WenS tweede kans Permutatiecode 0

Transcriptie

1 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Geen GSM s toegelaten: voor wie tijdens het examen aantoonbaar een GSM bij zich heeft, eindigt het examen onmiddellijk! Leg je studentenkaart duidelijk zichtbaar op je bank. Klap enkel je eigen tafeltje open. Vul, voor je begint, je voornaam, naam, studiejaar en stamnummer in in het bovenste kader van het antwoordblad. Vul vervolgens nauwgezet je stamnummer in, door de gepaste vakjes in de velden A H volledig zwart te maken. Draag er zorg voor dat je geen andere vakjes in deze velden zwart maakt. Op je opgavenblad staat een permutatiecode een getal tussen 1 en 9. Maak het corresponderende vakje zwart in veld I. Het examen telt 25 vragen. Er is slechts één correct antwoord per vraag. Elk correct antwoord levert 1 punt op, een niet-correct antwoord 0 punten: er is geen giscorrectie. De antwoorden op de vragen worden ingevuld door het gepaste vakje zwart te maken in velden 1 25 in de kolommen NET. Met wat je invult in de kolommen KLAD wordt geen rekening gehouden. Gommen en andere correctieve bewerkingen in de NET-kolommen zijn NIET TOEGELA- TEN. Wees kalm, en begin met de vragen die je het makkelijkst lijken. Check, voor je afgeeft, of je NET-kolom volledig (en naar wens) is ingevuld! 1

2 Formularium Enkele verdelingen Exponentiële verdeling Exp(z β) = 1 β e z/β voor z 0 Gamma-verdeling Ga(z α,β) = 1 β α Γ(α) zα 1 e z/β voor z > 0 Geometrische verdeling Geo(z p) = q z p voor z = 0,1,2,... Binomiale verdeling Bn(z n, p) = ( n z) p z q n z voor z = 0,1,2,...,n Poisson-verdeling Ps(z λ) = e λ λ z /z! voor z = 0,1,2,... Maximale-likelihoodschatters Exponentiële verdeling ˆB ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = x n n xn (1 x n ) Bernoulli-verdeling ˆP ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = n xn Poisson-verdeling ˆΛ ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = n Statistische testen Wald-testen met Wald-teststatistiek w en significantieniveau α 0 test kritiek gebied p-waarde eenzijdig w < z 1 α0 Φ(w) eenzijdig w > z 1 α0 Φ( w) tweezijdig w > z 1 α0 /2 2Φ( w ) Enkele courante fractielen van de standaardnormale verdeling α 100(1 α) z 1 α/2 0,001 99,9 3,29 0,005 99,5 2,81 0,010 99,0 2,58 0,050 95,0 1,96 0,100 90,0 1,64 Enkele verzamelingen van getallen N is de verzameling van alle natuurlijke getallen zonder nul. R >0 is de verzameling van alle (strikt) positieve reële getallen. R 0 is de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen. 2

3 0 z Oppervlakte onder de standaardnormale densiteit van 0 tot z z

4 α z P(X z) = α met X χν 2 verdeeld ν α α z P(X z) = α met X χν 2 verdeeld ν α

5 1 We beschouwen een urne met twee rode en drie witte ballen, en we halen op toevallige wijze vier ballen uit de urne, zonder terugplaatsing. Als je weet dat de eerste en de tweede bal een verschillende kleur hebben, wat is dan de waarschijnlijkheid dat de derde en de vierde bal ook een verschillende kleur hebben? A 4 9 B 2 3 C 3 10 D geen van de bovenstaande 2 Beschouw een toevallige steekproef X 1, X 2,..., X n van grootte n uit een exponentiële verdeling met parameter β > 0. We zijn geïnteresseerd in de parameter λ := β 2. Waaraan is de Fisher-informatie I n (λ) voor λ gelijk? A B n λ 2 n 4λ 2 C n λ D n 2λ 4 3 De verdeling van het inkomen X van een gezin kan worden beschreven door een zogenaamde Dagum-verdeling met als densiteit x 2p 1 2p f X (x) = (x 2 + 1) p+1 als x > 0 0 elders waarin p > 0 een positieve reële parameter is. We nemen een steekproef (x 1,x 2,...,x n ) van het inkomen van n gezinnen. Voor economische toepassingen is de parameter q := e 1 p belangrijk. Wat is de maximale-likelihoodschatting ˆq ML (x 1,...,x n ) voor q? A ˆq ML (x 1,...,x n ) = 1 n n i=1 x2 i (x2 i + 1) B ˆq ML (x 1,...,x n ) = n i=1 ( x 2 i ) 1 n C ˆq ML (x 1,...,x n ) = n i=1 D ˆq ML (x 1,...,x n ) = n i=1 ( ) 1 x 2 i +1 n x 2 i ( ) 1 x 2 i +1 n x 2 i 5

6 4 De bekende frituur Slowpatat doet mee aan een wedstrijd waarin bepaald wordt welke van de 5 deelnemende frituren de beste is. Voor i in {1,2,3,4,5}, noemen we A i de gebeurtenis dat Slowpatat bij de eerste i eindigt. We nemen aan dat Slowpatat een positieve waarschijnlijkheid heeft om op elk van de 5 plaatsen te eindigen. Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker vals? A P(A c 2 A 3 A 3 ) = 1 P(A 2) P(A 3 ). B P(A 3 A 1 A 2 ) < P(A 3 A 2 ). C P(A 2 A c 3 A 5) = 0. D Als P(A 3 ) = 1, dan is P(A 2 A 4 ) = P(A 2 ). 5 We beschouwen een enkelvoudige lineaire regressie van Y op X, waarbij met elke predictor x i een toevallige respons Y i overeenkomt (i = 1,2,...,n), met n > 2. We gaan ervan uit dat alle n predictoren verschillend zijn. We nemen aan dat voldaan is aan alle basisveronderstellingen van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. De maximale-likelihoodmethode geeft dan schatters ˆB 0,ML en ˆB 1,ML en schattingen ˆβ 0,ML = ˆB 0,ML (y 1,y 2,...,y n ) en ˆβ 1,ML = ˆB 1,ML (y 1,y 2,...,y n ) van het intercept β 0 en de helling β 1 in de formule Y = β 0 + β 1 X + ε. Welke van de volgende uitspraken is dan zeker waar? A De lineaire regressielijn van Y op X gaat altijd door ( x 1+x n 2, y 1+y n 2 ). B Als ˆβ 1,ML 0 dan is de lineaire regressielijn van X op Y altijd gegeven door de vergelijking x = 1 ˆβ 1,ML y ˆβ 0,ML ˆβ 1,ML. C De maximale-likelihoodschatters ˆB 0,ML en ˆB 1,ML zijn altijd onafhankelijk en normaal verdeeld. D Als de punten (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) op een rechte liggen en y 1 y 2, dan is de lineaire regressielijn van X op Y altijd dezelfde als de lineaire regressielijn van Y op X. 6

7 6 Beschouw een discrete toevallige veranderlijke X met waardenverzameling W X = {1,2,3,4,5} en een continue toevallige veranderlijke Y met een densiteit die positief is op [1,5] en 0 daarbuiten. We definiëren twee verzamelingen A en B als volgt: A = {1,2,3} en B = [1,3]. Er is geweten dat P(X A) = P(Y B). Welke van de volgende uitspraken geldt dan niet altijd? A E(I A (X) I B (Y )) = 0. B P(X A) = P(X B). C F X (3) F X (1 ) = F Y (3 ) F Y (1). D P(X {4,5}) = P(Y [4,5]). 7 De waarschijnlijkheid dat het op een willekeurige dag in Gent zonnig is, is 1/5. Annelien, een inwoonster van Gent, is een fervente celliste. Als het zonnig is in Gent, dan speelt Annelien die dag zeker cello. Als het niet zonnig is in Gent, dan is de waarschijnlijkheid dat Annelien die dag cello speelt gelijk aan 1/2. Als je weet dat Annelien cello speelde, wat is dan de waarschijnlijkheid dat het die dag zonnig was in Gent? A 1/5 B 1 C 1/3 D geen van de bovenstaande 8 Twee reële continue toevallige veranderlijken X en Y hebben een gemeenschappelijke densiteit f X,Y (x,y) die alleen van 0 verschilt voor x > 0 en y > 0. X heeft een gammaverdeling met parameters α > 0 en β > 0. Conditioneel op X = x met x > 0, is Y exponentieel verdeeld met parameter β/x. Welke van de volgende uitspraken is dan waar? A X en Y zijn onafhankelijk. B Conditioneel op Y = y, met y > 0, heeft X een gamma-verdeling. C De marginale densiteit van Y voldoet aan f Y (y) = D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. α (1+y) α voor y > 0. 7

8 9 Het aantal klanten dat binnenkomt in de winkel van Nathalie vormt een Poisson-proces met een tempo λ = 2ln5 per uur. We voeren, gedurende n = 100 openingsdagen, elke dag k het volgende (onafhankelijke) experiment uit: we bepalen de tijd T k van de opening van de winkel tot de eerste klant binnenkomt. We spreken van een succes wanneer die tijd ten hoogste een half uur bedraagt. De toevallige veranderlijke X is het aantal successen: het aantal dagen dat de eerste klant binnen het eerste half uur binnenkomt. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking 4. B X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4. C X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4. D X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking Een student van het vak Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek is vergeten bij het opstellen van het onderstaande kader-met-staafdiagram het steekproefgemiddelde x n te berekenen Een medestudent wil hem het steekproefgemiddelde niet verklappen, maar herinnert hem eraan dat de steekproef uit n 5 experimenten bestond. Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde x n is correct? A x n = 5. B x n = 6. C x n = 7. D Er zijn onvoldoende gegevens beschikbaar om x n te bepalen. 8

9 11 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven door: ( f X,Y (x,y) = α exp 1 ) 4 (x2 + y 2 ) voor (x,y) in R 2, waarbij α een normalisatieconstante is. De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = X+Y 2 en V = X Y 2. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A U en V zijn onafhankelijk. B α = 1 2π. C De toevallige veranderlijken U en X hebben identiek dezelfde verdeling. D Geen van de bovenstaande antwoorden is correct. 12 De toevallige veranderlijke X is chi-kwadraatverdeeld met v N vrijheidsgraden. Welke begrenzing op P(X < 2E(X)) volgt uit de Markov-ongelijkheid? Hint: We bedoelen wel degelijk de Markov-ongelijkheid, en niet de Chebyshevongelijkheid. A P(X < 2E(X)) 1 2 B P(X < 2E(X)) 1 2 C P(X < 2E(X)) 1 4v D geen van de bovenstaande 13 We nemen een steekproef met grootte n = 10 uit een normale verdeling met parameters µ en σ 2. We weten dat 10 k=1 x k = 100 en 10 k=1 x2 k = Welke van de volgende intervallen geeft dan een exact eenzijdig 95% betrouwbaarheidsinterval voor σ 2? A [0; 63, 452) B [0; 67, 669) C [0; 13, 299) D [0; 13, 656) 9

10 14 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van een reële toevallige veranderlijke X getekend. F X (x) 1 3/4 1/2 1/ x Welke van de onderstaande gebeurtenissen heeft de grootste waarschijnlijkheid? A X < 1 B X = 3 C (X 3) 2 1 D X (3,4] 15 Een toevallige veranderlijke X heeft momentenfunctie M X (t) = e k(et 1), waarin k > 0 een positieve reële parameter is. Waaraan is cov(2 X,3 X ) gelijk? A e 4k e 3k B e 5k e 3k C 2k D e 2k 10

11 16 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld. 2p p E A 1 3 B C D p is een parameter die alle waarden in het interval (0, 1 2 ) kan aannemen. Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar? A P(A E) ( 1 2,1). B P(B C D E c ) = p. C P(A c (D E)) = 2 3 p2. D P(B c ) > Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De (enige) speler begint met score S 0 = 1. In elke ronde wordt een faire dobbelsteen opgegooid. De score S i na ronde i is de vermenigvuldiging van S i 1 en het gegooide aantal ogen, voor i N. Het spel stopt zodra de score een even getal is. De toevallige veranderlijke T is het aantal gespeelde rondes. Wat is de verwachtingswaarde E(T ) van het aantal gespeelde rondes T? A + B 2 C 1 D geen van de bovenstaande 11

12 18 Het volgende stukje Matlab-code genereert een realisatie van een toevallige veranderlijke X. X = gammaquantile ( rand (1),2,3) Hierin geeft de functie gammaquantile(z,alpha,beta) het z-fractiel van de gammaverdeling met parameters α = alpha en β = beta. Waaraan is de variantie var(x) van X gelijk? A 1 12 B 6 C 12 D geen van de bovenstaande 19 Beschouw een toevallige steekproef X 1,..., X 20 van grootte 20 uit een standaardnormale verdeling. Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde X 20 en de steekproefvariantie S20 2 is niet correct? A E(S20 2 ) = 1. B (X 20 ) 2 en S20 2 zijn ongecorreleerd. C X 20 heeft een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie D S 2 20 heeft een χ2 -verdeling met 19 vrijheidsgraden. 20 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven door: { α als 1 f X,Y (x,y) = 4 x2 + y elders, waarbij α een normalisatieconstante is. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A α = 16 15π. B P(X > Y 2 ) 1 2. C X en Y zijn onafhankelijk. D P(XY > 0) =

13 21 De kinetische energie E kin = 1 2 mv 2 van een eendimensionaal deeltje met gekende massa m in een ideaal gas is een toevallige veranderlijke. Dat betekent dat ook zijn snelheid V een toevallige veranderlijke is. De wet van Maxwell Boltzmann impliceert dat 2E kin kt χ 2 -verdeeld is met één vrijheidsgraad. Hierin is k de constante van Boltzmann, en T de absolute temperatuur van het ideale gas (in Kelvin). Welke van de volgende uitspraken kan correct zijn voor alle waarden van T? A V is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 0 en variantie kt m. B V 2 is χ 2 -verdeeld met één vrijheidsgraad. C E(E kin ) = kt. D var(e kin ) = (kt ) De toevallige veranderlijke X is Poisson-verdeeld met parameter λ = 1 en de toevallige veranderlijke Y is geometrisch verdeeld met parameter p = 1/2. Verder is gegeven dat X en Y ongecorreleerd zijn en dat bovendien ook X 2 en Y 2 ongecorreleerd zijn. Waaraan is var(xy ) gelijk? A 0 B 2 C 5 D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden. 13

14 23 In een peiling door de afdeling Landbouw en Visserij van de Vlaamse Overheid werd in mei 2013 aan n = 750 landbouwbedrijven gevraagd of ze tussen 1 juli en 31 december 2013 investeringen zouden doen. 270 bedrijven beantwoordden deze vraag positief. We willen met deze peiling iets kunnen besluiten over de nulhypothese dat in de laatste 6 maanden van 2013 niet meer dan p 0 = 35% van alle Vlaamse landbouwbedrijven investeringen zullen doen. Hiervoor gebruiken we een (alternatieve) Wald-teststatistiek, waarbij we de standaardfout se 0 onder de nulhypothese p = p 0 gebruiken. Het significantieniveau α 0 waarmee we testen is 5%. Met x i = 1 als het i-de landbouwbedrijf investeert in de laatste 6 maanden van 2013 en x i = 0 als het niet investeert, geeft de volgende tabel de gegevens weer: n n i=1 x i p 0 H 0 α % p p 0 5% Welke van de volgende uitspraken is de correcte? A H 0 wordt verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 56,6%. B H 0 wordt niet verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 28,3%. C H 0 wordt verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 28,3%. D H 0 wordt niet verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 56,6%. 14

15 24 We doen een hypothesetest over de verwachtingswaarde µ van een normaal verdeelde veranderlijke X, waarvan we weten dat var(x) = 1. We weten ook dat de verwachtingswaarde µ van X ofwel gelijk is aan µ 0, ofwel gelijk is aan µ 2 (met µ 2 > µ 0, zie de onderstaande figuur), ofwel gelijk is aan µ 1 := 2µ 0+µ 2 3. De nulhypothese H 0 en de alternatieve hypothese H 1 zien er als volgt uit: H 0 : µ {µ 0, µ 2 }, H 1 : µ = µ 1. In de figuur zijn ook drie verschillende aanvaardingsgebieden AG1, AG2 en AG3 getekend, die overeenkomen met de respectieve testen δ 1, δ 2 en δ 3. We zijn geïnteresseerd in de sterkte S i := 1 β(δ i ) voor elk van de testen δ i, met i in {1,2,3}. µ 0 µ 1 µ 2 AG1 AG3 AG2 Welke van de onderstaande ongelijkheden geldt niet? A S 2 > S 3 B S 1 > S 2 + S 3 C S 1 > S 3 D S 2 > S 1 25 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, en een waarschijnlijkheidsmaat P gedefinieerd op deze gebeurtenissen, waarvoor P(B) > 0. Welke van de onderstaande uitspraken is altijd waar? A Als A en B logisch onafhankelijk zijn, dan geldt P(A B) = P(A)P(B). B Als A en B logisch onafhankelijk, B en C logisch onafhankelijk en A en C logisch onafhankelijk zijn, dan zijn A, B en C logisch onafhankelijk. C Als P(A) = P(A B), dan zijn A en B logisch onafhankelijk. D Als A, B en C logisch onafhankelijk zijn, dan zijn A C en B logisch onafhankelijk. 15