Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli dr. Brenda Casteleyn
|
|
- Victor Kuiper
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne ( Leen Goyens (
2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen. 2. Oefeningen over functieverloop 1997 Juli Vraag 2 De functie f: R R: f(x) = 1997 Juli Vraag 3 A. Heeft geen buigpunt(en) B. Vertoont een buigpunt voor x = 0 C. Vertoont twee buigpunten, voor x = -1 en voor x = +1 D. Vertoont twee buigpunten, voor x = - 3 en voor x = 3 De functie f: R R, f(x) = 1997 Juli Vraag 10 A. Heeft rechte x = -1 als verticale asymptoot B. Heeft rechte x = 1 als horizontale asymptoot C. Heeft recht y = 2x + 1 als schuine asymptoot D. Heeft rechte y = 2x 1 als schuine asymptoot Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm snijdt men gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel; de maximale inhoud van deze doos in cm 3 is: A B C D dr. Brenda Casteleyn Page 2
3 1997 Augustus Vraag 2 Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens één nulpunt van de veeltermfunctie: f : x y(x) = 2x 4 4x 3 13x 2-6x-24? A. {-5;-1;2;7} B. {-4;-1.5;1;16} C. {-7;-0.5;3;5} D. {-3;-2.5;4;9} 1997 Augustus Vraag 6 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationele functie: F: x y(x) = A. heeft de rechte y = 0 als asymptoot B. Vertoont geen relatieve extrema C. Heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot D. Heeft de rechte y = x 2 als schuine asymptoot 1997 Augustus Vraag 8 Beschouw een cylindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume V 0 m 3. Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte h (in m) van het vat en de straal r (in m) van het grondvlak? A. h = 0.75 r B. h = r C. h = 1.5r D. h = 2r 1997 Augustus Vraag 9 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie F: x y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + 9ad x + 6bd Is NIET juist? A. Als a = 0 en bcd 0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten B. Als 2c+3d=0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten C. Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten D. Als a = 2 heeft de veeltermfunctie b/3 als nulpunten dr. Brenda Casteleyn Page 3
4 1997 Augustus Vraag 11 Beschouw de volgende irrationele functie: f: x y(x) = Welke van de volgende beweringen is NIET juist? 2000 Juli Vraag 2 A. Ze heeft een buigpunt voor x = 2 B. Ze heeft een minimum voor x = -1 C. Ze is alleen gedefinieerd in het interval [-4,2] D. Ze heeft twee snijpunten met y = -2 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie f: x y(x) = x Juli Vraag 8 A. Heeft de recht y = 0 als asymptoot B. Vertoont een (relatief) minimum C. Heeft de rechte y = x en y = -x als schuine asymptoten D. Heeft een schuine asymptoot Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f: x y(x): 3x 4 10x 3-12x x -7 Welke van de volgende beweringen is juist? A. Voor x = -1/2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd B. Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd C. Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd D. Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd 2001 Augustus Vraag 1 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f: x y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ad x -12bd Is NIET juist? A. Als a = 0 en bcd 0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten B. Als c=d<0 dan heeft de veeltermfunctie +2 en -2 als nulpunten C. Als a = 3 dan heeft de veeltermfunctie b/2 als nulpunt D. Als abcd 0 dan heeft de veeltermfunctie hoogstens 3 nulpunten dr. Brenda Casteleyn Page 4
5 2001 Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen is NIET juist? De rationale functie: f: x y(x) = A. Heeft de rechte y = 2 als asymptoot B. Heeft een verticale asymptoot C. Heeft een schuine asymptoot D. Vertoont een buigpunt 2001 Augustus Vraag 9 Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal Juli Vraag 1 A. Beide beweringen zijn juist. B. Alleen de eerste bewering is juist. C. Alleen de tweede bewering is juist. D. Beide beweringen zijn onjuist. Beschouw de grafiek van volgende veeltermfunctie: y(x) = 4 x 3-21 x x - 9 Welke van de volgende beweringen is juist? Juli Vraag 10 A. voor x= 1 / 2 vertoont zij een relatief minimum B. voor x= 3vertoont zij een relatief minimum C. voor x= 7 / 4 vertoont zij een relatief maximum D. voor x= 3 vertoont zij een relatief maximum Beschouw de kromme x 2 y + 3y -4 = 0. De waarde van de afgeleide y in een punt van de kromme met x=3 is A. -1/6 B. 0 C. 1/6 D. 1 dr. Brenda Casteleyn Page 5
6 Augustus Vraag 1 Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie y= 2x 3 +5x 2 +4x+5. Welk van de volgende beweringen is juist? A. x = 5/6 is een relatief maximum B. x = -1/3 is een relatief maximum C. x = 5/2 is een relatief maximum D. x = 2 is een relatief maximum Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een bepaalde kromme: x.y + x 2y 1 = 0 Hoeveel bedraagt de afgeleide y in een punt van deze kromme voor x = 3? A. 1 B. 0 C. ½ D Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen over de rationale functie f: x y(x) = is NIET juist? 2008 Juli Vraag 4 A. De functie heeft de rechte y = 2 als asymptoot B. De functie heeft een verticale asymptoot C. De functie heeft een schuine asymptot D. De functie heeft twee nulpunten Als 0 x 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door 1 + Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? A. [0,06;0,07[ B. [0,07;0,08[ C. [0,08;0,09[ D. [0,09;0,10[ dr. Brenda Casteleyn Page 6
7 Juli Vraag 7 We beschouwen de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y = -x +3 Welke uitspraak is onjuist? A. Het snijpunt van de rechte met de x-as komt overeen met de top van de parabool B. De afgeleide functie is een dalende rechte omdat de parabool met zijn holle zijde naar onder ligt. C. De afgeleide functie van een parabool heeft steeds twee snijpunten met de parabool. D. Als de rechte onder de x-as zit, dan is de parabool dalend Augustus Vraag 8 Beschouw de veeltermfunctie: f(x) = 3x 3 +27x 2 +5 Welke uitspraken over nulpunten, extrema en buigpunten is verkeerd? A. De functie heeft x=5 en x=1 niet als nulpunt. B. De functie heeft twee extrema bij x=0 en x=-6. C. De functie heeft een buigpunt bij x=-3 D. De holle kant van de functie ligt naar onder in de buurt van x=0 dr. Brenda Casteleyn Page 7
8 Juli Vraag 1 Gegeven is een parabolische functie: f (x) = 2 x 2-2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? A. X = - 1/2 B. X = 1/2 C. X = 1 D. X = Juli Vraag 2 Gegeven is een derdegraadsfunctie: f (x) = 4 x x 2 + x -1/6 Welke buigpunten heeft deze functie? Juli Vraag 3 A. een buigpunt op x = -1/6 B. eeen buigpunt op x = 1/6 C. een buigpunt op x = 0 D. een buigpunt op x = 1 Gegeven is een parabolische functie: f(x) = 2x 2 2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? A. x = - 1/2 B. x = ½ C. x = 1 D. x = Juli Vraag 10 Hoeveel reële nulpunten heeft deze functie x 3 x 2 3x -9 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 dr. Brenda Casteleyn Page 8
9 Augustus Vraag 5 De grafiek van de functie y(x)=(x 2 4x)/(x+2) 2 : Juli Vraag 3 A. Vertoont een relatief minimum tussen de twee nulpunten B. Vertoont een relatief minimum buiten de twee nulpunten C. Vertoont een relatief maximum tussen de twee nulpunten D. Vertoont een relatief maximum buiten de twee nulpunten Gegeven is de volgende veelterm: x 4 3x 3 + x 2 5x + 6 Hoeveel reële nulpunten heeft deze veelterm? A. 1 B. 2 C. 3 D Juli Vraag 7 Gegeven is de functie y = Slechts één van de volgende uitspraken over asymptoten en buigpunten is correct, welke? A. Deze functie heeft een verticale asymptoot en geen buigpunten B. Deze functie heeft een verticale asymptoot en één buigpunt C. Deze functie heeft een schuine asymptoot en één buigpunt D. Deze functie heeft een schuine asymptoot en twee buigpunten Augustus Vraag 3 Gegeven is de volgende rationele functie: y = Welke uitspraak is verkeerd? A. Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot B. Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot C. Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot D. Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot dr. Brenda Casteleyn Page 9
10 Juli Vraag 2 Hieronder is de functie y=2x²+2x+3/2 afgebeeld. Een niet horizontale rechte gaat door punt P(2,1) en heeft een raakpunt met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn. A. 8 B. 12 C. 20 D Juli Vraag 5 In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit (y) en het gemiddelde aantal uren slaap (x) van deze personen. Dit verband wordt weegegeven door de volgende best passende functie: Y = 100x x Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst? A. 6,5 uur B. 7 uur C. 7.5 uur D. 8 uur 2012 Augustus Vraag 7 De werking van een geneesmiddel wordt onderzocht voor dosissen van 0 tot 2 gram/dag. Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te drukken als functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel. A = -d 2 + 2d + 3 (0 d 2) dr. Brenda Casteleyn Page 10
11 Walke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief? A. 2 B. 3/2 C. 1 D. ½ 2012 Augustus Vraag 8 We beschouwen de kwadratische functie: y = -2x Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van die rechte? De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x. A. -4 B. ¼ C. -2 D. ½ Juli Vraag 3 versie1 We beschouwen de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? A. 1 B. 2 C. 1 en 3 D. 2 en Juli Vraag 3 versie2 We beschouwen de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn Page 11
12 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? A. 1 en 4 B. 2 en 3 C. 1,2 en 3 D. 1, 2 en Juli Vraag 6 We beschouwen de functie: = Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 dr. Brenda Casteleyn Page 12
13 Juli Vraag 8 versie 1 Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer? Juli Vraag 8 versie 2 In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer? dr. Brenda Casteleyn Page 13
14 Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende rationale functie: y(x) = Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = - 3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = Augustus Vraag 7 Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x 2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 dr. Brenda Casteleyn Page 14
15 Augustus Vraag 8 Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 - (x - 2) 3 y = 1 + (x - 2) 3 y = 2 - (x - 1) 3 y = 1 + (x - 1) 3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2) 3 voor? A. grafiek A B. grafiek B C. grafiek C D. grafiek D dr. Brenda Casteleyn Page 15
16 2014 Juli Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie. y Welk functievoorschrift is correct? x A. Y = B. Y = C. Y = D. Y = Juli Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x ¼ y = x 2 +m.x + 2 Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? A. 6 B. -6 C. 2 D Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie dr. Brenda Casteleyn Page 16
17 y x Welk functievoorschrift is correct? A. Y = e -0,025x B. Y = e 0,025x C. Y = e 0,025x D. Y = e -0,025x Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x 2 + x + 1 en y = 2x 2-2x +3 A. 4 B. 2 C. 1 D Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x 2 + (a-1)x + (a 2-1) met a ϵ 0,1 We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? A. 1/2 B. 5/4 C. 0 D. 3/2 dr. Brenda Casteleyn Page 17
18 dr. Brenda Casteleyn Page 18
19 3. Oplossingen oefeningen 1997 Juli Vraag 2 Gegeven: De functie f: R R: f(x) = Gevraagd: buigpunt Buigpunt 2 de afgeleide f (x) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) f (x) = ( ). ( ) = ( )[ ( ) ] ( ) = ( ( ) = ( ) ( ) Tekenverloop: x f (x) - Ι Ι + Tekenverandering in 0, dus buigpunt enkel in 0 Antwoord B 1997 Juli Vraag 3 Ter herinnering: Verticale asymptoot: nulwaarde(n) van de noemer, die niet in de teller voorkomen. Horizontale asymptoot: als de graad van de teller kleiner of gelijk is aan de graad van de noemer. Door waarden in te vullen,kan je de asymptoot vinden. Schuine asymptoot: als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer. Je vindt die asymptoot door de euclidische deling van teller gedeeld door noemer en die vergelijking mag maar van de eerste graad zijn, anders is het geen asymptoot meer Niets: als de graad van de teller meer dan 1 eenheid groter is dan de graad van de noemer, heb je geen asymptotisch gedrag. dr. Brenda Casteleyn Page 19
20 Gegeven: De functie f: R R, f(x) = Gevraagd: VA, HA, SA? VA: x = 1 (= nulpunt noemer) Geen HA want graad T > graad N SA bestaat want graad T = graad N+1 Snelste manier is volgende deling 2x 2-3x+4 x-1-2x 2 +2x 2x-1 -x+4 -x-1 3 SA: y = 2x-1 Antwoord D 1997 Juli Vraag 10 Gegeven: x x 80-2x x 50-2x Met x < 25, anders is er geen doos Gevraagd: maximale inhoud in cm 3 Bereken de inhoud van de doos: oppervlakte grondvlak x hoogte Inhoud = (80-2x)(50-2x).x = (80-2x)(50x-2x 2 ) = 4000x-160x 2-100x 2 +4x 3 = 400x-260x 2 +4x 3 = 4(1000x-65x 2 +x 3 ) Maximale waarde: afgeleide = 0 voor extremum en via tekenverloop maximum bepalen. Inhoud (x) =(4(x 3-65x x)) = 4 (3x 2-130x ) Nulpunten van deze afgeleide: x = 10 en x = 100/3 dr. Brenda Casteleyn Page 20
21 Tekenverloop: X /3 Inhoud(x) stijgt daalt stijgt Inhoud (x) De inhoud bereikt dus een maximale waarde voor x=10 De inhoud is dan I(10) = ( )( ).10= Antwoord C 1997 Augustus Vraag 2 Gegeven: f : x y(x) = 2x 4 4x 3 13x 2-6x-24 Gevraagd: nulpunten Alle delers van -24 zijn mogelijke nulpunten, dus 1, -1,2,-2,3,-3 4,-4,8,-8,12,-12 Gebruik regel van Horner: (x+2)(2x 3-8x 2 +3x-12) Opnieuw Horner toepassen (x+2)(x-4)(2x 2 +3) Nulpunten: -2 en 4 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn Page 21
22 1997 Augustus Vraag 6 Gegeven: f: x y(x) = Gevraagd: asymptoten, extrema Geen H.A;. want graad T > graad N Schuine asymptoot: deling: x 2-2x+1 : x = x-2 SA: y = x-2 Antwoord D 1997 Augustus Vraag 8 Gegeven: volume cilinder V 0 m 3 Gevraagd: verband hoogte vat en straal grondlvak bij minimale oppervlakte vat Formule volume cilinder: V = πr 2 h Formule oppervlakte vat: oppervlakte grondvlak + oppervlakte mantel Oppervlakte vat = πr 2 + 2πrh Vervang h uit formule van volume: h = V/ πr 2 Dus: Oppervlakte vat = πr 2 + 2πr. V/ πr 2 Vereenvoudig: Oppervlakte vat = πr V/ r Een minimale oppervlakte: eerste afgeleide = 0 ( πr V/ r) =2 πr V/ r 2 = 0 2 πr = 2 V/ r 2 We kunnen nu V vervangen door de formule van volume: 2 πr = 2 πr 2 h / r 2 2 πr = 2 πh r = h Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 22
23 1997 Augustus Vraag 9 Gegeven: f: x y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + 9ad x + 6bd Gevraagd: welke optie is fout. Mogelijkheid A: Als a = 0 en bcd 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 4bc x 2 + 6bd Aantal mogelijke nulpunten: 0, 1 of 2 want kwadratische vergelijking Mogelijkheid B: Als 3d = -2c, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + (-6c)a x - 4bc y(-1) = -6ac + 4bc +6ac -4bc = 0 y(1) = 6ac +4bc -6ac -4bc = 0 Mogelijkheid D: Als a=2, dan wordt de vergelijking: y(x) = 12c x 3 + 4bc x d x + 6bd y(-b/3) = 12c(-b 3 /27) + 4bc(b 2 /9+18d(-b/3) +6bd = -12cb 3 /27 + 4cb 3 /9-18bd/3 + 6bd = 0 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 11 Gegeven: de irrationele functie: f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering Mogelijkheid B: Minimum voor x = -1? Afgeleide van = -1/2(-2x-2)(-x 2-2x+8) -1/2 = Dit wordt = 0 bij x =-1. Uit tekenverloop blijkt dit een minimum te zijn. Mogelijkheid C: alleen gedefinieerd in interval [-4,2]? dr. Brenda Casteleyn Page 23
24 Domein is beperkt door voorwaarde dat wat onder vierkantswortel staat positief moet zijn. Dus 2 + 8> 0 Bereken nulpunten: D = 36 en x 1 = -4 en x 2 = 2 Bepaal tekenverloop: X /// /// /// /// Dus domein inderdaad tussen -4 en 2 Mogelijkheid D: 2 snijpunten met y = -2? Los daarvoor volgende vergelijking op: -2 = = = = Bereken de nulpunten: D 2 = = 20. Dat geeft twee nulpunten Dus twee snijpunten. Besluit: Mogelijkheid A moet fout zijn Antwoord A 2000 Juli Vraag 2 Gegeven: De rationale functie f: x y(x) = x 2 - Gevraagd: asymptoten, maxima y(x) =( x 3-27)/x Er is geen schuine asymptoot want graad teller graad noemer +1 Er is ook geen horizontale asymptoot want graad teller graad noemer Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 24
25 2000 Juli Vraag 8 Gegeven: f: x y(x): 3x 4 10x 3-12x x -7 Gevraagd: juiste bewering: voor welke waarde van x bolle zijde naar boven? Berekening van tweede afgeleide: (3x 4 10x 3-12x x -7) = 12x 3-30x 2-24x+12 (12x 3-30x 2-24x+12) = 36x 2 60x -24 Mogelijkheid A: y (-1/2) = 36/ = 15 >0 (bol onder) Mogelijkheid B: y (0) = -24 bol boven Mogelijkheid C: y (2) = = 0 buigpunt Mogelijkheid D: y (3) = = 120 bol onder Antwoord B 2001 Augustus Vraag 1 Gegeven: f: x y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ad x -12bd Gevraagd: foute bewering? Mogelijkheid A: als a = 0 en bcd 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 3bc x 2-12bd, dit is een kwadratische vergelijking die geen, 1 of 2 nulpunten heeft Mogelijkheid B: Als c=d<0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ac x -12bc Y(2) = 16ac + 12bc 16ac 12bc = 0 Y(-2) = -16ac + 12bc +16ac -12bc = 0 Mogelijkheid C: Als a = 3, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6c x 3 + 3bc x 2-24d x -12bd y(b/2) = 6c(b/2) 3 + 3bc(b/2) 2 24d(b/2) -12bd = 6cb 3 /8 + 3cb 3 /4-12db -12bd 0 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 25
26 2001 Augustus Vraag 2 Gegeven: De rationale functie: f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering Graad teller = graad noemer, dus wel een horizontale asymptoot Graad teller graad noemer +1, dus geen schuine asymptoot. Antwoord C 2001 Augustus Vraag 9 Gegeven: Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3).Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2. Gevraagd: welke bewering juist? Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Om de top te berekenen zoek je de afgeleide van x in functie van y: X = ¼( y² - 6y + 1) en zoek je de afgeleide: (¼( y² - 6y + 1)) = ¼(2y-6) deze vergelijking wordt 0 voor y = 3 Met de oorspronkelijke vergelijking vinden we bij y = 3 de waarde x=-2 De top is dus (-2,3) Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor metstraal 2. De standaardvorm van de vergelijking van een cirkel is: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 met middelpunt (a,b) en straal r. We vormen de vergelijking om naar de standaardvorm: y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 y² - 6y x² - 4x = 0 (toevoeging +9-9 en +4-4 om merkwaardig product te kunnen toepassen) (y-3) 2-9+ (x-2) = 0 (y-3) 2 + (x-2) 2 = 3 2 De straal van de cirkel is dus 3. dr. Brenda Casteleyn Page 26
27 Antwoord B 2002 Juli Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie: y(x) = 4 x 3-21 x x - 9 Gevraagd: juiste bewering (4 x 3-21 x x 9) = 12x 2 42x + 18 Nulpunten: discriminant = 900 en x 1 = ½ en x 2 = 3 Tweede afgeleide: 24x 42 nulpunt: x = 7/4 (= buigpunt) Tekenverloop: X ½ 7/4 3 f (x) f (x) f(x) max buigpunt min Antwoord B Juli Vraag 10 Gegeven: Kromme x 2 y + 3y -4 = 0 Gevraagd: waarde van afgeleide y in punt van de kromme met x =3 Herschrijf de vergelijking: y(x 2 +3)-4 = 0 of y = 4/(x 2 +3) (4/(x 2 +3)) =( 0(x 2 + 3) 8x) /(x 2 +3) 2 =-8x /(x 2 +3) 2 y (3) = -1/6 Antwoord A Augustus Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie y= 2x 3 +5x 2 +4x+5 Gevraagd: extrema? dr. Brenda Casteleyn Page 27
28 ( 2x 3 +5x 2 +4x+5) = -6x 2 +10x +4 = -2(3x 2-5x-2) Ontbinden via Horner: = -2(x-2)(3x+1) Nulpunten: 2 en -1/3 Tweede afgeleide: (-6x 2 +10x +4) = -12x+10 Het nulpunt x = 10/12 = 5/6 is een buigpunt Tekenverloop x -1/3 0 5/6 2 y y y min buigpt max Antwoord D Augustus Vraag 10 Gegeven: vergelijking: x.y + x 2y 1 = 0 Gevraag: afgeleide y in een punt van deze kromme voor x = 3? xy + x 2y 1 = 0 y(x-2) + x = 1 y = (1-x)/(x-2) y = ( ) ( ) ( ) y = ( ) y (3) = 1 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn Page 28
29 2007 Augustus Vraag 2 Gegeven: de rationale functie f: x y(x) = is NIET juist? Gevraagd: foute bewering Horizontale asymptoot: lim x = 2, dus bewering A is juist Nulpunten: teller heeft twee nulpunten, dus ook D is juist Er is geen schuine asymptoot want graad teller niet gelijk aan graad noemer +1 Antwoord C 2008 Juli Vraag 4 Gegeven: Als 0 x 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door 1 + Gevraagd: Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? Grootste afwijking of grootste verschil: maximum of minimum Verschil: V= 1 + x/2-1 + extremum afgeleide = 0 V = ½ - ( ) = 0 x = 0 Is x 0 een minimum of een maximum: invullen: 1 + 0/2 = 1 en = 1 verschil =0 Er is geen maximum, dus moeten we kijken binnen de toegelaten voorwaarde wat de hoogste waarde is, nl. 1: invullen: 1 + ½ = 3/2 en = 2 Verschil: 3/2 1,4141 = 0,0858 Antwoord C Juli Vraag 7 Gegeven: de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y = -x +3 Gevraagd: onjuiste uitspraak Uitspraak A: Het snijpunt van de rechte met x-as komt overeen met de top van de parabool. Op het snijpunt van de rechte met x is de waarde van y = 0, de afgeleide is er dus 0. Dat is dr. Brenda Casteleyn Page 29
30 exact hoe we een extremum vinden. Dus, voor de x waar de rechte kruist met de x-as, is er een extremum, in dit geval een maximum. Deze uitspraak klopt. Uitspraak B: De richtingscoëficiënt van de afgeleide is negatief en de afgeleide is dus een dalende functie. De tweede afgeleide = -1, dus negatief holle zijde is dan naar onder. Deze uitspraak klopt Uitspraak C: Er zijn niet altijd 2 snijpunten tussen een parabool en zijn afgeleide. Deze uitspraak klopt niet. (voorbeeld: y = x en afgeleide: y = 2x, er zijn geen snijpunten) Uitspraak D: Als de rechte onder de x-as is, dan is de afgeleide negatief (na het nulpunt). De parabool is dan dalend. Deze uitspraak klopt. Antwoord C Augustus Vraag 8 Gegeven: veeltermfunctie: f(x) = 3x 3 +27x 2 +5 Gevraagd: foute uitspraak Mogelijkheid A: f(5) = f(1) = Mogelijkheid B: (3x 3 +27x 2 +5) = 9x 2 +54x = x(9x+54) Nulpunten: x = 0 en x =-6, dit zijn de twee extrema Mogelijkheid C: buigpunt berekenen tweede afgeleide: (9x 2 +54x ) = 18x +54 Nulpunt = -54/18 = -3 is een buigpunt Mogelijkheid D: f (0) = = 54 >0 (hol naar boven) Antwoord D Juli Vraag 1 Gegeven: parabolische functie: f (x) = 2 x 2-2x -1 Gevraagd: top? Berekening van de top: afgeleide gelijk aan 0 dr. Brenda Casteleyn Page 30
31 ( 2 x 2-2x -1) = 4x -2 = 0 x=1/2 Antwoord B 2009 Juli Vraag 2 Gegeven: f (x) = 4 x x 2 + x -1/6 Gevraagd: Buigpunten (4 x x 2 + x -1/6) = 12x 2 +4x +1 (12x 2 +2x +1) = 24x +4 Nulpunt: -1/6 Antwoord A Juli Vraag 3 Gegeven: parabolische functie: f(x) = 2x 2 2x -1 Gevraagd: top van deze parabool? top y = 0 Y = 4x -2 = 0 x = ½ Antwoord B Juli Vraag 10 Gegeven: de functie x 3 x 2 3x -9 Gevraagd: aantal reële nulpunten Alle delers van 9 kunnen nulpunten zijn: 1,-1,2,-2,3,-3,9,-9 Experimenteel vind je bij x=3 een nulpunt: f(3)= =0 Regel van Horner: dr. Brenda Casteleyn Page 31
32 (x-3)(x 2 +2x+3) Nulpunten van (x 2 +2x+3) berekenen Discriminant = = -8 <0 Er is dus maar 1 reëel nulpunt Antwoord B Augustus Vraag 5 Gegeven: functie y(x)=(x 2 4x)/(x+2) 2 Gevraagd: waar is extremum tov nulpunten y = x(x-4)/(x+2) 2 nulpunten: x=0 en x =4 Berekening extremum: y = [(2x-4)(x+2) 2 2(x+2)(x 2-4x)] / (x=2) 4 = (8x -8)/(x+2) 3 Nulpunt bij x=1 (= extremum) Tekenverloop: X Y (8x-8) (x+2) Y y min Antwoord A Juli Vraag 3 Gegeven: veelterm: x 4 3x 3 + x 2 5x + 6 Gevraagd: aantal reële nulpunten dr. Brenda Casteleyn Page 32
33 Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(1) = 0 Via Horner: (x-1)(x 3-2x 2 -x-6) Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(3)= (x-1)(x-3)(x 2 +x+2) D 2 = 1 8 = -7 <0 Er zijn dus 2 reële nulpunten, nl. 1 en 3 Antwoord B Juli Vraag 7 Gegeven: functie y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Graad teller = 1 + graad noemer -> er is een schuine asymptoot Verticale asymptoot: x = -2/3 Onderzoek buigpunten: via nulpunten van tweede afgeleide: y =[2x(3x+2)-3(x 2 )]/(3x+2) 2 = [6x 2 +4x-3x 2 ]/(3x+2) 2 = (3x 2 +4x) / (3x+2) 2 dr. Brenda Casteleyn Page 33
34 y = ( )( ) ( )( ) ( ) = ( )( ) ( )( ) ( ) = (18x 2 +24x+8-18x 2-24x)/(3x+2) 3 = 8/(3x+2) 3 Deze functie heeft geen nulpunten dus ook geen buigpunten. Antwoord A Augustus Vraag 3 Gegeven: rationele functie: y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Teller heeft geen nulpunten D 2 = -3 <0 Verticale asymptoot: x = -2 Schuine asymptoot: y = ax + b A = 1 en b = -1 Dus y = x-1 Horizontale asymptoot: geen Eerste afgeleide: y = [(2x+1)(x+2) (x 2 +x+1)] / (x+2) 2 = (2x 2 +4x+x+2-x 2 -x-1)/ (x+2) 2 = x 2 +4x+1/(x+2) 2 Nulpunt teller: D 2 = 12 en nulpunten: x = (-8-12)/2 en x = ( )/2, dit zijn de extrema Tweede afgeleide geven de buigpunten: Y = [(2x+4)(x+2) 2 2(x+2)(x 2 +4x+1)] / (x+2) 4 = (2x 2 + 4x+4x+8-2x 2-8x-2)/(x+2) 3 = 6/(x+2) 3 geen nulpunten, dus ook geen buigpunten dr. Brenda Casteleyn Page 34
35 Antwoord B Juli Vraag 2 Gegeven: functie y=2x²+2x+3/2 Gevraagd: helling van raaklijn door punt P(2,1) De afgeleide is de raaklijn, dus vgl van de raaklijn is y =4x+2 Anderzijds wordt de helling van de rechte bepaald door( y-y 0 )/(x-x 0 ) Gegeven in tekening volgend punt op de raaklijn: X 0 = 2 en y 0 = 1 Dus 4x+2 =( y-1)/x-2 Vul de uitdrukking van y in in deze vergelijking: 4x+2 =(( 2x²+2x+3/2 )-1)/x-2 (4x+2)(x-2) = 2x²+2x+1/2 4x 2 +2x-8x-4-2x²-2x-1/2=0 2x 2-4x-4-1/2=0 2x 2-4x-9/2=0 4x 2-16x-9=0 D 2 = (4.4.9) = 400 Nulpunten zijn: x = -1/2 en x =9/2 X invullen in y : Y = 4(-1/2) = 2 = 0 horizontale raaklijn Y = 4(9/2)+2 = 20 Antwoord A 2012 Juli Vraag 5 Gegeven: verband onverwachte mortaliteit (y) en gemiddeld aantal uren slaap: y = 100x x Gevraagd: bij welk gemiddeld aantal uren slaap was de mortaliteit het kleinst? dr. Brenda Casteleyn Page 35
36 Minimum berekenen afgeleide y = 200x 1500 = 0 X = 1500/200 = 7.5 uur Antwoord C 2012 Augustus Vraag 7 Gegeven: A = -d 2 + 2d + 3 (0 d 2) Gevraagd: voor welke waarde van d is A maximaal? Maximum bij A = 0 2d +2 = 0 d = 1 Antwoord C 2012 Augustus Vraag 8 Gegeven: de kwadratische functie: y = -2x 2 + 2Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x Gevraagd: Hoeveel bedraagt de helling van die rechte? (0.4) (0,2) De tekening geeft (met wat verbeelding, word heeft zijn beperkingen...) een raaklijn links en één rechts. De rechte y = 4x loopt parallel met de linkse raaklijn. De y-as mag niet omdat ze verticaal is. We zoeken dus de rechter raaklijn. dr. Brenda Casteleyn Page 36
37 Vermits de raaklijn door punt (0,4) gaat is de vergelijking van die rechte van de vorm: y = ax +4. Om het gemeenschappelijk punt met de parabool te vinden stellen we de vergelijkingen aan elkaar gelijk: ax + 4 = -2x x ax + 2 = 0 Slechts één oplossing (één raakpunt) discriminant = 0 Dus: = 0 a 2 = 16 a = 4 of a = -4 Voor a = 4 krijgen we de linkse raaklijn en voor a = -4 de rechtse raaklijn Antwoord A Juli Vraag 3 versie1 Gegeven: de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? VA: nulpunt van de noemer (maar mag niet het nulpunt van de teller zijn). VA = 1 (nulpunt noemer) en nulpunt teller is niet 1 SA: er is geen schuine asymptoot want want graad T graad N+1 Er is ook geen HA want lim van x--> = Antwoord B Juli Vraag 3 versie2 Gegeven: de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn Page 37
38 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? Bepaal nulpunten van teller en noemer: = = (2 + 1) ( 1)( + 1) telpunten noemer: 1 en -1 nulpunten teller: geen nulpunt voor x = 1; dus wel een verticale asymptoot voor x = 1 bij x = -1 wel een nulpunt voor teller, we kunnen (2 + 1) delen door (x+1). Via Horner verkrijgen we voor deze deling: (2 + 1)/ (x+1) =2x -1 Dus (2 + 1)= (2x -1)(x+1) We vervangen dit in y = ( )( ) ( )( ) = ( ) ( ) = x = -1 is dus geen verticale asymptoot SA: er is een schuine asymptoot want want graad T = graad N+1 Berekening: SA: y = ax + b waarbij a = lim ( ) en b = lim ( ( ) ) Bereken a: lim ( ) = 2 Bereken b: lim 2 = lim ( ) = = lim ) = 1 De schuine asymptoot is dus y = 2x + 1 Antwoord B Juli Vraag 6 Gegeven: de functie: = Gevraagd: Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 dr. Brenda Casteleyn Page 38
39 3x - y = 2 --> y = 3x - 2 De helling van de rechte y is de richtingscoëfficiënt nl. 3. Als de rechte y = 3x -2 dezelfde richting heeft als de raaklijnen van de functie, dan is de afgeleide van de functie y = 3. Bepaal de afgeleide van de gegeven functie: 3x 2-2en stel ze gelijk aan 3. We vinden dan twee oplossingen: x = - en x = Er zijn dus twee raaklijnen evenwijdig Antwoord C Juli Vraag 8 versie 1 Gevraagd: Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer? dr. Brenda Casteleyn Page 39
40 Zie onderstaande figuur: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(x-2) is het nulpunt dan x = 3 (dit vind je door x-2 gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =3 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D Antwoord D Juli Vraag 8 versie 2 Gegeven: In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Gevraagd: Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer? Zie de grafiek in vorige oefening: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(2-x) is het nulpunt dan x = 1 (dit vind je door 2-x gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =1 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D dr. Brenda Casteleyn Page 40
41 Antwoord D Augustus Vraag 4 Gegeven: volgende rationale functie: y(x) = Gevraagd: Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = - 3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = 3 Verticale asymptoten voor x = -1 en x = 1. Op die punten kan er dus geen locaal maximum liggen. A en B zijn dus fout. Om maxima te berekenen, moeten we het tekenverloop van de eerste afgeleide berekenen: y' = ( ). = ( ) = ( ) = ( ) ( ) dr. Brenda Casteleyn Page 41
42 nulpunten: x= 0; x= + 3 en x = - 3 Tekenverloop: x x / / x / / (x 2-1) / / y' / / y max VA VA min Dus: enkel bij - 3 is er een locaal maximum. Antwoord C Augustus Vraag 7 Gevraagd: Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x 2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? De raaklijn aan de functie en de lijn door het punt moeten dezelfde helling of richtingscoëfficiënt hebben. Richtingscoëfficiënt van een lijn: a = Richtingscoëfficiënt van raaklijn aan grafiek = afgeleide van y Dus: y' = Dus: ingevuld voor de functie y en punt (-1/2, -3) geeft dat: (x 2 +2x)' = ( ) ( ) bereken afgeleide links en vervang y rechts: 2x + 2 = ( ) / (2x+2)(x+1/2) = x 2 + 2x +3 2x x +x = x 2 + 2x +3 x 2 + x -2 = 0 dr. Brenda Casteleyn Page 42
43 x = -2 en x = 1. Dus 2 oplossingen Antwoord C Augustus Vraag 8 Gegeven: Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 - (x - 2) 3 y = 1 + (x - 2) 3 y = 2 - (x - 1) 3 y = 1 + (x - 1) 3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2) 3 voor? de grafieken hebben vier verschillende nulpunten en vier verschillende snijpunten met de y-as. Gemakkelijkste om te berekenen: snijpunten met y-as: stel voor elk x = 0 Uit de posities van de snijpunten kunnen we dan de grafieken bepalen: y = 1 - (0-2) 3 --> y= 9 (grafiek D) y = 1 + (0-2) 3 --> y = -7 (grafiek B) dr. Brenda Casteleyn Page 43
44 y = 2 - (0-1) 3 --> y = 3 (grafiek C) y = 1 + (0-1) 3 --> y = 1 (grafiek A) Antwoord B 2014 Juli Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie. y Welk functievoorschrift is correct? x vul voor x de waarde 0 in en de waarde Als x 0 is moet y = 300 (zie tekening). Dat is enkel bij oplossingen C en D. Naarmate x stijgt, moet ook y stijgen, dat geldt enkel bij negatieve exponent van e (getal dat van 500 moet worden afgetrokken moet kleiner worden). Y = Antwoord C 2014 Juli Vraag 8 Gegeven: zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x ¼ y = x 2 +m.x + 2 Gevraagd: Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? In het raakpunt zijn de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk. dr. Brenda Casteleyn Page 44
45 x 2 + m.x + 2 = X ¼ = x 2 + m.x - x /4= 0 x 2 + (m-1).x + 9/4= 0 Bereken de discriminant en stel die gelijk zijn aan 0 vermits er maar één raakpunt is. Discriminant = (m-1) /4 = 0 m 2 + 2m +1-9 = 0 (m-2)(m+4) = 0 m kan dus gelijk zijn aan 2 of -4. Optelling geeft -2 Antwoord D 2014 Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie y x Gevraagd: Welk functievoorschrift is correct? Bereken voor elke oplossing de waarde voor y bij x = 0 en x = Voor oplossing A: Y = e -0,025 (0) = = 500 Y = e -0,025 ( ) = /e = = 700 dr. Brenda Casteleyn Page 45
46 Voor oplossing B: Voor oplossing C: Voor oplossing D: Y = e 0,025 (0) = = 500 Y = e 0,025 ( ) = e = = - Y = e 0,025 (0) = = 700 Y = e 0,025 ( ) = e = = Y = e -0,025 (0) = = 700 Y = e -0,025 ( ) = e - = /e = = 500 Antwoord D Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x 2 + x + 1 en y = 2x 2-2x +3 Stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar: x 2 + x + 1 = 2x 2-2x +3 en bepaal x x 2 + x + 1-2x 2 +2x - 3 = 0 - x 2 + 3x - 2 = 0 Discriminant = 9-4.(-1)(-2) = 1 x 1 = (-3 + 1)/-2 = 1 x 2 = (-3-1)/-2 = 2 Er zijn dus twee snijpunten Antwoord B Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x 2 + (a-1)x + (a 2-1) met a ϵ 0,1 We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? Bepaal de nulpunten: dr. Brenda Casteleyn Page 46
47 Discriminant = (a-1) (a 2-1) = a a -8a = -7a 2-2 a +9 x 1 = ( ) x 2 = ( ) Bepaal de som van de kwadraten: S = x x 2 2 = ( ( ) ) + ( ( ) ) = ( ).( ) ( ). + ( ).( ) ( ). = (1-2a + a 2-7a 2-2a + 9) = (1-2a + a 2-7a 2-2a + 9) = (-6a 2-4a + 10) Afgeleide S' berekenen en gelijkstellen aan 0 S' =. (-12a - 4) = 0 S' =. (-6a - 2) = 0 --> a = - 2/6 = -1/3 De som stijgt voor a: 1 --> 0 en is maximaal in a =0 S = 1/4 ( ) = 1/4. 5 = 5/4 Antwoord B E. 1/2 F. 5/4 G. 0 H. 3/2 dr. Brenda Casteleyn Page 47
48 dr. Brenda Casteleyn Page 48
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieFunctieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2
Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: sinusfuncties 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)) 1. Inleiding
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 1/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: mengsels 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: mengsels 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding Dit
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieMachtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieBasiskennistoets wiskunde
Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieMachtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie. 1) Met een positief exponent in de term(en) ( )
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen ).
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Oplossingen van 2016 Augustus Geel 2/1/2017 dr. Brenda Casteleyn Vraag 1. Als f(x) = e 4x-3, wat is dan f(1 ln (1/x))? e + ex 4 (ex) 4 e - x
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatie29 Parabolen en hyperbolen
39 0 1 9 Paraolen en hyperolen 6 5 5 6 3 3 1 5 h = 0,065 0 = 100 meter + (5 ) = 5 6,5 ; 5 ; 56,5 ; 100 meter ( 3 9 ) + (3 ) = 8 16,96.. afstand PE < afstand P tot de x-as Nee! y (alleen als y > 0) 0,065
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieDan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben. Hier is ( ) ( ) = 8+ a. De rico van r is m x
Gegeven is de functie f a a) Voor welke a R heeft f geen etrema? + +, met parameter a R Dan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben Hier is Er zijn dus geen etrema als en slechts
Nadere informatieHoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieWiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008
Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieINLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN
INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9
Nadere informatieLuc Gheysens - Extremumvraagstukken p.1
EXTREMUMVRAAGSTUKKEN 1 Bepaal twee getallen x en y waarvan de som 144 is en waarvoor het product maximaal is. En voor welke waarden is het product x 3. y 2 maximaal? 2 Aan de vier hoeken van een vierkantig
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieWiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie
Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieTOELATINGSEXAMEN ANALYSE BURGERLIJK INGENIEUR EN BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8 1. De functie f(x) = e kx + ax + b met a, b en k R en k < 0 heeft een schuine asymptoot y = x voor x + en voldoet aan de vergelijking Bepaal a, b en
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieAntwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2
Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden door een scholier 7212 woorden 16 maart 2005 4,6 58 keer beoordeeld Vak Wiskunde B uitwerking Havo NG/NT 2 Hoofdstuk 1 De afgeleide functie 1.1 Differentiaalquotient
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 018 tijdvak woensdag 0 juni 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieFuncties. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm
Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur
Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieExtra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatieBlok 1 - Vaardigheden
Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatie5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
Nadere informatieWISNET-HBO NHL update jan. 2009
Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten Voor geldt: ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Alternatief: ( )( ) Vraag 1b 4 punten Voor geldt: met geeft, en ook. De perforatie van zowel
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieDe Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)
De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatieOef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1
Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1
Nadere informatieHoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden
Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieVoorbeeldtentamen Wiskunde B
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: Najaar 2018 Tijd: 3 uur Aantal opgaven: 6 Voorbeeldtentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur
Nadere informatieHoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4
Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc
Nadere informatieDEZE TAAK BESTAAT UIT 35 ITEMS. INDIEN NIET ANDERS VERMELD, IS ELKE VARIABELE EEN ELEMENT VAN. Ontbind x 4 1 in zoveel mogelijke factoren.
DEZE TAAK BESTAAT UIT 35 ITEMS. INDIEN NIET ANDERS VERMELD, IS ELKE VARIABELE EEN ELEMENT VAN. De verzameling V, 5] kan worden voorgesteld door A {3, 4, 5} B {, 3, 4, 5} C {x 3 x 5} D {x x 5} Gegeven een
Nadere informatieOef 1. Oef 2. Ontbind, indien mogelijk, de veeltermen in factoren.
Herhalingsoefeningen Problemen oplossen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Elk
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen.
13.0 Voorkennis Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen. Op het interval [-2; -0,94) is de grafiek dalend; Bij x =
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatieMATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn
Codelijst: : de dynamisch gegenereerde waarde van INVUL: invuloefening ( Short answer ) KLEUR: gebruik kleur! MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn MC: multiple
Nadere informatie5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Nadere informatieWiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis
Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,
Nadere informatie