Rekenen en Redeneren met Oneindig

Transcriptie

1 Rekenen en Redeneren met Oneindig Jeroen Spandaw Faculteit EWI, Technische Wiskunde 12 februari

2 Wat is oneindig en wat kun je ermee? 2

3 Logica: Bewijzen over bewijzen Als je iets wiskundigs bewijst, dan is het waar. Maar als iets waar is, kun je het nog niet altijd bewijzen omdat je niet slim genoeg bent of omdat het onmogelijk is om het te bewijzen! Vandaag: Een voorbeeld van een ware bewering waarvan je kunt bewijzen dat je haar niet kunt bewijzen. Maar hoe weet je dan dat het waar is? 3

4 Rekenen en Redeneren met Oneindig Goodstein-rijtjes Bewijs met oneindig Logica en meta-mathematica en Hercules en de Hydra 4

5 Hercules en de Hydra 5

6 Goodstein-rijtjes Rijtje g 2, g 3, g 4,... Kies startgetal g 2. Bijvoorbeeld: g 2 = 100. Schrijf g 2 in basis 2: 100 = Schrijf de exponenten ook in basis 2: g 2 = Vervang grondtal 2 door 3: = Trek 1 af en resultaat is g 3 =

7 Goodstein-rijtjes: naar g 4 Schrijf g 3 in basis 3: g 3 = Schrijf exponenten ook in basis 3: g 3 = Vervang grondtal 3 door 4: Trek 1 af en resultaat is g 4 = Hoeveel cijfers heeft g 4 ongeveer? 7

8 Goodstein-rijtjes: g 4 g 4 = = cijfers! Hoe kunnen we ons een voorstelling van maken? 8

9 Aantal deeltjes <

10 Goodstein-rijtjes: van g 4 naar g 5 Schrijf g 4 in basis 4: g 4 = Vervang grondtal 4 door 5: Trek 1 af en resultaat is g 5 = Hoeveel cijfers heeft g 5 ongeveer? g heeft 2188 cijfers 10

11 Goodstein-rijtjes: naar g 6, g 7,... Schrijf g 5 in basis 5: g 5 = Vervang grondtal 5 door 6: Trek 1 af en resultaat is g 6 = Hoeveel cijfers heeft g 6 ongeveer? g heeft cijfers Vervolgens 6 vervangen door 7 en 1 aftrekken: g heeft cijfers Enzovoorts! 11

12 Aantal cijfers van g n n # cijfers g n Wat gebeurt er met g n als n? 12

13 Hercules en de Hydra 13

14 Stelling van Goodstein Stelling (Goodstein) Voor ieder startgetal g 2 geldt g n = 0 voor voldoende grote n! Bewijs? Stelling (Kirby-Paris) Hercules wint van iedere draak, ongeacht zijn strategie. (Maar het duurt bij de meeste draken wel heel lang....) 14

15 15

16 Bewijs Stelling van Goodstein Doortellen voorbij oneindig: 1, 2, 3,... ω, ω + 1, ω + 2,... 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, ω 2, ω 2 + 1,... ω 2 + ω, ω 2 + ω + 1, ω 2, 2ω 2 + 1, ω 3, ω 3 + 1,..., ω 3 + ω, ω ω..., ω ωω,... 16

17 Bewijs Stelling van Goodstein Bewijsidee: vervang grondtal door ω n g n G n ω ωω +ω + ω ωω +1 + ω ω ω ωω +ω + ω ωω ω 2 + 2ω ω ωω +ω + ω ωω ω 2 + 2ω ω ωω +ω + ω ωω ω 2 + 2ω ω ωω +ω + ω ωω ω 2 + ω ω ωω +ω + ω ωω ω 2 + ω ω ωω +ω + ω ωω ω ω ωω +ω + ω ωω ω ω ωω +ω + ω ωω +1 + ω ω

18 Bewijs Stelling van Goodstein We zien: g n G n G 2 > G 3 > G 4 > Dus G n = 0 voor heel grote n. Dus g n = 0 voor heel grote n. 18

19 Bewijs Stelling van Goodstein We zien: g n G n G 2 > G 3 > G 4 > Dus G n = 0 voor heel grote n. Dus g n = 0 voor heel grote n. Hoe groot ongeveer is de kleinste n met g n = 0? Bij startgetal g 2 = 4 is dat n

20 Logica Wiskunde: Stellingen over wiskundige objecten, zoals getallen Logica: Stellingen over wiskundige stellingen en stellingen over wiskundige bewijzen Stelling (Gödel) Er bestaan onbewijsbare waarheden: d.w.z. wiskundige beweringen die waar zijn, maar waarvoor desondanks geen bewijs bestaat! 20

21 Voorbeeld van zo n Onbewijsbare Waarheid De Stelling van Goodstein is een wiskundige waarheid waarvan is bewezen dat je haar niet kunt bewijzen. Preciezer: Stelling (Kirby en Paris) De stelling van Goodstein kan niet worden bewezen, tenminste niet zonder gebruik te maken van ω. 21

22 Samenvatting Je kunt tellen voorbij oneindig. Met oneindig kun je rekenen. Oneindig kun je gebruiken om stellingen te bewijzen. Er zijn stellingen die zonder oneindig niet te bewijzen zijn. Die onbewijsbaarheid is bewezen! 22

23 Voor de kenners Je kunt eigenlijk niet zeggen Goldstein is waar, want waarheid hangt af van keuze van model bij axiomasysteem. Omdat Goldsteins bewering onbeslisbaar is in Peano, bestaan er ook modellen van Peano-getaltheorie waarin deze bewering niet waar is. Je kunt binnen Peano bewijzen dat Goldsteins rijtje afbreekt voor startgetal g 2 = 2, 3, 4,.... Maar Goldsteins bewering m: Goldsteinrijtje bij startgetal g 2 = m breekt af is niet bewijsbaar binnen Peano. 23