FP-theorie. 2IA50, Deel B. Inductieve definities 1/19. / department of mathematics and computer science

Transcriptie

1 FP-theorie 2IA50, Deel B Inductieve definities 1/19

2 Inductieve definitie Definitie IL α, (Cons-)Lijsten over α Zij α een gegeven verzameling. De verzameling IL α van eindige (cons-)lijsten over α is de kleinste verzameling X zodanig dat (basis) X (de lege lijst zit in X) (compound) a α x X (a, x) X (samengestelde lijst) IL α is least solution of X :: { } α X X 2/19

3 Resultaten bekend uit de wiskunde IL α is uniek bepaald IL α is te construeren m.b.v. de zogenaamde Kleene-constructie IL α = n : n N : α n waarbij α n = n {}}{ α α, α 0 = { }. De inductieve definitie brengt 4 eigenschappen met zich mee: No junk, No confusion, Structural induction, Universality 3/19

4 Enkele verschijningsvormen van lijsten 1. Automatentheorie. Σ, woorden over alfabet Σ λ (Linz) of ε, lege woord aw met a Σ en w Σ, juxtapositie (onzichtbare operator!!) 2. Typedefinities in programmeertalen. Bijvoorbeeld in Haskell: data List a = Empty Cons a (List a) List a, datatype van lijsten over a Empty, constructor Empty::List a Cons a xs, constructor Cons::a -> List a -> List a 4/19

5 Afspraken over 2IA50 notatie Veelvoorkomende afkortingen in de praktijk: [] voor de lege lijst a : x voor een samengestelde lijst Voor korte lijsten soort enumeratie, bijv. [a, b, c] voor (a, (b, (c, ))) = Wij zullen ons verder aan deze afkortingsnotatie houden = 5/19

6 Eigenschap 1: No junk IL α bevat uitsluitend elementen geconstrueerd uit []en (:) Gevolg. Er zijn maar twee soorten elementen in IL α : 1. [] 2. (a : x) met a α en x IL α 6/19

7 Eigenschap 2: No confusion Per IL α -element is er precies één constructie Gevolg. Functies over IL α kunnen gedefiniëerd worden door ze te definiëren op de twee soorten elementen [] en (a : x) Vanwege no junk zijn dit soort functies totaal. 7/19

8 Definities op constructoren, voorbeelden Lengte length :: IL α N length. [] = 0 length.(a : x) = 1 + length.x (Con)catenatie ys :: IL α IL α [] ys = ys (x : xs) ys = x : (xs ys) Map map.f :: IL α IL β for f :: α β map.f. [] = [] map.f.(x : xs) = f.x : map.f.xs Filter filter.p :: IL α IL α for p :: α B filter.p. [] = [] filter.p.(x : xs) = x : filter.p.xs filter.p.xs if p.x if p.x 8/19

9 Intermezzo: inductieve definitie met confusion Definitie IJ α, (Join-)Lijsten over α Zij α een gegeven verzameling. De verzameling IJ α van eindige (join-)lijsten over α is de kleinste verzameling X zodanig dat (basis1) X (de lege lijst zit in X) (basis2) a α a X (singleton) (compound) x X y X en associatief met eenheid * x y X (samengestelde lijst) 9/19

10 Intermezzo, vervolg (1) Verschijningsvorm: woorden over {0, 1,.., 9} met leeg woord, singleton woord en concatenatie Drie verschillende element-vormen in IJ ( no junk ) (wel confusion ) Enkele constructies voor woord 12 in taal-notatie: 12 λ(12) 1(λ2) 10/19

11 Intermezzo, vervolg (2) Als f gedefinieerd wordt door f.λ = 0 f.a = a f.(uv) = f.u f.v Dan is f een relatie, want f.(12) = f.1 f.2 = 1 2 = 1 f.(λ(12)) = f.λ (f.1 f.2) = 0 (1 2) = 1 f.(1(λ2)) = f.1 (f.λ f.2) = 1 (0 2) = 3 11/19

12 Eigenschap 3: Structuur-inductie Om te bewijzen dat P een eigenschap is van IL α, i.e. x : x IL α : P.x is het voldoende te bewijzen dat P. [] a, y : a α y IL α : P.y P.(a : y) P. [] heet de basis van het inductiebewijs P.y heet de inductiehypothese 12/19

13 Opmerkingen bij eigenschap 3 Structuurinductie wordt veelal gebruikt in verificaties. Bij constructies is het ook zeer goed bruikbaar! Voorbeeld volgt. Soms is structuurinductie te zwak. Er zijn meer inductieprincipes, bijvoorbeeld versterkte inductie: x : x IL α : P.x geldt als x IL α : y IL α y < x : P.y P.x waarbij x = length.x In dit geval zegt de inductiehypothese y IL α y < x : P.y dat P geldt voor alle lijsten korter dan x 13/19

14 Constructief gebruik van structuurinductie Ontwerp een algoritme dat nagaat of voor een gegeven xs IL Z geldt Aanpak y : y xs : y = 0 Introduceer een naam voor het predicaat, zeg p. De specificatie van p IL Z B is dan p.xs = y : y xs : y = 0 Één manier om een algoritme voor p te beschrijven is via een inductieve definitie (vanwege no junk en no confusion ) Zoek nu een inductieve definitie p zodanig dat p = p 14/19

15 Constructief gebruik van structuurinductie, vervolg (1) Constructie van p case ( []) y : y [] : y = 0 = { leeg domein } =: true p. [] 15/19

16 Constructief gebruik van structuurinductie, vervolg (2) case (x : xs) CH: p.xs = p.xs y : y (x : xs) : y = 0 = { ga na } y : (y = x) (y xs) : y = 0 = { dom.split } y : y = x : y = 0 y : y xs : y = 0 = { 1-pt } x = 0 y : y xs : y = 0 = { CH } =: x = 0 p.xs p.(x : xs) 16/19

17 Constructief gebruik van structuurinductie, vervolg (3) Een inductieve definitie p voor p is dus p. [] = true p.(x : xs) = x = 0 p.xs 17/19

18 Eigenschap 4: Universaliteit Het drie-tal (IL α, [], (:) ) met [] IL α en (:) α IL α IL α is een gestructureerde verzameling. Universaliteit-eigenschap Bij elke gestructureerde verzameling (E, e, ) met e E en α E E is er een unieke functie ϕ IL α E waarvoor geldt ϕ. [] = e ϕ.(a : x) = a ϕ.x voor alle a α en x IL α De universaliteit-eigenschap is fundamenteel voor het vervolg. 18/19

19 Opgave Formuleer de 4 eigenschappen (plus versterkt inductie principe) voor het inductieve type van de natuurlijke getallen. 19/19