Semantiek (2IT40) Jos Baeten. HG 7.19 tel.: Hoorcollege 3 (12 april 2007)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Semantiek (2IT40) Jos Baeten. HG 7.19 tel.: Hoorcollege 3 (12 april 2007)"

Transcriptie

1 Jos Baeten HG 719 tel: Hoorcollege 3 (12 april 2007)

2 Voorbeeld [Bewijstechniek 2 niet altijd succesvol] Executie van commands is deterministisch: c Com c, σ σ 0 & c, σ σ 1 σ 0 = σ 1 Bewijspoging: Beschouw de mogelijke vormen van de afleiding met de transities c, σ σ 0 en c, σ σ 1 als conclusie Probleem: In het geval c while b do c komt c weer voor in de premisse van (C7), dus structuurinductie helpt niet Hoorcollege 3 (12 april 2007) 1/20

3 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20

4 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20

5 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20

6 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is niet welgefundeerd Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20

7 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is niet welgefundeerd Bij iedere welgefundeerde relatie op A hoort een inductieprincipe: Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20

8 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is niet welgefundeerd Bij iedere welgefundeerde relatie op A hoort een inductieprincipe: a A P (a) desda a A ( b a P (b)) P (a) }{{} doorgeefeigenschap Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20

9 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] (2) De binaire relatie < 1 op N gedefinieerd door m < 1 n n = m + 1 is welgefundeerd Het bijbehorende inductieprincipe is natuurlijke inductie De binaire relatie 1 op Aexp gedefinieerd door a 1 a a is een onmiddellijke subexpressie van a is welgefundeerd Het bijbehorende inductieprincipe is structuurinductie op Aexp Hoorcollege 3 (12 april 2007) 3/20

10 De deelafleidingsordening Gegeven een verzameling R van regelinstanties, hebben we (al eerder) het begrip R-afleiding als volgt gedefinieerd: (i) een regelinstantie ( /y) R is een R-afleiding van y; (ii) als ({x 1,, x n }/y) R en d i een R-afleiding van x i (1 i n), dan is ({d 1,, d n }/y) een R-afleiding van y We schrijven d 1 d als d = ({d 1,, d n }/y) en d = d i voor zekere 1 i n; d heet dan een onmiddellijke deelafleiding van d De transitieve afsluiting van 1 is de deelafleidingsordening Als d d dan heet d een deelafleiding van d Hoorcollege 3 (12 april 2007) 4/20

11 Voorbeeldafleiding 2, σ 2 (A1) (A2) (A1) X, σ 3 4, σ 4 (A5) X 4, σ 12 5, σ ((X 4) 5), σ 9 (X 4) 5, σ 7 (A3) (A1) (A4) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 5/20

12 Inductie op afleidingen Zij R een verzameling regelinstanties en zij D de verzameling van alle R-afleidingen De deelafleidingsordening is een welgefundeerde binaire relatie op D, dus er is een bijbehorend inductieprincipe: d D P (d) desda d D ( d d P (d )) P (d) }{{} doorgeefeigenschap Dit inductieprincipe heet inductie op afleidingen Hoorcollege 3 (12 april 2007) 6/20

13 Executie van commands is deterministisch (0) Stelling: Voor alle c Com: Als c, σ σ 0 en c, σ σ 1, dan σ 0 = σ 1 Bewijs: Stel c, σ σ 0 en c, σ σ 1 Dan zijn er afleidingen d 0 en d 1 zo dat d 0 c, σ σ 0 ; en d 1 c, σ σ 1 We doen inductie op de afleiding d 0 en onderscheiden 7 gevallen op grond van de laatste regelinstantie in d 0 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 7/20

14 Executie van commands is deterministisch (1) Geval 1: laatste regelinstantie is een instantie van (C1) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 8/20

15 Executie van commands is deterministisch (1) Geval 1: laatste regelinstantie is een instantie van (C1) Dan c skip en d 0 = { skip, σ σ (C1) } en d 1 = { skip, σ σ (C1) }, dus σ 0 = σ = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 8/20

16 Executie van commands is deterministisch (2) Geval 2: laatste regelinstantie is een instantie van (C2) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 9/20

17 Executie van commands is deterministisch (2) Geval 2: laatste regelinstantie is een instantie van (C2) Dan c X := a en { d 0 = a, σ m X := a, σ σ[m/x ] (C2) } en d 1 = { a, σ n X := a, σ σ[n/x ] (C2) } Hoorcollege 3 (12 april 2007) 9/20

18 Executie van commands is deterministisch (2) Geval 2: laatste regelinstantie is een instantie van (C2) Dan c X := a en { d 0 = a, σ m X := a, σ σ[m/x ] (C2) } en d 1 = { a, σ n X := a, σ σ[n/x ] (C2) } De evaluatie van arithmetic expressions is deterministisch, dus m = n, en dus σ 0 = σ[m/x ] = σ[n/x ] = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 9/20

19 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20

20 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Dan c c 0 ; c 1 en d 0 = c 0, σ σ 0 c 1, σ 0 σ 0 (C3) en d 1 = c 0, σ σ 1 c 1, σ 1 σ 1 (C3) c 0 ; c 1, σ σ 0 c 0 ; c 1, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20

21 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Dan c c 0 ; c 1 en d 0 = c 0, σ σ 0 c 1, σ 0 σ 0 (C3) en d 1 = c 0, σ σ 1 c 1, σ 1 σ 1 (C3) c 0 ; c 1, σ σ 0 c 0 ; c 1, σ σ 1 De afleiding die c 0, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20

22 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Dan c c 0 ; c 1 en d 0 = c 0, σ σ 0 c 1, σ 0 σ 0 (C3) en d 1 = c 0, σ σ 1 c 1, σ 1 σ 1 (C3) c 0 ; c 1, σ σ 0 c 0 ; c 1, σ σ 1 De afleiding die c 0, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 We kunnen vervolgens nog een keer de inductiehypothese toepassen, nu voor de deelafleiding die c 1, σ 0 σ 0 bewijst, en daaruit volgt dan σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20

23 Executie van commands is deterministisch (4) Geval 4: laatste regelinstantie is een instantie van (C4) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 11/20

24 Executie van commands is deterministisch (4) Geval 4: laatste regelinstantie is een instantie van (C4) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ true c 0, σ σ 0 (C4) en d 1 = if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 11/20

25 Executie van commands is deterministisch (4) Geval 4: laatste regelinstantie is een instantie van (C4) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ true c 0, σ σ 0 (C4) en d 1 = b, σ true c 0, σ σ 1 (C4) if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 (Merk op: omdat b, σ true en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C4)) De afleiding die c 0, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 11/20

26 Executie van commands is deterministisch (5) Geval 5: laatste regelinstantie is een instantie van (C5) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 12/20

27 Executie van commands is deterministisch (5) Geval 5: laatste regelinstantie is een instantie van (C5) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ false c 1, σ σ 0 (C5) en d 1 = if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 12/20

28 Executie van commands is deterministisch (5) Geval 5: laatste regelinstantie is een instantie van (C5) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ false c 1, σ σ 0 (C5) en d 1 = b, σ false c 1, σ σ 1 (C5) if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 (Merk op: omdat b, σ false en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C5)) De afleiding die c 1, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 12/20

29 Executie van commands is deterministisch (6) Geval 6: laatste regelinstantie is een instantie van (C6) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 13/20

30 Executie van commands is deterministisch (6) Geval 6: laatste regelinstantie is een instantie van (C6) Dan c while b do c en d 0 = b, σ false (C6) en d 1 = while b do c, σ σ while b do c, σ σ Hoorcollege 3 (12 april 2007) 13/20

31 Executie van commands is deterministisch (6) Geval 6: laatste regelinstantie is een instantie van (C6) Dan c while b do c en d 0 = b, σ false (C6) en d 1 = while b do c, σ σ b, σ false while b do c, σ σ (C6) (Merk op: omdat b, σ false en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C6)) Dus σ 0 = σ = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 13/20

32 Executie van commands is deterministisch (7) Geval 7: laatste regelinstantie is een instantie van (C7) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 14/20

33 Executie van commands is deterministisch (7) Geval 7: laatste regelinstantie is een instantie van (C7) Dan c while b do c en d 0 = b, σ true c, σ σ 0 while b do c, σ 0 σ 0 (C7) en while b do c, σ σ 0 d 1 = while b do c, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 14/20

34 Executie van commands is deterministisch (7) Geval 7: laatste regelinstantie is een instantie van (C7) Dan c while b do c en d 0 = b, σ true c, σ σ 0 while b do c, σ 0 σ 0 (C7) en while b do c, σ σ 0 d 1 = b, σ true c, σ σ 1 while b do c, σ 1 σ 1 (C7) while b do c, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 14/20

35 (Merk op: omdat b, σ true en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C7)) De afleiding die c, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 We kunnen vervolgens nog een keer de inductiehypothese toepassen, nu voor de deelafleiding die while b do c, σ 0 σ 0 bewijst, en daaruit volgt dan σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 15/20

36 Regelinductie voor commands [rule induction for commands] We kunnen met de regels voor de executie van commands ook direct een inductieprincipe associëren: Om te bewijzen dat P (c, σ, σ ) voor alle c Com en σ, σ Σ zo dat c, σ σ, is het voldoende om te bewijzen dat alle regels voor de executie van commands de eigenschap P bewaren Bijvoorbeeld, (C7) bewaart P als voor alle c Com en σ, σ Σ: b, σ true & c, σ σ & P (c, σ, σ ) & while b do c, σ σ & P (while b do c, σ, σ ) P (while b do c, σ, σ ) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 16/20

37 Voorbeeld: bewijs met regelinductie voor commands Definieer de functie loc L : Com Pow(Loc) met inductie naar de structuur van commands: loc L (skip) =, loc L (X := a) = {X }, loc L (c 0 ; c 1 ) = loc L (if b then c 0 else c 1 ) = loc L (c 0 ) loc L (c 1 ), loc L (while b do c) = loc L (c) Propositie: Zij Y een locatie Dan geldt voor alle c Com en σ, σ Σ zo dat c, σ σ : Y loc L (c) σ(y ) = σ (Y ) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 17/20

38 Welgefundeerd vs minimaal element Zij een binaire relatie op de verzameling A Zij Q een deelverzameling van A Een minimaal element van Q is een element m Q zó dat b m b Q Hoorcollege 3 (12 april 2007) 18/20

39 Welgefundeerd vs minimaal element Zij een binaire relatie op de verzameling A Zij Q een deelverzameling van A Een minimaal element van Q is een element m Q zó dat b m b Q Propositie: is welgefundeerd dan en slechts dan als elke niet-lege deelverzameling Q van A een minimaal element heeft Hoorcollege 3 (12 april 2007) 18/20

40 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20

41 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20

42 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20

43 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; de laatste regelinstantie in d moet een instantie van (C7) zijn: d = true, σ true skip, σ σ w, σ σ w, σ σ (C7) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20

44 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; de laatste regelinstantie in d moet een instantie van (C7) zijn: d = true, σ true skip, σ σ w, σ σ w, σ σ (C7) Maar dan bevat d een deelafleiding d zo dat d w, σ σ, terwijl we hebben aangenomen dat d minimaal is: Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20

45 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; de laatste regelinstantie in d moet een instantie van (C7) zijn: d = true, σ true skip, σ σ w, σ σ w, σ σ (C7) Maar dan bevat d een deelafleiding d zo dat d w, σ σ, terwijl we hebben aangenomen dat d minimaal is: tegenspraak! Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20

46 Voor volgende keer Uit het dictaat: 31, 32, 34, 35, 36, 313 Aanvullende opgaven: A8 Opgave van de week: Breid de operationele semantiek van IMP uit met regels voor de constructie do c while b De executie van do c while b gaat net als de executie van while b do c met dat verschil dat de conditie b niet getest wordt voordat de body c de eerste keer wordt uitgevoerd 1 Bewijs vervolgens met inductie op afleidingen dat voor alle σ, σ Σ: als while b do c, σ σ, dan do (if b then c else skip) while b, σ σ 1 Maak in je regels voor do-while geen gebruik van de aanwezigheid van while-do in de taal Hoorcollege 3 (12 april 2007) 20/20

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

Logica 1. Joost J. Joosten

Logica 1. Joost J. Joosten Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen

Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen mogelijk ook geschikt voor BSc Kunstmatige Intelligentie Alban Ponse section Theory of Computer Science Informatics Institute, University of Amsterdam

Nadere informatie

Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen

Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen mogelijk ook geschikt voor BSc Kunstmatige Intelligentie Alban Ponse section Theory of Computer Science Informatics Institute, University of Amsterdam

Nadere informatie

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen. Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De

Nadere informatie

Functievergelijkingen

Functievergelijkingen Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2 HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling

Nadere informatie

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten 1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

OPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet.

OPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet. Les C-02: Werken met Programma Structuur Diagrammen 2.0 Inleiding In deze lesbrief bekijken we een methode om een algoritme zodanig structuur te geven dat er gemakkelijk programmacode bij te schrijven

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen

Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen Top-down inferentie In de opgaven in deze paragraaf over top-down inferentie wordt aangenomen dat de feitenverzameling alleen feiten bevat die als getraceerd

Nadere informatie

Negende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren

Negende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren Negende college algoritmiek 15 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 algemeen Uit college 8: DP: - nuttig bij problemen met overlappende deelproblemen - druk een oplossing van het probleem uit in oplossingen

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012 Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

Practicumopgave Mehmet Oktener

Practicumopgave Mehmet Oktener Practicumopgave Mehmet Oktener Alban Ponse Kruislaan 403, kr. 2.45 tel. 5257592 e-mail: alban@science.uva.nl Algemeen. In deze serie opgaven komt de specificatie van data typen aan de orde. Je wordt geacht

Nadere informatie

RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010

RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 2B Jan Terlouw woensdag 17 februari 2010 Deze handout sluit aan op handout 2A van maandag 15 februari. De gepresenteerde stof valt grotendeels

Nadere informatie

Gebruik van command-line operating systems

Gebruik van command-line operating systems Gebruik van command-line operating systems Mattias Holm & Kristian Rietveld Overzicht - Waarom hier meer over leren? - Wat is een shell? - Hoe werkt een shell? - Pipes en redirectie - Handige utilities

Nadere informatie

Inleiding logica Inleveropgave 3

Inleiding logica Inleveropgave 3 Inleiding logica Inleveropgave 3 Lientje Maas 30 september 2013 Ik (Rijk) heb verbeteringen in rood vermeld. Deze verbeteringen meegenomen zijn dit correcte uitwerkingen van de derde inleveropgaven. 1

Nadere informatie

{ auteur, toelichting }

{ auteur, toelichting } Programmeren Blok A Trilogie van (programmeer)talen http://www.win.tue.nl/ wstomv/edu/ip0/ College Syntaxis (vormleer): Hoe ziet t eruit, hoe schrijf je t? Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

10. Controleopdrachten

10. Controleopdrachten Computeralgebra met Maxima 10. Controleopdrachten 10.1. Functies en operatoren voor lijsten/vectoren/arrays Een van de eenvoudigste maar belangrijkste lusachtige functies is de makelist opdracht. Voor

Nadere informatie

Dictaat Caleidoscoop

Dictaat Caleidoscoop Dictaat Caleidoscoop Dr.H.Finkelnberg 26 juni 2009 Inhoudsopgave 1 Logica 3 1.1 Logica........................ 5 1.1.1 Combinaties van drietallen........ 7 1.1.2 Wat bedoelt men met A B C?.... 8 1.1.3

Nadere informatie

T3 in het wild While Juni 2004. Tom de Valk 0115665 Tom Evers 0115525 Sjors Meekels 0138630

T3 in het wild While Juni 2004. Tom de Valk 0115665 Tom Evers 0115525 Sjors Meekels 0138630 T3 in het wild While Juni 2004 Tom de Valk 0115665 Tom Evers 0115525 Sjors Meekels 0138630 INHOUDSOPGAVE Inleiding... 2 1. WHILE OO... 3 1.1 Afbakening... 3 1.2 Uitbreidingen... 3 2. Syntax... 4 3. Semantiek...

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Programmeren in Java les 3

Programmeren in Java les 3 4 september 2015 Deze les korte herhaling vorige week loops methodes Variabelen Soorten variabelen in Java: integer: een geheel getal, bijv. 1,2,3,4 float: een gebroken getal, bijv. 3.1415 double: een

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.

College WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 10 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie

Nadere informatie

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave. WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even

Nadere informatie

Logica 1. Joost J. Joosten

Logica 1. Joost J. Joosten Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde

Nadere informatie

Overerving & Polymorfisme

Overerving & Polymorfisme Overerving & Polymorfisme Overerving Sommige klassen zijn speciaal geval van andere klasse Docent is een speciaal geval van werknemer, dwz. elke docent is ook werknemer Functionaliteit van docent = functionaliteit

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Harm de Vries. Partitiestellingen. Bachelor Thesis, Thesis advisor: Dr. K.P. Hart. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

Harm de Vries. Partitiestellingen. Bachelor Thesis, Thesis advisor: Dr. K.P. Hart. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Harm de Vries Partitiestellingen Bachelor Thesis, 2008 Thesis advisor: Dr. K.P. Hart Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Partitiestellingen Harm de Vries (hdv@math.leidenuniv.nl) Mathematisch Instituut

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Voortgezette Logica, Week 2

Voortgezette Logica, Week 2 Voortgezette Logica, Week 2 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 164, 030-2535575 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier

Nadere informatie

Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK

Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Java Les 3 Theorie Herhaal structuren

Java Les 3 Theorie Herhaal structuren Java Les 3 Theorie Herhaal structuren Algemeen Een herhaal structuur een is programmeertechniek waarbij bepaalde Java instructies worden herhaald net zo lang tot een bepaalde voorwaarde is bereikt. Een

Nadere informatie

Gelijktijdigheid: Wederzijdse Uitsluiting & Synchronisatie Concurrency: Mutual Exclusion & Synchonization (5e ed: 5.1-5.2, Appendix A.

Gelijktijdigheid: Wederzijdse Uitsluiting & Synchronisatie Concurrency: Mutual Exclusion & Synchonization (5e ed: 5.1-5.2, Appendix A. Gelijktijdigheid: Wederzijdse Uitsluiting & Synchronisatie Concurrency: Mutual Exclusion & Synchonization (5e ed: 51-52, Appendix A1) Processes zijn meestal niet onafhankelijk Bijvoorbeeld: 2 processen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Syntax- (compile), runtime- en logische fouten Binaire operatoren

Syntax- (compile), runtime- en logische fouten Binaire operatoren Inhoud Syntax- (compile), runtime- en logische fouten Binaire operatoren Operaties op numerieke datatypen Evaluatie van expressies, bindingssterkte Assignment operaties en short-cut operatoren Controle

Nadere informatie

Recursie en inductie 10 1

Recursie en inductie 10 1 Recursie en inductie 10 1 recursie en inductie Geen hoofdstuk in Schaum, maar volledige inductie komt wel aan de orde als bewijstechniek. Recursie is een programmeertechniek, zie ProgMet. Hier een manier

Nadere informatie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie Lijst-kleuringen in de grafentheorie Berrie Bottelier 16 juli 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Guus Regts 4 5 6 1 2 3 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

Korte uitleg: Wat doet de shell met mijn commandoregel?

Korte uitleg: Wat doet de shell met mijn commandoregel? Korte uitleg: Wat doet de shell met mijn commandoregel? Het onderstaande is heel erg Bash gericht, maar geldt i.h.a. ook voor andere shells. Vooral als het om "begrip" gaat. Iedere regel die aan de shell

Nadere informatie

Opdracht 3: Betere oplossingen

Opdracht 3: Betere oplossingen Opdracht 3: Betere oplossingen Algoritmisch Denken en Gestructureerd Programmeren in Greenfoot c 2015 Renske Smetsers-Weeda & Sjaak Smetsers Op dit werk is een creative commons licentie van toepassing.

Nadere informatie

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 ) 97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke

Nadere informatie

Leren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4. Hoofdstuk 4 : De Selectie

Leren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4. Hoofdstuk 4 : De Selectie Leren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4 Hoofdstuk 4 : De Selectie Visual Basic 6.0 1 Basisstructuren (herhaling) Sequentie (HK2) : Alle opdrachten gewoon na mekaar uitvoeren. Hier worden geen keuzes

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Semantiek 1 college 4. Jan Koster

Semantiek 1 college 4. Jan Koster Semantiek 1 college 4 Jan Koster 1 Uitgangspunt sinds vorige week Semantiek is representationeel (en niet referentieel), gebaseerd op interpretaties van sprekers en hoorders Geen scherpe scheiding tussen

Nadere informatie

Opdracht 3: Betere oplossingen

Opdracht 3: Betere oplossingen Opdracht 3: Betere oplossingen Algoritmisch Denken en Gestructureerd Programmeren in Greenfoot c 2015 Renske Smetsers-Weeda & Sjaak Smetsers Op dit werk is een creative commons licentie van toepassing.

Nadere informatie

TI1300: Redeneren en Logica. TI1300 Redeneren en Logica College 1: Inleiding en Bewijstechnieken. Blackboard: enroll!

TI1300: Redeneren en Logica. TI1300 Redeneren en Logica College 1: Inleiding en Bewijstechnieken. Blackboard: enroll! TI1300: Redeneren en Logica TI1300 Redeneren en Logica College 1: Inleiding en Bewijstechnieken Tomas Klos TI1300 bestaat uit 2 delen: Th: Theorie, Tomas Klos Pr: Practicum, Tomas Klos plus student-assistenten

Nadere informatie

Een topprogrammeur in het OO programmeren is Graig Larman. Hij bedacht de volgende zin:

Een topprogrammeur in het OO programmeren is Graig Larman. Hij bedacht de volgende zin: Java Les 2 Theorie Beslissingen Algemeen Net als in het dagelijks leven worden in software programma s beslissingen genomen, naast het toekennen van waarden aan variabelen zijn beslissingen één van de

Nadere informatie

Javascript oefenblad 1

Javascript oefenblad 1 Leer de basis van Javascript. Javascript oefenblad 1 Niels van Velzen Javascript oefenblad 1 Pagina 2 Inleiding Javascript is niet altijd even makkelijk. Vooral aan het begin is het even wennen hoe de

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

RCL Arduino Workshop 1

RCL Arduino Workshop 1 RCL Arduino Workshop 1 Leren door doen april 2015 - slides voor RCL Arduino workshop 1 ON4CDU & ON8VQ Workshop Leren door doen Werken in een groep Beperkte tijd Alleen essentiele vragen stellen Thuis oefenen

Nadere informatie

Bij dit hoofdstukken horen geen opgaven.

Bij dit hoofdstukken horen geen opgaven. 6. Programmeertalen Een computer begrijpt eigenlijk alleen maar binaire code (bestaande uit 1 en 0). Om hem/haar makkelijk opdrachten te geven zijn programmeertalen ontwikkeld. Deze moeten een goed gedefinieerde

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels

Nadere informatie

Eventing. Introductie. Regel verwerking. Basis structuur

Eventing. Introductie. Regel verwerking. Basis structuur Eventing Eventing...1 Introductie...1 Regel verwerking...1 Basis structuur...1 Waar of Onwaar...2 AND en OR...2 Haakjes...3 Operatoren...3 Apparaten...3 Functies...4 Acties...4 Parameters van apparaten

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Functies voor getallen en teksten

Hoofdstuk 5: Functies voor getallen en teksten Programmeren in Microsoft Visual Basic 6.0, lessenserie voor het voortgezet onderwijs HAVO/VWO David Lans, Emmauscollege, Marnix Gymnasium Rotterdam, maart 2001 Hoofdstuk 5: Functies voor getallen en teksten

Nadere informatie

Fundamenten van de Informatica

Fundamenten van de Informatica Fundamenten van de Informatica Luc De Raedt Academiejaar 2006-2007 naar de cursustekst van Karel Dekimpe en Bart Demoen A.1: Talen en Eindige Automaten 1 Deel 1: Inleiding 2 Motivatie Fundamenten van de

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

voegtoe: eerst methode bevat gebruiken, alleen toevoegen als bevat() false is

voegtoe: eerst methode bevat gebruiken, alleen toevoegen als bevat() false is PROEF-Tentamen Inleiding programmeren (IN1608WI), X januari 2010, 9.00-11.00, Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI, Afdeling 2. Open boek tentamen: bij het tentamen mag alleen gebruik worden gemaakt

Nadere informatie

maplev 2012/5/1 15:47 page 469 #471 Procedures (vervolg)

maplev 2012/5/1 15:47 page 469 #471 Procedures (vervolg) maplev 2012/5/1 15:47 page 469 #471 Module 30 Procedures (vervolg) Onderwerp Voorkennis Expressies Procedures: Bereik van lokale variabelen, call by evaluated name, level-1-evaluatie van lokale variabelen,

Nadere informatie

17 Operaties op bits. 17.1 Bitoperatoren en bitexpressies

17 Operaties op bits. 17.1 Bitoperatoren en bitexpressies 17 Operaties op bits In hoofdstuk 1 is gezegd dat C oorspronkelijk bedoeld was als systeemprogrammeertaal om het besturingssysteem UNIX te implementeren. Bij dit soort toepassingen komt het voor dat afzonderlijke

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

Wiskundige Structuren

Wiskundige Structuren wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen

Nadere informatie

EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen

EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. A Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen. EERSTE

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

slides12.pdf December 14, 2001 1

slides12.pdf December 14, 2001 1 Onderwerpen Inleiding Algemeen 12 Getallen Getallen Representaties Rekenen Problemen Piet van Oostrum 12 dec 2001 INL/Alg-12 1 X INL/Alg-12 1 X Getallen Soorten getallen Wat is een getal? Experiment: met

Nadere informatie

c, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X

c, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X ANTWOORDEN tentamen FUNDAMENTELE INFORMATICA 3 vrijdag 25 januari 2008, 10.00-13.00 uur Opgave 1 L = {x {a,b,c} n a (x) n b (x)} {x {a,b,c} n a (x) n c (x)}. a. Een stapelautomaat die L accepteert: Λ,

Nadere informatie

Taaltechnologie. Januari/februari Inhoud

Taaltechnologie. Januari/februari Inhoud Taaltechnologie Januari/februari 2002 1 Finite state............................................... 4 1.1 Deterministic finite state automata.................... 4 1.2 Non-deterministic finite state automata................

Nadere informatie

Lijstkleuring van grafen

Lijstkleuring van grafen C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

Variabelen en statements in ActionScript

Variabelen en statements in ActionScript Ontwikkelen van Apps voor ios en Android Variabelen en statements in ActionScript 6.1 Inleiding Als we het in de informatica over variabelen hebben, bedoelen we een stukje in het geheugen van de computer

Nadere informatie

TALEN EN CORRECTHEID

TALEN EN CORRECTHEID TALEN EN CORRECTHEID Syllabus Februari 2004 Prof. dr. D. Janssens 1 Algemene Doelstellingen Formeel redeneren over programma s en specificaties: Wat betekent het te zeggen dat een programma correct is?

Nadere informatie

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth

Nadere informatie