1 Rekenen in eindige precisie

Transcriptie

1 Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen zijn.. Representatie van getallen in het tweetallig stelsel Met binaire getallen bedoelen we getallen die zijn weergegeven in het tweetallig stelsel, dat gebruik maakt enkel van de cijfers 0 en. Schrijf B = {0, } en N 0 = N {0}. Eerst leggen we vast wat de tweetallige representatie is van de positieve gehele getallen. Lemma. Voor elke n N bestaat er een unieke rij (b j ) j N0 met b j B voor alle j N 0 zo, dat b j 2 j = n. () Voorbeeld.2 Er geldt dat j=0 2 = + 8, 3 = , 0 = , en deze getallen zijn niet op een andere manier als som van machten van 2 te schrijven waarbij iedere macht van twee maximaal één keer voorkomt. Dit eenvoudige resultaat geeft aanleiding tot een injectieve afbeelding B : N B N 0 : n B(n) (2) die aan iedere n de rij B(n) = (b j ) j N0 toevoegt zoals beschreven in Lemma.. Voorbeeld.3 Voor de getallen uit Voorbeeld.2 vertaalt dit zich als B(2) = (0, 0,,, 0,... ), B(3) = (,,,,, 0,... ), B(0) = (, 0,, 0, 0,,, 0,... ) waarbij... aangeeft dat alle overige elementen uit de rij gelijk aan nul zijn. Definitie. (Tweetallige representatie) Laat n N. Gegeven b = B(n), laat Dan noemen we p = max j N 0 {b j = }. n b p b p... b 2 b b 0 de tweetallige representatie van n, en p de lengte van (de tweetallige representatie van) n. Verder representeren we het getal 0 N 0 met 0 en definiëren de lengte hiervan als. Voorbeeld.5 Voor de getallen uit Voorbeelden.2 en.3 geeft dit de tweetallige representaties 2 0 0, 3, van respectievelijke lengtes, 5 en 7.

2 Lemma.6 Laat r N. Er zijn 2 r getallen met een binaire representatie van lengte p r. Bewijs. Het is eenvoudig na te gaan dat dit de getallen 0,,..., 2 r zijn. Voorbeeld.7 De tweetallige representaties van de 8 getallen met een binaire representatie van lengte p 3 zijn 0,, 0,, 0 0, 0, 0,..2 Computers, bits, en zwevende komma s Het geheugen van een computer bestaat uit bits die ieder waarde 0 of kunnen hebben. Bij het ontwerpen van de processor wordt vastgelegd hoeveel bits er worden gebruikt om één getal weer te geven. Schrijf r voor dit aantal. In de huidige processoren is r = 6 erg gebruikelijk. Opmerking.8 Deze 6 bits worden echter doorgaans niet ingezet zoals in het volgende voorbeeld, dat tegelijkertijd ook illustreert waarom dat niet zo gebeurt. Voorbeeld.9 De 6 bits per getal zouden kunnen worden gebruikt om elk getal uit F = {n N 0 n M} waarbij M = 2 6, 8 0 9, (3) exact op te slaan in tweetallige representatie. Reële getallen in [0, M] die niet in deze verzameling F zitten, zullen moeten worden afgerond tot een dichtstbijzijnd element uit F alvorens ze in het geheugen kunnen worden gezet. Omdat x [0, M] : y F : x y 2 introduceert deze afronding voor alle x [0, M] een absolute fout van ten hoogste 2. Echter, de relatieve fouten bij afronding van bijvoorbeeld x = 7 tot het dichtstbijzijnde element 2 F en van y = 2 6 x tot verschillen enorm: = 7 en 2 6 x (2 6 2) 2 6 x = 2 6 7, In de rekenpraktijk hecht men vaak meer belang aan kleine relatieve fouten dan aan kleine absolute fouten, In dat licht is de zojuist beschreven invulling van de 2 6 bits niet de beste. De afronding in bovenstaand voorbeeld verdient het om formeel gedefinieerd te worden. Definitie.0 (Afronding) Laat G R een eindige verzameling zijn. Dan bestaat er voor iedere x R een y G zo, dat x y x z voor alle z F. Definieer daarom fl : R F : x fl(x) () waarbij fl(x) één van de maximaal twee beste benaderingen van x in F is. Opmerking. Als er twee beste benaderingen zijn zal vast moeten worden gelegd welke van de twee gekozen wordt. Beide keuzes introduceren dezelfde absolute en relatieve fout. 2

3 Om de relatieve fout bij afronding van een x > 0 tot een getal in F, x fl(x) (5) te begrenzen, is het duidelijk dat de elementen van F in de buurt van nul dichter bij elkaar moeten liggen dan de grote elementen uit F. Het volgende voorbeeld illustreert hoe dit idee deels gerealiseerd kan worden door de positie van de komma variabel te maken. Voorbeeld.2 (6-bits zwevende-komma getallen) Veronderstel dat er zes bits zijn om een getal mee te coderen. Lees de eerste vier bits als de tweetallige representatie van een geheel getal s {0,..., 5} (de mantissa) en de overige twee bits als die van de exponent t {0,, 2, 3} van 2 in de uitdrukking x = s 2 t 2. (6) Omdat er getallen x zijn die op meerdere manier zo kunnen worden geschreven, zoals = 2 0, = 2 2, = 2 2 zullen de zes bits op deze wijze geen 2 6 verschillende getallen beschrijven, In dit geval zijn het er voor t = 2 zestien, 0,, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, 3,, 5, (7) en voor t = 3 komen er 6 getallen bij waarvan we de volgende acht nog niet hadden, 6, 8, 20, 22, 2, 26, 28, 30 voor t = komen daar de volgende acht nog bij en voor t = 0 de laatste acht, te weten 2, 3 2, 5 2, 7 2, 9 2, 2, 3 2, 5 2, 3, 5, 7, 9,, 3, 5. Dit zijn in totaal slechts 0 verschillende getallen. Op volgorde zijn het 0,, 2,..., 6, 8,..., 30, 32, 36,..., 60, 6, 72,..., 20. De eerste zestien verschillen tussen twee getallen zijn een kwart, vanaf zijn er acht verschillen van een half, dan acht van één, en tot slot zeven (in plaats van acht) van twee. Opmerking.3 Door de speciale rol van nul eindigt het rechterstaartstuk met zeven stappen van twee. De exponent t varieert over een even aantal waarden, en kan dus niet evenveel positieve als negatieve waarden aannemen (in het voorbeeld twee negatieve en één positieve). Lemma. Voor alle x [ 2, 0] is de relatieve afrondfout begrensd door x fl(x). (8) 3

4 Bewijs: Voor x [ 2, 3 ] is de absolute fout maximaal 8 en de relatieve dus maximaal. Voor de overige deelintervallen gaat het bewijs op soortgelijke wijze. Voorbeeld.5 (IEEE 6-bits double precision) Recentere computers werken vrijwel allemaal met 6-bits zwevende-komma systemen. Hierbij worden 52 bits gebruikt voor de mantissa, en voor de exponent. Het laatste bit geeft het teken aan, om ook negatieve getallen te representeren. In concreto geeft dit dat F = {, , ,..., , 2} [, 2] de door dit systeem gerepresenteerde getallen in [, 2] zijn, 2F = {2, , ,..., 2 5, } [2, ] de door dit systeem gerepresenteerde getallen in [2, ] zijn, en 2 F = { 2, , ,..., 2 53, } [ 2, ] de door dit systeem gerepresenteerde getallen in [2, ] zijn. Omdat voor de exponent bits zijn gereserveerd, zijn er echter in totaal maar liefst 2 = 208 geschaalde kopieën van F in G, oftewel, G = {0} 023 j= 022 ±2 j F. (9) Dit levert een gigantische hoeveelheid getallen met een enorme spanwijdte: de absoluut kleinste en grootste elementen m en M in G zijn m = , en M = , Opmerking.6 In theoretische beschouwingen wordt vaak aangenomen dat de exponent onbegrensd is, om geen rekening te hoeven houden met uitzonderlijke situaties waarbij getallen in een berekening optreden die in absolute waarde groter dan M of kleiner dan m zijn. Definitie.7 (Geïdealiseerd getallensysteem) Laat F = {, + 2 q,..., 2 2 q, 2} voor zekere q N 0. Dan heet G = {0} j Z ±2 j F (0) een geïdealiseerd getallensysteem met q + significante cijfers. Voordeel van geïdealiseerde getallensystemen is dat er elegante dingen over te bewijzen zijn. Lemma.8 Zij G een geïdealiseerd getallensysteem. Dan is G aftelbaar oneinding en G = 2G. Bewijs. Dit volgt meteen uit (0). Gevolg.9 Zij G een geïdealiseerd getallensysteem. Dan bestaat er voor iedere x R een g G zo, dat x g 2 q. ()

5 Bewijs. Laat x R, x > 0 gegeven zijn. Kies j Z zo, dat 2 j x [, 2]. Dan bestaat er een f F zo, dat 2 j x f 2 q 2 j x. Met g = 2 j f G geldt nu dat x g = 2j x 2 j g 2 j x = 2j x f 2 j x 2 q. Voor x 0 volgt de bewering met eenzelfde argument. Definitie.20 (Relatieve (machine-)precisie) Het getal 2 q in () heet de relatieve precisie van G en wordt aangeduid met ε G. Vaak wordt ook de term relatieve machineprecisie gebruikt en de notatie ε m (m van machine), ondanks dat ε G niet zozeer van de computer afhangt, dan wel van het getallensysteem waarmee de computer is uitgerust. Voorbeeld.2 Uit de keuze q = 0 in Definitie.7 ontstaat het eenvoudigste geïdealiseerde getallensysteem G = {0} j Z ±2 j (2) met slechts één significant cijfer..3 Rekenen in G Behalve dat een computer getallen zal moeten kunnen opslaan, zal deze er ook mee moeten kunnen rekenen. In plaats van te beschrijven hoe dat gaat, leggen we het axiomatisch vast. Definitie.22 (Computerbewerkingen) De in een computer geïmplementeerde elementaire rekenkundige bewerkingen noteren we met (optelling), (aftrekking), vermenigvuldiging, (deling). Deze bewerkingen hebben domein G G en codomein G. Opmerking.23 De computerbewerkingen leveren niet altijd dezelfde resultaten als de overeenkomstige exacte rekenkundige bewerkingen. De verzameling G is immers geen lichaam. We vereisen wel dat een computer een beetje z n best doet om het zo goed mogelijk te doen. Definitie.2 (Axioma van eindige-precisie berekeningen) Laat een computerbewerking zijn als in Definitie.22 geïmplementeerd op een computer voorzien van een geïdealiseerd getallensysteem G. We nemen aan dat er voor alle x, y G een ε R bestaat met ε ε G waarvoor x y = (x y)( + ε) waarbij de overeenkomstige exacte bewerking is. 5