11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm :

Transcriptie

1 11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : L[y] := [p(x)y ] + q(x)y = µr(x)y + f(x), < x < 1 (1) a 1 y() + a 2 y () =, b 1 y(1) + b 2 y (1) =. Hierbij is µ R een gegeven constante en f een gegeven functie gedefinieerd op [, 1]. We nemen weer aan dat p, p, q en r continu zijn op [, 1] en dat p(x) > en r(x) >. We zullen het inhomogene randwaardeprobleem oplossen met behulp van de genormeerde eigenfuncties van het bijbehorende homogene randwaardeprobleem L[y] = λr(x)y, < x < 1 (2) a 1 y() + a 2 y () =, b 1 y(1) + b 2 y (1) =. Dit is een Sturm-Liouville randwaardeprobleem met eigenwaarden λ 1 < λ 2 < < λ n < en bijbehorende genormeerde eigenfuncties {φ n (x)}. Stel nu dat de oplossing van het inhomogene Sturm-Liouville randwaardeprobleem geschreven kan worden als b n φ n (x). (3) Dan moet dus gelden dat b n = r(x)y(x)φ n (x) dx, n = 1, 2, 3,..., maar y(x) kennen we natuurlijk nog niet. Daar hebben we dus niets aan. We gaan nu (3) invullen in de inhomogene differentiaalvergelijking L[y] = µr(x)y + f(x). Nu geldt dat L[φ n ] = λ n r(x)φ n (x) voor n = 1, 2, 3,.... We vinden we dus [ ] L[y] = L b n φ n = b n L[φ n ] = b n λ n r(x)φ n (x) = r(x) b n λ n φ n (x). We schrijven nu : Dit kan want r(x) >. Stel nu dat [ µr(x)y(x) + f(x) = r(x) µy(x) + f(x) ]. r(x) f(x) r(x) = c n φ n (x), 1

2 dan geldt dus c n = r(x) f(x) r(x) φ n(x) dx = f(x)φ n (x) dx, n = 1, 2, 3,.... (4) Invullen geeft dan uiteindelijk r(x) b n λ n φ n (x) = µr(x) b n φ n (x) + r(x) c n φ n (x). Hieruit volgt : [(λ n µ)b n c n ] φ n (x) = = (λ n µ)b n = c n, n = 1, 2, 3,.... Als nu λ n µ voor n = 1, 2, 3,..., dan volgt b n = c n, n = 1, 2, 3,.... λ n µ Hiermee is het probleem opgelost, want µ is gegeven, de eigenwaarden λ n zijn bekend en c n wordt gegeven door (4). De oplossing heeft dan de vorm (3). Als nu λ m = µ voor zekere m {1, 2, 3,...}, dan zijn er twee mogelijkheden : 1. Als c m, dan is er geen oplossing voor b m. Het randwaardeprobleem is dan niet oplosbaar. 2. Als c m =, dan is b m willekeurig te kiezen. In dat geval is de oplossing van het randwaardeprobleem dus niet uniek. Omdat alle eigenwaarden enkelvoudig zijn is er hooguit één gelijk aan µ, zeg λ m = µ. Het probleem is dan alleen oplosbaar als c m =, dat wil zeggen (zie (4)) als f(x)φ m (x) dx. Dat betekent dat f orthogonaal moet zijn met de bijbehorende eigenfunctie φ m. We hebben dus de volgende stelling, die ook wel het alternatief van Fredholm wordt genoemd : Stelling 1. Voor een gegeven waarde van µ R geldt dat óf het inhomogene randwaardeprobleem (1) uniek oplosbaar is voor iedere continue functie f óf dat het bijbehorende homogene randwaardeprobleem (2) een niet-triviale oplossing heeft. Als λ m = µ voor zekere m {1, 2, 3,...}, dan is die niet-triviale oplossing in het laatste geval natuurlijk gelijk aan de bij de eigenwaarde λ m behorende eigenfunctie φ m. Voorbeeld 1. Beschouw het inhomogene randwaardeprobleem y + 2y = x, < x < 1 y() =, y(1) + y (1) =. 2

3 Dit randwaardeprobleem kan eenvoudig opgelost worden met de methoden van hoofdstuk 3. De algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking y + 2y = is c 1 cos 2x + c 2 sin 2x, terwijl y p (x) = x/2 duidelijk een particuliere oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking is. De randvoorwaarden leiden vervolgens tot c 1 = en c 2 = 1/(sin cos 2). De oplossing is dus x 2 + sin 2x sin cos 2. We zullen nu een oplossing zoeken in de vorm van een ontwikkeling van genormeerde eigenfuncties van de operator L[y] := y. Daarvoor beschouwen we eerst het bijbehorende homogene randwaardeprobleem y + λy =, < x < 1 y() =, y(1) + y (1) =. We hebben eerder al gezien dat de eigenwaarden geschreven kunnen worden als λ n = µ 2 n met n = 1, 2, 3,..., waarbij µ n voldoet aan sin µ n + µ n cos µ n =, n = 1, 2, 3,.... De genormeerde eigenfuncties zijn φ n (x) = k n sin µ n x met 2 k n = 1 + cos 2, µ n n = 1, 2, 3,.... Stel nu dat dan volgt dus waarbij b n = b n φ n (x), c n, n = 1, 2, 3,..., λ n 2 c n = xφ n (x) dx = k n x sin µ n x dx = µ 2 n 2 2 sin µ n, n = 1, 2, 3, cos 2 µ n Merk op dat λ n 2 voor n = 1, 2, 3,..., want De oplossing is dus 4 sin cos 2. sin µ n µ 2 n(µ 2 2 2)(1 + cos2 µ n ) sin µ nx. Dat dit hetzelfde is als de eerder gevonden oplossing met de methoden van hoofdstuk 3 is niet zo eenvoudig in te zien. Duidelijk is wel dat die vorm natuurlijk eenvoudiger is dan de laatste 3

4 uitdrukking. Het is echter niet altijd mogelijk om een dergelijk inhomogeen randwaardeprobleem op te lossen met de methoden van hoofdstuk 3. Met de hierboven besproken methode kunnen we nu ook het algemene inhomogene warmteprobleem van de vorm r(x)u t = [p(x)u x ] x q(x)u + F (x, t), < x < 1, t > u x (, t) h 1 u(, t) =, u x (1, t) + h 2 u(1, t) =, t u(x, ) = f(x), x 1 aanpakken. Als F (x, t) = dan kunnen we de methode van scheiden van variabelen toepassen. Uit X(x)T (t) volgt dan het randwaardeprobleem [p(x)x ] + q(x)x = λr(x)x, < x < 1 X () h 1 X() =, X (1) + h 2 X(1) =. Als p, p, q en r continu zijn op [, 1] en p(x) > en r(x) >, dan heeft dit Sturm-Liouville randwaardeprobleem een oneindige en onbegrensde rij eigenwaarden λ 1 < λ 2 < < λ n < en bijbehorende genormeerde eigenfuncties {φ n (x)}. Stel nu dat voor de oplossing van het inhomogene warmteprobleem geldt b n (t)φ n (x), dan volgt [ ] [p(x)u x ] x q(x)u = p(x) b n (t)φ x n(x) q(x) b n (t)φ n (x) { [p(x)φ = b n (t) n (x) ] } q(x)φn (x). Nu geldt dat en dus Verder geldt [p(x)φ n(x)] q(x)φ n (x) = λ n r(x)φ n (x) [p(x)u x ] x q(x)u = r(x) b n (t)λ n φ n (x). r(x)u t = r(x) t b n (t)φ n (x) = r(x) b n(t)φ n (x). 4

5 Aangezien r(x) > kunnen we voor de inhomogene term schrijven : waarbij γ n (t) = Invullen geeft dan uiteindelijk oftewel Hieruit volgt dat F (x, t) F (x, t) = r(x) r(x) F (x, t) r(x) r(x) φ n(x) dx = = r(x) γ n (t)φ n (x), F (x, t)φ n (x) dx, n = 1, 2, 3,.... r(x) b n(t)φ n (x) = r(x) b n (t)λ n φ n (x) + r(x) γ n (t)φ n (x) [ b n (t) + λ n b n (t) γ n (t) ] φ n (x) =. Uit de beginvoorwaarde u(x, ) = f(x) volgt met b n(t) + λ n b n (t) = γ n (t), n = 1, 2, 3,.... f(x) = u(x, ) = α n = We vinden dan uiteindelijk b n ()φ n (x) = α n φ n (x) r(x)f(x)φ n (x) dx, n = 1, 2, 3,.... b n(t) + λ n b n (t) = γ n (t) met b n () = α n, n = 1, 2, 3,.... Dit kan worden opgelost met de methoden van 2.1. We vinden dan b n (t) = α n e λnt + Hiermee is de oplossing in de vorm gevonden. t e λn(t s) γ n (s) ds, n = 1, 2, 3,.... b n (t)φ n (x) Voorbeeld 2. Beschouw het inhomogene warmteprobleem u t = u xx + xe t, < x < 1, t > u(, t) =, u x (1, t) + u(1, t) =, t u(x, ) =, x 1. 5

6 Hiervoor gebruiken we de genormeerde eigenfuncties {φ n (x)} uit voorbeeld 1. Stel dat b n (t)φ n (x), dan volgt dus waarbij b n(t) + λ n b n (t) = γ n (t), n = 1, 2, 3,... met γ n (t) = c n = xe t φ n (x) dx = e t xφ n (x) dx = c n e t, n = 1, 2, 3,... xφ n (x) dx = Hierbij is λ n = µ 2 n voor n = 1, 2, 3,... met µ 2 n 2 2 sin µ n, n = 1, 2, 3, cos 2 µ n µ n cos µ n + sin µ n =, n = 1, 2, 3,.... Uit de beginvoorwaarde u(x, ) = volgt dat b n () = voor n = 1, 2, 3,.... De oplossing van is dan b n (t) = e λnt t b n(t) + λ n b n (t) = c n e t met b n () =, n = 1, 2, 3,... e λns c n e s ds = c n e λnt e(λn 1)t 1 λ n 1 De oplossing van het inhomogene warmteprobleem is dus = c ( n e t e λnt). λ n 1 sin µ ( ) n b n (t)φ n (x) = 4 µ 2 n(µ 2 n 1)(1 + cos 2 e t e µ2 nt sin µ n x. µ n ) De functie van Green. Ten slotte kijken we nog even naar een andere methode, gebaseerd op de zogenaamde functie van Green. Zie opgave 28. Met behulp van de methode van variatie van constanten kunnen we inzien dat c 1 + c 2 x (x s)f(s) ds met c 1, c 2 R de algemene oplossing is van de inhomogene differentiaalvergelijking y = f(x) oftewel y = f(x). Immers : als u 1 (x) + xu 2 (x), dan volgt u 1 (x) + xu 2 (x) = u 2 (x) = f(x) = u 1 (x) = xf(x) u 2 (x) = f(x). 6

7 Hieruit volgt dat en dus u 1 (x) = sf(s) ds + c 1 x sf(s) ds + c 1 en u 2 (x) = f(s) ds + c 2 x = c 1 + c 2 x f(s) ds + c 2 (x s)f(s) ds. Stel dat deze oplossing moet voldoen aan de randvoorwaarden y() = en y(1) =. Dan volgt dat c 1 = en c 2 = x We kunnen dit ook schrijven als of (1 s)f(s) ds. Invullen geeft dan (1 s)f(s) ds s(1 x)f(s) ds + x (x s)f(s) ds, x 1. x(1 s)f(s) ds, x 1 s(1 x), s x G(x, s)f(s) ds met G(x, s) = x(1 s), x s 1. De functie G wordt nu een functie van Green genoemd. Voorbeeld 3. Beschouw het randwaardeprobleem (zie opgave 32) y = f(x), < x < 1 y() =, y(1) + y (1) =. De algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking is c 1 + c 2 x Uit y() = volgt dan dat c 1 =. Dus : en dus c 2 x y (x) = c 2 Uit y(1) + y (1) = volgt dan : 2c 2 = met (x s)f(s) ds met c 1, c 2 R. (x s)f(s) ds = c 2 x x f(s) ds + f(s) ds xf(x) + xf(x) = c x (2 s)f(s) ds (2 s)f(s) ds. Dus : (x s)f(s) ds = s(2 x)/2, s x G(x, s) = x(2 s)/2, x s 1, sf(s) ds f(s) ds. G(x, s)f(s) ds want : x(2 s)/2 (x s) = x xs/2 x + s = s(2 x)/2 voor s x. 7