdiagram terug, maar weet niet meer van welke dataset het afkomstig is De student vindt ook de vier onderstaande datasets terug. Welke dataset stemt overeen met het kader-met-staafdiagram? A 0,, 2, 4, 6, 7, 8, 0 B 0,, 2, 5, 6, 7, 7, 0 C 0, 0,, 4, 6, 7, 0, 0 D 0, 0,, 5, 5, 7, 0, 0 9

20 44 We nemen een steekproef X,...,X n van grootte n uit een Gamma-verdeling met parameters α = 2 en β > 0. Wat is de standaardfout van de maximale-likelihoodschatter ˆβ ML voor β? A B β 2n β n C X n n D X n 2n E geen van de bovenstaande 45 In een distributiecentrum komen pakketjes toe tussen 8 en 7 uur, volgens een uniforme verdeling. De verwerkingstijd (in seconden) van een pakketje kan worden gemodelleerd als een toevallige veranderlijke S die uniform verdeeld is over het interval [,T + 2], waarbij de toevallige veranderlijke T de sinds 8 uur verstreken tijd is tot het arriveren van het pakketje. T wordt hierbij uitgedrukt in uren. Een voorbeeld ter verduidelijking: als het pakketje aankomt om uur, dan is S uniform verdeeld over [,5] seconden, wegens 5 = De waarschijnlijkheid dat de verwerking minder lang duurt dan 2 seconden bedraagt dan: A 9 ln0 B 2 9 ln C 2/ D 2/9 E /5 20

21 46 Een continue toevallige veranderlijke X heeft densiteit { λe λz wanneer z 0, f X (z) = 0 elders met λ > 0. We nemen een toevallige steekproef (x,x 2,...,x n ) uit de verdeling f X. Waaraan is de corresponderende maximale-likelihoodschatting ˆλ ML van de parameter λ dan gelijk? A ˆλ ML = n n k x k B ˆλ ML = n n k x k C ˆλ ML = n/ n k x k D ˆλ ML = n n k x k 47 We gooien een dobbelsteen, en beschouwen de gebeurtenis A dat het aantal ogen even is, en de gebeurtenis B dat zes ogen worden gegooid. We kunnen dan zeggen dat: A De gebeurtenis A impliceert de gebeurtenis B. B De gebeurtenis B impliceert de gebeurtenis A. C De gebeurtenissen A en B sluiten elkaar uit. D De gebeurtenissen A en B zijn logisch onafhankelijk. 48 Het aantal klanten dat binnenkomt in de winkel van Nathalie vormt een Poisson-proces met een tempo λ = 2ln5 per uur. We voeren, gedurende n = 00 openingsdagen, elke dag k het volgende (onafhankelijke) experiment uit: we bepalen de tijd T k van de opening van de winkel tot de eerste klant binnenkomt. We spreken van een succes wanneer die tijd ten hoogste een half uur bedraagt. De toevallige veranderlijke X is het aantal successen: het aantal dagen dat de eerste klant binnen het eerste half uur binnenkomt. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking 4. B X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4. C X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4. D X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking 4. 2

22 49 Beschouw een steekproef X, X 2,..., X 2n van grootte 2n uit een standaardnormale verdeling, met n > een natuurlijk getal. Beschouw het steekproefgemiddelde X 2n en de steekproefvariantie S 2 2n van de volledige steekproef, en het steekproefgemiddelde X n en de steekproefvariantie S 2 n van de eerste n toevallige veranderlijken X, X 2,..., X n. Welke van de onderstaande uitspraken is vals? A E(S 2 n S 2 2n ) = 0. B X 2n heeft een normale verdeling met parameters µ = 0 en σ 2 = 2n. C var(s2n 2 ) = 4n 2. D 2X 2n X n heeft dezelfde verdeling als X n. E (2n )S 2 2n heeft een χ2 -verdeling met 2n vrijheidsgraden. 50 Volleybalclub De vierde pas zal met 40% waarschijnlijkheid niet gelijkspelen in zijn volgende wedstrijd. Welke van de volgende uitspraken is zeker juist? A P( De vierde pas wint) = 40%. B P( De vierde pas speelt gelijk) < 60%. C P( De vierde pas verliest niet) 60%. D P( De vierde pas verliest en speelt niet gelijk) 40%. 5 Van twee reële toevallige veranderlijken X en Y weten we dat E(X) = E(Y ) = 0, var(x) = var(y ) = 3, cov(x,y ) = 7/3 en cov(x 2,Y 2 ) = 2. Waaraan is var(xy ) gelijk? A 2 B 7 3 C 50 9 D 9 E geen van de bovenstaande 22

23 52 Drie vrienden Arne (A), Bert (B) en Caroline (C) spelen een triktraktoernooi, bestaande uit drie opeenvolgende spellen triktrak. Triktrak is een spel dat met 2 personen gespeeld wordt. Arne en Bert zijn er beiden even goed in; als ze tegen elkaar spelen hebben ze elk een waarschijnlijkheid van /2 om te winnen. Caroline is veel beter in triktrak dan Arne en Bert. Als zij tegen één van hen speelt, heeft Caroline een waarschijnlijkheid van 2/3 om te winnen. Het eerste spel gaat tussen Arne en Bert. Voor het tweede en derde (laatste) spel, speelt de winnaar van het vorige spel tegen diegene die niet meespeelde in dat spel. De winnaar van het toernooi is diegene die het laatste spel wint. Als je weet dat Bert het toernooi niet won, wat is dan de waarschijnlijkheid dat Arne het toernooi won? Hint: Teken de waarschijnlijkheidsboom. A 4/9 B /2 C 5/3 D 5/8 53 Beschouw twee onafhankelijke reële toevallige veranderlijken X en X 2, en twee transformaties g en g 2 van de reële getallen. Definieer de reële toevallige veranderlijken Y = g (X ) en Y 2 = g 2 (X 2 ). Wat is dan de sterkste ware uitspraak? A Y en Y 2 zijn onafhankelijk. B Y en Y 2 zijn niet onafhankelijk. C Y en Y 2 zijn gecorreleerd. D Y en Y 2 zijn niet gecorreleerd. 54 De toevallige veranderlijke Y is exponentieel verdeeld met parameter µ. Van de toevallige veranderlijke X kennen we de conditionele densiteit: { y f X Y (x y) = exp( x y ) als x 0 en y > 0 0 elders, dus conditioneel op Y = y is X exponentieel verdeeld met parameter y. Welke van de volgende uitspraken is correct? A E(X) = 2µ. B E(X 2 ) = 2µ 2. C var(x) = 3µ 2. D var(x) = 2µ 2. 23

24 55 Een faire dobbelsteen wordt herhaaldelijk geworpen tot er een 5 of een 6 verschijnt. Wat is het gemiddelde aantal worpen (laatste worp met 5 of 6 inbegrepen)? A 2 B 4 C 3 D 5 24

25 56 Een spel verloopt in T opeenvolgende rondes. De speler begint met score 0. In elke ronde wordt een voorwerp met drie zijden R, G en B opgegooid. De mogelijkheden zijn dus {R,G,B}. De waarschijnlijkheid van R is p (met p een willekeurige waarde in [0, /2)), de waarschijnlijkheid van B is ook p en de waarschijnlijkheid van G is q = 2p. Bij R verhoogt de score met, bij G blijft ze ongewijzigd en bij B verlaagt ze met. Het spel stopt zodra de score ofwel 2 ofwel 2 heeft bereikt, of zodra G wordt geworpen. Wat is E(T ), het verwachte aantal rondes? Hint: kijk naar de onderstaande figuur, gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid voor verwachtingswaarden en neem (R,R), (R,G), (R,B), G, (B,R), (B,G), (B,B) als gebeurtenissen waarop je conditioneert. R 2 score 2 dus STOP R p q G uitkomst G dus STOP 0 p q p G p 0 0 uitkomst G dus STOP 0 p B G B R q uitkomst G dus STOP p B 2 score 2 dus STOP A 4p2 2p 2 B +2p 4p2 2p 2 C +2p 2p 2 D geen van de bovenstaande 25

26 57 Een continue toevallige veranderlijke X (0,) heeft distributiefunctie F X, en een discrete toevallige veranderlijke Y {,0,} heeft distributiefunctie F Y. Welke van de onderstaande uitspraken is dan niet altijd waar? A F 2X (z) F X (z) voor alle z in R. B F 2Y (z) F Y (z) voor alle z in R. C F Y () = F X (). D De mediaan van X 2 is niet groter dan de mediaan van X. E F X (0) = F X (0). 58 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld. 2p p E A 3 B C D p is een parameter die alle waarden in het interval (0, 2 ) kan aannemen. Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar? A P(A E) ( 2,). B P(B C D E c ) = p. C P(A c (D E)) = 2 3 p2. D P(B c ) >

27 59 De distributiefunctie F X van de reële toevallige veranderlijke X voldoet aan F(x) F X (x) F(x) voor alle reële x, waarbij de distributiefuncties F en F in de volgende grafiek respectievelijk zijn weergegeven met onderbroken en volle lijnen die bij discontinuïteiten slordigweg werden doorgetrokken: 3/4 /2 / Beschouw nu de gebeurtenissen A = (2 X 4) en B = (3 X 5). Er geldt dan dat: A P(A B) = 0 kan zijn. B De grootst mogelijke waarde voor P(A) strikt kleiner is dan deze voor P(B). C De grootst mogelijke waarde voor P(B) strikt groter is dan de kleinst mogelijke voor P(A B). D P(A) in elk geval strikt groter is dan P(A B). 60 Welke van de volgende uitdrukkingen volgt uit de Markov-ongelijkheid als je weet dat α > 0? ( ) A P (X µx ) 2 σ X > α α 2 ( ) B P (X µx ) 2 σ X > α 2 α 2 ( ) C P (X µx ) 2 > α σx 2 α 2 ( ) D P (X µx ) 2 > α 2 σx 2 α 2 27

28 6 We beschouwen een Poisson-proces en willen een schatting vinden voor het tempo λ. We gaan hierbij op twee verschillende manieren te werk. In de eerste aanpak tellen we het aantal gebeurtenissen Z dat is opgetreden gedurende een tijd T. Dit leidt tot een maximale-likelihoodschatter ˆΛ (Z) voor λ. [Vind hem]. In een tweede aanpak verdelen we het tijdsinterval T in n gelijke delen, en observeren we hoeveel gebeurtenissen Z, Z 2,..., Z n in elk van die n respectieve deelintervallen optreden. Dit leidt tot een maximale-likelihoodschatter ˆΛ 2 (Z,Z 2,...,Z n ) voor λ. [Vind hem ook]. Welke van de volgende uitspraken is dan correct? A E( ˆΛ (Z)) E( ˆΛ 2 (Z,Z 2,...,Z n )). B ˆΛ 2 (Z,Z 2,...,Z n ) is efficiënter dan ˆΛ (Z). C ˆΛ 2 (Z,Z 2,...,Z n ) is minder efficiënt dan ˆΛ (Z). D ˆΛ 2 (Z,Z 2,...,Z n ) is even efficiënt als ˆΛ (Z). 62 Beschouw een discrete toevallige veranderlijke X met waardenverzameling W X = {,2,3,4,5} en een continue toevallige veranderlijke Y met een densiteit die positief is op [,5] en 0 daarbuiten. We definiëren twee verzamelingen A en B als volgt: A = {,2,3} en B = [,3]. Er is geweten dat P(X A) = P(Y B). Welke van de volgende uitspraken geldt dan niet altijd? A E(I A (X) I B (Y )) = 0. B P(X A) = P(X B). C F X (3) F X ( ) = F Y (3 ) F Y (). D P(X {4,5}) = P(Y [4,5]). 28

29 63 Henry Cavendish (73 80) was een van de eersten die een waarde voor de universele gravitatieconstante g vond door met een torsiebalans de massadichtheid van de Aarde te meten. In de volgende tabel staan de door hem gemeten waarden voor die dichtheid [in gram per kubieke centimeter]: 5,0 5,27 5,29 5,29 5,30 5,34 5,34 5,36 5,39 5,42 5,44 5,46 5,47 5,53 5,57 5,58 5,62 5,63 5,65 5,68 5,75 5,79 5,85 Welke van de volgende figuren vat de data (massadichtheden) correct samen in een kader-met-staafdiagram? A B C D De onafhankelijke toevallige veranderlijken X, X 2, X 3, X 4 en X 5 zijn allemaal Bernoulliverdeeld. X heeft parameter p = 0, X 2 heeft parameter p =, en X 3, X 4 en X 5 hebben parameter p = 3. Welke van de onderstaande uitspraken is niet correct? A X 3 X 4 is binomiaal verdeeld. B 3 X 3 X 4 X 5 is binomiaal verdeeld met parameters n = 3 en p = 2 3. C X 2 + X 3 is Bernoulli-verdeeld. D X 2 X is binomiaal verdeeld. E X 3 is Bernoulli-verdeeld. 29

30 65 Gegeven twee willekeurige reële toevallige veranderlijken X en Y, welke van de onderstaande uitspraken is zeker waar? (C 0 staat voor de verzameling van alle continue functies op R.) A (X en Y zijn onafhankelijk) (cov(x,y ) = var(x)var(y )) B (cov(x,y ) = var(x)var(y )) (X en Y zijn onafhankelijk) C (( a,b,c,d R)(cov(aX + b,cy + d) = 0)) (X en Y zijn onafhankelijk) D (X en Y zijn onafhankelijk) ( ( f,h C 0 )(cov( f (X),h(Y )) = 0 ) 66 Van twee reële toevallige veranderlijken X en Y weten we dat E(X) = E(Y ) = 0, var(x) = var(y ) =, ρ(x,y ) = 2 en var(xy ) = 3. Waaraan is cov(x 2,Y 2 ) gelijk? A 2 B 4 C 6 D geen van de bovenstaande 67 Van de gebeurtenissen A, B en C weten we dat A B C = /0 en dat P(A B) = P(B C) = P(A C) 8. Wat is de meest informatieve uitspraak over q := P(A B C) die kan worden afgeleid uit deze gegevens? A q [ 3 8,]. B q [0,]. C q [0, 5 8 ]. D q [ 3 8, 5 8 ]. E geen van de bovenstaande 30

31 68 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld. Wat is het interval met alle mogelijke waarden voor de waarschijnlijkheid van winst die niet in tegenspraak zijn met de gegeven waarschijnlijkheden? winst verlies winst verlies winst winst verlies winst verlies verlies A [0, 8/0] B [3/0, 8/0] C [3/0, ] D Er zijn onvoldoende gegevens om het probleem op te lossen. 69 Gegeven een reële toevallige veranderlijke X met densiteit Waaraan is P( < X ) dan gelijk? A e e B 2e 3 2e C e 2e D 2e f X (z) = 2 e z als < z <. 3

32 70 Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De speler begint met score nul. In elke ronde wordt een muntstuk gegooid met waarschijnlijkheid p voor munt en q = p voor kruis. Bij munt verhoogt de score met, bij kruis verlaagt ze met. Het spel stopt zodra de score ofwel 2 ofwel 2 bereikt. Wat is de momentenfunctie M N (t) van het aantal rondes N? Hint: kijk naar de onderstaande figuur en gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid voor verwachtingswaarden. 0 p q p q p q 2 :STOP :STOP A e 2t p 2 +q 2 2pq B 2pq e 2t 2pq C 2pqe2t 2pqe 2t D geen van de bovenstaande 7 De toevallige veranderlijke X heeft een Bernoulli-verdeling met parameter p = /3, en de toevallige veranderlijke Y heeft een normale verdeling met parameters µ = /3 en σ 2 = 4. Welke van de onderstaande uitspraken is vals? A Y 2 heeft een χ 2 -verdeling met parameter v =. B X heeft een binomiale verdeling met parameters n = en p = /3. C Y /3 2 is standaardnormaal verdeeld. D X heeft een Bernoulli-verdeling met parameter p = 2/3. E X heeft een hypergeometrische verdeling met parameters A = 2, B = 4 en n =. 32

33 72 Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De speler begint met score nul. In elke ronde wordt een muntstuk gegooid met waarschijnlijkheid p voor munt en q = p voor kruis. Bij munt verhoogt de score met, bij kruis verlaagt ze met. Het spel stopt zodra de score ofwel 2 ofwel 2 bereikt. Wat is de verwachte score? [Hint: kijk naar de onderstaande figuur en gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid voor verwachtingswaarden] 0 p q 2: STOP p q 0 0 p q 2: STOP A 2(p 2 q 2 ) B 2(p 2 q 2 )/(p 2 + q 2 ) C 0 D Geen van de bovenstaande. 33

34 73 Beschouw een reële toevallige veranderlijke met een massafunctie f X waarvoor E(X) > 0 en E(X 2 ) > 0. Welke van de volgende functies zou een geldige momentenfunctie M X (t) van X kunnen zijn? A M X (t) 0 t B M X (t) 0 t C M X (t) 0 t D M X (t) 0 t 34

35 74 We nemen een steekproef met grootte n = 0 uit een normale verdeling met parameters µ en σ 2. We weten dat 0 k= x k = 00 en 0 k= x2 k = 225. Welke van de volgende intervallen geeft dan een exact eenzijdig 95% betrouwbaarheidsinterval voor σ 2? A [0; 63, 452) B [0; 67, 669) C [0; 3, 299) D [0; 3, 656) 75 Aan een examen nemen 92 mensen deel. Elke deelnemer heeft een waarschijnlijkheid van 3/4 om te slagen, onafhankelijk van de anderen. Wat is, bij benadering, de waarschijnlijkheid dat er (strikt) meer dan 00 mensen slagen voor dat examen? A Φ( 29 4 ) B Φ( 89 2 ) C Φ( ) D Φ( 74 3 ) E geen van de bovenstaande 35

36 76 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld. 3 C 2 A B D E Welke van de onderstaande uitspraken is altijd waar? A P(A C c ) [0, 2 ]. B P(D E) =. C P(B C) 2. D P(A c ) Gegeven een continue toevallige veranderlijke X en een discrete toevallige veranderlijke Y. Beschouw de conditionele densiteit f X Y ( y) waarbij geweten is dat f Y (y) verschilt van nul. Welke van onderstaande uitspraken is niet noodzakelijk waar? A f X Y ( y) is uniek bepaald tot op een aftelbaar aantal waarden na. B f X Y ( y) is genormeerd. C 0 f X Y ( y). D f X Y ( y) is onafhankelijk van de waarde van y wanneer X en Y onafhankelijk zijn. 36

37 78 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige verandelijken X en Y wordt gegeven door: { αe 2 3 x e y als x > 0 en y > 0, f X,Y (x,y) = 0 elders, waar α R >0 een normalisatieconstante is. De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = X/3 en V = Y + X/3. Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte? { A f U,V (u,v) = 3 αe u e v als u > 0 en v > 0 0 elders. { αe u e v als u > 0 en v > 0 B f U,V (u,v) = 0 elders. C U en V zijn onafhankelijk. D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. 79 Welke van de volgende uitspraken volgt uit de Markov-ongelijkheid voor elke reële toevallige veranderlijke X waarvan zowel E(X) als E(X 2 ) bestaan? A P(X (,)) E(X). B P(X (,)) E(X 2 ). C P(X (,)) E(X). D P(X (,)) E(X 2 ). 80 Beschouw een toevallige steekproef X, X 2,..., X n van grootte n uit een exponentiële verdeling met parameter β > 0. We zijn geïnteresseerd in de parameter λ := β 2. Waaraan is de Fisher-informatie I n (λ) voor λ gelijk? A B n λ 2 n 4λ 2 C n λ D n 2λ 4 37

38 8 Voor twee continue reële toevallige veranderlijken X en Y wordt de marginale densiteit f X (u) van X gegeven door: f X (u) 5/4 3/4 0 /2 u De conditionele densiteit f Y X (v u) wordt gegeven door: Welke uitspraak is correct? A f Y (/2) = 2/3. B f Y (/2) = 25/2. C f Y (/2) = 3/2. f Y X (v u) = D Geen van de bovenstaande. { 2u + 2v als 0 u + v < 0 elders. 82 De onafhankelijke gebeurtenissen A, B en C hebben eenzelfde waarschijnlijkheid p waarvan we weten dat p [ 4, 2 ]. Wat is dan de meest informatieve ware uitspraak over q = P(A B) + P(B C) + P(C A)? A q [ 2 6, 9 4 ]. B q [ 7 6, 3 4 ]. C q [ 3 2,3]. D q [ 2,]. E Geen enkele van de bovenstaande intervallen bevat alle mogelijke waarden van q. 38

39 83 De toevallige veranderlijke X is Poisson-verdeeld met parameter λ = en de toevallige veranderlijke Y is geometrisch verdeeld met parameter p = /2. Verder is gegeven dat X en Y ongecorreleerd zijn en dat bovendien ook X 2 en Y 2 ongecorreleerd zijn. Waaraan is var(xy ) gelijk? A 0 B 2 C 5 D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden. 84 Het volgende stukje Matlab-code genereert een realisatie van een toevallige veranderlijke X. x = sum ( randn (0,).^2) Waaraan is de verwachtingswaarde E(X) van X gelijk? A 9 B 0 C 9 3 D Linda eet enkel thuis of in haar favoriete restaurant. Op weekdagen eet ze altijd thuis. Op zaterdagen en zondagen is de waarschijnlijkheid dat ze op restaurant gaat 2 3. Als je over een willekeurige dag weet dat Linda die dag thuis eet, wat is dan de waarschijnlijkheid dat die dag een zaterdag is? A 7 B 2 9 C 3 D 7 E geen van de bovenstaande 39

40 86 Beschouw een toevallige steekproef X,..., X 20 van grootte 20 uit een standaardnormale verdeling. Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde X 20 en de steekproefvariantie S20 2 is niet correct? A E(S20 2 ) =. B (X 20 ) 2 en S20 2 zijn ongecorreleerd. C X 20 heeft een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie 20. D S 2 20 heeft een χ2 -verdeling met 9 vrijheidsgraden. 87 Eva heeft tussen haar examens door nog tijd gevonden om aan een radioquiz deel te nemen. Ze heeft hem gewonnen en mag daardoor samen met acht vriendinnen een week op reis naar warmere oorden. Ze vindt het echter moeilijk om uit haar tien beste vriendinnen de acht te kiezen die met haar mee mogen. Daarom nummert ze haar vriendinnen van tot en met 0, stopt briefjes deze nummers in een pennenzak en trekt er willekeurig acht nummers uit. Ze besluit de vriendinnen met de acht getrokken nummers mee te nemen op reis. Om te oefenen voor het naderende examen waarschijnlijkheidsrekening en statistiek maakt ze een kader-met-staafdiagram dat de acht getrokken nummers samenvat Welke van de onderstaande uitspraken is niet correct? A De vriendin met nummer 3 mag mee op reis. B De vriendin met nummer 5 mag mee op reis. C De vriendin met nummer 7 mag mee op reis. D De vriendin met nummer 9 mag mee op reis. 40

41 88 De continue reële toevallige veranderlijke X is uniform verdeeld over het interval [c,2c], met c > 0. Conditioneel op X = x, met x [c,2c], is de continue reële toevallige veranderlijke Y uniform verdeeld over het interval [ x, x]. Wat is de waarde van de conditionele waarschijnlijkheid P(X > 3 2c Y = c)? A 2 B 5 8 C ln4 ln3 ln2 D ln4 ln3 2c 89 Beschouw een toevallige steekproef X,...,X 5 van grootte 5 uit een normale verdeling met parameters µ = 2 en σ 2 = 5. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A (X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ) 2 en S5 2 zijn gecorreleerd. B S 2 5 heeft een χ2 -verdeling met 4 vrijheidsgraden. C cov(x,x 5 ) < var(x 5 ). D Geen van de bovenstaande uitspraken is correct. 90 Beschouw de discrete toevallige veranderlijken X, Y en Z. Neem aan dat overal f (X,Y,Z) (u,v,w) > 0. Met de notatie X Y duiden we aan dat X onafhankelijk is van Y, en met X (Y,Z) dat X onafhankelijk is van de gezamelijke toevallige veranderlijke (Y,Z). Welke van de volgende uitspraken is dan niet waar? A X Y en Z (X,Y ) X (Y,Z). B X Y en Y Z X Z. C X (Y,Z) X Y. D X Y Y X. 9 We gooien een dobbelsteen. We noemen A de gebeurtenis dat we een even aantal ogen gooien, B de gebeurtenis dat we 4 of meer ogen gooien en C de gebeurtenis dat we 4 of minder ogen gooien. Welke van de volgende uitspraken is waar? A A, B en C zijn logisch onafhankelijk. B A en B C zijn logisch onafhankelijk. C A B en C zijn logisch onafhankelijk. D B \ A en C zijn logisch onafhankelijk. 4

42 92 De professor waarschijnlijkheidsleer Dr. Savage verplicht de 42 studenten die hij heeft opgesloten in zijn martelauditorium om opeenvolgend Russische roulette te spelen met de revolver van Lucky Luke, die een cilindrische houder heeft voor zeven kogels. Telkens zit er één kogel in de houder en elke keer wordt de cilinder zodanig rondgedraaid dat elk van de zeven posities van de houder ten opzichte van de loop even waarschijnlijk is. Met welke zo nauwkeurig mogelijke benadering van de waarschijnlijkheid dat strikt meer dan 35 studenten het overleven, sart hij de studenten (hij en jij verfoeien het rekenen met faculteiten)? A 0, B 0, C 0, D 0, Een urne bevat 0 ballen waarvan 5 rode en 5 blauwe. Hieruit worden ballen getrokken zonder terugplaatsing. Laat X i met i {,2,...,0} gelijk zijn aan wanneer in de i-de trekking een rode bal wordt getrokken, 0 anders. Welke van onderstaande beweringen is correct? A P(X = X 2 = ) < P(X 5 = X 6 = ). B P(X = X 2 = ) = P(X 5 = X 6 = ). C P(X = X 2 = ) > P(X 5 = X 6 = ). D P(X 5 = X 6 = ) is niet eenduidig gedefinieerd. 94 Voor een continue toevallige veranderlijke X weten we dat var(x) = 9. Hoe groot moet a volgens de Chebyshev-ongelijkheid minstens zijn opdat P ( E(X) a X 0 E(X) + a ) minstens 90% bedraagt? A B 3 C 90 D 0 42

43 95 De reële toevallige veranderlijke X heeft een continue distributiefunctie F X op R; haar densiteit noemen we f X. Welke uitspraak is zeker onwaar? A P(X = 0) = 0. B f X is discontinu. C P(X = ) =. D f X () =. 96 Herman Erikson werkt in een call-center en verwerkt elke dag 50 telefoonoproepen. De duurtijden D i van de afzonderlijke oproepen i zijn onafhankelijk, met µ Di = 5 (minuten) en σ Di = 5 (minuten). Wat is de (eventueel benaderde) waarschijnlijkheid dat de totale duurtijd van de 50 telefoonoproepen meer dan 5 uur bedraagt? A Φ( 0) B Φ( 0) C Φ( 2) D Φ( /5) 97 De waarschijnlijkheid dat het morgen zal regenen is 40%. De waarschijnlijkheid dat het overmorgen zal regenen is 30%. Wat is dan de meest informatieve ware uitspraak over de waarschijnlijkheid p dat het morgen of overmorgen zal regenen? A p [40%,70%]. B p = 58%. C p = 55%. D p [30%,70%]. 43

44 98 Een spel verloopt in T opeenvolgende rondes. De (enige) speler begint met score 0. In elke ronde wordt een voorwerp met drie zijden R, G en B opgegooid. De mogelijkheden zijn dus {R,G,B}. De waarschijnlijkheid van R is p (met p een willekeurige waarde in (0, /2)), de waarschijnlijkheid van B is ook p en de waarschijnlijkheid van G is q = 2p. Bij R verhoogt de score met, bij G wordt de score op 0 gezet en bij B verlaagt ze met. Het spel stopt zodra de score ofwel 2 ofwel 2 heeft bereikt. Wat is E(T ), het verwachte aantal rondes? Hint: kijk naar de onderstaande figuur, gebruik de wet van totale waarschijnlijkheid voor verwachtingswaarden en neem (R,R), (R,G), (R,B), G, (B,R), (B,G), (B,B) als gebeurtenissen waarop je conditioneert. p R p q p R 2 score 2 dus STOP G 0 B 0 0 q G 0 p B p q p R 0 G 0 B 2 score 2 dus STOP A +2p2 2p 2 B 2 C +2p 2p 2 D geen van de bovenstaande 44

45 99 De bekende frituur Slowpatat doet mee aan een wedstrijd waarin bepaald wordt welke van de 5 deelnemende frituren de beste is. Voor i in {,2,3,4,5}, noemen we A i de gebeurtenis dat Slowpatat bij de eerste i eindigt. We nemen aan dat Slowpatat een positieve waarschijnlijkheid heeft om op elk van de 5 plaatsen te eindigen. Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker vals? A P(A c 2 A 3 A 3 ) = P(A 2) P(A 3 ). B P(A 3 A A 2 ) < P(A 3 A 2 ). C P(A 2 A c 3 A 5) = 0. D Als P(A 3 ) =, dan is P(A 2 A 4 ) = P(A 2 ). 00 Een urne bevat vijf rode en twee groene ballen. We halen de ballen een voor een uit de urne, zonder terugplaatsing. De toevallige veranderlijke X k is wanneer de k-de bal rood is, en anders 0, voor k =,...,7. Welke van de onderstaande uitspraken is onwaar? A E(X ) E(X 2 X 3 ) E(X 3 X 4 ) + E(X 5 X 6 X 7 ) = 2. B E(X 2 X 3 ) = E(X X 2 ). C E(X 5 X 6 X 7 ) = E(X X 2 X 3 ). D Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is onwaar. 0 Welke van de volgende antwoorden geeft een correct, eenzijdig 99,5% betrouwbaarheidsinterval voor de parameter θ voor de toevallige steekproef met als steekproefgemiddelde x n. A (x n 2,58x n/n,+ ), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een exponentiële verdeling Exp( θ) B (x n,24/n,+ ), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een normale verdeling Nm( θ,2) C (x n 2,58 x n/ n,+ ), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een Poisson-verdeling Ps( θ) D (x n 2,8x n/ n,+ ), wanneer de toevallige steekproef getrokken wordt uit een exponentiële verdeling Exp( θ) 45

46 02 We trekken een kaart uit een klassiek kaartenspel, en we beschouwen de gebeurtenis A dat het getal op de kaart even is, en de gebeurtenis B dat het getal op de kaart geen zes is. We kunnen dan zeggen dat: A De gebeurtenis A impliceert de gebeurtenis B c. B De gebeurtenis B c impliceert de gebeurtenis A. C De gebeurtenissen A en B c sluiten elkaar uit. D De gebeurtenissen A en B c zijn logisch onafhankelijk. 03 Stel dat P(A) = /2, P(B) = 3/5 en P(A B) = /3. Dan is P(A B B) gelijk aan: A /5 B 3/0 C /3 D 2/5 E /2 04 Het aantal klanten dat binnenkomt in de winkel van Nathalie volgt een Poisson-proces. De standaardafwijking op het aantal klanten dat tussen 9 en 0 uur binnenkomt is 2. Als we beginnen te meten vanaf 3 uur, wat is dan de standaardafwijking op de tijd dat het duurt voor de eerste klant na 3 uur binnenkomt? A 5 minuten B 30 minuten C 7,5 minuten D 60 minuten E geen van de bovenstaande 46

47 05 Een thermisch geïsoleerd vat bevat een ideaal gas. We zijn geïnteresseerd in de temperatuur T van het ideaal gas. Een maat voor de temperatuur is de snelheid van de gasmoleculen. Onder bepaalde veronderstellingen wordt de verdeling van de snelheid van een gasmolecule gegeven door de Maxwell Boltzmann-verdeling. De densiteit f V van deze verdeling wordt gegeven door: 2 v 2 e v2 /2a 2 f V (v) = π als v 0, a 3 0 elders, kt waarbij a = m > 0, met k de constante van Boltzmann, T de temperatuur in het vat en m de massa van een molecule van het ideaal gas. We nemen een toevallige steekproef (v,v 2,...,v n ) van de snelheid van n moleculen. Wat is de maximale-likelihoodschatting ˆT ML (v,...,v n ) voor de temperatuur T in het vat? A m k B m k C n n n i= v i 2 3 n i= v i 2 3n m 3kn n i= v i 2 D m 3k n i= v i 2 47

48 06 Beschouw een toevallige steekproef X,X 2,...,X n uit een verdeling f ( θ). De steekproefstatistieken A(X,X 2,...,X n ) en B(X,X 2,...,X n ) zijn zo gekozen dat voor elke werkelijke waarneming x,x 2,...,x n, het interval (A(x,x 2,...,x n ),B(x,x 2,...,x n )) een exact en niet benaderend corresponderend betrouwbaarheidsinterval is voor de parameter θ met betrouwbaarheidsdrempel α in [0, ]. Als we een waarneming x,x 2,...,x n hebben gedaan, welke van de volgende uitspraken is dan zeker waar? A Wanneer we onder identieke omstandigheden N steekproeven van grootte n zouden nemen en de corresponderende betrouwbaarheidsintervallen zouden bepalen, dan zou voor grote N het percentage van de gevallen waarin θ tot het corresponderende betrouwbaarheidsinterval behoort, met zeer grote waarschijnlijkheid dicht bij 00( α)% liggen. B Wanneer we onder identieke omstandigheden N steekproeven van grootte n zouden nemen en de corresponderende betrouwbaarheidsintervallen zouden bepalen, dan zou voor voldoende grote N het percentage van de gevallen waarin θ tot het corresponderende betrouwbaarheidsinterval behoort, precies 00( α)% zijn. C Wanneer we onder identieke omstandigheden N steekproeven van grootte n zouden nemen en de corresponderende betrouwbaarheidsintervallen zouden bepalen, dan zou voor grote N het percentage van de gevallen waarin θ tot het corresponderende betrouwbaarheidsinterval behoort, met zeer grote waarschijnlijkheid dicht bij 00α% liggen. D De waarschijnlijkheid dat θ behoort tot (A(x,x 2,...,x n ),B(x,x 2,...,x n )) is α. E De waarschijnlijkheid dat θ behoort tot (A(x,x 2,...,x n ),B(x,x 2,...,x n )) is α. 07 Beschouw een toevallige steekproef X,...,X 0 van grootte 0 uit een normale verdeling met parameters µ en σ 2. Welk van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde X 0 en de steekproefvariantie S0 2 is niet correct? A E(S 2 0 ) = σ 2. B X 0 en S0 2 zijn onafhankelijk. C X 0 heeft een normale verdeling. D S 2 0 heeft een χ2 -verdeling met 9 vrijheidsgraden. 48

49 08 Beschouw de volgende Matlab-functie: function res = DoeIets (n,m) % deze functie doet iets % invoer : n en m zijn natuurlijke getallen ( verschillend van nul ) X = randn (n,m); Y = sum (X.^2,2); Z = Y.^2; res = sum (Z)/n; end Op deze manier is DoeIets een functie van n en m. We maken n groter en groter maar niet zo groot dat er zich numerieke fouten voordoen. Dan wordt het zeer waarschijnlijk dat de waarde voor DoeIets (n,2) dicht bij welk getal zal komen te liggen? A 8 B 0 C 2 D 4 E geen van de bovenstaande 09 De toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld over het interval [0,]. Van de toevallige veranderlijke X kennen we de conditionele massafunctie: {( n ) f X Y (x y) = x y x ( y) n x als x {0,,...,n,n} 0 elders, dus conditioneel op Y = y is X binomiaal verdeeld met kans op succes y en aantal experimenten n >. Welke van de volgende uitspraken is correct? A E(X 2 ) = n 2 /3 + n/6. B E(X 2 ) = n/6. C X is binomiaal verdeeld. D var(x) = n/6. 49

50 0 In de cursus WenS wordt in het deel over lineaire regressie de toevallige veranderlijke Y i = β 0 + β x i + ε i, i =,...,n ingevoerd als waarschijnlijkheidsmodel voor de i-de meting van de grootheid Y die correspondeert met een waarde x i van de grootheid X. De toevallige veranderlijke ε i modelleert hierbij de fout op de i-de meting en wordt verondersteld aan een aantal basisveronderstellingen te voldoen: normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. We gebruiken nu dezelfde modellering, maar vervangen de basisveronderstelling van onvertekendheid door de aanname dat E(ε i ) = µ > 0. We noteren de maximale-likelihoodschattingen van β 0 en β die corresponderen met de bovenstaande modellering als ˆβ µ 0,ML en ˆβ µ,ml en de schattingen die we krijgen met de kleinstekwadratenmethode als b 0 en b. Welke van de onderstaande gelijkheden klopt? A ˆβ µ 0,ML = b 0 + µ B ˆβ µ 0,ML = b 0 C ˆβ µ 0,ML = b 0 µ D geen van de bovenstaande De reële toevallige veranderlijke X heeft een gamma-verdeling waarvan de parameter α gelijk is aan 3/2 en de parameter β ongekend is. We nemen een steekproef (x,...,x n ) van grootte n uit deze verdeling. Wat is de maximale-likelihoodschatting ˆB ML (x,...,x n ) voor de parameter β? A 2 3 x n B x n C π 3x n D geen van de bovenstaande 2 De toevallige veranderlijke X is Poisson-verdeeld met parameter λ > 0. Voor elke mogelijke waarde k N {0} van X is de continue toevallige veranderlijke Y uniform verdeeld over het interval [0,k+]. Welke van de volgende uitspraken over de marginale densiteit f Y van Y is waar? A f Y (0) = λ ( e λ ). B f Y (y) < f Y (y + ) voor alle positieve reële y. C f Y (y) is strikt stijgend in elk open interval (k,k + ), met k N {0}. D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. 50

WenS tweede kans Permutatiecode 0

WenS tweede kans Permutatiecode 0 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Geen GSM s toegelaten: voor wie tijdens

Nadere informatie

WenS eerste kans Permutatiecode 0

WenS eerste kans Permutatiecode 0 WenS eerste kans 2012 2013 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Leg je studentenkaart

Nadere informatie

Wiskundige Analyse II

Wiskundige Analyse II Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Als de partiële afgeleiden van de functie f : R n R niet bestaan in het punt a, dan kan f in a geen lokaal extremum bereiken. Vraag 1.2 Als de functie f : R

Nadere informatie

Wiskundige Analyse II

Wiskundige Analyse II Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Als de partiële afgeleiden van de functie f : R n R niet bestaan in het punt a, dan kan f in a geen lokaal extremum bereiken. vals Vraag 1.2 Als de functie f

Nadere informatie

Wiskundige Analyse II

Wiskundige Analyse II Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van

Nadere informatie

Meetkunde en Lineaire Algebra

Meetkunde en Lineaire Algebra Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra Vraag 1.1 Zij p en q twee veeltermfuncties met reële coëfficiënten en A een reële vierkante matrix. Dan is p(a) diagonaliseerbaar over R als en slechts dan als

Nadere informatie

Wiskundige Analyse II

Wiskundige Analyse II Hoofdstuk Wiskundige Analyse II Vraag. Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van de baan

Nadere informatie

Meetkunde en Lineaire Algebra

Meetkunde en Lineaire Algebra Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra Vraag 1.1 Zij p en q twee veeltermfuncties met reële coëfficiënten en A een reële vierkante matrix. Dan is p(a) diagonaliseerbaar over R als en slechts dan als

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Bedrijfskunde. Hoofdstuk 1. Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse

Bedrijfskunde. Hoofdstuk 1. Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse Hoofdstuk 1 Bedrijfskunde Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse - McGregor - Elton Mayo - Frank Lilian Gilbreth - Alfred Sloan - Henri Fayol Vraag 1.2 Je

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden. Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties

Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties Discrete Distributiefuncties 3. Er zijn 3 studenten aan het begin van de dag aanwezig bij een symposium. De kans dat een student volhoudt

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Discrete distributies

Hoofdstuk 6 Discrete distributies Hoofdstuk 6 Discrete distributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Discrete distributies p 1/33 Discrete distributies binomiale verdeling

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31

= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31 Tentamen Statistische methoden 45STAMEY april, 9: : Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend voorbeeld:

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 15 Dinsdag 2 November 1 / 16 2 Statistiek Indeling: Filosofie Schatten Centraal Bureau voor Statistiek 2 / 16 Schatten Vb. Het aantal tenen plus vingers in jullie huishoudens:

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

Statistiek voor A.I.

Statistiek voor A.I. Statistiek voor A.I. College 13 Donderdag 25 Oktober 1 / 28 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 28 3 / 28 Jullie - onderzoek Tobias, Lody, Swen en Sander Links: Aantal broers/zussen van het

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Dinsdag 16 Oktober 1 / 30 Jullie - onderzoek Geert-Jan, Joris, Brechje Horizontaal: lengte Verticaal: lengte tussen topjes middelvingers met gestrekte armen. DIII 170 175

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, 14.00 16.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07) Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =

Nadere informatie

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen S. Vansteelandt Academiejaar 006-007 1. Een team van onderzoekers wil nagaan of een bepaald geneesmiddel Triptan meer effectief is dan aspirine

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur Tentamen Kansrekening en statistiek wi205in 25 juni 2007, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 6, : 3: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met onderdelen. Elk onderdeel

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen 8.1. Stel dat medisch onderzoek heeft uitgewezen dat als het gemiddelde nicotinegehalte van een sigaret 25 mg of meer bedraagt, de kans op longkanker

Nadere informatie

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C) WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Examen Statistiek I Feedback

Examen Statistiek I Feedback Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Donderdag 18 Oktober 1 / 28 Huffington Post poll verkiezingen VS - 12 Oktober 2012 2 / 28 Gallup poll verkiezingen VS - 15 Oktober 2012 3 / 28 Jullie - onderzoek Kimberly,

Nadere informatie

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter. STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens 2004 5 1 (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters.

Nadere informatie

Antwoorden bij 4 - De normale verdeling vwo A/C (aug 2012)

Antwoorden bij 4 - De normale verdeling vwo A/C (aug 2012) Antwoorden bij - De normale verdeling vwo A/C (aug 0) Opg. a Aflezen bij de 5,3 o C grafiek:,3% en bij de,9 o C grafiek: 33,3% b Het tweede percentage is 33,3 /,3 = 5, maal zo groot. c Bij de 5,3 o C grafiek

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Tentamen Inleiding Kansrekening 6 juni 7, : 7: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen.

Nadere informatie

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette Statistiek I Samenvatting Prof. dr. Carette Opleiding: bachelor of science in de Handelswetenschappen Academiejaar 2016 2017 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Statistiek, gegevens en statistisch denken... 3 De

Nadere informatie

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2S610

Kansrekening en stochastische processen 2S610 Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135

Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135 Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 35 Faculteit FNWI 6525 AJ Nijmegen Examen NWI-NB00B Inleiding Kansrekening 2 juni 206 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N

Nadere informatie

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen

Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen 5.1 Gemiddelde, variantie, standaardafwijking: De variantie is als het ware de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter de variantie

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Materiaaltechnologie. Hoofdstuk 1

Materiaaltechnologie. Hoofdstuk 1 Hoofdstuk 1 Materiaaltechnologie Vraag 1.1 In verband met de eventuele isotropie of anisotropie in een polykristallijn materiaal, is slechts één van de onderstaande beweringen juist: - een materiaal in

Nadere informatie

Hoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 5 Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies

Nadere informatie

Voorbeeld 1: kansverdeling discrete stochast discrete kansverdeling

Voorbeeld 1: kansverdeling discrete stochast discrete kansverdeling 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Yvette pakt vier knikkers uit een vaas waar er 20 inzitten. 9 van de knikkers zijn rood en 11 van de knikkers zijn blauw. X = het aantal rode knikkers dat Yvette pakt. Er zijn

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening (NB004B)

Tentamen Kansrekening (NB004B) NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

1. De wereld van de kansmodellen.

1. De wereld van de kansmodellen. STATISTIEK 3 DE GRAAD.. De wereld van de kansmodellen... Kansmodellen X kansmodel Discreet model Continu model Kansverdeling Vaas Staafdiagram Dichtheidsfunctie f(x) GraJiek van f Definitie: Een kansmodel

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3

Nadere informatie

Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013

Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Algemene Statistiek Deeltentamen 2 Algemene Statistiek Vrije Universiteit 18 december 2013 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen:

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Kansen. 4.1 Randomheid

Hoofdstuk 4 Kansen. 4.1 Randomheid Hoofdstuk 4 Kansen 4.1 Randomheid Herhalingen en kansen Als je een munt opgooit (of zelfs als je een SRS trekt) kunnen de resultaten van tevoren voorspeld worden, omdat de uitkomsten zullen variëren wanneer

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2010, 9:00 12:00

Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2010, 9:00 12:00 Tentamen Statistische methoden MST-STM 8 april 2, 9: 2: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren alstublieft.

Nadere informatie

DH19 Bedrijfsstatistiek MC, 2e Bach Hir, Juni 2009

DH19 Bedrijfsstatistiek MC, 2e Bach Hir, Juni 2009 Naam:... Voornaam:... DH19 Bedrijfsstatistiek MC, 2e Bach Hir, Juni 2009 Slechts één van de vier alternatieven is juist. Kruis het bolletje aan vóór het juiste antwoord. Indien je een meerkeuzevraag verkeerd

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014 Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag

Nadere informatie

Statistiek II. Sessie 5. Feedback Deel 5

Statistiek II. Sessie 5. Feedback Deel 5 Statistiek II Sessie 5 Feedback Deel 5 VPPK Universiteit Gent 2017-2018 Feedback Oefensessie 5 1 Statismex, gewicht en slaperigheid2 1. Lineair model: slaperigheid2 = β 0 + β 1 dosis + β 2 bd + ε H 0 :

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

VU University Amsterdam 2018, Maart 27

VU University Amsterdam 2018, Maart 27 Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.

Nadere informatie

SCHATTEN. A.W. van der Vaart en anderen

SCHATTEN. A.W. van der Vaart en anderen SCHATTEN A.W. van der Vaart en anderen VOORWOORD Dit diktaatje wordt gebruikt bij het vak Biostatistiek 2 voor MNW. Het is een uittreksel van het boek Algemene Statistiek geschreven door A.W. van der Vaart

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2017: algemene feedback

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2017: algemene feedback IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 18 september 017 - reeks 1 - p. 1/14 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 017: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers

Nadere informatie

14.1 Kansberekeningen [1]

14.1 Kansberekeningen [1] 14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde VU University Amsterdam 2017, Juni 7

Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde VU University Amsterdam 2017, Juni 7 Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde VU University Amsterdam 07, Juni 7 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting

Nadere informatie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Examen G0N34 Statistiek

Examen G0N34 Statistiek Naam: Richting: Examen G0N34 Statistiek 8 september 2010 Enkele richtlijnen : Wie de vragen aanneemt en bekijkt, moet minstens 1 uur blijven zitten. Je mag gebruik maken van een rekenmachine, het formularium

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan.

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Statistics Deeltentamen 2 Statistics Vrije Universiteit 28 mei 2015 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen: opgaven 1,2,3,4. Cijfer=

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is

Nadere informatie

Oefenvragen bij Statistics for Business and Economics van Newbold

Oefenvragen bij Statistics for Business and Economics van Newbold Oefenvragen bij Statistics for Business and Economics van Newbold Hoofdstuk 1 1. Wat is het verschil tussen populatie en sample? De populatie is de complete set van items waar de onderzoeker in geïnteresseerd

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen

Nadere informatie