Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N of I). Het is toegestaan een (grafische) rekenmachine te gebruiken.

Transcriptie

1 Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135 Faculteit FNWI 655 AJ Nijmegen Examen NWI-NBB Inleiding Kansrekening 1 januari 1 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting W, N of I). Het is toegestaan een grafische) rekenmachine te gebruiken. 1. We beschouwen een rij onafhankelijke continue stochasten X 1, X,..., die allen verdeeld zijn volgens de dichtheid { 3 fx) = x als x [, 1] als x R \ [, 1]. De onderdelen van deze opgave zijn allemaal los van elkaar te maken! a) Wat is de kans dat van de tien stochasten X 1,..., X 1 er of meer een waarde krijgen kleiner dan 1? Als het u niet lukt om PX 1 < 1 ) te bepalen, neem dan aan dat PX 1 < 1 ) = 1. b) Definieer Y = X 3/ 1. Geef de verdeling van Y. c) Definieer 1 S = X i. i=1 Benader de kans dat S groter is dan 65, dus PS 65).. We leggen de 5 kaarten van een goed geschud pak naast elkaar op een tafel. We definiëren X als het aantal rijtjes met opeenvolgende kaarten van dezelfde kleur schoppen, harten, ruiten of klaveren; er zijn 13 kaarten van elke kleur). Voorbeeld: in het rijtje kaarten met kleuren RRHRRSKKH zitten 6 rijtjes van opeenvolgende kaarten met dezelfde kleur. a) Bereken PX = ). b) Bereken EX). Hint: merk op dat X gelijk is aan het aantal kleurwisselingen in de rij plus één. 3. We gooien met een eerlijke munt, en zetten een pion een stap vooruit bij kop, en twee stappen vooruit bij munt. Als we de i de worp dus definiëren als U i dus PU i = 1) = PU i = ) = 1/), dan is de positie van de pion na de n de worp gegeven door n X n = U i. We zijn geïnteresseerd in de gebeurtenissen voor k 1. i=1 A k = { n 1 : X n = k},

2 a) Zijn de gebeurtenissen A 1 en A onafhankelijk? Bewijs uw uitspraak! b) Definieer p k = PA k ). Laat zien dat voor k 1, p k = ) k. Merk op dat lim k p k = /3; kunt u dit op een eenvoudige manier verklaren? Hint voor het berekenen van p k : leid met behulp van conditionering een recursieve betrekking af voor het rijtje p k. c) Verklaar waarom PA k+m A k ) = PA m ). Definieer B k = 1 wanneer A k optreedt, en anders B k = B k is dus de indicatorfunctie van de gebeurtenis A k ). Bewijs dat CovB k, B k+m ) = 1 ) m k ) 1 ) ) k+1.

3 a Tabel 1: Right tail probabilities 1 Φa) = P Z a) of the N, 1)-variabe Z.

4 Full solutions: 1a Er geldt PX 1 1 ) = 1 3 x dx = [x 3/] 1 = 1 8. Het aantal van de tien stochasten dat dus een waarde kleiner dan 1 krijgt, is Bin1, 1 8 ) verdeeld. De kans op of meer is dus: 1 ) ) 1 8 ) 1 ) 7 9 = In het geval een student ten onrechte) PX 1 < 1 ) = 1 heeft genomen, dan krijgen we 1 ) ) 1 1b Beschouw voor t [, 1] de verdelingsfunctie F Y t): F Y t) = PY t) ) 1 ) 3 9 =.756. = PX 3/ 1 t) = PX 1 t /3 ) t /3 3 = x dx = [x 3/] t /3 = t. Dit laat zien dat Y een U[, 1] verdeling heeft! 1c We gaan de centrale limiet stelling gebruiken, en hiertoe rekenen we eerst EX 1 ) en VarX 1 ) uit: EX 1 ) = = 1 = 3 5. xfx) dx 3 x3/ dx Verder: EX 1) = = 1 = 3 7. x fx) dx 3 x5/ dx

5 Dus VarX 1 ) = = Dus ES) = 6 en VarS) = 1/175. We weten dat de som van een groot aantal onafhankelijke en gelijk verdeelde stochasten ongeveer normaal verdeeld is. Dit betekent: PS 65) P N6, 1 ) 175 ) 65 ) 65 6 = P N, 1) 1/175 = PN, 1) 1.91) =.8. a De enige manier waarop X =, is als alle kaarten van dezelfde kleur bij elkaar liggen. Er zijn! mogelijke kleurvolgordes, en binnen elke kleur kunnen we de kaarten op 13! manieren neerleggen, dus de kans is!13!) /5! = b De hint suggereert om te kijken naar de kans dat de i de kaart een kleurwisseling was voor i 5). Dit betekent dus dat de i de kaart een andere kleur moet hebben dan de kaart op positie i 1. Aangezien we alleen maar naar deze twee kaarten hoeven te kijken, hangt deze kans dus niet af van i! De kans dat de tweede kaart een andere kleur heeft dan de eerste, is gelijk aan 39/51 van de overgebleven 51 kaarten hebben er 39 een andere kleur dan de eerste kaart). Dit betekent dat het verwachte aantal kleurwisselingen gelijk is aan 51 39/51 = 39. Dus EX) =. 3a Er geldt PA 1 ) = PU 1 = 1) = 1/ en PA ) = PA c 1 )+PA 1) PU = 1) = 3/. Verder geldt dat A 1 A alleen optreedt als U 1 = U = 1, dus PA 1 A ) = 1/ PA 1 )PA ). A 1 en A zijn dus afhankelijk. Andere methode: PA A 1 ) = 1 PA ). 3b Er geldt: Definieer nu q k = Verder geldt p k = PA k1 ) 1 + PAc k1 ) = 1 p k1 + 1 p k1 ) = 1 1 p k1. 1 ) k. We weten dat p1 = 1/, en er geldt ook dat q 1 = 1/. 1 1 q k1 = ) k1 6 = ) k 3 = q k. Nu volgt met inductie dat p k = q k. De snelheid van de pion is in verwachting gelijk aan 3/, dus in n stappen staat de pion rond positie 3/)n als n groot is). Dit betekent dat n van de 3/)n posities geraakt zijn, dus /3 van het totaal.

6 3c Als we conditioneren op A k, dan weten we dus dat de pion ooit op positie k heeft gestaan. Vanaf dat moment moet die pion precies m stappen naar rechts doen om uit te komen in m + k, en dat heeft dus dezelfde kans als dat hij in begint en een keer positie m moet bezoeken. Met andere woorden, PA k+m A k ) = PA m ). We weten dat B k en B m+k alternerende stochasten zijn met PB k = 1) = p k en PB k+m = 1) = p k+m. Dus Ook geldt Dus EB k ) = p k en EB k+m ) = p k+m. EB k B k+m ) = PA k A k+m ) = PA k+m A k )PA k ) = p m p k. CovB k, B k+m ) = p m p k p k p m+k = ) k + 1 ) m ) m+k ) k + 1 ) k+m = 1 ) m 1 1 ) m+k 1 1 ) k+m ) ) k+1 = 9 1 ) m ) k ) ) k+m