Analyse: van R naar R n hoorcollege
|
|
|
- Vera Baert
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Analyse: van R naar R n hoorcollee Uniforme converentie van reeksen (5) Gerrit Oomens G.Oomens@uva.nl Kortewe-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
2 Uniforme converentie Definitie 24.2 Zij (f n ) een rij reëelwaardie functies op S R. We zeen dat (f n ) uniform convereert naar f als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f (x) < ɛ voor alle x S als n > N.
3 Uniforme converentie Definitie 24.2 Zij (f n ) een rij reëelwaardie functies op S R. We zeen dat (f n ) uniform convereert naar f als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f (x) < ɛ voor alle x S als n > N. Definitie 25.3 We zeen dat een rij reëelwaardie functies (f n ) op S R uniform Cauchy is als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f m (x) < ɛ voor alle x S als n, m > N.
4 Uniforme converentie Definitie 24.2 Zij (f n ) een rij reëelwaardie functies op S R. We zeen dat (f n ) uniform convereert naar f als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f (x) < ɛ voor alle x S als n > N. Definitie 25.3 We zeen dat een rij reëelwaardie functies (f n ) op S R uniform Cauchy is als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f m (x) < ɛ voor alle x S als n, m > N. Een rij functies convereert uniform desda de rij uniform Cauchy is.
5 Uniforme converentie Definitie 24.2 Zij (f n ) een rij reëelwaardie functies op S R. We zeen dat (f n ) uniform convereert naar f als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f (x) < ɛ voor alle x S als n > N. Definitie 25.3 We zeen dat een rij reëelwaardie functies (f n ) op S R uniform Cauchy is als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f m (x) < ɛ voor alle x S als n, m > N. Een rij functies convereert uniform desda de rij uniform Cauchy is. Als (f n ) een rij continu functies is met f n f uniform op een verzamelin S R, dan is f continu op S.
6 Uniforme converentie Definitie 24.2 Zij (f n ) een rij reëelwaardie functies op S R. We zeen dat (f n ) uniform convereert naar f als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f (x) < ɛ voor alle x S als n > N. Definitie 25.3 We zeen dat een rij reëelwaardie functies (f n ) op S R uniform Cauchy is als ɛ > 0 N N zodat f n (x) f m (x) < ɛ voor alle x S als n, m > N. Een rij functies convereert uniform desda de rij uniform Cauchy is. Als (f n ) een rij continu functies is met f n f uniform op een verzamelin S R, dan is f continu op S. Als f n f uniform op [a, b], dan eldt lim n b a f n (x) dx = b a f (x) dx = b a lim f n(x) dx. n
7 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0
8 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0 De partiële sommen zijn nu ook functies: s n (x) = k (x). k=0
9 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0 De partiële sommen zijn nu ook functies: s n (x) = k (x). k=0 Deze rij functies kan puntsewijs of uniform convereren naar een functie f op S.
10 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0 De partiële sommen zijn nu ook functies: s n (x) = k (x). k=0 Deze rij functies kan puntsewijs of uniform convereren naar een functie f op S. We zeen dan dat k (puntsewijs/uniform) convereert.
11 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0 De partiële sommen zijn nu ook functies: s n (x) = k (x). k=0 Deze rij functies kan puntsewijs of uniform convereren naar een functie f op S. We zeen dan dat k (puntsewijs/uniform) convereert. We zien k convereert uniform
12 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0 De partiële sommen zijn nu ook functies: s n (x) = k (x). k=0 Deze rij functies kan puntsewijs of uniform convereren naar een functie f op S. We zeen dan dat k (puntsewijs/uniform) convereert. We zien k convereert uniform (s n ) convereert uniform
13 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0 De partiële sommen zijn nu ook functies: s n (x) = k (x). k=0 Deze rij functies kan puntsewijs of uniform convereren naar een functie f op S. We zeen dan dat k (puntsewijs/uniform) convereert. We zien k convereert uniform (s n ) convereert uniform (s n ) is uniform Cauchy.
14 Reeksen van functies Zij ( k ) een rij functies op S R en bekijk nu de reeks k (x). k=0 De partiële sommen zijn nu ook functies: s n (x) = k (x). k=0 Deze rij functies kan puntsewijs of uniform convereren naar een functie f op S. We zeen dan dat k (puntsewijs/uniform) convereert. We zien k convereert uniform (s n ) convereert uniform (s n ) is uniform Cauchy. Dit laatste eeft het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N.
15 Uniforme converentie en continuïteit Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N.
16 Uniforme converentie en continuïteit Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Stel dat ( k ) een rij continue functies is en bekijk k=0 k.
17 Uniforme converentie en continuïteit Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Stel dat ( k ) een rij continue functies is en bekijk k=0 k. Dan is s n (x) = k (x) k=0
18 Uniforme converentie en continuïteit Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Stel dat ( k ) een rij continue functies is en bekijk k=0 k. Dan is s n (x) = k (x) k=0 continu voor alle n
19 Uniforme converentie en continuïteit Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Stel dat ( k ) een rij continue functies is en bekijk k=0 k. Dan is s n (x) = k (x) k=0 continu voor alle n, dus als de reeks uniform convereert is f (x) = lim n s n(x) = k (x) k=0
20 Uniforme converentie en continuïteit Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Stel dat ( k ) een rij continue functies is en bekijk k=0 k. Dan is s n (x) = k (x) k=0 continu voor alle n, dus als de reeks uniform convereert is f (x) = lim n s n(x) = een continue functie op S. k (x) k=0
21 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N.
22 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert:
23 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S.
24 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0.
25 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0. De reeks M k convereert, dus voldoet aan het Cauchy criterium
26 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0. De reeks M k convereert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n m > N eldt n M k < ɛ.
27 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0. De reeks M k convereert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n m > N eldt n M k < ɛ. Dan is
28 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0. De reeks M k convereert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n m > N eldt n M k < ɛ. Dan is k (x)
29 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0. De reeks M k convereert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n m > N eldt n M k < ɛ. Dan is k (x) M k
30 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0. De reeks M k convereert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n m > N eldt n M k < ɛ. Dan is k (x) M k < ɛ.
31 Uniforme converentie van reeksen Stellin 25.6 Een reeks k van functies convereert uniform op S desda hij voldoet aan het uniforme Cauchy criterium: ɛ > 0 N N zodat < ɛ voor alle x S als n m > N. Als evol hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convereert: Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bewijs: zij ɛ > 0. De reeks M k convereert, dus voldoet aan het Cauchy criterium: er is een N zodat voor n m > N eldt n M k < ɛ. Dan is k (x) M k < ɛ. We zien dat k aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
32 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k.
33 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2.
34 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op ( 2, 2) eldt 2 k x k
35 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op ( 2, 2) eldt 2 k x k 2 k 2 k
36 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op ( 2, 2) eldt 2 k x k 2 k 2 k = 1.
37 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op ( 2, 2) eldt 2 k x k
38 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k
39 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k 2 k a k
40 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k 2 k a k = ( ) a k 2
41 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k 2 k a k = ( ) a k 2 en voor a < 2 convereert ( a ) k. k 2
42 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k 2 k a k = ( ) a k 2 en voor a < 2 convereert ( a ) k. k 2 Dus kunnen we de M-test toepassen met M k = ( ) a k 2
43 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k 2 k a k = ( ) a k 2 en voor a < 2 convereert ( a ) k. k 2 Dus kunnen we de M-test toepassen met M k = ( a k 2) om te zien dat de reeks uniform convereert op [ a, a] voor alle a < 2.
44 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k 2 k a k = ( ) a k 2 en voor a < 2 convereert ( a ) k. k 2 Dus kunnen we de M-test toepassen met M k = ( a k 2) om te zien dat de reeks uniform convereert op [ a, a] voor alle a < 2. Op [ 2, 2] hebben we een uniforme converentie, want:
45 Voorbeeld Stellin 25.7 (Weierstrass M-test) k (x) M k voor alle x S. Als M k <, dan convereert k uniform op S. Bekijk de machtreeks k=0 2 k x k. Deze heeft converentiestraal 2. Op [ a, a] eldt 2 k x k 2 k a k = ( ) a k 2 en voor a < 2 convereert ( a ) k. k 2 Dus kunnen we de M-test toepassen met M k = ( a k 2) om te zien dat de reeks uniform convereert op [ a, a] voor alle a < 2. Op [ 2, 2] hebben we een uniforme converentie, want: Lemma Stel dat k uniform convereert op S. Dan eldt k 0 uniform op S.
Z.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
TW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Examenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
ANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a
ANALYSEQUIZ 2016 Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a WAAR OF ONWAAR: EEN SOM CONVERGEERT ALS DE TERMEN NAAR NUL GAAN. A. Waar B. Onwaar De vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling
(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Tentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010
Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder
Convexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
CALCULUS & ANALYSE. Stefaan Poedts. CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven
CALCULUS & ANALYSE Stefaan Poedts CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven Monitoraat Kaat Zeeuwts (Kaatje.Zeeuwts@wet.kuleuven.be) Annouk Van Vlierden (Annouk.VanVlierden@wet.kuleuven.be) Oefeningen Berdien, Dina,
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................
Wanneer zijn alle continue functies uniform continu?
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Bachelor Project I Stijn Tóth Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding
Het uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
3 Rijen en reeksen van functies
3 Rijen en reeksen van functies 3.1 Uniforme convergentie van een rij functies Met het oog op latere toepassingen op machtreeksen en Fourierreeksen werken we in het vervolg steeds met complexwaardige functies.
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Convexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Tentamen Topologie, Najaar 2011
Tentamen Topologie, Najaar 2011 27.01.2012, 08:30-11:30, LIN 8 (HG00.308) Toelichting: Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, etc.) gebruiken, behalve de boeken van Gamelin/Greene
Analyse: Van R naar R n 1. Aanvullingen op Ross. Jan Wiegerinck version 10 januari 2013
Analyse: Van R naar R n 1. Aanvullingen op Ross Jan Wiegerinck version 10 januari 2013 Korteweg de Vries Instituut, Universiteit van Amsterdam, Science Park 904 Amsterdam E-mail address: j.j.o.o.wiegerinck@uva.nl
Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve
Oefeningen Analyse I
Oefeningen Analyse I Hoofdstuk 2: Rijen en Reeksen Inleiding Opmerking: In deze tekst kunnen fouten staan. Het zijn meestal oefeningen opgeschreven vanuit de lest, met eventueel zelf gemaakte oefeningen
is de uitspraak dat als A waar is B ook waar is, A B staat voor A en B zijn equivalent: A B en B A, A staat voor de logische ontkenning van A,
Dit college wordt gegeven aan de hand van het boek The Way of Analysis van Robert S. Strichartz (Jones and Bartlett, ISBN 0-7637-1497-6), dat ook gebruikt wordt bij het vervolgcollege in het tweede jaar
== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Signalen en Transformaties Onderwijs Dinsdag: hoorcollege
Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006
1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012
Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige
V.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
VI.2 Reeksen met positieve termen
VI.2 Reeksen met positieve termen In deze paragraaf kiken we naar reeksen =0 a met a 0 voor alle N. Merk op dat in dit geval voor de ri van partiële sommen s n = n =0 a met n 0, geldt dat s 0 s s 2...
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Tom Koornwinder thk@science.uva.nl Korteweg-de Vries Instituut, UvA Ontwikkeling van het functiebegrip p.1/13 Moderne definitie van een functie
Wiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek
Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren
Aanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Wat kan er (niet) zonder ε-δ?
Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Tentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur
Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven
Wiskunde I - Wiskunde II
- Wiskunde II fundamentele methoden in wiskunde en statistiek Marnix Van Daele Marnix.VanDaele@UGent.be Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Introductiedag scheikunde 2003-2004
Parels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
De Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Opgaven Hilbert-ruimten en kwantummechanica (2006)
Opgaven Hilbert-ruimten en kwantummechanica (2006) Altijd: Opgave 1 is om te oefenen (niet om in te leveren), Opgave 2 is de inleveropgave, Opgave 3 is de bonusopgave (inleveren niet verplicht maar wel
Hoeveel is oneindig minus oneindig?
Hoeveel is oneindig minus oneindig? Just because something is infinite, doesn t mean it s zero! (Pauli) Vakantiecursus 2012: De exacte benadering Jeroen Spandaw (e-mail: j.g.spandaw@tudelft.nl) September
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk
3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Analyse: van R naar R n
Analyse: van R naar R n Tom Koornwinder Jan Wiegerinck 10 januari 2014 Inhoudsopgave I Aanvullingen op Ross 3 1 Reële getallen en de supremumeigenschap 5 1.1 Bij paragraaf 4.....................................
Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
college 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Analyse 2 - SAMENVATTING
Aalyse 2 - SAMENVATTING willem va ravestei ihoudsopgave 01. Rije, eigeschappe e stellige 02. Deelrije, Cauchy, meetkudige e telescopische rij 03. Coverget of diverget? 04. Altererede rije e het wortelcriterium
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /37 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Newton s method Hoe vinden we een nulpunt: f.x/ D 0 Stel
Analyse met infinitesimalen
Analyse met infinitesimalen Hans Vernaeve Universiteit Gent (Hans Vernaeve) 1 / 15 Infinitesimalen in de 17de en 18de eeuw Infinitesimalen = oneindig kleine getallen. Fysisch hulpmiddel om eigenschappen
Tentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (
TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :
Bayes Factor voor samengestelde hypothesen
Bayes Factor voor samengestelde hypothesen Rob Steur 20 juli 2012 Bachelorscriptie Begeleiding: prof. dr. Marjan Sjerps Tweedebeoordelaar: dr. A.J. (Bert) van Es Thomas Bayes (1702-1761) KdV Instituut
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 2014-2015 1. (Het sleutelprobleem) In een denkbeeldige wedstrijd kunnen deelnemers auto s
n=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n
Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Voor het tellen van het aantal
Oefeningen Analyse I
Inleiding Oefeningen Analyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dank, Yannick Meers e-mail: meers@skynet.be Hoofdstuk 7: Functiereeksen Oefening Gevraagd: We gaan opsplitsen voor x : GEVAL : x
2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Syllabus Analyse B2. door T. H. Koornwinder. Universiteit van Amsterdam, Faculteit WINS, Vakgroep Wiskunde, cursus 1995/96
Ter inleiding Syllabus Analyse 2 door T H Koornwinder Universiteit van Amsterdam, Faculteit WINS, Vakgroep Wiskunde, cursus 1995/96 Deze syllabus sluit direct aan bij de syllabus Analyse 1 Veel van wat
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van
Uitwerking herkansing Functies en Reeksen
Uitwerking herknsing Functies en Reeksen 3 jnuri 14, 9: - 1: uur Opgve 1 () De functie ' is prtieel differentieerbr, met prtiële fgeleiden @'.x; y/ D.1; 1/T en @x @' @y.x; y/ D. v; v/t : Deze prtiële fgeleiden
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: Vrijdag 1 maart 003. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: VRT 03H04. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere ogave o een aart vel. Schrijf
Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur
Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische
18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)
8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste
Reeksen. Convergente reeksen
Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,
opgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!
opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +
Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
V.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien