Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1

2 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1

3 Centrale Limietstelling 3 / 1

4 Centrale Limietstelling St. (Centrale Limietstelling) Voor een stochast X met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking σ geldt voor elke a: lim P( X n µ n σ a) = P s(z a). n Bij toenemende n benadert X n de normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ n. De Centrale Limietstelling is een versterking en precisering van de Wet van de Grote Getallen. Def. σ X = σ n is de standaardfout van het gemiddelde. 4 / 1

5 Wet van de Grote Getallen Vb. Een wijnboer verkoopt wijn per doos en wil dat de kans dat het percentage bedorven flessen in een doos meer dan 0.4% afwijkt van gemiddelde µ hoogstens 0.2 is. Hij weet µ niet en neemt voor de variantie Hoeveel flessen wijn moeten de dozen minimaal bevatten? Met Chebyshev: P( X n µ 0.004) n(0.004) 2. Dus P( X n µ 0.004) 0.2 voor n (0.004) 2 = De dozen moeten minimaal 16 flessen bevatten. Merk op: wanneer de variantie toeneemt, neemt n evenredig toe. Bijvoorbeeld, bij 0.05 variantie 0.05 wordt n gelijk aan 2(0.004) 2 = / 1

6 Centrale Limietstelling Vb. Zij X een stochast met E(X ) = 3 en Var(X ) = 4 waarvoor de verdeling onbekend is of moeilijk te berekenen. Er wordt gevraagd naar de kans dat het steekproef gemiddelde van een willekeurige steekproef ter grootte n = kleiner is dan Aangenomen wordt dat n voldoende groot is om de verdeling van X = X als een normale verdeling met verwachtingswaarde µ = 3 en standaardafwijking 4 n = 2 = 0.02 te beschouwen. 100 Onder die aanname geldt: P(X 2.95) = P X 3 s( ) = P X 3 s( ) = P s( X ). Wegens de symmetrie van de standaard normale verdeling rond 0 geldt P s( X ) = Ps( X ). Uit tabel C.1 blijkt dat P s(z 2.25) = Dus P(X 2.95) = / 1

7 Centrale Limietstelling Vb. Een onderzoeksbureau wil middels een steekproef vaststellen hoe groot het percentage Nederlanders is dat niet stemt. Aangenomen wordt dat het steekproefgemiddelde X n (het percentage niet-stemmers in de steekproef) normaal verdeeld is. Het bureau kiest n zo dat de kans dat het steekproefgemiddelde meer dan 1% afwijkt van het ware percentage niet-stemmers niet groter dan 0.2 is. Die n kan als volgt berekend worden. Aangenomen wordt dat de variantie van de populatie 9% is. Gezocht wordt een n zodat geldt P( X n µ 0.01) 0.2. Dat kan zo berekend worden: P( X n µ 0.01) = 2P(X n 0.01+µ) = 2P( X n µ σ 0.01 σ ) = 2P s(z 0.01 n ). n n 0.3 Uit tabel C.1 blijkt dat P s(z 1.28) = 0.1. Dus 0.01 n 0.3 = 1.28, waaruit volgt dat n = ( ) / 1

8 Correlatie 8 / 1

9 Correlatie Def. Een scatterplot op grond van een steekproef waarbij twee scores gemeten worden, stochasten X en Y, is een grafiek waarin de paren (X i, Y i ) voor elke element i in de steekproef weergegeven worden. Voor scatterplots moeten de variabelen interval- of ratioschaal zijn. 9 / 1

10 Correlatie: lengte en schoenmaat Vb. Lengte (x-as) tegen schoenmaat (y-as): lengte schoenmaat stat6c stat6a 10 / 1

11 Correlatie: carnaval en BMI Vb. Aantal maal carnaval gevierd (x-as) tegen BMI (y-as): carnaval BMI stat9b stat9a 11 / 1

12 Correlatie Def. Een correlatie tussen de variabelen betekent dat er op grond van de steekproef een verband lijkt te zijn. Een correlatie impliceert niet noodzakelijk een causaal verband (hidden variables). 12 / 1

13 Correlatie: lengte en hoogte kin Vb. Lengte (x-as) tegen hoogte kin (y-as): stat6b stat6a Er bestaat een sterke correlatie tussen lengte en de hoogte van de kin. 13 / 1

14 Correlatie: lengte en hoogte kin Vb. Schoenmaat (x-as) tegen hoogte kin (y-as): stat6b stat6c Er bestaat een correlatie tussen schoenmaat en de hoogte van de kin. 14 / 1

15 Correlatie: lengte en hoogte kin Vb. BMI (x-as) tegen aantal vakken behaald in het eerste jaar (y-as): stat9c stat9b Er bestaat geen correlatie tussen BMI en het aantal vakken behaald in het eerste jaar. 15 / 1

16 Correlatie: correlatiecoëfficiënt Def. Gegeven twee stochasten X en Y, waarbij (X i, Y i ) de score van element i is in een steekproef ter grootte n, is de Pearson correlatiecoëfficiënt: Waarbij z Xi, z Yi r XY = P zx z Y n 1 P n i=1 = z X i z Yi. n 1 de standaarscores van X i, Y i t.o.v. de steekproef zijn: z Xi = X i X s X z Yi = Y i Y s Y. Gebruikmakend van de notatie x = X X : P P xy n r XY = pp x 2 P y = i=1 x i y i q 2 Pn P. n i=1 x2 i i=1 y i 2 Ook geldt r XY = n P XY P X P Y p (n P X 2 ( P X ) 2 )(n P Y 2 ( P Y ) 2 ). 16 / 1

17 Correlatie 17 / 1

18 Correlatie Merk op: 1 r XY 1. De Pearson correlatiecoëfficiënt is een maat voor het lineare verband tussen twee variabelen. Hoe homogener een van de variabelen over de populatie verdeeld is, hoe kleiner de absolute waarde van de Pearson correlatiecoëfficiënt wordt. De Pearson correlatiecoëfficiënt is ordinaal. 18 / 1

19 Correlatie: (facebook) vrienden Vb. Goede vrienden (x-as) tegen aantal facebook vrienden (y-as). Gemiddel aantal goede vrienden: 4.6. Gemiddeld aantal facebook vrienden: stat2b stat2a De Pearson correlatiecoëfficiënt: / 1

20 Correlatie: vrienden en zoenen Vb. Goede vrienden (x-as) tegen aantal mensen waarmee gezoend (y-as). Gemiddeld aantal mensen waarmee gezoend: 8.3. stat2c stat2a De Pearson correlatiecoëfficiënt: / 1

21 Correlatie: (eerste) zoenen Vb. Leeftijd eerste zoen (x-as) tegen aantal mensen waarmee gezoend (y-as). stat3a stat3c De Pearson correlatiecoëfficiënt: / 1

22 Correlatie: Studie versus vrij tijd Vb. Aantal ECTS vorig jaar behaald (x-as) tegen aantal uren per week besteed aan hobbies/uitgaan/werk (y-as). Gemiddeld aantal ECTS: Gemiddeld aantal uren hobbies/uitgaan/werk: stat7c stat7a De Pearson correlatiecoëfficiënt: / 1

23 Regressie 23 / 1

24 Regressie Def. Op grond van twee variabelen X en Y worden constanten a en b bepaald zodat de lijn Ŷ = bx + a zo goed mogelijk het lineare verband tussen X en Y weergeeft. Met behulp van de regressielijn kunnen de scores voor elementen uit de populatie die niet in de steekproef bevat zijn voorspeld worden. De regressiecoëfficiënt b is gedefiniëerd als: b = r s Y s X. waarbij s X en s Y de standaardafwijking van respectievelijk X en Y zijn. De regressieconstante a is gedefiniëerd als: a = Y bx. St. Voor de regressielijn is de waarde van P (Y Ŷ ) minimaal. 24 / 1

25 Regressie: schoenmaat en elleboog Vb. Schoenmaat (x-as) tegen de afstand van de binnenkant van de elleboog tot de handpalm (y-as). Pearson correlatiecoëfficiënt r = 0.47, regressieconstante a = 7.11 en regressiecoëfficiënt b = r s Y sx = stat8c stat8b 25 / 1

26 Regressie: schoenmaat en elleboog Vb. Schoenmaat (x-as) tegen de afstand van de binnenkant van de elleboog tot de handpalm (y-as). Pearson correlatiecoëfficiënt r = 0.47, regressieconstante a = 7.11 en regressiecoëfficiënt b = r s Y sx = stat8c stat8b 26 / 1

27 Regressie: vingerkootjes Vb. Lengte middelste vingerkootje (x-as) tegen lengte onderste vingerkootje (y-as). Pearson correlatiecoëfficiënt r = 0.73, regressieconstante a = en regressiecoëfficiënt b = r s Y sx = stat10c stat10b 27 / 1

28 Regressie: vingerkootjes Vb. Lengte middelste vingerkootje (x-as) tegen lengte onderste vingerkootje (y-as). Pearson correlatiecoëfficiënt r = 0.73, regressieconstante a = en regressiecoëfficiënt b = r s Y sx = stat10c stat10b 28 / 1

29 Regressie: standaardscores St. Laat Ŷ = bx + a de regressielijn van (X, Y ) zijn en r de Pearson correlatiecoëfficiënt. zŷ zijn de standaardscores van Ŷ en z X van X. Dan geldt: zŷ = rz X. 29 / 1

30 Regressie: standaardfout Def. Wanneer er n scores zijn en de Pearson correlatiecoëfficiënt is r, dan is de standaardfout van de schatting, s Y X, gedefiniëerd als de standaardafwijking van de stochast (Y Ŷ ) bij n 1 scores. D.w.z., voor Z = (Y Ŷ ): s P(Z Z) 2 s Y X = n 2. St. Wanneer er n scores zijn en de Pearson correlatiecoëfficiënt is r, dan geldt s Y X = s Y p 1 r 2 p (n 1)/(n 2). Voor grote n geldt: s Y X s Y p 1 r / 1

31 Regressie: het quartet van Anscombe Het quartet van Anscombe bestaat uit vier verzamelingen data die dezelfde statistische eigenschappen hebben, maar die verschillend zijn wanneer ze grafisch worden weergegeven. In alle vier de verzamelingen data zijn voor X (x-as) gemiddelde en variantie gelijk. Evenzo voor Y. Voor alle vier is de correlatiecoefficiënt en regressielijn gelijk. 31 / 1

32 Finis 32 / 1