Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven"

Transcriptie

1 Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt met een punt van het grid. Ieder drietal verschillende punten dat niet op één lijn ligt leidt tot een driehoek. Het totale aantal mogelijkheden om 3 punten te kiezen is ( ) 16 3 = 560. Hier moet je nog alle drietallen vanaf trekken die op één lijn liggen. Er zijn 10 viertallen van punten op één lijn (alle horizontale en verticale lijnen door het grid plus de twee lange diagonalen), en er zijn 4 drietallen van punten op één lijn (alle korte diagonalen, zoals (0, 1), (1, 2), (2, 3)). Voor de viertallen heb je steeds ( ) 4 3 mogelijke drietallen op één lijn. In totaal kun je dan = 44 drietallen kiezen die op één lijn liggen. Het totale aantal mogelijkheden is dus = 516 stuks. (2) Bepaal het aantal verschillende gehele getallen tussen 100 en 1000 die een veelvoud zijn van 6 en die bestaan uit verschillende cijfers; de 0 doet niet mee. Het getal is deelbaar door 6 dan en slechts dan als het laatste cijfer even is en de som van de cijfers deelbaar is door 3. Verdeel de cijfers 1,..., 9 in drie sets afhankelijk van hun rest bij deling door 3. Dit levert S 0 = {3, 6, 9}, S 1 = {1, 4, 7} en S 2 = {2, 5, 8}. Om aan de eis dat de som van de cijfers een drietal is te voldoen moet je óf alle drie cijfers uit dezelfde deelverzameling kiezen, óf uit iedere deelverzameling precies één. Wanneer je alle cijfers uit S 0 of S 1 kiest, dan moet je het even getal achteraan zetten, waarna je nog twee mogelijkheden overhoudt. Wanneer je alle cijfers uit S 2 kiest, dan heb je twee keuzes voor het laatste cijfer en nog twee voor het voorlaatste cijfer. In totaal voor deze drie opties zijn er = 8 mogelijkheden. Wanneer je ze uit verschillende deelverzamelingen kiest, dan heb je voor het laatste cijfer 4 mogelijkheden. Daarna heb je nog 6 mogelijkheden voor het voorlaatste cijfer (ieder getal uit de resterende twee deelverzamelingen is toegestaan) en dan nog 3 mogelijkheden voor het eerste cijfer: in totaal dus = 72 mogelijkheden. Het totale aantal mogelijkheden bedraagt = 80. (3a) S(n, k) is gedefinieerd als het aantal mogelijkheden om n herkenbare ballen te verdelen over k onherkenbare dozen, waarbij iedere doos minstens 1 bal krijgt. Bewijs (combinatorisch) dat S(n, k) = ks(n 1, k) + S(n 1, k 1) We gaan de situatie op een andere manier tellen. We bekijken eerst op hoeveel manieren we de eerste n 1 ballen kunnen verdelen over de k dozen en voegen vervolgens bal n toe. We onderscheiden hierbij twee gevallen: 1. In alle k dozen komt minstens één bal terecht door het toevoegen van de eerste n 1 ballen. Dit eerste kan uiteraard op S(n 1, k) manieren. We kunnen nu bal n in elk van de dozen toevoegen (immers overal zit al een bal in). Merk op dat de dozen 1

2 nu al herkenbaar zijn doordat we er herkenbare ballen in hebben gestopt. Dit geeft in totaal dus ks(n 1, k) manieren. 2. Niet in alle dozen komt bij het toevoegen van de eerste n 1 ballen een bal terecht. Uiteraard komt er wel in k 1 dozen een bal terecht (anders kunnen nooit alle dozen vol raken met door toevoegen van bal n. We kunnen dit dan op S(n 1, k 1) manieren doen. Maar nu hebben we voor bal n geen keuze meer, dus dat levert geen extra mogelijkheden. We concluderen dat we op deze manier precies S(n 1, k 1) mogelijkheden hebben. Bovenstaand opgesplitst proces is natuurlijk precies hetzelfde als n herkenbare ballen verdelen over k onherkenbare dozen. We kunnen nu dus concluderen dat inderdaad geldt dat S(n, k) = ks(n 1, k) + S(n 1, k 1). (3b) Definieer Q(n, k) als het aantal mogelijkheden om n herkenbare elementen te verdelen in k groepjes, waarbij je voor ieder groepje het aantal verschillende ordeningen telt; twee ordeningen zijn verschillend wanneer ze een verschillend cykel opleveren (bijv. ABC en ACB zijn verschillend; ABC en BCA zijn gelijk). Druk Q(n, k) uit in Q(n 1, k) en Q(n 1, k 1) en bewijs de correctheid van deze uitdrukking met een combinatorisch bewijs. We claimen dat Q(n, k) = Q(n 1, k 1)+(n 1)Q(n 1, k). We gaan dit combinatorisch bewijzen. Hiervoor bekijken we net als in de vorige opgave wat er kan gebeuren als we de eerste n 1 elementen verdelen. We onderscheiden wederom 2 gevallen: 1. De n 1 elementen zijn al opgedeeld in k cykels. Er geldt dat we deze opdeling op Q(n 1, k) manieren kunnen doen. We gaan nu het n-de element toevoegen. Merk echter op dat het niet voldoende is om aan te wijzen in welke groep we dit element toevoegen, immers in elke groep onderscheiden we verschillende cykels. We kunnen het echter wel als volgt zien. We zetten het n-de in dezelfde groep als het m de element en dan ook precies voor het m de element in de cykel (dit kan dus op n 1 manieren). Merk op dat we op deze manier altijd een andere verdeling van de cykels maken. Bovendien krijgen we ze ook allemaal (Stel we krijgen er 1 niet, als m niet achteraan staat is het duidelijk dat we hem wel kunnen maken, anders, draai de bijbehorende cykel een slag door, dan is het nu duidelijk dat we deze verdeling kunnen construeren. Tegenspraak, we hebben dus een bijectie. We concluderen dat we op deze manier in totaal (n 1)Q(n 1, k) manieren hebben. 2. De n 1 elementen zijn in precies k 1 cykels (groepen) opgedeeld (minder kan natuurlijk niet). Dit kan op Q(n 1, k 1) manieren. Maar nu is het duidelijk dat we het n de element apart moeten zetten, dit kan maar op 1 manier. Dus totaal levert deze mogelijkheid Q(n 1, k 1) manieren op. We hebben nu precies Q(n, k) door onderscheid te maken naar twee gevallen. We concluderen nu dat Q(n, k) = Q(n 1, k 1) + (n 1)Q(n 1, k). 2

3 (3c) Bewijs dat n Q(n, k) = n! k=0 door middel van een combinatorisch bewijs. Gegeven de elementen 1, 2,..., n. We bekijken nu een willekeurige permutatie van deze elementen. Merk op dat we een permutatie kunnen ontbinden in disjuncte cykels, bijvoorbeeld: (12345) (13425) kunnen we schrijven als (1)(234)(5), dit is bekend uit onder andere groepentheorie. Als we nu k het aantal disjuncte cykels noemen dan is dit niets anders dan een mogelijkheid om n elementen over k (onherkenbare) groepjes te verdelen waarbij we onderscheid maken tussen verschillende cykels. Merk op dat we voor elke verschillende permutatie van n elementen een andere andere verdeling van de elementen over een (eventueel) ander aantal groepjes. Een andere manier om het bovenstaande inzichtelijk te maken is dat we een gerichte graaf maken met punten 1,..., n en waarbij we een pijl trekken van i naar π(i), voor i = 1,..., n. Deze graaf valt uiteen in één of meer deelcykels. Ieder deelcykel correspondeert weer met de (volgorde-afhankelijke) inhoud van een doos. Omgekeerd correspondeert de inhoud van iedere doos met een deelcykel. (4) De 52 kaarten van een kaartspel zijn eerlijk (allen 13 kaarten) verdeeld over de vier spelers, die we aanduiden met Noord, Oost, Zuid en West. Gegeven dat Noord en Zuid samen 9 schoppens, 8 hartens, 4 ruitens en 5 klavers hebben, wat is de kans op precies 2 of 3 hartens bij West? Als we de kaarten van Noord en Zuid niet meetellen zijn er nog 4 schoppen, 5 harten, 9 ruiten en 8 klaveren over. Uit deze 26 kaarten (5 harten en 21 niet harten) moet de hand van West worden samengesteld. Dit kan op ( ) (de kaarten zijn onderscheidbaar) manieren. We kijken nu bij hoeveel samenstellingen er 2 of 3 harten zitten. Er zijn uiteraard ( )( ( )( ) 2 11) handen waarbij West 2 harten krijgt en 3 10 handen waarbij West 3 harten krijgt. Nu volgt dat de kans op 2 of 3 harten precies gelijk is aan ( )( ( )( ) 2 11) ) = 156 = 0, ( (5) Gegeven is een groep van n 1 dames en n 2 heren en een grote ronde tafel met precies n 1 +n 2 plaatsen. Om redenen die ik niet durf te vertellen wil ik een tafelschikking maken zodanig dat het niet voorkomt dat een persoon (m/v) tussen twee dames zit. (a) Laat zien dat dit onmogelijk is als n 1 > n 2. Stel dat je wel zo n tafelschikking hebt. Dan geldt voor iedere dame dat er twee posities verderop (zeg maar aan de linkerkant) een heer hoort te zitten. Dit betekent dat bij iedere dame een andere heer hoort in de tafelschikking, en je hebt dus minstens evenveel heren als dames nodig. Ik had er bij kunnen zetten dat ook hier er voldoende dames en heren 3

4 zijn, want theoretisch lukt het wel met één dame (maar dat is niet gezellig). (b) Stel dat geldt dat n 1 = n 2 = n 10 (deze 10 is willekeurig, maar het moet groot genoeg zijn om triviale gevallen uit te sluiten). Voor welke waarden van n is het mogelijk om een tafelschikking te maken? Stel dat je een correcte tafelschikking hebt. Kijk naar de omvang van de groepjes heren. Uiteraard moet ieder groepje heren een omvang van minstens 2 hebben. Wanneer er een groepje is met 3 heren, dan kun je daaruit eentje weglaten zonder dat dit de tafelschikking incorrect maakt. Maar dan houd je minder heren dan dames over, en volgens (a) is het niet mogelijk dat er dan een correcte tafelschikking is. Dit betekent dat alle groepjes heren uit 2 stuks moeten bestaan: je moet dus hebben dat n even is. Dan kun je een tafelschikking maken door te werken met groepjes van steeds twee dames en twee heren; drie of meer dames in een groepje mag niet, want dan zit de middelste dame naast twee dames. (c) Geef een uitdrukking voor het aantal mogelijke tafelschikkingen voor de waarden van n waarvoor dit mogelijk is. Hierbij geldt dat de gastheer en gastvrouw een vaste plaats naast elkaar hebben en dat alle dames en heren herkenbaar zijn. Aangezien de gastheer en gastvrouw naast elkaar zitten, ligt de positie van alle groepjes heren en dames ook vast (afhankelijk van of de gastheer nu links of rechts van de gastvrouw zit). Dit betekent dat je de resterende (n 1) dames en heren over de voor hen beschikbare plaatsen moet verdelen. Dit kan op (n 1)! manieren voor allebei, dus volgens de productregel zijn er [(n 1)!] 2 mogelijkheden. (6) Gegeven is een willekeurig positief, geheel getal n. Bepaal het aantal ongeordende paren van positieve gehele getallen (y, z), waarbij geldt dat (a) het kleinste gemene veelvoud van y en z gelijk is aan n. (b) y en z delers van n zijn met grootste gemene deler 1. (c) y n 2 ; z n 2, y en z zijn beide delers van n 2 en de grootste gemene deler van y en z is gelijk aan n. Bepaal eerst de priemontbinding van n; neem aan dat er k priemfactoren x 1,..., x k zijn met exponenten m 1,..., m k, dus n = k i=1 x m i i. (a) Om ervoor te zorgen dat KGV (y, z) = n moet gelden dat de maximale exponent van x i in y en z gelijk is aan m i, voor alle i = 1,..., k; de exponent in het andere getal kan iedere waarde uit {0, 1,..., m i } zijn. Omdat je mag kiezen of y of z de factor x m i i bevat krijg je dan 2m i + 1 mogelijkheden. Dit levert als aantal geordende paren k (2m i + 1). i=1 4

5 Het aantal ongeordende paren is het bovenstaande plus 1 gedeeld door 2, aangezien je ieder paar dubbbel hebt, behalve (n, n). (b) Nu geldt dat de minimale exponent van x i in y en z gelijk is aan 0, voor alle i = 1,..., k; de exponent in het andere getal kan iedere waarde uit {0, 1,..., m i } zijn. Dit leidt tot hetzelfde aantal als boven, aangezien het verder dezelfde situatie is. (c) Nu geldt dat de minimale exponent van x i in y en z gelijk is aan m i, en de exponent in het andere getal kan iedere waarde uit {m i, m i + 1,..., 2m i }. Ook dit leidt weer tot hetzelfde aantal ongeordende paren. 5

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017 IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1 Paragraaf De kansdefinitie Opgave a) Als de kikker verspringt, gaat hij van zwart naar wit, of andersom Hij zit dus afwisselend op een zwart en een wit veld Op een willekeurig moment is de kans even groot

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek

Nadere informatie

Combinatoriek. Oefeningen op hoofdstuk 3. 3.1 Het duivenhokprincipe. 3.2 Dubbele telling

Combinatoriek. Oefeningen op hoofdstuk 3. 3.1 Het duivenhokprincipe. 3.2 Dubbele telling Oefeningen op hoofdstuk 3 Combinatoriek 3.1 Het duivenhokprincipe Oefening 3.1. Geraldine heeft twaalf roze kousen, zes appelblauwzeegroene en tien gele allemaal door elkaar in haar lade. Het is pikdonker

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Selectietoets vrijdag 8 maart 2013

Selectietoets vrijdag 8 maart 2013 Selectietoets vrijdag 8 maart 2013 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. In trapezium ABCD is AB CD. Zij M het midden van diagonaal AC. Neem aan dat driehoeken ABM en ACD dezelfde

Nadere informatie

Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde. 26 mei 2003

Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde. 26 mei 2003 Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde 26 mei 2003 1 Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging Oefening 1.1.1 Zoals gebruikelijk noteren wij

Nadere informatie

Het Breukenboekje. Alles over breuken

Het Breukenboekje. Alles over breuken Het Breukenboekje Alles over breuken breuken breukentaal tekening getal een hele 1 een halve een kwart een achtste ½ of ½ ¼ of ¼ ⅛ of ⅛ 3 breuken breukentaal tekening getal een vijfde ⅕ of ⅕ een tiende

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje.

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje. 4som kaart a In een 4som-puzzel moeten in vier hokjes getallen worden geschreven. Van de (horizontale) rijen en van de (verticale) kolommen is de som gegeven en ook van de diagonalen. Welke getallen moeten

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste

Nadere informatie

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn. Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

6 Breuken VOORBEELDPAGINA S. Bestelnr Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken

6 Breuken VOORBEELDPAGINA S. Bestelnr Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken Bestelnr. Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken K-Publisher B.V. Prins Hendrikstraat NL- CS Bodegraven Telefoon +(0)- 0 Telefax +(0)- info@k-publisher.nl www.k-publisher.nl Breuken Breuk

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13

Nadere informatie

Toelichting op de werkwijzer

Toelichting op de werkwijzer Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,

Nadere informatie

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE 2015 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gegeven zijn drie verschillende gehele getallen a, b en c, die elk groter dan 0 en kleiner dan

Nadere informatie

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen 1.12 Kernbegrippen van de Kennisbasis Hele getallen, onderdeel Bewerkingen Aftrekker De aftrekker in een aftreksom is het getal dat aangeeft hoeveel

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

In het vervolg gaan we steeds uit van een verzameling A bestaande uit n verschillende objecten. We geven de elementen van A een naam door ze te

In het vervolg gaan we steeds uit van een verzameling A bestaande uit n verschillende objecten. We geven de elementen van A een naam door ze te Tellen 1. Telproblemen Tussen sommige objecten maken we onderscheid (die beschouwen we dus allemaal als verschillend), bijvoorbeeld tussen de 26 letters van het alfabet, tussen een peer, een appel en een

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen Tellen Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 16-9-2015 Dingen om te tellen afbeeldingen injecties surjecties bijecties deelverzamelingen van diverse pluimage Wat notatie Afkorting: n

Nadere informatie

2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11.

2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11. Uitwerkingen wizbrain 2013 1. E 2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11. 3. C De vetgedrukte kaarsen in de volgende tabel branden na 55 minuten: begin 0 10 20 30

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

Bij een ideaal rooster voor n = 2k 1 teams speelt elk team afwisselend uit en thuis, en dat blijkt ook te kunnen.

Bij een ideaal rooster voor n = 2k 1 teams speelt elk team afwisselend uit en thuis, en dat blijkt ook te kunnen. Uitwerking Puzzel 92-5 Knikken Wobien Doyer Lieke de Rooij Als wiskundige krijg je op school al gauw de taak om te roosteren. Frans van Hoeve nam die taak ook op zich voor het maken van roosters voor een

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2010 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2010 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 010 Uitwerkingen 1 We tellen het aantal donkere tegels in elke rij. Rij 1 (en rij 19) bestaat uit 10 witte tegels. Rij (en rij 18) bestaat uit 11 tegels, waarvan 6 wit en 5 donker. Rij

Nadere informatie

Selectietoets vrijdag 21 maart 2014

Selectietoets vrijdag 21 maart 2014 Selectietoets vrijdag 21 maart 2014 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle niet-negatieve gehele getallen n waarvoor er gehele getallen a en b bestaan met n 2 = a + b en

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk

Nadere informatie

inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4

inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 handleiding tellen inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 turven en superturven 4 2 tellen en formules 4 3 tellen en plaatjes 4 4 veelvouden en delers Error!

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Getallen tellen. 1.1 Gehele getallen. 1.2 Recursieve definities. 1.3 Het induktieprincipe

Hoofdstuk 1. Getallen tellen. 1.1 Gehele getallen. 1.2 Recursieve definities. 1.3 Het induktieprincipe Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging 1.1.3 De ordening van de gehele getallen 1.1.4 Het axioma van de goede ordening 1.2 Recursieve

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna

Nadere informatie

Voor de minder ervaren spelers

Voor de minder ervaren spelers Bron: Bridge Service.nl Voor de minder ervaren spelers Voor welke vier eerste biedingen kies je met de gegeven zuidhand? Spel West Noord Oost Zuid Zuidhand 1 -- 1 pas?? 4 2 V B 6 5 H 9 8 4 3 2 -- 1 pas??

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer.

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer. ANTWOORDEN KANGOEROE 2001 BRUGKLAS en KLAS 2 1. E 2. E 18 doosjes voor de rode, 13 voor de blauwe: totaal 31 doosjes 3. C De ringen A, B en D zitten allemaal alleen door ring C. 4. B De twee getallen moeten

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Viervlakken. Op een tafel vóór je staan vier viervlakken V 1, V 2, V 3 en V 4. Op elk grensvlak

Nadere informatie

b) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf

b) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n

Nadere informatie

= 50 : 2 = 25 Zo kun je bijvoorbeeld ook rekenen bij 24 : 5 + 24 : 20 = 24 x 1 5 + 24 x 1

= 50 : 2 = 25 Zo kun je bijvoorbeeld ook rekenen bij 24 : 5 + 24 : 20 = 24 x 1 5 + 24 x 1 Moeilijke deelsom 50 : 6 + 50 : 3 = 50 x 1 6 + 50 x 1 3 = 50 x ( 1 6 + 1 3 ) = 50 x 1 2 = 50 : 2 = 25 Zo kun je bijvoorbeeld ook rekenen bij 24 : 5 + 24 : 20 = 24 x 1 5 + 24 x 1 20 = 24 x (1 5 + 1 20 )

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Voor de minder ervaren spelers

Voor de minder ervaren spelers Bron: Bridge Service.nl Voor de minder ervaren spelers Spel 1 B 4 3 A B 4 V 2 A H V B 10 A H V Aan alle tafels speelt zuid 3SA. De helft van de westspelers start met H en de andere helft met 10. Hoe moet

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2003-2004: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Herexamen Discrete Wiskunde deel I donderdag 6 juli, 2017

Herexamen Discrete Wiskunde deel I donderdag 6 juli, 2017 Herexamen Discrete Wiskunde 2016-2017 deel I donderdag 6 juli, 2017 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd vel uw naam en studentnummer.

Nadere informatie

Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus.

Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Opgave 1. Niet alle mogelijke posities zijn door middel van draaien te bereiken. Het is bijvoorbeeld

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Bridge Vaardigheids Bewijs

Bridge Vaardigheids Bewijs Bridge Vaardigheids Bewijs Plezierig bridge is alleen mogelijk als de deelnemers op hoffelijke wijze met elkaar omgaan en weten wat hun rechten en plichten zijn. Als je van de volgende 25 vragen er minstens

Nadere informatie

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Combinatoriek. Introductie 23. Leerkern 24. Samenvatting 45. Zelftoets 46

Inhoud leereenheid 13. Combinatoriek. Introductie 23. Leerkern 24. Samenvatting 45. Zelftoets 46 Inhoud leereenheid 13 Combinatoriek Introductie 23 Leerkern 24 13.1 Tellen, maar wat? 24 13.2 De ene verzameling is de andere niet, of toch wel? 27 13.3 Waar alle tellen mee begint 28 13.4 Herhalingsrangschikkingen

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

W i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT

W i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT W i s k u n d e voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN UTEUR: JOHNNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM MSTERDM, 200 Inhoudsopgave Getallen. Van de één naar de nul................................

Nadere informatie

Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +)

Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +) Deeltentamen Groepentheorie (WISB221). A. Henriques, Nov 2012. Geef niet alleen anwoorden, maar bewijs al je beweringen. Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: [5pt] Z 5 = Z 4, Z

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Goochelen en wiskunde

Goochelen en wiskunde Goochelen en wiskunde Tom Koornwinder en Dick Koornwinder T.H.Koornwinder@uva.nl, dick.koornwinder@gmail.com https://staff.fnwi.uva.nl/t.h.koornwinder/ Lezing tijdens het zesde lustrum van de Wiskundige

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie