Voortgezette Logica, Week 6

Transcriptie

1 Voortgezette Logica, Week 6 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan CS Utrecht Kamer 164, jjoosten@phil.uu.nl jjoosten Voortgezette Logica, Week 6 p.1/18

2 Tussentoets en daarna Week 6, Paper 1, Huiswerk Voortgezette Logica, Week 6 p.2/18

3 Tussentoets en daarna Week 6, Paper 1, Huiswerk Week 7, Paper 2, Protopaper + 2 keer review Voortgezette Logica, Week 6 p.2/18

4 Tussentoets en daarna Week 6, Paper 1, Huiswerk Week 7, Paper 2, Protopaper + 2 keer review Opzet nu: Proto-paper inleveren voor maandag 17:00 bij Els in pdf of plain text Voortgezette Logica, Week 6 p.2/18

5 Tussentoets en daarna Week 6, Paper 1, Huiswerk Week 7, Paper 2, Protopaper + 2 keer review Opzet nu: Proto-paper inleveren voor maandag 17:00 bij Els in pdf of plain text Review: twee dagen de tijd! (en een halve dag) Voortgezette Logica, Week 6 p.2/18

6 Tussentoets en daarna Week 6, Paper 1, Huiswerk Week 7, Paper 2, Protopaper + 2 keer review Opzet nu: Proto-paper inleveren voor maandag 17:00 bij Els in pdf of plain text Review: twee dagen de tijd! (en een halve dag) Week 8, Huiswerk Voortgezette Logica, Week 6 p.2/18

7 Gödel s lecture Kurt Gödel, April , Januari Voortgezette Logica, Week 6 p.3/18

8 Gödel s lecture Kurt Gödel, April , Januari Een van de grondleggers van de moderne logica Voortgezette Logica, Week 6 p.3/18

9 Gödel s lecture Kurt Gödel, April , Januari Een van de grondleggers van de moderne logica Wij lezen een verslag van een lezing van hem Voortgezette Logica, Week 6 p.3/18

10 Gödel s lecture Kurt Gödel, April , Januari Een van de grondleggers van de moderne logica Wij lezen een verslag van een lezing van hem Over: grondslagen van de wiskunde Voortgezette Logica, Week 6 p.3/18

11 Gödel s lecture Kurt Gödel, April , Januari Een van de grondleggers van de moderne logica Wij lezen een verslag van een lezing van hem Over: grondslagen van de wiskunde Om te beginnen enige achtergrond over zijn beroemde onvolledigheidsstelling Voortgezette Logica, Week 6 p.3/18

12 De onvolledigheidsstelling Eerst de volledigheidsstelling Voortgezette Logica, Week 6 p.4/18

13 De onvolledigheidsstelling Eerst de volledigheidsstelling = spreekt over waarheid in alle modellen Voortgezette Logica, Week 6 p.4/18

14 De onvolledigheidsstelling Eerst de volledigheidsstelling = spreekt over waarheid in alle modellen Het wordt moeilijk als we N =... beschouwen. Voortgezette Logica, Week 6 p.4/18

15 De onvolledigheidsstelling Eerst de volledigheidsstelling = spreekt over waarheid in alle modellen Het wordt moeilijk als we N =... beschouwen. Neem een bewijssysteem dat N beschrijft Voortgezette Logica, Week 6 p.4/18

16 De onvolledigheidsstelling Eerst de volledigheidsstelling = spreekt over waarheid in alle modellen Het wordt moeilijk als we N =... beschouwen. Neem een bewijssysteem dat N beschrijft Dit is nooit volledig Voortgezette Logica, Week 6 p.4/18

17 De onvolledigheidsstelling Eerst de volledigheidsstelling = spreekt over waarheid in alle modellen Het wordt moeilijk als we N =... beschouwen. Neem een bewijssysteem dat N beschrijft Dit is nooit volledig Voor een willekeurig systeem Voortgezette Logica, Week 6 p.4/18

18 De onvolledigheidsstelling Eerst de volledigheidsstelling = spreekt over waarheid in alle modellen Het wordt moeilijk als we N =... beschouwen. Neem een bewijssysteem dat N beschrijft Dit is nooit volledig Voor een willekeurig systeem (Church-Turing these) Voortgezette Logica, Week 6 p.4/18

19 Bewijsschets Via coderen kunnen we syntax in rekenkunde weergeven Voortgezette Logica, Week 6 p.5/18

20 Bewijsschets Via coderen kunnen we syntax in rekenkunde weergeven Via een slim zogeheten diagonaal lemma, kan ook zelfreferentie worden nagespeeld Voortgezette Logica, Week 6 p.5/18

21 Bewijsschets Via coderen kunnen we syntax in rekenkunde weergeven Via een slim zogeheten diagonaal lemma, kan ook zelfreferentie worden nagespeeld λ Bew( λ ) Voortgezette Logica, Week 6 p.5/18

22 Bewijsschets Via coderen kunnen we syntax in rekenkunde weergeven Via een slim zogeheten diagonaal lemma, kan ook zelfreferentie worden nagespeeld λ Bew( λ ) Als bewijsbaar dan niet, dus niet... Voortgezette Logica, Week 6 p.5/18

23 Bewijsschets Via coderen kunnen we syntax in rekenkunde weergeven Via een slim zogeheten diagonaal lemma, kan ook zelfreferentie worden nagespeeld λ Bew( λ ) Als bewijsbaar dan niet, dus niet... Overigens, als negatie bewijsbaar dan niet, dus niet... Voortgezette Logica, Week 6 p.5/18

24 Bewijsschets Via coderen kunnen we syntax in rekenkunde weergeven Via een slim zogeheten diagonaal lemma, kan ook zelfreferentie worden nagespeeld λ Bew( λ ) Als bewijsbaar dan niet, dus niet... Overigens, als negatie bewijsbaar dan niet, dus niet... Als een consistente theorie een beetje rekenkunde heeft, dan heeft die theorie een onafhankelijke Gödelzin. Voortgezette Logica, Week 6 p.5/18

25 Bewijsschets Via coderen kunnen we syntax in rekenkunde weergeven Via een slim zogeheten diagonaal lemma, kan ook zelfreferentie worden nagespeeld λ Bew( λ ) Als bewijsbaar dan niet, dus niet... Overigens, als negatie bewijsbaar dan niet, dus niet... Als een consistente theorie een beetje rekenkunde heeft en RE is, dan heeft die theorie een onafhankelijke Gödelzin. Voortgezette Logica, Week 6 p.5/18

26 Filosofische repercussies Voor de duidelijkheid, we hebben Gödel 1 en Gödel 2 Voortgezette Logica, Week 6 p.6/18

27 Filosofische repercussies Voor de duidelijkheid, we hebben Gödel 1 en Gödel 2 Gödel 1: Voor elke consistente RE theorie T met een minimum aan rekenkunde bestaat er een ware uitspraak die niet door T wordt bewezen Voortgezette Logica, Week 6 p.6/18

28 Filosofische repercussies Voor de duidelijkheid, we hebben Gödel 1 en Gödel 2 Gödel 1: Voor elke consistente RE theorie T met een minimum aan rekenkunde bestaat er een ware uitspraak die niet door T wordt bewezen Gödel 2: Voor elke consistente RE theorie T met een minimum aan rekenkunde is het zo dat T zijn eigen consistentie niet bewijst Voortgezette Logica, Week 6 p.6/18

29 Filosofische repercussies Voor de duidelijkheid, we hebben Gödel 1 en Gödel 2 Gödel 1: Voor elke consistente RE theorie T met een minimum aan rekenkunde bestaat er een ware uitspraak die niet door T wordt bewezen Gödel 2: Voor elke consistente RE theorie T met een minimum aan rekenkunde is het zo dat T zijn eigen consistentie niet bewijst (althans, een intentionele en structurele codificatie (interpretatie) van consistentie) Voortgezette Logica, Week 6 p.6/18

30 Filosofische repercussies Wegens de Church-Turing these, valt een RE theorie te bezien als de output van een Turing machine Voortgezette Logica, Week 6 p.7/18

31 Filosofische repercussies Wegens de Church-Turing these, valt een RE theorie te bezien als de output van een Turing machine Sommige auteurs concluderen zonder meer dat uit de onvolledigheidsstellingen volgt dat mensen superieur zijn aan computers (Nagel & Newman, Lucas, Penrose) Voortgezette Logica, Week 6 p.7/18

32 Filosofische repercussies Wegens de Church-Turing these, valt een RE theorie te bezien als de output van een Turing machine Sommige auteurs concluderen zonder meer dat uit de onvolledigheidsstellingen volgt dat mensen superieur zijn aan computers (Nagel & Newman, Lucas, Penrose) Gödel is in zijn Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications een stukje voorzichtiger Voortgezette Logica, Week 6 p.7/18

33 Basic Theorems... Lecture/paper bestaat uit twee delen Voortgezette Logica, Week 6 p.8/18

34 Basic Theorems... Lecture/paper bestaat uit twee delen Deel 1: enkele stellingen en filosofische repercussies Voortgezette Logica, Week 6 p.8/18

35 Basic Theorems... Lecture/paper bestaat uit twee delen Deel 1: enkele stellingen en filosofische repercussies Deel 2: pleidooi voor conceptueel realisme, ofwel Platonisme Voortgezette Logica, Week 6 p.8/18

36 Basic Theorems... Lecture/paper bestaat uit twee delen Deel 1: enkele stellingen en filosofische repercussies Deel 2: pleidooi voor conceptueel realisme, ofwel Platonisme Gödel gelooft in de onuitputtelijkheid van wiskunde Voortgezette Logica, Week 6 p.8/18

37 Basic Theorems... Lecture/paper bestaat uit twee delen Deel 1: enkele stellingen en filosofische repercussies Deel 2: pleidooi voor conceptueel realisme, ofwel Platonisme Gödel gelooft in de onuitputtelijkheid van wiskunde Niet-completeerbaarheid Voortgezette Logica, Week 6 p.8/18

38 Basic Theorems... Lecture/paper bestaat uit twee delen Deel 1: enkele stellingen en filosofische repercussies Deel 2: pleidooi voor conceptueel realisme, ofwel Platonisme Gödel gelooft in de onuitputtelijkheid van wiskunde Niet-completeerbaarheid Enige argumenten hiervoor baseert hij op de onuitputtelijkheid van de iteratieve notie van verzameling Voortgezette Logica, Week 6 p.8/18

39 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

40 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Cantor en verzamelingen (CH) Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

41 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Cantor en verzamelingen (CH) Cardinaliteit van alle verzamelingen? Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

42 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Cantor en verzamelingen (CH) Cardinaliteit van alle verzamelingen? Frege, logicisme, Begriffsschrift Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

43 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Cantor en verzamelingen (CH) Cardinaliteit van alle verzamelingen? Frege, logicisme, Begriffsschrift Russell: Frege is inconsistent Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

44 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Cantor en verzamelingen (CH) Cardinaliteit van alle verzamelingen? Frege, logicisme, Begriffsschrift Russell: Frege is inconsistent Zermelo Fraenkel Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

45 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Cantor en verzamelingen (CH) Cardinaliteit van alle verzamelingen? Frege, logicisme, Begriffsschrift Russell: Frege is inconsistent Zermelo Fraenkel Continuum probleem: Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

46 Verzamelingenleer In de negentiende eeuw steeds meer tendens naar rigiditeit Cantor en verzamelingen (CH) Cardinaliteit van alle verzamelingen? Frege, logicisme, Begriffsschrift Russell: Frege is inconsistent Zermelo Fraenkel Continuum probleem: blijkt onafhankelijk van ZF(C) Voortgezette Logica, Week 6 p.9/18

47 Verzamelingen en waarheid In hoeverre kunnen we stellingen over verzamelingen bewijzen Voortgezette Logica, Week 6 p.10/18

48 Verzamelingen en waarheid In hoeverre kunnen we stellingen over verzamelingen bewijzen Waarom zijn verzamelingen belangrijk? Voortgezette Logica, Week 6 p.10/18

49 Verzamelingen en waarheid In hoeverre kunnen we stellingen over verzamelingen bewijzen Waarom zijn verzamelingen belangrijk? (Gouden standaard) Voortgezette Logica, Week 6 p.10/18

50 Verzamelingen en waarheid In hoeverre kunnen we stellingen over verzamelingen bewijzen Waarom zijn verzamelingen belangrijk? (Gouden standaard) Gödel spreekt over onuitputtelijkheid van het verzamelingsbegrip Voortgezette Logica, Week 6 p.10/18

51 Verzamelingen en waarheid In hoeverre kunnen we stellingen over verzamelingen bewijzen Waarom zijn verzamelingen belangrijk? (Gouden standaard) Gödel spreekt over onuitputtelijkheid van het verzamelingsbegrip Iteratief argument: "langs alle ordinalen" Voortgezette Logica, Week 6 p.10/18

52 Verzamelingen en waarheid In hoeverre kunnen we stellingen over verzamelingen bewijzen Waarom zijn verzamelingen belangrijk? (Gouden standaard) Gödel spreekt over onuitputtelijkheid van het verzamelingsbegrip Iteratief argument: "langs alle ordinalen" Closure properties, voor "elke" operator Voortgezette Logica, Week 6 p.10/18

53 Verzamelingen en waarheid In hoeverre kunnen we stellingen over verzamelingen bewijzen Waarom zijn verzamelingen belangrijk? (Gouden standaard) Gödel spreekt over onuitputtelijkheid van het verzamelingsbegrip Iteratief argument: "langs alle ordinalen" Closure properties, voor "elke" operator Na elke closure property kun je axiomas opschrijven die de structuur beschrijven Voortgezette Logica, Week 6 p.10/18

54 Iteratie Met nieuwe axiomas kun je weer meer closure operaties beschrijven etc Voortgezette Logica, Week 6 p.11/18

55 Iteratie Met nieuwe axiomas kun je weer meer closure operaties beschrijven etc Hiermee maakt Gödel aannemelijk dat er nooit een simpele (laat staan eindige) rij axiomas komt Voortgezette Logica, Week 6 p.11/18

56 Iteratie Met nieuwe axiomas kun je weer meer closure operaties beschrijven etc Hiermee maakt Gödel aannemelijk dat er nooit een simpele (laat staan eindige) rij axiomas komt Interessant en belangrijk punt is het volgende Voortgezette Logica, Week 6 p.11/18

57 Iteratie Met nieuwe axiomas kun je weer meer closure operaties beschrijven etc Hiermee maakt Gödel aannemelijk dat er nooit een simpele (laat staan eindige) rij axiomas komt Interessant en belangrijk punt is het volgende Closure properties hebben gevolgen voor diophantische vergelijlkingen! Voortgezette Logica, Week 6 p.11/18