Logica 1. Joost J. Joosten

Transcriptie

1 Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan CS Utrecht Kamer 158, jjoosten@phil.uu.nl jjoosten (hier moet een tilde bij) Logica 1 p.1/8

2 Vandaag Inductieprincipes Logica 1 p.2/8

3 Vandaag Inductieprincipes Correctheidsstelling Logica 1 p.2/8

4 Vandaag Inductieprincipes Correctheidsstelling Gevolgen van de correctheidsstelling: Logica 1 p.2/8

5 Vandaag Inductieprincipes Correctheidsstelling Gevolgen van de correctheidsstelling: ϕ Logica 1 p.2/8

6 Vandaag Inductieprincipes Correctheidsstelling Gevolgen van de correctheidsstelling: ϕ Geen pauze! Logica 1 p.2/8

7 Universele uitspraken Hoe kunnen we universele uitspraken bewijzen? Logica 1 p.3/8

8 Universele uitspraken Hoe kunnen we universele uitspraken bewijzen? Niet? Logica 1 p.3/8

9 Universele uitspraken Hoe kunnen we universele uitspraken bewijzen? Niet? Een socioloog, een fysicus en een filosoof zitten in de trans-sibirische express... Logica 1 p.3/8

10 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Logica 1 p.4/8

11 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Logica 1 p.4/8

12 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Logica 1 p.4/8

13 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Logica 1 p.4/8

14 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.4/8

15 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.4/8

16 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.4/8

17 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.4/8

18 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ψ), dan P( ψ) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.4/8

19 Inductieprincipes We kunnen nu de indrukwekkende stelling bewijzen dat elke formule een even aantal haakjes heeft. Logica 1 p.5/8

20 Bewijzen Bewijzen zijn ook inductief gedefinieerd Logica 1 p.6/8

21 Bewijzen Bewijzen zijn ook inductief gedefinieerd Dus, er is een inductieprincipe voor bewijzen Logica 1 p.6/8

22 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Logica 1 p.7/8

23 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Logica 1 p.7/8

24 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Logica 1 p.7/8

25 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Logica 1 p.7/8

26 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: Logica 1 p.7/8

27 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Logica 1 p.7/8

28 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. Logica 1 p.7/8

29 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. D D ϕ ψ We willen dat ϕ ψ I eigenschap P heeft. Logica 1 p.7/8

30 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. D D ϕ ψ We willen dat ϕ ψ I eigenschap P heeft. blablabla Logica 1 p.7/8

31 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. D D ϕ ψ We willen dat ϕ ψ I eigenschap P heeft. blablabla Q.E.D. Logica 1 p.7/8

32 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Logica 1 p.8/8

33 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Logica 1 p.8/8

34 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Logica 1 p.8/8

35 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Logica 1 p.8/8

36 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla Logica 1 p.8/8

37 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla bla Logica 1 p.8/8

38 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla bla bla Logica 1 p.8/8

39 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla bla bla Q.E.D. Logica 1 p.8/8

40 Gevolgen Hoe te beslissen ψ? Logica 1 p.9/8

41 Gevolgen Hoe te beslissen ψ? Beslisbaarheid? (mechanische zoekprocedure (calculemus)) Logica 1 p.9/8