Inhoud casus blok 4. Analyse van een woordspel. Introductie 7

Transcriptie

1 Inhoud casus blok 4 Analyse van een woordspel Introductie 7 1 Iets over het spel... en de knikkers 7 2 Algemene opzet van het computerprogramma 8 3 De delen van het computerprogramma 9 4 Conclusies 13 6

2 Casus blok 4 Analyse van een woordspel I N T R O D U C T I E Lingo Logica In deze casus bestuderen we enige aspecten van het woordspel Lingo, in het bijzonder de regels die ten grondslag liggen aan een computerprogramma dat de score bij ieder voorgesteld woord aangeeft. Inzicht in deze regels en hun onderlinge relaties is nodig voor het maken van een programma dat automatisch deze score geeft. Net als bij de analyse van veel andere onderwerpen, blijkt de logica, het onderwerp van dit blok, hier van groot belang. 1 Iets over het spel... en de knikkers Bij Lingo, een spel dat bijna dagelijks op tv wordt uitgezonden, moet een woord van een beperkt aantal letters, waarvan alleen de beginletter gegeven is, in een beperkt aantal beurten geraden worden. In ons voorbeeld gaat het om vijf letters en vijf beurten. Elke poging moet met de opgegeven letter beginnen en een goed Nederlands woord, maar geen eigennaam zijn. Dus arend en lopen zijn toegestaan, maar daren en Breda niet. De speler kan dit geheime lingo-woord alleen maar vinden (afgezien van het doen van een gelukkige gok) doordat de spelleider na elke poging bekend maakt welke letters van het voorgestelde woord geheel juist zijn en welke letters in het gezochte woord op een andere plaats voorkomen. Op die manier weet de speler allengs meer letters van het lingo-woord en ook welke letters zeker niet in dit woord zitten, en daardoor weet zij of hij welke letters nog geprobeerd kunnen worden. Een voorbeeld van hoe dit spel kan verlopen, zien we in figuur 1. Op de eerste regel staat de gegeven letter w, op de overige regels drie achtereenvolgende pogingen het lingo-woord te raden. Nadat het voorgestelde woord is gezegd, gespeld en ingetypt, wordt bekend gemaakt welke letters voorkomen en welke ook nog goed geplaatst zijn. Een omkaderde letter drukt uit dat die letter op de goede plaats staat, en een onderstreepte letter dat die wel voorkomt, maar nog op een verkeerde plaats staat. Geheel foute letters worden doorgestreept. Bij de derde poging OUN 7

3 Discrete wiskunde A blijken alle letters helemaal goed te staan: het lingo-woord is gevonden! (Vervolgens worden in de tv-uitzending genummerde of gekleurde ballen getrokken, maar aan dat facet besteden we hier geen aandacht.) FIGUUR 1 Hoe wraak in 3 beurten gevonden wordt OPGAVE 1 Neem aan dat het lingo-woord tango is en geef dan voor de pogingen in figuur 2 aan welke letters goed geplaatst zijn of op een andere plaats voorkomen, zoals in figuur 1. FIGUUR 2 Geef de score aan De controle op goede en voorkomende letters voert de spelleider niet zelf uit: deze gebruikt daar een computer bij, die voor dit doel geprogrammeerd is. Ook zijn er diverse gratis verkrijgbare computerprogramma s voor Lingo op de markt, die ook als spelleider fungeren. In deze casus gaan we eens uitzoeken hoe zo n computerprogramma er uit kan zien. Omdat leren programmeren geen doelstelling van deze cursus is, zullen we ons vooral bezig houden met het ontdekken van de gevolgde regels bij de controle. Bij deze analyse van de taak van de spelleider en de formulering daarvan zullen we terloops met logica te maken krijgen. 2 Algemene opzet van het computerprogramma Het eerste wat het programma moet doen is een goed Nederlands woord van 5 letters verzinnen. Dat doet het doordat het de beschikking heeft over een bestand (een lijst) van enige duizenden Nederlandse vijfletterige woorden en daar een willekeurige keuze uit doet. OPGAVE 2 (Aanw) Voor een willekeurige keuze is het in feite voldoende als het computerprogramma een keuze doet waarvan de speler niet weet hoe die tot stand komt. Neem aan dat de woorden in een genummerde lijst van 4031 elementen zijn geordend. Verzin nu een manier om een woord te kiezen door de speler één of meer getallen te laten zeggen. Hoe het willekeurig kiezen bij Lingo precies in z n werk gaat, is niet iets waar we hier dieper op in gaan. 8 OUN

4 Casus blok 4 Analyse van een woordspel Het willekeurig gekozen woord wordt apart opgeslagen en zorgvuldig geheim gehouden. Nu is het de beurt aan de speler om te proberen dit lingowoord te raden. Bij elke poging moet het programma controleren of het voorgestelde woord een goed Nederlands woord is van vijf letters en geen eigennaam is, of de beginletter juist is, welke letters voorkomen en welke op de goede plaats staan. Controleren of het voorgestelde woord goed Nederlands is, vijf tekens lang en geen eigennaam is, komt hier overeen met kijken of het woord in de lijst voorkomt: die bestaat alleen uit zulke woorden. Bovendien zal de lijst omvangrijk moeten zijn: nagenoeg alle (meest gangbare) woorden die aan voorgaande eisen voldoen, moeten erin zitten het mooiste is als de woordenlijst van het programma naar believen kan worden aangevuld, zoals op pc-versies gebruikelijk is. OPGAVE 3 (Aanw) We gaan weer uit van een lijst van enige duizenden Nederlandse woorden die vijf letters lang en geen eigennaam zijn. Stel dat we kleine computerprogrammaatjes (zogenaamde procedures) hebben die de volgende testen uitvoeren: 1 Komt het voorgestelde woord in de lijst voor? 2 Klopt de beginletter van het voorgestelde woord? 3 Welke letters van het voorgestelde woord komen ook in het lingowoord voor, maar staan niet op de goede plaats? 4 Welke letters van het voorgestelde woord staan op de goede plaats? Beantwoord nu de volgende vragen. a Welke van de procedures 1 en 2 kost in het algemeen het meeste tijd? Maakt het hiervoor nog uit hoe de woorden in de lijst geordend zijn? b Welke van de procedures 3 en 4 veronderstelt dat de andere al is uitgevoerd? c Niet elke volgorde waarin deze procedures worden uitgevoerd, is even handig en even snel. Wat is de beste volgorde? Dit zijn de belangrijkste delen van het spelleiderprogramma. Een punt dat wel gecontroleerd moet worden, maar waar we in deze casus verder van afzien, is het tellen van het aantal beurten: er mogen maar vijf pogingen gedaan worden. (Bij het tv-spel moeten zelfs steeds verschillende pogingen gedaan worden, zodat dus ook alle voorafgaande pogingen moeten worden bijgehouden. Dit leidt slechts af van de hoofdzaak, en daarom laten we het hier rusten.) We gaan nu wat beter kijken naar de details van de controle. 3 De delen van het computerprogramma We proberen nu de verschillende delen van de controle in precieze regels te vangen. Deze regels zijn nog geen opdrachten uit het programma, maar kunnen helpen de procedures te schrijven. Kijken of een woord is toegestaan, komt in feite neer op de volgende regel. Wanneer is een poging toegestaan? Als bij een poging de beginletter goed is en het een woord uit de lijst is, dan is het een toegestane poging. OUN 9

5 Discrete wiskunde A Merk op dat het voor deze regel niet uitmaakt of we eerst kijken of de beginletter goed is en dan pas of het in de woordenlijst voorkomt, of omgekeerd. Zoals we bij opgave 3 hebben gezien, maakt het voor het programma nu juist wél veel uit in welke volgorde de procedures worden uitgevoerd. Kijken we alleen naar de manier waarop het programma wordt uitgevoerd, dan wordt dit de procedurele interpretatie genoemd. Kijken we alleen naar de waarheid van een regel als hiervoor, dan wordt dit de logische of declaratieve interpretatie genoemd. Voor een logische programmeertaal als Prolog spelen beide aspecten (declaratief en procedureel) een grote rol, maar ook bij een niet-logische programmeertaal als Pascal zijn beide aspecten wel degelijk te onderkennen. De voorgaande regel is op zich wel juist, maar voor een precieze beschrijving zoals nodig om de regel in een computerprogramma te verwerken, is hij te vaag (wat is dan het woord, hoe komen we aan de beginletter ervan, enzovoort) en bevat een te groot aantal verschillende begrippen. We moeten dus bezuinigen op de gebruikte begrippen en ook meer precisie bereiken. Wat is bijvoorbeeld de beginletter van de poging? Tja, dat hangt ervan af wat de poging was! Maar hoe kunnen we nu zeggen dat die beginletter goed was als we niet eens kunnen zeggen wát die beginletter was? Dat doen we door de beginletter een naam te geven: x 1. Met x 1 duiden we dus een willekeurige letter van het alfabet aan, dat wil zeggen een element van de verzameling {a, b, c,..., x, y, z}. En evenzo voor de overige letters in het voorgestelde woord: x 2, x 3, x 4, x 5. Als nu bijvoorbeeld het woord tafel wordt voorgesteld, dan is de 5-tupel (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging waarbij x 1 = t, x 2 = a, x 3 = f, x 4 = e en x 5 = l. We kunnen nu de eerdere regel preciseren. Regel A Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging is, x 1 goed is en (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een woord uit de lijst is, dan is (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een toegestane poging. Verderop in dit blok leren we een notatie om dit soort uitspraken veel korter weer te geven. De omkering van voorgaande regel geldt ook, dat wil zeggen: de noodzakelijke voorwaarde dan is... een toegestane poging is ook een voldoende voorwaarde: Regel B Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een toegestane poging is, dan is (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging, is x 1 goed en is (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een woord uit de lijst. Deze twee regels kunnen we samennemen als: Regel C (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) is een toegestane poging dan en slechts dan als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging is, x 1 goed is en (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een woord uit de lijst is. OPGAVE 4 In welke gevallen is een rijtje letters niet toegestaan? 10 OUN

6 Casus blok 4 Analyse van een woordspel Met behulp van de regel voor de eigenschap toegestane poging uit regel A, komen we nu aan een volgende belangrijke handeling van het computerprogramma: melden wanneer een poging niet toegestaan is. De regel die aan de speler meldt dat een poging niet is toegestaan, kan er zo uitzien: Regel D Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging is en (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) is niet toegestaan, schrijf dan: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) is niet toegestaan. Wanneer een poging wel is toegestaan, hoeven we dat natuurlijk niet te melden: dan moet de speler alleen maar over de goede en foute letters geïnformeerd worden. Welke letters zijn helemaal goed? Regel E Een volgende stap is te achterhalen welke letters goed zijn. Bij de eis op de beginletter was al nodig om te kijken of een letterrijtje toegestaan was, maar dat geeft niet: we hoeven ons niet over alles tegelijkertijd druk te maken. Deftiger gezegd: we kunnen de verschillende procedures afzonderlijk behandelen, zolang we maar niet in een vicieuze cirkel terecht komen. Om te zeggen dat een letter goed is, moeten we de poging letter voor letter vergelijken met het lingo-woord. Ook dit lingowoord moeten we op een algemene manier voorstellen, en omdat we (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) al voor de poging gebruiken, hebben we daar andere symbolen voor nodig: bijvoorbeeld (l 1, l 2, l 3, l 4, l 5 ). Ook willen we niet alleen over een willekeurige letter op een bepaalde plaats (zeg l 3 ) praten, maar over een willekeurige letter op een willekeurige plaats. Met x i en l i bedoelen we daarom een willekeurige letter (van respectievelijk de poging en het lingowoord) op plaats i. De regel voor goed geplaatst zou nu als volgt kunnen luiden: Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging is en (l 1, l 2, l 3, l 4, l 5 ) is het lingowoord, en x i = l i, dan is x i op plaats i goed. OPGAVE 5 Waarom staat er in regel E op plaats i? Wanneer het programma aldus de goede letters gevonden heeft, moet dat aan de speler gemeld worden. We doen dat hier door een simpele schrijfopdracht (in de figuren hebben we de goede letters omkaderd): Regel F Komt een letter voor in het lingowoord? Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een toegestane poging is en x i op plaats i is goed, schrijf dan: x i op plaats i is goed. Daarna moet het computerprogramma zeggen welke letters wel voorkomen, maar nog niet op de goede plaats staan. We zullen dit kortweg (elders) voorkomen noemen. Het geven van correcte regels voor (elders) voorkomen is beduidend minder makkelijk dan voor de eerdere regels het geval was. We gaan in het vervolg deze regels stap voor stap benaderen. Een simpel idee is dat (het programma zegt dat) een letter elders voorkomt als het op die plaats niet goed is, maar wel op een andere plaats in het lingowoord voorkomt: OUN 11

7 Discrete wiskunde A Regel G Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging is en (l 1, l 2, l 3, l 4, l 5 ) is het lingowoord, en x i is op plaats i niet goed en x i = l j, dan komt de x i van plaats i elders voor. OPGAVE 6 Moeten we bij regel G niet eisen dat i j? Regel G lijkt volkomen bevredigend en voldoet wel bij een voorbeeld als in figuur 1. Maar wanneer in een poging dezelfde letter meermalen voorkomt, kan het mis gaan. OPGAVE 7 Neem karig als lingowoord, en bekijk nu de pogingen kaart en kwaad. a Geef aan welke uitslagen de tot dusverre besproken regels zouden geven. b Wat is hier fout aan? c Verzin een lingowoord waarop dit wel de juiste uitslagen zouden zijn. d Waardoor ontstaat de fout bij de poging kaart? e Welke aanvulling op regel G zorgt ervoor dat dit probleem bij de poging kaart wordt opgelost? OPGAVE 8 Hoe luidt deze voorwaarde? Voor kwaad is hiermee het probleem nog niet opgelost. Een meer algemene oplossing is gelegen in een vergelijking van het aantal keren dat een bepaalde letter uit de poging wel in het lingowoord aanwezig, maar nog niet juist geplaatst is, en het aantal keren dat dezelfde letter nog in het lingowoord voorkomt buiten de plaatsen waarop het in de bewuste poging al geraden is. Dit levert een voorwaarde die we aan regel G kunnen toevoegen. OPGAVE 9 Geef nu zelf de schrijfregel H voor elders voorkomen. Het aantal keren dat eenzelfde letter uit een toegestane poging in het lingowoord kan voorkomen zonder op de goede plaats te staan, valt gelukkig erg mee: dit kan in één toegestane poging niet meer dan twee maal dezelfde letter zijn. OPGAVE 10 (Aanw) a Geef een voorbeeld van een lingowoord en een toegestane poging waarbij de toegestane poging twee maal dezelfde letter bevat die in het lingowoord twee maal elders voorkomt. b Bewijs dat in elke poging het aantal keren dat eenzelfde letter elders voorkomt, hoogstens 2 is. Wanneer is het spel afgelopen? Aan het einde van een spel moet nog bekend worden gemaakt wat nu de uitslag was. Als we geen grens aan het aantal pogingen stellen, dan zijn er maar twee mogelijke uitslagen: ofwel het woord is gevonden, ofwel het woord is niet gevonden. Bij het tv-spel verliest men de beurt wanneer 12 OUN

8 Casus blok 4 Analyse van een woordspel men een woord voorstelt dat niet toegestaan is (bij sommige pc-versies mag men dan nog wel doorgaan) of wanneer men niet binnen de tijd antwoordt. De regel die dit weergeeft, laten we achterwege. Wanneer het woord wel gevonden is, moet dit uiteraard worden gemeld. Regel I Kunnen we de computer ook zelf laten spelen? Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een poging is en voor alle i is x i op plaats i goed, schrijf dan: U hebt het woord geraden! Een geheel andere doelstelling dan het helpen van de spelleider is het maken van een programma dat de computer zelf Lingo kan laten spelen, waarbij de mens (of een andere computer!) als spelleider optreedt. Dit is qua programmatuur zeker lastiger, omdat (om maar één punt te noemen) we nu echt alle voorafgaande pogingen plus hun uitslagen moeten bewaren. Het kán overigens wel: zulke programma s bestaan al. Het is zelfs mogelijk een programma te schrijven dat heel logisch van aard is, en gebruik maakt van het spelleiderprogramma waarvan we hier de grote lijn hebben ontdekt. Hieraan ligt een aardig idee ten grondslag: probeer steeds een poging te verzinnen die het lingowoord zou kunnen zijn, omdat het precies de resultaten op de eerdere pogingen als uitslag zou geven die we te zien hebben gekregen. Kortom, de nieuwe poging moet niet strijdig zijn met de eerdere uitslagen. Deze op zich voor de hand liggende methode, die in de praktijk ook vaak wordt gebruikt, vertoont echter een manco: ze is soms domweg niet snel genoeg. In bepaalde gevallen zijn vijf pogingen dan niet voldoende, zoals in het spel van figuur 3. FIGUUR 3 Een beruchte valkuil... Er resteert nóg een mogelijkheid voor de middelste letter: r. Om dit soort valkuilen te vermijden, is het soms efficiënter onlogische pogingen te doen, waarbij woorden worden voorgesteld waarvan men al weet dat ze niet het lingowoord kunnen zijn, alleen maar om zoveel mogelijk verschillende letters uit te proberen. Het is een interessant probleem of het woord zo altijd binnen 5 beurten gevonden kan worden, maar daar gaan we verder niet op in. 4 Conclusies De hiervoor ontdekte regels kunnen gebruikt worden bij het opstellen van een programma dat uitrekent wat de score is bij een bepaalde poging. Hierbij worden de volgende vragen correct en uitputtend beantwoord: Is het woord toegestaan? Welke letters zijn goed geplaatst? Welke letters komen voor, maar zijn niet goed geplaatst? Zo n stel regels is dus nog niet het computerprogramma, maar kan wel helpen bij het programmeren. OUN 13

9 Discrete wiskunde A OPGAVE 11 Welk stel regels (uit de tekst en uit de opgaven) geeft een volledige beschrijving van de controle ten aanzien van de voorgaande vragen en bevat geen overbodige regels? Wat we in deze casus stilletjes aan al gedaan hebben (kijken of we regels kunnen omkeren, of alle voorwaarden echt nodig zijn, of we regels kunnen samennemen, enzovoort), gaan we verderop in dit blok uitgebreider bekijken. Ook leren we dan een notatie om zulke regels veel korter op te schrijven. Deze korte notatie is niet alleen overzichtelijker, maar maakt het ook handiger met zulke regels te rekenen : dan kunnen we bijvoorbeeld gewoon bewijzen dat twee op het oog verschillende regels op hetzelfde neerkomen, of dat de ene regel de andere tot gevolg heeft. 14 OUN

10 Terugkoppelingen T E R U G K O P P E L I N G C A S U S B L O K 4 Uitwerking van de opgaven 1 De controle verloopt als in figuur 4. FIGUUR 4 Van tukje naar tango 2 We mogen aannemen dat de items in de lijst opvolgend genummerd zijn, zeg van 0 tot en met Eén oplossing is: de speler een (nog niet eerder gekozen) getal x boven de miljoen te laten kiezen en dan x mod 4031 te berekenen en het woord te kiezen dat bij dat getal hoort. Omdat de speler niet weet dat deze formule in het programma zit en het aantal items in de lijst niet kent, zal deze daar niet makkelijk achter komen. Een andere oplossing is de speler twee getallen (x en y) tussen 100 en 1000 te laten zeggen en dan (x y) mod 4031 te berekenen (in plaats van x y is iedere andere veelterm, zoals x 2 + 3xy + 7y 2, ook goed). Niet goed is uiteraard de speler een getal onder de 4031 te laten kiezen: wanneer de lijst bijvoorbeeld alfabetisch geordend is, zou de speler zo al snel erachter kunnen komen hoe het willekeurige woord gekozen is. 3 a Kijken of de beginletter correct is, kan door één keer twee letters te vergelijken. Kijken of het voorgestelde woord in de lijst voorkomt, zal zelfs in het gunstigste geval meer stappen vergen: 5 keer twee letters vergelijken als het woord als eerste in de lijst voorkomt. En in het ongunstigste geval zijn veel meer stappen nodig. Hoeveel stappen dit precies zijn, hangt af van de structuur van het woordenbestand: in een alfabetische lijst is meestal sneller iets te vinden dan in een lijst die naar willekeur is samengesteld. Procedure 1 kost dus de meeste tijd. b We moeten eerst weten welke letters goed zijn, om te kunnen zeggen welke voorkomen maar niet goed geplaatst zijn, dus 3 moet na 4 worden uitgevoerd. c Uit a blijkt dat 2 aan 1 vooraf moet gaan: als de beginletter namelijk niet klopt, dan krijgen we zo veel sneller een antwoord. Omdat het weinig zin heeft goede of voorkomende letters aan te geven wanneer de poging moet worden afgekeurd, moeten 1 en 2 aan 3 en 4 voorafgaan. Alles bij elkaar geeft dit de volgorde: Uit regel A blijkt dat een poging niet is toegestaan als het niet aan tenminste één van de andere twee voorwaarden in deze regel voldoet. Immers, als de poging wél de goede beginletter had en in de woordenlijst voorkwam, dan zou het een toegestane poging zijn geweest. Dus er zijn drie mogelijkheden: 1 De beginletter is niet goed, maar het woord komt wel in de lijst voor. 2 De beginletter is goed, maar het woord komt niet in de lijst voor. 3 De beginletter is niet goed en het woord zit ook niet in de lijst. OUN 133

11 Discrete wiskunde A 5 De variabele x i heeft altijd een bepaalde waarde, zeg om de gedachten te bepalen: de letter k. Maar het is best mogelijk dat de poging twee keer die letter bevat, bijvoorbeeld in kruik, en dan moet het programma (en de speler!) wel weten welk voorkomen van de k dan wel goed is. 6 Nee, die eis is overbodig, want i j volgt al uit de andere voorwaarden. Immers, als i gelijk zou zijn aan j en x i = l j, dan zou x i op plaats i goed moeten zijn. 7 a Regel G zou (samen met de overige regels, waaronder een schrijfregel voor elders voorkomen ) bij lingowoord karig de volgende ondeugdelijke resultaten geven: FIGUUR 5 b Om het de speler mogelijk te maken uit te vinden hoe vaak een bepaalde letter in het lingowoord voorkomt, wil men deze uitslagen alleen toestaan wanneer de letter ook echt twee keer in het lingowoord voorkomt. c Bijvoorbeeld het lingowoord karma. d Bij kaart komt dit doordat regel G geen rekening houdt met de mogelijkheid dat x i ook op plaats j kan staan en dan goed is. e Voeg aan de voorwaarde toe: en x j op plaats j is niet goed. 8 Het aantal keren dat we van eenzelfde letter in een poging aangeven dat die elders voorkomt, moet kleiner dan of gelijk zijn aan het aantal keren dat dezelfde letter in het lingowoord voorkomt buiten de plaatsen waarop het in de bewuste poging al geraden is. 9 Als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) een toegestane poging is en x i van plaats i komt elders voor, schrijf dan: x i van plaats i komt elders voor. 10 a Een voorbeeld is de poging vrede, als het lingowoord vezel is. De twee e s uit de poging komen in het lingowoord op andere plaatsen voor. b Stel dat in een poging één en dezelfde letter drie of meer keer elders in het lingowoord zou voorkomen. Dan kunnen we snel inzien dat dit onmogelijk is, omdat in het lingowoord die letter dan op ten minste drie andere plaatsen zou staan, zodat het lingowoord ten minste 6 letters lang is, wat bij de spelvorm die we in deze casus bekijken, niet het geval is. 11 De regels A t/m I geven een volledige beschrijving; alleen de regels A en B (of regel C) kunnen gemist worden. Merk nog op dat regel B (of C) vereist is om regel D te voeden in het geval een poging niet blijkt te zijn toegestaan. 134 OUN

12 Inhoud leereenheid 9 Propositielogica Introductie 17 Leerkern Wat is propositielogica? De taal van de propositielogica Formules en bereik Waarheidstabellen Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie 9.4 De kracht van de propositielogica Andere connectieven Vertalen in propositielogica 35 Samenvatting 37 Zelftoets 38 16

13 Leereenheid 9 Propositielogica I N T R O D U C T I E Logica Van oudsher is de logica de leer van het correct redeneren. Nog steeds is het herkennen van correcte en incorrecte redeneringen een belangrijke doelstelling van de logica. Een eenvoudig voorbeeld van een correcte redenering is: De afstandsbediening is kapot of de tv werkt niet goed. Maar de tv werkt wel goed. Dus de afstandsbediening is kapot. Daarentegen is de volgende redenering niet correct. Het schilderij hangt hier niet als het gestolen is. Het schilderij hangt hier niet. Dus is het gestolen. Waarin zit nu het verschil? Beide redeneringen bestaan uit een conclusie ( Dus... ), voorafgegaan door twee Nederlandse zinnen, dus daar zit het niet in. Maar bij de eerste redenering moet de conclusie ( Dus... ) wel juist zijn als de uitgangspunten (de beide voorafgaande zinnen) waar zijn. Met andere woorden: er lijkt geen situatie te verzinnen waarin de eerste twee zinnen waar zijn en de derde niet. Bij de tweede redenering ligt dit heel anders. De beide uitgangspunten kunnen hier heel goed waar zijn zonder dat de vermeende conclusie dat is, denk maar aan een situatie waarin het schilderij net gerestaureerd wordt. Dan hangt het er inderdaad niet en we kunnen nog steeds beamen dat het er ook niet hangt als het gestolen is. Maar het is helemaal niet gestolen, het wordt immers gerestaureerd. Bij voorgaande voorbeeldredeneringen ziet u misschien meteen al of ze correct zijn of niet. Voor meer ingewikkelde betogen hoeft dat helemaal niet zo simpel te zijn. En zelfs al zouden we voor iedere concrete redenering kunnen beargumenteren of die al dan niet correct is, dan blijft dat een moeizame onderneming. Bovendien: wie zegt ons dat die argumentatie weer correct is? Daarom is het beter eerst een andere weg in te slaan: welke kenmerken van de zinnen zorgen er nu voor dat een redenering correct is? Allereerst kunnen we opmerken dat de eerste redenering dezelfde vorm (maar een heel andere inhoud) heeft als de volgende, die ook correct is: Onze export stagneert of de dollar staat niet hoog. De dollar staat echter wel hoog. Dus stagneert onze export. OUN 17

14 Discrete wiskunde A Kennelijk zijn het vooral de woordjes of en niet en de plaats waar ze voorkomen, die bepalen dat deze redenering correct is van de rest mogen we abstraheren. We stuiten hier op een ander probleem: wil een redenering correct zijn, dan moet ze in elke situatie juist zijn, maar woordjes als of betekenen niet steeds hetzelfde. Bij het eerste voorbeeld zal een monteur die de uitspraak De afstandsbediening is kapot of de tv werkt niet goed doet, waarschijnlijk bij de diagnose rekening houden met de mogelijkheid dat zowel afstandsbediening als tv kapot kunnen zijn, terwijl een beursanalist die Onze export stagneert of de dollar staat niet hoog bezigt, vermoedelijk bedoelt dat ofwel onze export stagneert ofwel de dollar niet hoog staat, maar niet allebei. En ouders die tegen hun kinderen zeggen Voor je achttiende verjaardag krijg je een racefiets of een serie autorijlessen zullen wel nooit bedoelen dat ze dat ook beide zullen krijgen. Kortom, willen we iets definitiefs kunnen zeggen over de correctheid van redeneringen, dan zullen we een logisch of moeten maken dat aanzienlijk preciezer is dan het vage en dubbelzinnige woordje uit de gewone taal. In deze leereenheid beginnen we met het maken van een eenvoudige, maar precieze en compacte logische taal: die van de propositielogica. Hierin hebben woordjes als of, als en niet een nauwkeurig omschreven betekenis. De consequentie hiervan is dat redeneringen uit de gewone taal vrijwel nooit helemaal overeenkomen met die in de logica. Maar afgezien van dit voorbehoud, kunnen we redeneringen als die in de gegeven voorbeelden tamelijk goed weergeven in propositielogica, en zo de correctheid ervan bepalen. Meer in het algemeen gesproken is het vooral de beknoptheid en de precisie die de logica maken tot een geschikt instrument voor redeneren binnen de wiskunde en informatica, en daarom treft u het in deze cursus aan. Aan diverse toepassingen van logica op informatica wordt in dit blok aandacht besteed. LEERDOELEN Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u weet wat proposities zijn formules van de propositielogica kunt lezen propositielogische formules kunt opstellen met behulp van de vijf logische connectieven weet wat deelformules zijn het bereik van connectieven in logische formules kunt aangeven de waarheidstabellen van de connectieven kent waarheidstabellen kunt maken voor propositielogische formules kunt werken met niet-standaardconnectieven, indien daarvan de waarheidstabel is gegeven uitspraken in natuurlijke taal om kunt zetten naar formules in de propositielogica. 18 OUN

15 Leereenheid 9 Propositielogica L E E R K E R N 9.1 Wat is propositielogica? Een propositie is waar of onwaar. Een propositie is een uitspraak die waar of onwaar kan zijn. Voorbeelden zijn ware uitspraken als Er is geen grootste priemgetal en onware als Kopenhagen ligt in Nederland (ook al denken veel Amerikanen dat). Afgezien van filosofische spitsvondigheden (hoe kunnen we bewijzen dat Kopenhagen niet in Nederland ligt?), is het waarheidsgehalte van deze proposities onomstreden. Bij minder algemene uitspraken speelt de context vrijwel altijd een rol. Of Het regent waar is, hangt duidelijk af van de situatie waarin we ons bevinden. Toch noemen we ook Het regent een propositie, want het is in elke situatie óf waar óf onwaar. Dat is zelfs het geval als we niet in staat zijn het waarheidsgehalte van een uitspraak hier en nu te bepalen. Het regent morgen, De snel stijgende olieprijzen zijn de oorzaak van de crisis en Er bestaan zwarte gaten zijn dus wel degelijk proposities. Waar het om gaat, is dat deze uitspraken in elke situatie waar of onwaar zijn, en niet zowel waar als onwaar. OPGAVE 9.1 Zijn de zinnen in de voorbeeldredeneringen van de introductie proposities? Motiveer uw antwoord. OPGAVE 9.2 (Aanw) Deze opgave bevat een illustratief puzzeltje over (on)waarheid. Op een schoolbord leest u de volgende tekst: Precies één van deze uitspraken is onwaar. Precies twee van deze uitspraken zijn onwaar. Precies drie van deze uitspraken zijn onwaar. Precies vier van deze uitspraken zijn onwaar. Is één van deze uitspraken inderdaad waar? Zo ja, welke is dat en hoe kunnen we dat inzien? Zo nee, waarom dan niet? Waarheidswaarde Waar en onwaar zijn waarheidswaarden. Als de enige eis aan proposities is dat ze in iedere omstandigheid een waarheidswaarde (waar of onwaar) moeten hebben, dan lijkt dit zo algemeen dat we ons kunnen afvragen wat dan in hemelsnaam géén proposities zijn. Andere zinstypen zoals vraagzinnen en zinnen in de gebiedende wijs drukken in de regel geen propositie uit. Van de volgende voorbeelden, twee gewone zinnen, een wiskundig probleem en een programmaopdracht, geldt dat ze geen proposities zijn: Hoe laat is het? Kijk uit bij het oversteken! Zijn er positieve gehele getallen x, y, z, n met n > 2 waarvoor x n + y n = z n? als x > 0, dan x := x + 1 OUN 19

16 Discrete wiskunde A Bij vragen kunnen de antwoorden wel waar of onwaar zijn, maar de vragen zelf niet. Het laatste voorbeeld is misschien verrassend: de vorm lijkt immers veel op die van een gewone als-dan-uitspraak. Maar voor een programmaopdracht geldt niet dat die waar of onwaar is. Een programmaopdracht is een instructie om de computer iets te laten doen, en als zodanig vergelijkbaar met de gewone gebiedende wijs ( Doe...! ). De voorwaarde van een als-dan-opdracht is wél een propositie, en de instructie na dan wordt alleen uitgevoerd als de voorwaarde waar is. Dit betekent dat wanneer deze opdracht deel uitmaakt van een lus in het programma, de waarheidswaarde tijdens de uitvoering van het programma kan veranderen dat is in feite juist de bedoeling van de voorwaarde. OPGAVE 9.3 Welke van de volgende zinnen zijn proposities? a Het is warm vandaag. b x > 0 c x := x + 1 d Ieder even getal groter dan 2 is de som van twee priemgetallen. e Ieder getal is de som van twee priemgetallen. f Is 0 het kleinste natuurlijke getal? g Voor elke verzameling V geldt: Ø V. Waarheidsfunctioneel Propositielogica is waarheidsfunctioneel: de waarheid van een uitspraak berust op de waarheid van de delen. Het is overigens niet de taak van de logica om de werkelijkheid te bestuderen en zo de waarheidswaarde van een propositie in een bepaalde situatie te achterhalen, zo dit al mogelijk is. Een vraag waar de logica zich wel mee bezig houdt, is of de waarheidswaarde is af te leiden uit die van andere proposities. Kenmerkend voor de propositielogica is dat de waarheidswaarde van een uitspraak is af te leiden uit (alleen) de waarheidswaarden van haar delen. Met een mooi woord wordt de propositielogica daarom wel waarheidsfunctioneel genoemd. En meer in het algemeen bepaalt het verband tussen waarheid van de uitgangspunten en waarheid van de conclusie welke redeneringen de logica correct zal noemen. Kortom, we kunnen de propositielogica zien als een spel met waarheidswaarden. Die waarheidswaarden worden volgens strakke regels toegekend aan formules, die op een precies voorgeschreven manier zijn opgebouwd. Die vorm is een ander typerend kenmerk van de propositielogica die we nu gaan bestuderen. 9.2 De taal van de propositielogica In de propositielogica kunnen we uitspraken analyseren die zijn opgebouwd met behulp van het woordje niet en voegwoorden (en, of, als, mits,...). In de introductie tot deze leereenheid zagen we daarvan al diverse voorbeelden (de woorden waar het hier om gaat zijn gecursiveerd): De afstandsbediening is kapot of de tv werkt niet goed. Het schilderij hangt hier niet als het gestolen is. 20 OUN

17 Leereenheid 9 Propositielogica Zoals gezegd is de taal van alledag vaak dubbelzinnig en te vaag om zulke proposities goed mee te analyseren. We vervangen woordjes zoals niet en of daarom door symbolen die we een heel precieze betekenis gaan geven. VOORBEELD 9.1 In plaats van Het schilderij hangt hier niet. schrijven we: Het schilderij hangt hier. Merk op dat het symbool (het logische niet ) anders dan het niet in gewone taal vooraf gaat aan de uitspraak waar het betrekking op heeft, Het schilderij hangt hier. De propositie Het schilderij hangt hier korten we vervolgens af tot de letter p, zodat we ten slotte uitkomen op de uitdrukking p. «Negatieteken Negatie Het symbool noemen we het negatieteken. De uitdrukking p noemen we de negatie van p. VOORBEELD 9.2 In plaats van: De afstandsbediening is kapot of de tv werkt niet goed. schrijven we: De afstandsbediening is kapot de tv werkt goed. Het symbool (het logische of ) staat hier op de plaats waar het gewone of ook staat. De overgebleven uitspraken De afstandsbediening is kapot en De tv werkt goed korten we af tot respectievelijk p en q, zodat we ten slotte uitkomen op p q. «Disjunctie Disjunct Disjunctieteken Het symbool is de schreefloze letter v, afkomstig van het Latijnse woord vel voor of. Door worden twee proposities verbonden: het resultaat (zoals p q in voorbeeld 9.2) heet een disjunctie en de proposities die door verbonden worden (zoals p en q in p q), heten disjuncten. Het symbool wordt het disjunctieteken genoemd. In paragraaf 9.3 zullen we zien dat we met de zogenaamde inclusieve disjunctie op het oog hebben: p q is dan ook het geval als zowel p als q het geval zijn. Keren we het disjunctieteken om, dan krijgen we, het logische en. VOORBEELD 9.3 De uitspraak Gabriela tennist en Judith schaakt. kan in propositielogica worden weergegeven door p q, waarbij p staat voor Gabriela tennist en q voor Judith schaakt. «Conjunctieteken Conjunctie Conjunct Het symbool wordt het conjunctieteken genoemd. Door worden twee proposities verbonden: het resultaat (zoals p q in voorbeeld 9.3) heet een conjunctie en de proposities die door verbonden worden, heten conjuncten. OUN 21

18 Discrete wiskunde A OPGAVE 9.4 (Aanw) Geef de volgende uitspraken weer door middel van respectievelijk een conjunctie en een disjunctie. Welke proposities duiden de gebruikte letters aan? a Marie en Kees komen naar het feest. b Jan wast af of droogt de vaat. Het en uit de gewone taal bevat eigenaardigheden die we niet in de propositielogica willen opnemen. Zo betekent Ze kwam binnen en ze deed het licht uit iets anders dan Ze deed het licht uit en ze kwam binnen. Het en uit de gewone taal betekent vaak dat de gebeurtenis uit de tweede zinshelft later plaatsvindt dan die uit de eerste zinshelft. Dat soort bijzonderheden kunnen we niet uitdrukken in de propositielogica: die is immers waarheidsfunctioneel! In paragraaf zullen we precies aangeven hoe we binnen de propositielogica gebruiken. VOORBEELD 9.4 Een constructie die we wel goed kunnen weergeven, is als..., (dan). De uitspraak Als er stroom loopt, (dan) wordt de draad warm. kan in propositielogica worden weergegeven als p q, waarbij p staat voor Er loopt stroom en q voor De draad wordt warm. «Implicatieteken Implicatie Dan en slechts dan als Desda Het symbool wordt het implicatieteken genoemd. Door worden twee proposities verbonden: het resultaat (zoals p q in voorbeeld 9.4) heet een implicatie. In de wiskunde komen we formuleringen als dan en slechts dan als tegen, wat vaak wordt afgekort tot desda. Ook die constructie kunnen we goed weergeven in propositielogica. VOORBEELD 9.5 De uitspraak A B desda A B = A wordt in propositielogica weergegeven als p q, waarin p staat voor A B en q voor A B = A.«Equivalentieteken Equivalentie Connectief Het symbool wordt het equivalentieteken genoemd. Door worden twee proposities verbonden: het resultaat (zoals p q in voorbeeld 9.5) noemen we een equivalentie. De speciale symbolen van de propositielogica (,,,, ) worden connectieven (logische voegwoorden) genoemd. In de volgende tabel vatten we de schrijfwijze, de uitspraak en de naam van de connectieven samen. TABEL 9.1 Connectieven uit de propositielogica connectief uitspraak naam niet negatieteken en conjunctieteken of disjunctieteken als..., (dan) implicatieteken desda equivalentieteken 22 OUN

19 Leereenheid 9 Propositielogica Propositieletter Formule Soms haakjes nodig! VOORBEELD 9.6 Er zijn ook andere notaties in omloop, zoals de u misschien wel bekende & voor, maar de in deze cursus gehanteerde symbolen zijn het meest gangbaar. Naast de connectieven bevatten de uitdrukkingen van de propositielogica letters en haakjes. De letters geven (niet verder deelbare) proposities aan, en heten daarom propositieletters. We gebruiken hier meestal de letters p, q, r,... voor, soms vergezeld van een index (p 1, q 7,...). Bij de vertaling van concrete uitspraken uit de wiskunde of de gewone taal in propositielogica moeten we wel steeds aangeven welke letter bij welke (kleinste) propositie hoort. Daarnaast zijn er haakjes nodig, omdat anders bijvoorbeeld p q p op meerdere manieren gelezen zou kunnen worden, en dat willen we natuurlijk niet. Met haakjes erbij hebben we dit probleem niet: p ( q p) en (p q) p zijn wel goede uitdrukkingen. Misschien denkt u dat ook p q geen goede uitdrukking is, maar hier werkt een spelregel die zegt dat negatietekens vóór de overige connectieven gaan, net zoals in de gewone rekenkunde machtsverheffen voorafgaat aan de overige bewerkingen. Dus als we toch haakjes willen zetten, dan bedoelen we met p q alleen ( p) q en niet (p q). Goede uitdrukkingen van de propositielogica noemen we formules; we zullen ze verderop precies definiëren. Voordat we deze definitie geven, is het goed wat meer vertrouwd te raken met formules. Met behulp van tabel 9.1 kunnen we nu formules van de propositielogica gaan lezen. Indien nodig moeten we dan duidelijk maken waar de haakjes staan. a p q p of niet q b (p q) r als p en q dan r' c (p q) ( p q) niet p en q tussen haakjes desda tussen haakjes niet p of niet q' d (p q) ( p q) p en q tussen haakjes of tussen haakjes niet p en niet q NB: in plaats van tussen haakjes spreken we ook wel van haakje openen en haakje sluiten. Formule c wordt dan gelezen als: niet haakje openen p en q haakje sluiten desda haakje openen niet p of niet q haakje sluiten. Proposities die overeenkomen met formules van de vorm (p q) r, zijn we in de casus al op diverse plaatsen tegengekomen (ga na!). «OPGAVE 9.5 Waarom hoeft u bij het lezen van formule b in voorbeeld 9.6 geen haakjes te vermelden en bij c wel? OPGAVE 9.6 Hoe spreken we de volgende formules uit? a p p b (p q) ( p q) c ((p q) (q r)) (p r) OUN 23

20 Discrete wiskunde A FORMULES EN BEREIK Formule van de propositielogica Logische vorm zinsvorm VOORBEELD 9.7 Willekeurige formules aangeven met ϕ en ψ. DEFINITIE 9.1 De formules p q en q p zijn correct opgebouwd, maar een uitdrukking als p q p was dat niet. Ook allerlei onzinrijtjes als p en pq willen we uitsluiten, al zou men kunnen denken dat dit de letterlijke vertalingen zijn van bij voorbeeld Goldbach s vermoeden geldt wel of niet en Het sneeuwt, de wereld wordt wit. Meer in het algemeen kunnen we stellen dat de vorm van een formule niet precies overeenkomt met de vorm van de zinnen waarmee ze corresponderen. We zagen al dat in Het schilderij hangt hier niet het woordje niet helemaal achteraan staat, terwijl het negatieteken in p juist voorop staat. Nog iets duidelijker is dit punt wanneer we terugdenken aan een andere zin uit dezelfde voorbeeldredenering. Eveneens uit de introductie stamt de uitspraak: Het schilderij hangt hier niet als het gestolen is. Kiezen we nu voor p: Het schilderij hangt hier en q: Het schilderij is gestolen dan is de uitspraak in propositielogica weer te geven als q p. De als-bijzin staat in de uitspraak achteraan, maar in de formule (als q) juist voorop. «De verzameling formules van de propositielogica kan inductief worden gedefinieerd: we weten wat de eenvoudigste formules zijn (de propositieletters) en hoe we van formules naar ingewikkelder formules kunnen komen (door formules middels connectieven te verbinden). In de volgende definitie gebruiken we naast propositieletters (p, q, r,...), connectieven (,,...) en haakjes ook de Griekse letters ϕ (fi) en ψ (psi). Deze (en zonodig nog andere) Griekse letters duiden in dit blok steeds willekeurige formules aan. De formules van de propositielogica worden als volgt gedefinieerd: Elke propositieletter (p, q, r,...) is een formule. Als ϕ een formule is, dan is ϕ ook een formule. Als ϕ en ψ formules zijn, dan zijn (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) en (ϕ ψ) ook formules. Er zijn geen andere formules. De eerste regel uit definitie 9.1 is de basis, de tweede en derde zijn de inductiestappen en in de laatste regel wordt de uitsluiting geformuleerd (zie ook leereenheid 8). Behalve de losse propositieletters die blijkens de basisstap van de definitie formules zijn, zijn alle andere formules samengesteld. OPGAVE 9.7 Uit hoeveel symbolen bestaat een samengestelde formule minimaal? Haakjes aan de buitenkant mogen weg. Als we goed naar de definitie kijken, zien we dat eerdere formules als p q eigenlijk niet helemaal correct zijn: er had (p q) moeten staan. Haakjes die helemaal aan de buitenkant van de formule staan en bij elkaar horen, hebben echter geen zin en worden daarom meestal weggelaten. Andere haakjes mogen meestal niet weg: we zagen al dat anders een formule als p ( q p) op diverse manieren kan worden uitgelegd. We zouden de definitie van formule wel zo kunnen wijzigen dat die buitenste haakjes nooit zouden optreden, maar de definitie zou 24 OUN

21 Leereenheid 9 Propositielogica tamelijk ingewikkeld worden, en dat is dit punt niet waard. In de volgende leereenheid zullen we situaties bestuderen waarin ook andere haakjes weggelaten mogen worden, maar afgezien van de buitenste haakjes moeten we verder steeds heel precies zijn in het gebruik van haakjes. VOORBEELD 9.8 Van de volgende rijtjes symbolen zijn de linker allemaal formules en de rechter geen formules: q p p q q (q) (q) p (q p) p q r (p (q (p q))) p q) «OPGAVE 9.8 (Aanw) Welke van de volgende rijtjes symbolen zijn formules? a p b p c p p d p (p p) e p q p Deelformule Als we nog eens kijken hoe een formule volgens de definitie is opgebouwd, dan zien we hoe hiervoor eerst andere formules moeten worden gemaakt. Al deze formules treden op in de uiteindelijk geproduceerde formules, en om die reden worden ze deelformules genoemd. VOORBEELD 9.9 In de formule (p q) r zijn diverse andere formules te herkennen. Deze treden allemaal op als we kijken hoe de formule volgens de definitie is opgebouwd: allereerst zijn p, q en r formules (p q) is dus ook een formule dus ((p q) r) is een formule Dit levert meteen de deelformules: p, q en r zijn deelformules van (p q) r p q is een deelformule van (p q) r (p q) r noemen we ook een deelformule van (p q) r «OPGAVE 9.9 Vind alle deelformules van de volgende formules. a p (p p) b p ( q p) c (p q) ( p q) OPGAVE 9.10 (Aanw) De volgende eenvoudige formulering: Een deelformule van een formule ϕ is een stuk (een deelrijtje) van ϕ dat zelf een formule is is niet juist. Geef een voorbeeld van een formule ϕ met een deel dat wel een formule vormt, maar dat geen deelformule is van ϕ. OUN 25

22 Discrete wiskunde A Bereik Een ander begrip dat direct ontleend kan worden aan de definitie van formules, is het bereik van een connectief. Informeel gesproken bestaat het bereik uit het deel (of de delen) van de formule waar het connectief betrekking op heeft. Dit is vaak af te lezen aan de plaats van de haakjes. VOORBEELD 9.10 Het bereik van in r ( q p) bestaat uit de formules q en p. Het bereik van bestaat uit de formules r en q p; we kunnen dit ook door onderstreping aangeven: r ( q p). «We zien hier een van de verschillen tussen de logica en alledaagse taal: de laatste is vaak voor meerdere uitleg vatbaar doordat het bereik van woordjes als en en niet vaak niet duidelijk is. VOORBEELD 9.11 De formules p (q r) en (p q) r kunnen beide dienen als weergave van de uitspraak Marie en Jan of Kees komen naar het feest. De dubbelzinnigheid zit hier in het bereik van en en of. Dat zien we duidelijk als we het bereik van in de formules aangeven: p (q r) en (p q) r. «Als eenzelfde connectief meerdere keren in een formule optreedt, dan moeten we aangeven welk voorkomen van het connectief we bedoelen. In p (q p) bestaat het bereik van het eerste implicatieteken uit de formules p en q p, en dat van het tweede uit q en p. Zowel voor het begrip deelformule als voor bereik van een connectief kunnen we natuurlijk een inductieve definitie geven, maar we zien hier van af. Er is overigens wel sprake van een direct verband tussen bereik en deelformules. OPGAVE 9.11 Beschouw de formule (p (q r)). a Geef alle deelformules. b Wat is het bereik van de eerste negatie? c Wat is het bereik van de tweede negatie? d Wat is het bereik van het conjunctieteken? OPGAVE 9.12 Formuleer het verband tussen het bereik van een connectief in een formule ϕ en de deelformules van ϕ. OPGAVE 9.13 Wat is het bereik van het implicatieteken in de volgende formules? a p (q p) b p ( q p) c (p q) p d (p q) ( p q) e p (q ( p q)) 26 OUN

23 Leereenheid 9 Propositielogica 9.3 Waarheidstabellen In de vorige paragraaf hebben we de vorm van de propositielogische formules bekeken, nu gaan we hun betekenis onderzoeken. Net als voor de zinnen in de gewone taal is die betekenis voor logische formules gelegen in de waarheidswaarde: we weten wat een formule betekent als we kunnen zeggen in welke situaties de formule waar is. Semantiek Tarski Syntaxis Het bestuderen van de betekenis van uitdrukkingen wordt wel semantiek genoemd. Voor de logica is de semantiek vooral bekend geworden door het werk van Alfred Tarski ( ), eerst student en docent in Warschau, later hoogleraar in de VS. Het bestuderen van de vorm van formules en correcte redeneringen noemt men dan wel naar analogie van de taalkunde syntaxis. De formules van de propositielogica hebben zoals gezegd de bijzonderheid dat ze waarheidsfunctioneel zijn, dat wil zeggen dat hun waarheidswaarde is af te leiden uit de waarheidswaarde van hun delen. Maar hoe wordt de waarheidswaarde van een formule nu berekend? Waarheidstabel 1 = waar 0 = onwaar Ludwig Wittgenstein Om vlot met waarheidswaarden te kunnen rekenen, is het handig waar weer te geven door 1 en onwaar door 0. Behalve dat deze notatie korter is, sluit ze goed aan op het rekenen in digitale computers, waarvan de bits ook met nullen en enen worden voorgesteld. Een andere, eveneens internationaal gebruikelijke schrijfwijze is T ( true ) voor waar en F ( false ) voor onwaar. De berekening van de waarheidswaarde van samengestelde formules vindt plaats in de vorm van tabellen, de zogenaamde waarheidstabellen, die vooral door de filosoof Ludwig Wittgenstein ( ) voor het eerst systematisch zijn toegepast als berekeningswijze, hoewel schematische overzichten van mogelijkheden al eerder voorkomen bij C.S. Peirce. Voor samengestelde formules is het nodig om te weten wat de waarheidswaarden van de deelformules zijn en wat het effect van de connectieven op de waarheidswaarde is. Uiteindelijk zijn het dan de connectieven en de waarheidswaarden van de propositieletters die bepalen of de gehele formule waar of onwaar is. We laten nu de connectieven één voor één de revue passeren om hun effect op de waarheidswaarde vast te stellen NEGATIE De formule p is waar wanneer p onwaar is, en omgekeerd. Omdat proposities in deze cursus óf waar óf onwaar zijn, volgt hier meteen uit wanneer p onwaar is: als p waar is. We vatten dit samen in de volgende waarheidstabel. Waarheidstabel van p p OUN 27

24 Discrete wiskunde A Dit gedrag van de negatie vertoont grote overeenkomst met dat van het woordje niet in de gewone taal. Het regent niet is immers precies dan waar als Het regent onwaar is. Voor de logische negatie geldt hetzelfde, en dat blijft zo als we de negatie voor een samengestelde formule zetten. Meer in het algemeen is dus voor een willekeurige ϕ de formule ϕ waar precies dan als ϕ onwaar is. Hierdoor krijgt de waarheidstabel voor negatie de volgende vorm: ϕ ϕ OPGAVE 9.14 (Aanw) Als we de waarheidswaarde van ϕ met x aanduiden (x kan dus gelijk zijn aan 0 of 1), kunt u dan een eenvoudige rekenkundige functie verzinnen die de waarheidswaarde van ϕ oplevert? Met de waarheidstabel van de negatie kunnen we de waarheidswaarden van sommige samengestelde formules uitrekenen. VOORBEELD 9.12 De waarheidstabel voor de formule p is: p p p Deze tabel komt als volgt tot stand. De waarheidswaarde van p wordt bepaald door de waarheidswaarde van p: we zetten p linksboven in de tabel. Nu kan p waar of onwaar zijn: deze waarden zetten we in de linkerkolom onder p. Vervolgens berekenen we de waarheidswaarden van de deelformule p. De waarheidstabel voor leert dat p waarheidswaarde 0 (onwaar) heeft als p waarheidswaarde 1 heeft, en 1 (waar) als p waarheidswaarde 0 heeft. Deze waarden schrijven we in de middelste kolom, onder p. Ten slotte verkrijgen we hieruit, weer met de waarheidstabel voor negatie, de waarheidswaarden van de hele formule, nu in de rechterkolom. «OPGAVE 9.15 Wat valt op als u de waarheidswaarden van p vergelijkt met die van p? OPGAVE 9.16 Bepaal de waarheidstabel van p CONJUNCTIE De formule p q is alleen waar als zowel p als q waar zijn. Algemener: een conjunctie ϕ ψ is waar als zowel ϕ als ψ waar zijn, en in alle andere gevallen onwaar. Dit wordt weergegeven door de volgende waarheidstabel (ϕ en ψ zijn weer willekeurige formules): 28 OUN