Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties

Transcriptie

1 Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties Discrete Distributiefuncties 3. Er zijn 3 studenten aan het begin van de dag aanwezig bij een symposium. De kans dat een student volhoudt tot het einde van het symposium is 0.6. Veronderstel dat de studenten onafhankelijk van elkaar beslissen of ze weggaan of niet. Zoek het meest waarschijnlijke aantal studenten nog aanwezig op het einde van het symposium met de bijhorende kans. antw De kans dat een geldautomaat zonder geld zit is %. Wat is de kans dat er van 3 automaten a geen enkele zonder geld zit; antw. 97.0% b juist zonder geld zit; antw..94% c maximum zonder geld zit; antw % d meer dan zonder geld zit; antw % e alle zonder geld zitten. antw % 3.3 Twee jagers A en B jagen op eenden. De kans dat zij raak schieten is voor elk /. Jager A schiet 50 maal en jager B schiet 5 maal. Wat is de kans dat jager B meer eenden heeft geschoten dan jager A? antw. 3.4 Men doet n worpen met een normale dobbelsteen. Zoek de waarschijnlijkheid dat a het hoogste cijfer een bepaalde waarde k zou hebben; antw. kn k n 6 n b het laagste cijfer een bepaalde waarde k zou hebben. antw. 7 kn 6 k n 6 n Continue Distributiefuncties 3.5 Zij de levensduur X in uren van een lamp exponentieel verdeeld met dichtheidsfunctie voor 0 t en λ = 0.0. ft = λe λt a Zij A : x 00, B : 50 x 00 en C : x > 50. Hoe noteert men de verschijnselen A B, A C, A B, B C, B C, A c, B c, C c, A B C? b Bereken PA B en PX 00X antw. e + e 0.5 en + e e c Bereken PX > 300 X > 00. antw. e

2 3.6 Bij vogelpiek darts is de waarschijnlijkheid dat een pijltje een concentrisch cirkeloppervlak raakt, bepaald door de stralen r en r + dr, gegeven door r Pr R r + dr = C dr a De toevalsveranderlijke R is de straal gemeten vanaf het middelpunt van het bord tot het pijltje. a Bepaal de constante C veronderstel dat een bord met straal a altijd getroffen wordt. antw. C = 3 a b Bepaal de waarschijnlijkheid dat de roos met straal b getroffen wordt. antw. b3a b a 3 Standaard Normale Verdeling 3.7 Gegeven een normaal verdeelde toevalsveranderlijke X d = N6, 6. Bepaal P4 < X < 8 en P 4 < X < 7. antw en Zij X d = Nµ, σ. Bepaal a > 0 zodat P a < X µ σ < a = antw Zij X d = N, 4. Bereken de waarschijnlijkheid dat < X < 9. antw X, Y en Z zijn drie onafhankelijke normaal verdeelde veranderlijken met parameters µ X = 3, σ X = 4, µ Y = 4, σ Y = en µ Z = 5, σ Z = 3. a Bereken de waarschijnlijkheid dat X Y + Z 0. antw b Bepaal het getal a zodat PX Y + Z + a = antw c Bepaal het getal b zodat P X + Y Z > b = antw..35 Meerdimensionale distributiefuncties 3. De discrete verdeling van de toevalsvectoren X, Y en X, Y wordt gegeven door X Y - /6 /3 /6 /3 X Y - /3 /6 0 / a Bepaal de marginale discrete verdeling van X en Y. b Bepaal de marginale discrete verdeling van X en Y. c Bespreek wat je gevonden hebt in a en b. 3. De vector X, Y is een continue toevalsvector met dichtheidsfunctie f. { c x e y als 0 < x < y < fx, y =

3 { c x y als 0 < x < y < fx, y = { c gx gy als < x y < fx, y = hierbij is g een dichtheid gedefinieerd in R. a Bepaal c. b Bepaal voor elk van de dichtheidsfuncties de marginale dichtheidsfuncties. c Ga voor elk van de dichtheidsfuncties na of X en Y onafhankelijke toevalsveranderlijken zijn. 3.3 In een pijp OA met lengte km kan in één willekeurig punt B een ophoping ontstaan die een drukverhoging veroorzaakt in een punt C willekeurig gelegen in het interval OB. a Wat is de waarschijnlijkheid dat het breekpunt gelokaliseerd is tussen 0 en km? antw b Zelfde vraag als hierboven onder de voorwaarde dat B zich bevindt ergens tussen en km. antw Functies van toevalsveranderlijken 3.4 Bepaal de dichtheidsfunctie van Y = gx met X d = U[a, b] indien a gx = m x + q m 0 { antw.:f Y y = b a m als ma + q y mb + q b gx = x+ we onderstellen hierbij dat / ]a, b[ { antw.:f Y y = b a als y +a y +b c gx = e x { antw.:f Y y = b a y als e a y e b 3.5 Toon aan dat a X d = U[0, ] Y = lnx d = E b indien X een Cauchy dichtheidsfunctie heeft, d.w.z. fx = dan is Y = arctanx d = U[ π/, π/]. π + x, voor < x < + 3

4 c indien X de volgende dichtheidsfunctie heeft: fx = x e x, voor 0 < x < + π dan is Y = X d = χ. d indien X de volgende dichtheidsfunctie heeft: dan is Y = X d = E. fx = xe x, voor x > 0 d 3.6 Stel dat X, X = E en dat X en X onafhankelijk zijn. Zoek de dichtheidsfunctie van { y e y a X + X antw.: f Y y = met Y := X + X { b X X antw.: f Y y = e y ey als y < 0 met Y := X X { c X /X antw.: f Y y = +y met Y := X /X 3.7 Stel X, X een continue toevalsvector met gezamelijke dichtheidsfunctie fx, x. Zoek de dichtheidsfunctie van X /X indien a fx, x = e x, voor 0 x < x { als 0 y < antw.: f Y y = met Y := X /X b fx, x = e x x, voor 0 x < x { als 0 y < antw.: f Y y = +y c fx, x = c x x, voor 0 x < x < met Y := X /X { 3 y als 0 y < antw.: f Y y = met Y := X /X 3.8 Gegeven een toevalsvector X, X met { λ fx, x = e λx als 0 x x en λ een positieve constante. a Toon aan dat de hierboven gedefinieerde functie inderdaad een dichtheidsfunctie is. b Teken het gebied G waar fx, x strikt positief is. c Bepaal de dichtheidsfunctie van Y als Y = X X X { antw.: f Y y = +y 4

5 3.9 De magnetische veldsterkte h in een punt P op een afstand x van een oneindig lange rechte stroomgeleider bedraagt h = i x waarbij i de stroom is door de geleider. De continue veranderlijken i en x zijn onafhankelijk en hebben elk een uniforme verdeling, resp. in de intervallen [0, 0] en [3,5]. Bepaal de dichtheidsfunctie en de distributiefunctie van de magnetische veldsterkte h. 3.0 Beschouw vier onafhankelijke standaard normaal verdeelde veranderlijken X, X, X 3 en X 4. Bepaal de kans dat: a X + X + 3X 3 + 4X 4 3. antw. 0.9 b X + X + X 3 3 < 7. antw c X + X < antw d X + X X 3 + X 4 < 9. antw examenvraag Indien X, X, Y en Y vier onafhankelijke standaard normaal verdeelde toevalsveranderlijken zijn, bepaal dan de waarde van de positieve reële constante a waarvoor PX + X ay + Y = 0.95 antw