Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 1

Transcriptie

1 Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. A Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen. Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 1 Het tentamen duurt 2 uur en telt 30 vragen. Voor elke vraag wordt precies één antwoord goed gerekend. Als er meerdere goede antwoorden zijn, geldt het beste antwoord. Versie met voor elke vraag het goede antwoord en voor sommige vragen een uitleg. (Met name vragen waarover expliciet uitleg werd gevraagd.) In tegenstelling tot het originele tentamen kunnen nu sommen (+ uitleg) over een paginagrens heenvallen. Mijn excuses hiervoor. 1. De verzameling A = { } (a) is een clause set, welke vervulbaarheids-equivalent is met false. is een clause set, welke equivalent is met false. (c) is een clause set, welke equivalent met true. (d) is geen clause set. Uitleg: Zowel (a) als (b) zijn waar, maar (b) beweert meer over de relatie met false, en is dus sterker, dus beter, dan (a). Als er meerdere goede antwoorden zijn, geldt het beste antwoord. Het goede antwoord is dus (b). 2. Een CNF van een formule kan met behulp van de semantische tableaux-methode worden gevonden door (a) te proberen een model te vinden die de formule waar maakt. (b) te proberen een model te vinden die de ontkenning van de formule waar maakt. (c) te proberen alle modellen te vinden die de formule vervullen. te proberen alle modellen te vinden die de ontkenning van de formule vervullen. 3. Als {{p, q, r}, {p, q, r}, {p, r, s}, { p, q, r}, {p, q, r}, { p, q, r}, { p, q, r}} gespleten wordt volgens MOM s rule, wordt er gesplitst op (a) p. (b) q. (c) r. p of r. 4. De disjunctie {{a, b}, {c, d}} {{e, f}, {g, h}} kan herschreven worden naar de clause set (a) { }. (b) {{a, b}, {c, d}, {e, f}, {g, h}}. {{a, b, e, f}, {a, b, g, h}, {c, d, e, f}, {c, d, g, h}}. (d) {{a, c, e, g}, {a, c, e, h}, {a, c, f, g}, {a, c, f, h}, {a, d, e, g}, {a, d, e, h}, {a, d, f, g}, {a, d, f, h}, {b, c, e, g}, {b, c, e, h}, {b, c, f, g}, {b, c, f, h}, {b, d, e, g}, {b, d, e, h}, {b, d, f, g}, {b, d, f, h}}

2 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 2 5. Welke rijen in de navolgende tabel zijn correct? formule corresponderende clause set 1. r s t {{r, s, t}, {r, s}, {r, t}} 2. s q {{ s, q}, {s, q}} 3. t p u {{p, t}, {t, u}, { p, t, u}} 4. u v p {{u, v}, {u, p}, { u, v, p}} 5. v q {{v, q}, { v, q}} (a) Rij 3 en 5. Rij 3,4, en 5. (c) Rij 1 en 2. (d) Rij 1, 2 en Op welke logische equivalentie is het fixeren van de waarheidswaarde van één propositieletter (Engels: monotone variable fixing) gebaseerd? (a) (φ p ) (ψ p ) (φ p ) (ψ p ) (a b) (b) p (p φ) ( p ψ) χ SAT ψ χ waarbij φ, ψ en χ geen voorkomens van p en p mogen bevatten. φ1... φ m (ψ 1 p)... (ψ n p) SAT φ 1... φ m waarbij φ 1,...,φ m en ψ 1,...,ψ n geen voorkomens van p en p mogen bevatten. (d) (p p φ) ψ SAT ψ 7. Een eerste stap in het volledigheidsbewijs van binaire resolutie in de propositielogica is (a) het splitsen van de (vervulbare) clause set. het splitsen van de (onvervulbare) clause set. (c) het resolveren op een willekeurige literal. (d) het resolveren op twee willekeurige clauses. Uitleg: Het gaat hier om het bewijs en niet over het resolutieproces zelf. 8. Gegeven zijn de volgende drie beweringen over de relatie tussen DPP en DPLL. (i) Met DPP kan zowel op vervulbaarheid als op onvervulbaarheid gecontroleerd worden. (ii) Met DPLL kan zowel op vervulbaarheid als op onvervulbaarheid gecontroleerd worden. (iii) Een formule is onvervulbaar te bewijzen met DPP als en slechts als een formule onvervulbaar te bewijzen is met DPLL. Welke beweringen zijn waar? (a) Geen enkele bewering is waar. (b) De beweringen (8i) en (8ii). (c) De bewering (8iii). Alle drie de beweringen zijn waar.

3 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 3 9. Waarom is subsumptie rekenintensief? (a) Omdat eerst de clause set opgeschoond moet worden. (b) Omdat er paarsgewijs op gemeenschappelijke factoren gecheckt moet worden. (c) Omdat de clause-set moet worden onderverdeeld in twee (paarsgewijs disjuncte) subsets. Subsumptie is rekenintensief, maar niet om redenen die hier genoemd worden. Uitleg: Subsumptie is rekenintensief, omdat er paarsgewijs op gemeenschappelijke subsets gezocht moet worden. Het goede antwoord is dus (d). Waarom antwoord (b) niet correct is, kan goed worden begrepen als we ons beperken tot de propositielogica. Daar bestaat de notie subsumptie nog steeds, maar de notie factor niet meer. Er is inderdaad wel een verband tussen factorisatie en subsumptie: D is een (echte) factor van C als en slechts als er een (mogelijk lege) substitutie σ bestaat, zó datd = Cσ en D < C. 10. Hoeveel bedraagt volgens de Jeroslow-Wang heuristiek de geschatte bijdrage van q aan het vervullen van de clause set C = {{ p, q}, {r, s}, {p, q, r, s}}? (a) 1/4 (b) 1/8 (c) 1/16 5/ Bekijk de volgende resolutie, waarbij C 1, C 2, C 3 en C 4 input clauses, en C 5, C 6 en C 7 afgeleide clauses zijn. C 1 C 2 C 3 C 4 S C 5 C 7 C 6 (a) Dit is een lineaire input-resolutie. (b) Dit is een lineaire input-resolutie refutatie. (c) Dit is een lineaire resolutie, maar geen input-resolutie. Dit is een input-resolutie, maar geen lineaire resolutie. 12. De clause set C = {{P (x) Q(x)}, { P (x)}} kan worden genormaliseerd tot {{P (x) Q(x)}, { P (y)}}. (b) kan niet worden genormaliseerd tot {{P (x) Q(x)}, { P (y)}}, opstraffevanhet schenden van vervulbaarheids-equivalentie. (c) kan niet worden genormaliseerd tot {{P (x) Q(x)}, { P (y)}}, op straffe van het het schenden van logische inconsistentie.

4 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 4 (d) kan niet worden genormaliseerd tot {{P (x) Q(x)}, { P (y)}} omdat het gewoon niet mag. (Er zijn geen regels voor.) 13. We gegeven OTTER set(demod_inf). set(demod_out_in). list(sos). D(f(x,f(x,f(x,y)))). -D(f(y,a)). end_of_list. list(demodulators). f(x,f(x,y)) = a. end_of_list. Vervolgens commentariëren we regel 2 uit, en geven OTTER bovenstaande input opnieuw. Wanneer zal de lege clause afgeleid worden? (a) In beide gevallen. (b) Alleen in het eerste geval. Alleen in het tweede geval. (d) In geen van beide gevallen. 14. Hyperresolutie is een bijzonder geval van semantische resolutie, waarbij het onderliggende model m alle propositieletters (a) op true afbeeldt. op false afbeeldt. (c) in de betreffende clause set op true afbeeldt. (d) die niet negatief voorkomen in de clause set at issue afbeeld op een tegengestelde waarheidswaarde. 15. Semantische resolutie is volledig, en geordende semantische resolutie is dat ook. (b) Semantische resolutie is volledig, en geordende semantische resolutie is dat niet. (c) Semantische resolutie is niet volledig, en geordende semantische resolutie is dat ook niet. (d) Zonder het vermelden van een onderliggende ordening kan deze vraag niet worden beantwoord. 16. De clause set S = {{Pu,Pv}, { Px, Py}} is (a) vervulbaar. onvervulbaar. (c) een tautologie. (d) geldig. 17. We paramoduleren {h(x) =b, Rx} in {Sb,Th(x)}. Welke van de volgende clauses zijn paramodulanten?

5 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 5 (i) {Sh(x),Th(y),Rx} (ii) {Sb,Th(y),Rx} (iii) {Sb,Th(h(x)),Rx} (iv) {Sb,Th(b),Rx} (17i), (17iii) en (17iv) (b) (17i), (17ii) en (17iii) (c) Alle vier de clauses. (d) Het goede antwoord zit er niet bij. 18. Het volgende schema pretendeert verschillende scenario s te representeren waar een stellingbewijzer terecht in kan komen. Zoeken termineert Zoeken termineert niet Met Zonder Zoekruimte was niet ingeperkt Zoekruimte was wel ingeperkt Wat is er niet goed aan dit schema? (a) In het geval dat zoeken termineert met moet er nog onderscheid gemaakt worden tussen gevallen waarin de zoekruimte was ingeperkt, en gevallen waarin de zoekruimte niet was ingeperkt. (b) Op het derde niveau mag er geen gevalsonderscheid meer gemaakt worden tussen het al dan niet inperken van de zoekruimte. (c) Het gaat niet zozeer om het inperken van de zoekruimte, maar meer om het opleggen van restricties aan de zoekstrategie. Dit schema is correct. 19. Welke van de volgende zoektechnieken levert (na succesvolle terminatie) een model voor vervulbare propositionele clause sets? (i) DPP (ii) DPLL (iii) Lineaire resolutie (iv) GSAT (a) (19i), (19ii) en (19iv). (b) (19iv).

6 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 6 (19i), (19ii), (19iii) en (19iv). (d) Het goede antwoord staat er niet bij. Uitleg: Zowel DPP, DPLL als lineaire resolutie zijn compleet, en vinden dus een model voor vervulbare propositionele clause sets. (Is op college aan bod gekomen, daarna gepubliceerd op slides.) Het mooie van lineaire resolutie is dus dat het op den duur altijd terug komt met een antwoord (propositionele setting, wel te verstaan). Als GSAT succesvol termineert, kan dat niet anders dan dat het algoritme de binnenste loop op regel 4 (zie evt. algoritme hieronder) heeft verlaten. GSAT vindt in dergelijke gevallen dus ook een model. 20. Beschouw de volgende omschrijving van GSAT, en vul in: Input: Een clause set S, een waarde voor MAX-FLIPS en een waarde voor MAX-TRIES Output: Een model m zódatm S (mits m bestaat én gevonden wordt) 1: for i =1to MAX-TRIES do 2: - kies een willekeurig model m 3: for j =1to MAX-FLIPS do 4: return m if m S 5: - p = een propositionele variable zó dat het omdraaien van de waarde van p... 6: - m = m maar dan met waarde voor p tegengesteld 7: return undef (a) zoveel mogelijk clause sets waar maakt. zoveel mogelijk clauses waar maakt. (c) ten minste één extra clause waar maakt, maar er geen beschadigt. (Met beschadigen bedoelen we eerdere vervulde clauses niet meer vervullen.) (d) geen clauses beschadigt. 21. Gegeven drie vrijheidsgraden voor clause sets: K L N aantal literals per clause aantal clauses aantal verschillende variabelen Neem aan K =3en N =10. Hoe groot moet L worden gekozen om het GSAT zo moeilijk mogelijk te maken? (a) Zo klein mogelijk. (b) In de buurt van de 2. (c) In de buurt van de 43. Zo groot mogelijk. Uitleg: GSAT probeert een clause set te vervullen. Hoe meer clauses, hoe onvervulbaarder de clause set wordt. Dus bij (relatief) veel clauses krijgt GSAT een moeilijke en in veel gevallen een onmogelijke taak. 22. Als in Vraag 21. Hoe groot moet L worden gekozen om het DPP zo moeilijk mogelijk te maken? (a) Zo klein mogelijk.

7 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 7 (b) In de buurt van de 2. In de buurt van de 43. (d) Zo groot mogelijk. Uitleg: Bij veel clauses zal de clause set waarschijnlijk onvervulbaar zijn en DPP snel een op een lege clause (contradictie) uitkomen. Bij weinig clauses zal DPP snel op een model uitkomen. Zoals behandeld op college zullen de moeilijkste clause sets liggen bij L/N 4.3. DevariabeleL kan dus het beste dicht bij de 43 gekozen worden. 23. De volgende tabel werd in 1992 door Selman in Kautz gepubliceerd in de proceedings van de AAAI (American Association for Artificial Intelligence): formules GSAT DPP variabelen clauses M-FLIPS pogingen tijd splitsingen diepte time s s s s s m s m s h s m m m m h Hoewel de tabel historische resultaten laat zien, is er ook wel wat op af te dingen. (a) De verhouding tussen het aantal variabelen en het aantal clauses geeft aan dat de experimenten slechts werden uitgevoerd op clause sets van een bepaald type, wat de vergelijking onvolledig maakt. (b) Vanaf 200 variabelen hebben de onderzoekers niet meer de moeite genomen de GSAT en DPP met elkaar te vergelijken, wat de vergelijking onvolledig maakt. (c) Voor vervulbare clause sets werden geen resultaten verkregen, zodat GSAT en DPP alleen met elkaar kunnen worden vergeleken op onvervulbare clause sets. We missen dus gegevens in de vergelijking. Het goede antwoord staat er niet bij. 24. Hoe kan GSAT worden misleid? Door GSAT te laten zoeken op het verkeerde plateau. (En door laten zoeken.) (b) Door een spleetje tussen twee plateau s te maken, waar GSAT dan invalt. (c) Door GSAT met een verkeerde startwaarde op pad te sturen. (d) Door met plateauzolen achter de PC te gaan zitten. Uitleg: Voor de beantwoording van deze vraag maakt het niet uit of de plateau s het aantal vervulde clauses (ongebruikelijk), of het aantal niet-vervulde clauses voorstellen (gebruikelijk, want: penalty functie). Antwoord (b) is niet correct. Immers, het landschap is door de clause set vastgelegd en mag niet door ons (of GSAT) veranderd worden.

8 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies Waarom kan het binaire connectief niet met behulp van,, en worden gedefinieerd? (a) Omdat,, en op zich al in termen van elkaar kunnen worden gedefinieerd. (b) Omdat er binnen de propositielogica geen enkel binair connectief bestaat zó dat een verzameling als bijvoorbeeld {d r, d q r} {d q} consistent is. (c) Omdat er binnen de propositielogica geen enkel binair connectief bestaat zódat verzamelingen als bijvoorbeeld consistent zijn. Het goede antwoord staat er niet bij. {d r, d q r} {d q} en {a, a b} { b} Uitleg: Antwoord (a) is waar, maar is op zich geen reden om een nieuw connectief te introduceren. Antwoorden (b) en (c) zijn niet waar: definieer als en er blijkt dat er binnen de propositielogica er dus wél een binair connectief bestaat wat aan de constraints genoemd onder (b) en (c) voldoet. Blijft over antwoord (d). 26. Gegeven is de volgende regel in de ɛ-calculus, p q p r (p q) r (1) samen met een corresponderend Venn-diagram: P 2 Q 2 1 R In dit Venn-diagram geldt bijvoorbeeld P Q =3, P Q R =2en P Q R = P \(Q R) =0. (Vakken waarin niets staat bevatten dus geen elementen.) Zowel Regel (1) als het Venn-diagram zijn correct. (b) Regel (1) is correct, maar het Venn-diagram is incorrect. (c) Regel (1) is incorrect, waarbij het Venn-diagram als tegenvoorbeeld zou kunnen fungeren.

9 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 9 (d) Zowel Regel (1) als het Venn-diagram zijn incorrect. Uitleg: Regel (1) staat bekend onder de naam cumulativiteit en is correct. Herinner college en zie slides. (Het dictaat presenteert zelfs een bewijs voor deze regel, maar een bewijs wordt in deze opgave niet gevraagd.) Het Venn-diagram is op zichzelf ook correct. De lijnen zijn bijvoorbeeld netjes getrokken, en er is ondubbelzinnig aangegeven hoeveel elementen elke sectie bevat. Het Venn-diagram suggereert een tegenvoorbeeld (meeste p s zijn q, meeste p s zijn r, maar meeste p s en q s zijn niet r), maar is het niet: als Pr(Q P ) 1 en Pr(R P ) 1 dan onvermijdelijk Pr(R P, Q) We willen het volgende aantonen: Dit kan door aan te tonen dat, voor willekeurige 0 <ɛ 1,ɛ 2 < 1, p r q r (p q) r (2) (a) de gelijkheid Pr(R P Q) =1 (ɛ 1 + ɛ 2 ) volgt uit de ongelijkheden Pr(R P ) 1 ɛ 1 en Pr(R Q) 1 ɛ 2. (b) de ongelijkheid Pr(R P Q) 1 (ɛ 1 + ɛ 2 ) volgt uit de ongelijkheden Pr(R P ) 1 ɛ 1 en Pr(R Q) 1 ɛ 2. de ongelijkheid Pr(R P Q) 1 (ɛ1 + ɛ 2 ) volgt uit de gelijkheden Pr(R P )=1 ɛ 1 en Pr(R Q) =1 ɛ 2. (d) de ongelijkheid Pr(R P Q) 1 (ɛ 1 + ɛ 2 ) volgt uit de gelijkheden Pr(R P )=1 ɛ 1 en Pr(R Q) =1 ɛ De volgende regel is gegeven p r q r (p q) r (a) Deze regel is geldig. (b) Deze regel is ongeldig, en kan worden gefalsifieerd door een volledig ingevuld, uitgewerkt en geconcretiseerd Venn-diagram aan te voeren als tegenvoorbeeld. Deze regel is ongeldig, en kan worden gefalsifieerd. Echter, het aanvoeren van een (volledig ingevuld, uitgewerkt en geconcretiseerd) Venn-diagram, is hiervoor onvoldoende. (d) Deze regel is ongeldig, maar kan niet worden gefalsifieerd. Uitleg: Het aanvoeren van een (volledig ingevuld, uitgewerkt en geconcretiseerd) Venn-diagram is onvoldoende, omdat we moeten aantonen dat de verhoudingen in de limiet naar 1 worden gedrukt. Een Venn-diagram is maar een momentopname van dit benaderingsproces. In dit benaderingsproces kunnen nog verkeerde verhoudingen voorkomen. Het Venn-diagram in Vraag 26 is daar een mooi voorbeeld van. 29. Als twee argumenten elkaar tegenspreken is het mogelijk één argument boven het andere prefereren op basis van puur syntactische overwegingen. (Voorbeelden: specificiteit, lengte argument, aantal gebruikte premissen.) In het algemeen heeft dit echter weinig zin. Waarom is dit zo? (a) Er zijn altijd argumenten te bedenken die wél specifiek zijn (of kort zijn, of gebaseerd zijn op veel premissen), maar níet deductief. (b) Er zijn altijd argumenten te bedenken die wél specifiek zijn, maar niet kort; of kort maar niet specifiek; of kort maar gebaseerd op (te) weinig premissen. Enzovoort.

10 Tentamen AR , tijd: uur zaal: EDUC-gamma deeltent. 2 van 3 alle versies 10 In veel gevallen is extra domeinkennis nodig om te beslissen welk argument nu werkelijk wint. (d) Het goede antwoord staat er niet bij. 30. Bekijk het volgende voorbeeld (Horty en Tomason, 1988). Er zijn argumenten zowel voor als tegen s: p P = {p q, q s, p r, r s} {p}, p r r s p s s en p p q q q s s Op basis van het volgende Venn-diagram kan worden beweerd dat het in dit geval verstandiger is om s te concluderen. Immers, p en p s zijn deductief afleidbaar, terwijl het q-gedeelte van p voornamelijk buiten s ligt. Q {}}{ { p q, q s, p r, r s} {p} } {{ } P R } {{ } S Hier volgen enkele verklaringen waarom het Venn-diagram samen met het zojuist gegeven argument om voor s te kiezen suggestief is. (i) In het diagram kan Q inclusief P buiten S worden getrokken. Dit ontkracht het hierboven gegeven argument. (ii) Eén enkel Venn-diagram bewijst nog niets. (iii) Venn-diagrammen suggereren dat de kansfuncties in kwestie uniform over verzamelingen verdeeld zijn, wat niet geval hoeft te zijn. Welke verklaringen zijn juist? (a) (30i) en (30ii). (b) (30i) en (30iii). (30ii) en (30iii). (d) (30i), (30ii) en (30iii). Dit blad mag meegenomen worden. Op het college van vandaag zullen de eerste 15 minuten besteed worden aan het bespreken van enkele vragen naar keuze. Tot zo.