Wiskunde logica Werkcollege 6

Transcriptie

1 Wiskunde logica Werkcollege 6 Jolien Oomens 17 maart 2017 Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

2 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (a) Γ$ϕ,Γ$ψ Γ$ϕ^ψ (b) Γ$Dxϕ Γ$@xϕ. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

3 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (a) Γ$ϕ,Γ$ψ Γ$ϕ^ψ (b) Γ$Dxϕ Γ$@xϕ. Een mogelijk bewijs voor de eerste claim is Γ $ ϕ (Premisse) Γ $ ψ (Premisse) Γ, ϕ $ ϕ (Aanname) Γ, ϕ $ ϕ (Antecedent) Γ, ϕ $ ψ (Contradictie ) Γ, ψ $ ψ (Aanname) Γ, ϕ _ ψ $ ψ (_A) Γ, ψ $ p ϕ _ ψq (Contrapositie (d)) Γ $ p ϕ _ ψq (Kettingregel). Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

4 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (a) Γ$ϕ,Γ$ψ Γ$ϕ^ψ (b) Γ$Dxϕ Γ$@xϕ. Een mogelijk bewijs voor de eerste claim is Γ $ ϕ (Premisse) Γ $ ψ (Premisse) Γ, ϕ $ ϕ (Aanname) Γ, ϕ $ ϕ (Antecedent) Γ, ϕ $ ψ (Contradictie ) Γ, ψ $ ψ (Aanname) Γ, ϕ _ ψ $ ψ (_A) Γ, ψ $ p ϕ _ ψq (Contrapositie (d)) Γ $ p ϕ _ ψq (Kettingregel). De tweede regel is incorrect en dus ook niet af te leiden. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

5 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (c) Γ$ϕ^ψ Γ$ϕ (d) Γ$ϕÑψ. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

6 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (c) Een bewijs voor (c) is Γ $ p ϕ _ ψq Γ$ϕ^ψ Γ$ϕ (d) Γ$ϕÑψ. (Premisse) Γ, ϕ $ ϕ (Aanname) Γ, ϕ $ ϕ _ ψ (_S) Γ, p ϕ _ ψq $ ϕ (Contrapositie (c)) Γ $ ϕ (Kettingregel) Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

7 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (c) Een bewijs voor (c) is Γ $ p ϕ _ ψq Γ$ϕ^ψ Γ$ϕ (d) Γ$ϕÑψ. (Premisse) Γ, ϕ $ ϕ (Aanname) Γ, ϕ $ ϕ _ ψ (_S) Γ, p ϕ _ ψq $ ϕ (Contrapositie (c)) Γ $ ϕ en een bewijs voor (d) is (Kettingregel) Γ, ϕ $ ψ (Premisse) Γ, ϕ $ ϕ _ ψ (_S) Γ, ϕ $ ϕ _ ψ (_S) Γ $ ϕ _ ψ (Gevalsonderscheiding). Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

8 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (e) ϕ_ψ$χ ϕ$χ. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

9 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (e) ϕ_ψ$χ ϕ$χ. We hebben in huiswerk 1 gezien dat deze regel correct is. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

10 Opgave 1 Welke van deze formules zijn af te leiden? (e) ϕ_ψ$χ ϕ$χ. We hebben in huiswerk 1 gezien dat deze regel correct is. Een formeel bewijs is: ϕ _ ψ $ χ ϕ $ ϕ _ ψ ϕ $ χ (Premisse) (_S) (Kettingregel). Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

11 Opgave 2a Geef een bewijs voor Γ$ϕ t x Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

12 Opgave 2a Geef een bewijs voor Γ$ϕ t x Een mogelijkheid is Γ $ Dx ϕ (Premisse) Γ, ϕ t x $ ϕ t x (Aanname) Γ, ϕ t x $ Dx ϕ (DS) Γ, Dx ϕ $ ϕ t x (Contrapositie (c)) Γ $ ϕ t x (Kettingregel) Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

13 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

14 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

15 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

16 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. In het bijzonder geldt het dus voor a 0 βpxq Jpxq. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

17 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. In het bijzonder geldt het dus voor a 0 βpxq Jpxq. Er geldt dus J a 0 x ù ϕ dus J ù ϕ, Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

18 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. In het bijzonder geldt het dus voor a 0 βpxq Jpxq. Er geldt dus J a 0 x ù ϕ dus J ù ϕ, dus volgens de premisse geldt dan ook J ù ψ Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

19 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. In het bijzonder geldt het dus voor a 0 βpxq Jpxq. Er geldt dus J a 0 x ù ϕ dus J ù ϕ, dus volgens de premisse geldt dan ook J ù ψ en daaruit volgt dat J ù ϕ a 0 x Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

20 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. In het bijzonder geldt het dus voor a 0 βpxq Jpxq. Er geldt dus J a 0 x ù ϕ dus J ù ϕ, dus volgens de premisse geldt dan ook J ù ψ en daaruit volgt dat J ù ϕ a 0 x dus inderdaad J ù Dxϕ. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

21 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. In het bijzonder geldt het dus voor a 0 βpxq Jpxq. Er geldt dus J a 0 x ù ϕ dus J ù ϕ, dus volgens de premisse geldt dan ook J ù ψ en daaruit volgt dat J ù ϕ a 0 x dus inderdaad J ù Dxϕ. (We gebruikten hier twee dingen: het Substitutielemma en J J a 0 x.) Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

22 Bepaal welke regels correct zijn: (a) (b) (a) Stel dat J ù Γ en J Dan geldt voor alle a P A dat J a x ù ϕ. In het bijzonder geldt het dus voor a 0 βpxq Jpxq. Er geldt dus J a 0 x ù ϕ dus J ù ϕ, dus volgens de premisse geldt dan ook J ù ψ en daaruit volgt dat J ù ϕ a 0 x dus inderdaad J ù Dxϕ. (We gebruikten hier twee dingen: het Substitutielemma en J J a 0 x.) (b) Neem Γ trxxu, ϕ x x en ψ Rxx. Dit is dus incorrect. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

23 Bepaal welke regels correct zijn: (c) in Γ (d) Γ$ϕ fy x Γ$Dxϕ als f unair is. Γ$ϕ fy x Γ$@xϕ als f unair is en f en y niet voorkomen Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

24 Bepaal welke regels correct zijn: (c) in Γ (d) Γ$ϕ fy x Γ$Dxϕ als f unair is. Γ$ϕ fy x Γ$@xϕ als f unair is en f en y niet voorkomen (c) Deze regel is incorrect. Wat gebeurt er als f alles op één punt afbeeldt? Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7

25 Bepaal welke regels correct zijn: (c) in Γ (d) Γ$ϕ fy x Γ$Dxϕ als f unair is. Γ$ϕ fy x Γ$@xϕ als f unair is en f en y niet voorkomen (c) Deze regel is incorrect. Wat gebeurt er als f alles op één punt afbeeldt? (d) Deze regel is correct, want je kunt een x in het beeld van f bekijken. Je gebruikt dan dat een domein niet leeg mag zijn. Jolien Oomens Werkcollege 6 17 maart / 7