Logica 1. Joost J. Joosten

Transcriptie

1 Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan CS Utrecht Kamer 158, jjoosten@phil.uu.nl jjoosten (hier moet een tilde bij) Logica 1 p.1/14

2 Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Logica 1 p.2/14

3 Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Inductie: hoe en waarom? Logica 1 p.2/14

4 Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Inductie: hoe en waarom? Correctheidsstelling Logica 1 p.2/14

5 Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Inductie: hoe en waarom? Correctheidsstelling Gevolgen van de correctheidsstelling: Logica 1 p.2/14

6 Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Inductie: hoe en waarom? Correctheidsstelling Gevolgen van de correctheidsstelling: ϕ Logica 1 p.2/14

7 Waar staan we? Missie: geldig redeneren Logica 1 p.3/14

8 Waar staan we? Missie: geldig redeneren Inductie Logica 1 p.3/14

9 Waar staan we? Missie: geldig redeneren Inductie Waarheidstabellen Logica 1 p.3/14

10 Waar staan we? Missie: geldig redeneren Inductie Waarheidstabellen Correctheidsstelling Logica 1 p.3/14

11 Universele uitspraken Hoe kunnen we universele uitspraken bewijzen? Logica 1 p.4/14

12 Universele uitspraken Hoe kunnen we universele uitspraken bewijzen? Niet? Logica 1 p.4/14

13 Universele uitspraken Hoe kunnen we universele uitspraken bewijzen? Niet? Een socioloog, een fysicus en een filosoof zitten in de trans-sibirische express... Logica 1 p.4/14

14 Universele uitspraken Als we extra informatie over het domein weten Logica 1 p.5/14

15 Universele uitspraken Als we extra informatie over het domein weten Bijvoorbeeld: als Dolly en Polly (homozygoot) zwart zijn, en Logica 1 p.5/14

16 Universele uitspraken Als we extra informatie over het domein weten Bijvoorbeeld: als Dolly en Polly (homozygoot) zwart zijn, en als Dolly en Polly de voorouders zijn van alle Russische schapen, en Logica 1 p.5/14

17 Universele uitspraken Als we extra informatie over het domein weten Bijvoorbeeld: als Dolly en Polly (homozygoot) zwart zijn, en als Dolly en Polly de voorouders zijn van alle Russische schapen, en als zwart een dominant fenotype is, Logica 1 p.5/14

18 Universele uitspraken Als we extra informatie over het domein weten Bijvoorbeeld: als Dolly en Polly (homozygoot) zwart zijn, en als Dolly en Polly de voorouders zijn van alle Russische schapen, en als zwart een dominant fenotype is, dan zijn alle Russische schapen zwart! Logica 1 p.5/14

19 Universele uitspraken Als we extra informatie over het domein weten Bijvoorbeeld: als Dolly en Polly (homozygoot) zwart zijn, en als Dolly en Polly de voorouders zijn van alle Russische schapen, en als zwart een dominant fenotype is, dan zijn alle Russische schapen zwart! Dit is volledige inductie! Logica 1 p.5/14

20 Inductie Makkelijkste voorbeeld van Inductie: getallen Logica 1 p.6/14

21 Inductie Makkelijkste voorbeeld van Inductie: getallen Denk aan dominostenen! Logica 1 p.6/14

22 Inductie Makkelijkste voorbeeld van Inductie: getallen Denk aan dominostenen! (Of aan Dolly en Polly... ) Logica 1 p.6/14

23 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Logica 1 p.7/14

24 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Logica 1 p.7/14

25 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: Logica 1 p.7/14

26 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: met volledige inductie. Logica 1 p.7/14

27 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: met volledige inductie. Basis, n=0 Logica 1 p.7/14

28 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: met volledige inductie. Basis, n=0 Wegens blablabla zien we dat inderdaad P(0) Inductiestap Logica 1 p.7/14

29 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: met volledige inductie. Basis, n=0 Wegens blablabla zien we dat inderdaad P(0) Inductiestap We gaan er van uit dat n eigenschap P heeft, dwz, P(n) Logica 1 p.7/14

30 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: met volledige inductie. Basis, n=0 Wegens blablabla zien we dat inderdaad P(0) Inductiestap We gaan er van uit dat n eigenschap P heeft, dwz, P(n) We willen inzien dat n + 1 ook eigenschap P heeft Logica 1 p.7/14

31 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: met volledige inductie. Basis, n=0 Wegens blablabla zien we dat inderdaad P(0) Inductiestap We gaan er van uit dat n eigenschap P heeft, dwz, P(n) We willen inzien dat n + 1 ook eigenschap P heeft en wegens blablabla is dit zo Logica 1 p.7/14

32 Inductie Mantra We beschouwen inductie voor natuurlijke getallen Te bewijzen: n P(n) Bewijs: met volledige inductie. Basis, n=0 Wegens blablabla zien we dat inderdaad P(0) Inductiestap We gaan er van uit dat n eigenschap P heeft, dwz, P(n) We willen inzien dat n + 1 ook eigenschap P heeft en wegens blablabla is dit zo Q.E.D. Logica 1 p.7/14

33 Voorbeelden en de Mantra Gauss Logica 1 p.8/14

34 Voorbeelden en de Mantra Gauss Torens van Hanoi Logica 1 p.8/14

35 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Logica 1 p.9/14

36 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Logica 1 p.9/14

37 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Logica 1 p.9/14

38 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Logica 1 p.9/14

39 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.9/14

40 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.9/14

41 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.9/14

42 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.9/14

43 Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ψ), dan P( ψ) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.9/14

44 Inductieprincipes We kunnen nu de indrukwekkende stelling bewijzen dat elke formule een even aantal haakjes heeft. Logica 1 p.10/14

45 Inductieprincipes Je moet gegeven een inductieve definitie het corresponderende inductie principe kunnen formuleren Logica 1 p.11/14

46 Inductieprincipes Je moet gegeven een inductieve definitie het corresponderende inductie principe kunnen formuleren Bijvoorbeeld Σ Als x Σ, dan x Σ Logica 1 p.11/14

47 Inductieprincipes Je moet gegeven een inductieve definitie het corresponderende inductie principe kunnen formuleren Bijvoorbeeld Σ Als x Σ, dan x Σ Bijbehorend inductieprincipe: Logica 1 p.11/14

48 Inductieprincipes Je moet gegeven een inductieve definitie het corresponderende inductie principe kunnen formuleren Bijvoorbeeld Σ Als x Σ, dan x Σ Bijbehorend inductieprincipe: P( ) x (P(x) P( x)) x P(x) Logica 1 p.11/14

49 Bewijzen Bewijzen zijn ook inductief gedefinieerd Logica 1 p.12/14

50 Bewijzen Bewijzen zijn ook inductief gedefinieerd Dus, er is een inductieprincipe voor bewijzen Logica 1 p.12/14

51 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Logica 1 p.13/14

52 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Logica 1 p.13/14

53 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Logica 1 p.13/14

54 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Logica 1 p.13/14

55 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: Logica 1 p.13/14

56 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Logica 1 p.13/14

57 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. Logica 1 p.13/14

58 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. D D ϕ ψ We willen dat ϕ ψ I eigenschap P heeft. Logica 1 p.13/14

59 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. D D ϕ ψ We willen dat ϕ ψ I eigenschap P heeft. blablabla Logica 1 p.13/14

60 Bewijzen en Inductie Te Bewijzen: Ieder bewijs heeft eigenschap P Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Basis: Ieder (atomair) bewijs ϕ heeft eigenschap P Inductiestap: (De eigenschap P blijft behouden onder het maken van nieuwe bewijzen) Stel dat D ϕ heeft eigenschap P en stel dat D ψ heeft eigenschap P. D D ϕ ψ We willen dat ϕ ψ I eigenschap P heeft. blablabla Q.E.D. Logica 1 p.13/14

61 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Logica 1 p.14/14

62 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Logica 1 p.14/14

63 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Logica 1 p.14/14

64 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). Logica 1 p.14/14

65 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla Logica 1 p.14/14

66 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla bla Logica 1 p.14/14

67 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla bla bla Logica 1 p.14/14

68 Correctheidsstelling Γ ϕ Γ = ϕ Te bewijzen: voor elke derivatie D hebben we dat A(D) C(D). Hierbij is A(D) de verzameling aannames in D en C(D) de conclusie van D. Bewijs: met volledige inductie (over bewijzen). bla bla bla Q.E.D. Logica 1 p.14/14

69 Gevolgen Hoe te beslissen ψ? Logica 1 p.15/14

70 Gevolgen Hoe te beslissen ψ? Beslisbaarheid? (mechanische zoekprocedure (calculemus)) Logica 1 p.15/14

71 Inductie en Deductie Combinatie van Technieken Logica 1 p.16/14

72 Inductie en Deductie Combinatie van Technieken Voor alle natuurlijke getallen n geldt: (A (B 0... B n )) (A B 0 )...(A B n ) Logica 1 p.16/14