Semantiek (2IT40) Jos Baeten. HG 7.19 tel.: Hoorcollege 3 (12 april 2007)
|
|
- Rebecca de Backer
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Jos Baeten HG 719 tel: Hoorcollege 3 (12 april 2007)
2 Voorbeeld [Bewijstechniek 2 niet altijd succesvol] Executie van commands is deterministisch: c Com c, σ σ 0 & c, σ σ 1 σ 0 = σ 1 Bewijspoging: Beschouw de mogelijke vormen van de afleiding met de transities c, σ σ 0 en c, σ σ 1 als conclusie Probleem: In het geval c while b do c komt c weer voor in de premisse van (C7), dus structuurinductie helpt niet Hoorcollege 3 (12 april 2007) 1/20
3 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20
4 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20
5 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20
6 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is niet welgefundeerd Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20
7 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is niet welgefundeerd Bij iedere welgefundeerde relatie op A hoort een inductieprincipe: Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20
8 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] Een binaire relatie op een verzameling A heet welgefundeerd (Eng: well-founded) als er geen oneindig rijtje a 0, a 1,, a i, van elementen van A bestaat zo dat a i a 1 a 0 Bijvoorbeeld: de binaire relatie < op N is welgefundeerd; de binaire relatie < op Z is niet welgefundeerd Bij iedere welgefundeerde relatie op A hoort een inductieprincipe: a A P (a) desda a A ( b a P (b)) P (a) }{{} doorgeefeigenschap Hoorcollege 3 (12 april 2007) 2/20
9 Welgefundeerde inductie [well-founded induction] (2) De binaire relatie < 1 op N gedefinieerd door m < 1 n n = m + 1 is welgefundeerd Het bijbehorende inductieprincipe is natuurlijke inductie De binaire relatie 1 op Aexp gedefinieerd door a 1 a a is een onmiddellijke subexpressie van a is welgefundeerd Het bijbehorende inductieprincipe is structuurinductie op Aexp Hoorcollege 3 (12 april 2007) 3/20
10 De deelafleidingsordening Gegeven een verzameling R van regelinstanties, hebben we (al eerder) het begrip R-afleiding als volgt gedefinieerd: (i) een regelinstantie ( /y) R is een R-afleiding van y; (ii) als ({x 1,, x n }/y) R en d i een R-afleiding van x i (1 i n), dan is ({d 1,, d n }/y) een R-afleiding van y We schrijven d 1 d als d = ({d 1,, d n }/y) en d = d i voor zekere 1 i n; d heet dan een onmiddellijke deelafleiding van d De transitieve afsluiting van 1 is de deelafleidingsordening Als d d dan heet d een deelafleiding van d Hoorcollege 3 (12 april 2007) 4/20
11 Voorbeeldafleiding 2, σ 2 (A1) (A2) (A1) X, σ 3 4, σ 4 (A5) X 4, σ 12 5, σ ((X 4) 5), σ 9 (X 4) 5, σ 7 (A3) (A1) (A4) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 5/20
12 Inductie op afleidingen Zij R een verzameling regelinstanties en zij D de verzameling van alle R-afleidingen De deelafleidingsordening is een welgefundeerde binaire relatie op D, dus er is een bijbehorend inductieprincipe: d D P (d) desda d D ( d d P (d )) P (d) }{{} doorgeefeigenschap Dit inductieprincipe heet inductie op afleidingen Hoorcollege 3 (12 april 2007) 6/20
13 Executie van commands is deterministisch (0) Stelling: Voor alle c Com: Als c, σ σ 0 en c, σ σ 1, dan σ 0 = σ 1 Bewijs: Stel c, σ σ 0 en c, σ σ 1 Dan zijn er afleidingen d 0 en d 1 zo dat d 0 c, σ σ 0 ; en d 1 c, σ σ 1 We doen inductie op de afleiding d 0 en onderscheiden 7 gevallen op grond van de laatste regelinstantie in d 0 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 7/20
14 Executie van commands is deterministisch (1) Geval 1: laatste regelinstantie is een instantie van (C1) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 8/20
15 Executie van commands is deterministisch (1) Geval 1: laatste regelinstantie is een instantie van (C1) Dan c skip en d 0 = { skip, σ σ (C1) } en d 1 = { skip, σ σ (C1) }, dus σ 0 = σ = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 8/20
16 Executie van commands is deterministisch (2) Geval 2: laatste regelinstantie is een instantie van (C2) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 9/20
17 Executie van commands is deterministisch (2) Geval 2: laatste regelinstantie is een instantie van (C2) Dan c X := a en { d 0 = a, σ m X := a, σ σ[m/x ] (C2) } en d 1 = { a, σ n X := a, σ σ[n/x ] (C2) } Hoorcollege 3 (12 april 2007) 9/20
18 Executie van commands is deterministisch (2) Geval 2: laatste regelinstantie is een instantie van (C2) Dan c X := a en { d 0 = a, σ m X := a, σ σ[m/x ] (C2) } en d 1 = { a, σ n X := a, σ σ[n/x ] (C2) } De evaluatie van arithmetic expressions is deterministisch, dus m = n, en dus σ 0 = σ[m/x ] = σ[n/x ] = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 9/20
19 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20
20 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Dan c c 0 ; c 1 en d 0 = c 0, σ σ 0 c 1, σ 0 σ 0 (C3) en d 1 = c 0, σ σ 1 c 1, σ 1 σ 1 (C3) c 0 ; c 1, σ σ 0 c 0 ; c 1, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20
21 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Dan c c 0 ; c 1 en d 0 = c 0, σ σ 0 c 1, σ 0 σ 0 (C3) en d 1 = c 0, σ σ 1 c 1, σ 1 σ 1 (C3) c 0 ; c 1, σ σ 0 c 0 ; c 1, σ σ 1 De afleiding die c 0, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20
22 Executie van commands is deterministisch (3) Geval 3: laatste regelinstantie is een instantie van (C3) Dan c c 0 ; c 1 en d 0 = c 0, σ σ 0 c 1, σ 0 σ 0 (C3) en d 1 = c 0, σ σ 1 c 1, σ 1 σ 1 (C3) c 0 ; c 1, σ σ 0 c 0 ; c 1, σ σ 1 De afleiding die c 0, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 We kunnen vervolgens nog een keer de inductiehypothese toepassen, nu voor de deelafleiding die c 1, σ 0 σ 0 bewijst, en daaruit volgt dan σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 10/20
23 Executie van commands is deterministisch (4) Geval 4: laatste regelinstantie is een instantie van (C4) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 11/20
24 Executie van commands is deterministisch (4) Geval 4: laatste regelinstantie is een instantie van (C4) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ true c 0, σ σ 0 (C4) en d 1 = if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 11/20
25 Executie van commands is deterministisch (4) Geval 4: laatste regelinstantie is een instantie van (C4) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ true c 0, σ σ 0 (C4) en d 1 = b, σ true c 0, σ σ 1 (C4) if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 (Merk op: omdat b, σ true en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C4)) De afleiding die c 0, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 11/20
26 Executie van commands is deterministisch (5) Geval 5: laatste regelinstantie is een instantie van (C5) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 12/20
27 Executie van commands is deterministisch (5) Geval 5: laatste regelinstantie is een instantie van (C5) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ false c 1, σ σ 0 (C5) en d 1 = if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 12/20
28 Executie van commands is deterministisch (5) Geval 5: laatste regelinstantie is een instantie van (C5) Dan c if b then c 0 else c 1 en d 0 = b, σ false c 1, σ σ 0 (C5) en d 1 = b, σ false c 1, σ σ 1 (C5) if b then c 0 else c 1, σ σ 0 if b then c 0 else c 1, σ σ 1 (Merk op: omdat b, σ false en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C5)) De afleiding die c 1, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 12/20
29 Executie van commands is deterministisch (6) Geval 6: laatste regelinstantie is een instantie van (C6) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 13/20
30 Executie van commands is deterministisch (6) Geval 6: laatste regelinstantie is een instantie van (C6) Dan c while b do c en d 0 = b, σ false (C6) en d 1 = while b do c, σ σ while b do c, σ σ Hoorcollege 3 (12 april 2007) 13/20
31 Executie van commands is deterministisch (6) Geval 6: laatste regelinstantie is een instantie van (C6) Dan c while b do c en d 0 = b, σ false (C6) en d 1 = while b do c, σ σ b, σ false while b do c, σ σ (C6) (Merk op: omdat b, σ false en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C6)) Dus σ 0 = σ = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 13/20
32 Executie van commands is deterministisch (7) Geval 7: laatste regelinstantie is een instantie van (C7) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 14/20
33 Executie van commands is deterministisch (7) Geval 7: laatste regelinstantie is een instantie van (C7) Dan c while b do c en d 0 = b, σ true c, σ σ 0 while b do c, σ 0 σ 0 (C7) en while b do c, σ σ 0 d 1 = while b do c, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 14/20
34 Executie van commands is deterministisch (7) Geval 7: laatste regelinstantie is een instantie van (C7) Dan c while b do c en d 0 = b, σ true c, σ σ 0 while b do c, σ 0 σ 0 (C7) en while b do c, σ σ 0 d 1 = b, σ true c, σ σ 1 while b do c, σ 1 σ 1 (C7) while b do c, σ σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 14/20
35 (Merk op: omdat b, σ true en evaluatie van boolean expressions deterministisch is, is de laatst toegepaste regel in d 1 ook (C7)) De afleiding die c, σ σ 0 bewijst, is een deelafleiding van d 0, dus volgens de inductiehypothese geldt σ 0 = σ 1 We kunnen vervolgens nog een keer de inductiehypothese toepassen, nu voor de deelafleiding die while b do c, σ 0 σ 0 bewijst, en daaruit volgt dan σ 0 = σ 1 Hoorcollege 3 (12 april 2007) 15/20
36 Regelinductie voor commands [rule induction for commands] We kunnen met de regels voor de executie van commands ook direct een inductieprincipe associëren: Om te bewijzen dat P (c, σ, σ ) voor alle c Com en σ, σ Σ zo dat c, σ σ, is het voldoende om te bewijzen dat alle regels voor de executie van commands de eigenschap P bewaren Bijvoorbeeld, (C7) bewaart P als voor alle c Com en σ, σ Σ: b, σ true & c, σ σ & P (c, σ, σ ) & while b do c, σ σ & P (while b do c, σ, σ ) P (while b do c, σ, σ ) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 16/20
37 Voorbeeld: bewijs met regelinductie voor commands Definieer de functie loc L : Com Pow(Loc) met inductie naar de structuur van commands: loc L (skip) =, loc L (X := a) = {X }, loc L (c 0 ; c 1 ) = loc L (if b then c 0 else c 1 ) = loc L (c 0 ) loc L (c 1 ), loc L (while b do c) = loc L (c) Propositie: Zij Y een locatie Dan geldt voor alle c Com en σ, σ Σ zo dat c, σ σ : Y loc L (c) σ(y ) = σ (Y ) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 17/20
38 Welgefundeerd vs minimaal element Zij een binaire relatie op de verzameling A Zij Q een deelverzameling van A Een minimaal element van Q is een element m Q zó dat b m b Q Hoorcollege 3 (12 april 2007) 18/20
39 Welgefundeerd vs minimaal element Zij een binaire relatie op de verzameling A Zij Q een deelverzameling van A Een minimaal element van Q is een element m Q zó dat b m b Q Propositie: is welgefundeerd dan en slechts dan als elke niet-lege deelverzameling Q van A een minimaal element heeft Hoorcollege 3 (12 april 2007) 18/20
40 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20
41 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20
42 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20
43 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; de laatste regelinstantie in d moet een instantie van (C7) zijn: d = true, σ true skip, σ σ w, σ σ w, σ σ (C7) Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20
44 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; de laatste regelinstantie in d moet een instantie van (C7) zijn: d = true, σ true skip, σ σ w, σ σ w, σ σ (C7) Maar dan bevat d een deelafleiding d zo dat d w, σ σ, terwijl we hebben aangenomen dat d minimaal is: Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20
45 Toepassing minimaliteit: loop! Propositie: Voor alle σ, σ Σ: while true do skip, σ σ Bewijs: Laat w while true do skip en stel w, σ σ Dan is er een minimale afleiding d zo dat d w, σ σ ; de laatste regelinstantie in d moet een instantie van (C7) zijn: d = true, σ true skip, σ σ w, σ σ w, σ σ (C7) Maar dan bevat d een deelafleiding d zo dat d w, σ σ, terwijl we hebben aangenomen dat d minimaal is: tegenspraak! Hoorcollege 3 (12 april 2007) 19/20
46 Voor volgende keer Uit het dictaat: 31, 32, 34, 35, 36, 313 Aanvullende opgaven: A8 Opgave van de week: Breid de operationele semantiek van IMP uit met regels voor de constructie do c while b De executie van do c while b gaat net als de executie van while b do c met dat verschil dat de conditie b niet getest wordt voordat de body c de eerste keer wordt uitgevoerd 1 Bewijs vervolgens met inductie op afleidingen dat voor alle σ, σ Σ: als while b do c, σ σ, dan do (if b then c else skip) while b, σ σ 1 Maak in je regels voor do-while geen gebruik van de aanwezigheid van while-do in de taal Hoorcollege 3 (12 april 2007) 20/20
Semantiek (2IT40) Jos Baeten. Formele Methoden. HG 7.19 tel.: Hoorcollege 1 (29 maart 2007)
Jos Formele Methoden josb@win.tue.nl http://www.win.tue.nl/~josb/ HG 7.19 tel.: 040 247 5155 Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 2IT40 Organisatie Colstructie: docent: wanneer: donderdagen 3 e en 4 e uur waar:
Nadere informatieSemantiek (2IT40) Bas Luttik. HG 7.14 tel.: Hoorcollege 8 (7 juni 2007)
Bas Luttik s.p.luttik@tue.nl http://www.win.tue.nl/~luttik HG 7.14 tel.: 040 247 5152 Hoorcollege 8 (7 juni 2007) Functionele talen Idee: een programma definieert reeks (wiskundige) functies. Programma
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatieUitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1
Uitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1 Bas Westerbaan bas@westerbaan.name 24 april 2012 1 Opgave 1.1 Een goed en voldoende antwoord is: L 1 = L 2, want L 1 en L 2 zijn alle woorden
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieTegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2018
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 018 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen 19 januari 2012, 13.30-16.30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieBeslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7
Beslisbare talen (1) College 7 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 10 mei 2009 De talen: A DFA = { M, w M is een DFA die w accepteert} A NFA = { M, w M is een NFA die w accepteert} E DFA = { M M is
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieRAF belangrijk te onthouden
RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieFP-theorie. 2IA50, Deel B. Inductieve definities 1/19. / department of mathematics and computer science
FP-theorie 2IA50, Deel B Inductieve definities 1/19 Inductieve definitie Definitie IL α, (Cons-)Lijsten over α Zij α een gegeven verzameling. De verzameling IL α van eindige (cons-)lijsten over α is de
Nadere informatieLogica voor Informatica
Logica voor Informatica 13 Prolog Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Programmeren met Logica Propositielogica is niet geschikt voor programmeren er is nauwlijkst iets interessants uit te drukken.
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieRecursie en inductie i
Recursie en inductie i deel 2 Negende college inductiebewijzen 1 inductieprincipe Structurele inductie (inductie naar de opbouw) is de bewijstechniek die hoort bij inductief opgebouwde objecten zoals bomen
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieOneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman
Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieNotatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers
Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)
Nadere informatieb) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf
opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n
Nadere informatieDerde college complexiteit. 7 februari Zoeken
College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt
Nadere informatieDoorzoeken van grafen. Algoritmiek
Doorzoeken van grafen Algoritmiek Vandaag Methoden om door grafen te wandelen Depth First Search Breadth First Search Gerichte Acyclische Grafen en topologische sorteringen 2 Doolhof start eind 3 Depth
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieVierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen
College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Voorbeeld NDTM. Aanbevolen opgaven. College 3
Vorig college College 3 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Multi-tape TM s Vergelijking rekenkracht 1-TM en k-tm (k >1) Niet-deterministische TM s Berekeningsboom 16 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven
Nadere informatieDe klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming
Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieLogica voor AI. Bisimulatie en niet-karakteriseerbaarheid. Antje Rumberg. 21 november Correspondentie.
Logica voor AI en niet-karakteriseerbaarheid Antje Rumberg Antje.Rumberg@phil.uu.nl 21 november 2012 1 Kripke Semantiek De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)
Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op
Nadere informatieZevende college complexiteit. 7 maart Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort)
College 7 Zevende college complexiteit 7 maart 2017 Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort) 1 Inversies Definitie: een inversie van de permutatie A[1],A[2],...,A[n] is een paar (A[i],A[j]) waarvoor
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen 8 november 2012, 14:00 17:00 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Turingmachines. Turingmachine en Taal. College 2
Vorig college College 2 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Welke problemen zijn (niet) algoritmisch oplosbaar? Wat is een probleem? Wat is een algoritme? 13 april 2009 1 2 Turingmachines Turingmachine
Nadere informatieLogica voor Informatica
Logica voor Informatica 10 Predikatenlogica Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Syntax van predikatenlogica Alfabet Termen Welgevormde formulas (wff) 2 Alfabet van de predikatenlogica
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieProgrammeermethoden NA. Week 3: Controlestructuren
Programmeermethoden NA Week 3: Controlestructuren Kristian Rietveld http://liacs.leidenuniv.nl/~rietveldkfd/courses/prna/ Bij ons leer je de wereld kennen 1 Inleveren opdracht 1 Lever digitaal sxxxxxxx-syyyyyyy-opdr1.py
Nadere informatieTentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie 16 juni 2008, 14.00 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen. Totaal
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatie1 Recurrente betrekkingen
WIS1 1 1 Recurrente betrekkingen 1.1 De torens van Hanoi De torens van Hanoi Edouard Lucas, 1884: Gegeven 3 pinnen en 64 schijven van verschillende grootte. Startsituatie: 64 op linkerpin, geordend naar
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieSamenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer
Samenvatting TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4
Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieUitleg van de Hough transformatie
Uitleg van de Hough transformatie Maarten M. Fokkinga, Joeri van Ruth Database groep, Fac. EWI, Universiteit Twente Versie van 17 mei 2005, 10:59 De Hough transformatie is een wiskundige techniek om een
Nadere informatieTermherschrijfsystemen en Propositie-Algebra
Termherschrijfsystemen en Propositie-Algebra Evalien IJsendijk 19 augustus 2010 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Alban Ponse x y z u v x y v z x u v KdV Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieProgrammeren & Correctheid
Programmeren & Correctheid Docent: Prof. dr. F.S. de Boer, email: frb@cwi.nl Literatuur Verification of Sequential and Concurrent Programs. Krzysztof R. Apt, Frank S. de Boer, Ernst-Rüdiger Olderog. Series:
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatieTentamentips. Tomas Klos. 14 december 2010
Tentamentips Tomas Klos 14 december 010 Samenvatting In dit document vind je een aantal tentamen tips. Het gaat om fouten die ik op tentamens veel gemaakt zie worden, en die ik je liever niet zie maken.
Nadere informatieLogica voor AI. Responsiecollege. Antje Rumberg. 12 december Kripke Semantiek. Geldigheid. De bereikbaarheidsrelatie
Logica voor AI Responsiecollege Antje Rumberg Antje.Rumberg@phil.uu.nl 12 december 2012 1 De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en ruitje ϕ: het is noodzakelijk
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieDiscrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.
Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De
Nadere informatieHonours projecten BSc Informatica: twee voorstellen
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen mogelijk ook geschikt voor BSc Kunstmatige Intelligentie Alban Ponse section Theory of Computer Science Informatics Institute, University of Amsterdam
Nadere informatieHonours projecten BSc Informatica: twee voorstellen
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen mogelijk ook geschikt voor BSc Kunstmatige Intelligentie Alban Ponse section Theory of Computer Science Informatics Institute, University of Amsterdam
Nadere informatieHertentamen Topologie, Najaar 2009
Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Toelichting: 06.05.2010 Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine etc.) gebruiken, behalve het boek van Runde en het aanvullende dictaat. Als je stellingen
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 4 juni 2016
IMO-selectietoets III zaterdag 4 juni 2016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een natuurlijk getal. In een dorp wonen n jongens en n meisjes. Voor het jaarlijkse bal moeten
Nadere informatie3 De stelling van Kleene
18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we
Nadere informatieInleiding Wiskundige Logica
Inleiding Wiskundige Logica Yde Venema 2017/2018 c YV 2018 Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam, Science Park 904, NL 1098XH Amsterdam E-mail: yvenema@uvanl Voorwoord
Nadere informatieBegrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieZesde college complexiteit. 19 maart Mergesort, Ondergrens sorteren Quicksort, Shellsort
College 6 Zesde college complexiteit 19 maart 2019 Mergesort, Ondergrens sorteren Quicksort, Shellsort 1 Vorige keer Voor sorteeralgoritmen gebaseerd op arrayvergelijkingen, waarbij per arrayvergelijking
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 5A Jan Terlouw maandag 8 maart 2010 1 Algemeen over DS in deze week Nadere belichting van stof van week 4 (mede i.v.m. toets). Bij het
Nadere informatieOver Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten
1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor
Nadere informatieVijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen
Nadere informatieUitwerking Herkansingstentamen Speltheorie,
Uitwerking Herkansingstentamen Speltheorie, 3-3-203 Schrijf en redeneer vooral duidelijk, want er wordt streng nagekeken: vaagheden e.d. leiden zonder meer tot puntenverlies. Alle drie opgaven zijn verplicht
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Beschrijven van reguliere talen Jeroen Keiren j.j.a.keiren@gmail.com VU University Amsterdam 5 Februari 2015 Talen Vorig college: Talen als verzamelingen Eindige automaten:
Nadere informatie7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
Nadere informatieFunctievergelijkingen
Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieTentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieNegende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren
Negende college algoritmiek 15 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 algemeen Uit college 8: DP: - nuttig bij problemen met overlappende deelproblemen - druk een oplossing van het probleem uit in oplossingen
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatie