Hoofdstuk 1. Inleiding. Het binomiaalgetal ( n

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Inleiding Het binomiaalgetal ( n berekent het aantal -combinaties van n elementen; dit is het aantal mogelijkheden om elementen te nemen uit n beschikbare elementen Hierbij is herhaling niet toegestaan en seelt de volgorde van de elementen geen rol Met een -deel van een verzameling A bedoelen we een deelverzameling van A met recies elementen Als 0 n, dan kennen we de formule n!!(n! Als echter > n, dan definieren we ( n 0 Om verbanden tussen de binomiaalgetallen te bewijzen kunnen we gebruik maken van bovenstaande formule Vaak geeft dit aanleiding tot technisch moeilijk rekenwerk Vandaar dat we in volgende sectie een andere werkmethode willen geven, steunend o eenvoudige begrien uit de verzamelingenleer Als we in volgend hoofdstuk, elementen nemen uit een willekeurige verzameling, dan veronderstellen we steeds dat dit gebeurt zonder herhaling en volgorde We vinden de binomiaalgetallen terug in de driehoek van Pascal 1

2 2

3 Hoofdstuk 2 Formules Stelling 21 Voor n 0 geldt ( ) ( ) n n Bewijs Neem A een verzameling met n elementen en B een verzameling met 1 element Beschouw A B Dit is een verzameling met n+1 elementen Geven we twee mogelijke formuleringen om de formule te bewijzen: Het linkerlid van de formule telt het aantal mogelijkheden om + 1 elementen te nemen uit de n + 1 beschikbare elementen Dit kan gebeuren door ofwel + 1 elementen te nemen uit A ofwel door elementen te nemen uit A en het ene element van B Het rechterlid geeft het aantal mogelijkheden om dit te doen Het linkerlid van de formule geeft het aantal (+1)-delen van A B Je kan ofwel ( + 1)-delen nemen uit A en zo zijn er ( n +1) Ofwel kan je - delen nemen uit A en het ene element van B Dit kan o ( n manieren Hieruit volgt het gestelde Stelling 22 Voor n 1 geldt 1 n 1 3

4 Bewijs Neem A een verzameling met n ersonen Geven we weer twee mogelijke formuleringen: We willen uit A een groe van ersonen kiezen, waarbij één ersoon de voorzitter is van de groe Dit kan gebeuren door eerst ersonen te kiezen uit A en dan 1 ersoon hieruit tot voorzitter te kiezen Dit kan o ( ( n ( 1) n manieren Je kan echter ook eerst een willekeurige ersoon uit A tot voorzitter kiezen en dan nog 1 andere ersonen kiezen uit de resterende n 1 ersonen Dit kan o ( ) ( n 1 n 1 ) ( 1 n 1 1) n manieren Hieruit volgt de gegeven formule We weten dat A juist ( n verschillende -delen bevat In het totaal bevatten deze -delen ( n elementen Deze elementen zijn niet alle verschillend Elk van de n elementen van A komt in ( n 1 1) verschillende -delen van A voor Hieruit volgt het gestelde Stelling 23 Voor n 2 geldt ( ) ( ) n 2 n Bewijs Neem A een verzameling met n ersonen en neem twee elementen aart in B De overige n 2 elementen laatsen we in C We moeten elementen nemen uit A Dit kan o drie manieren: Neem elementen uit C: ( ) n 2 mogelijkheden Neem 1 elementen uit C en 1 element uit B: ( ( n 2 1) 2 ) ( 1 2 n 2 ) mogelijkheden Neem 2 elementen uit C en de twee elementen van B: ( n 2 2) ( 2 2) ( n 2 2) mogelijkheden Hieruit volgt het gevraagde Volgende stelling is een veralgemening van vorig resultaat 4

5 Stelling 24 Voor n 1 + n 2 0 geldt k0 ( n1 k )( ) n2 k ( ) n1 + n 2 Bewijs Verdeel A in twee delen A en A 2 met resectievelijk n 1 en n 2 elementen We willen het aantal -delen van A berekenen Neem daarvoor k elementen uit A 1 en k elementen uit A 2 en varieer k van 0 tot Stelling 25 Voor n 0 geldt k ( ) k k 2 n Bewijs Bereken het aantal -delen van elke mogelijke deelverzameling van A Uiteraard moet zo een deelverzameling minstens elementen bevatten We kunnen dit o twee manieren berekenen: Enerzijds heeft elk k-deel van A ( met k ( k verschillende -delen en A heeft ( n k) verschillende k-delen Het gezochte totaal is dus: k ( ) k k Anderzijds is elk -deel van A een deelverzameling van 2 n deelverzamelingen van A We kunnen immers bij het -deel elke mogelijke deelverzameling uit het comlement ervan toevoegen het comlement telt n elementen en heeft dus 2 n mogelijke deelverzamelingen Omdat verder A, zoals we weten, ( n verschillende -delen heeft, is het gezochte aantal ook gelijk aan 2 n Hiermee is de formule bewezen 5

6 Gevolg 26 Wanneer we in vorige formule 1 nemen, vinden we Voor n 1 geldt k1 k n2 n 1 k Stelling 27 Voor n 0 geldt k ( )( ) n i i k i i0 1 k 1 Bewijs Neem een welbeaald -deel van A Noem dit B Bestudeer alle k- delen van A en tel voor elk k-deel hoeveel elementen er in B zitten Bereken nu de som van al die aantallen o twee manieren: Elk element van B komt voor in ( n 1 k 1) verschillende k-delen De gezochte som is dus ( n 1 k 1) Neem i een willekeurig natuurlijk getal tussen 0 en k Het aantal k- delen dat juist i elementen in B heeft is ( )( n i k i) De bijdrage in de gezochte som is dan i ( )( n i Hiermee is het bewijs geleverd k i) Stelling 28 Voor n 1 geldt k ( ) k 1 1 Bewijs Veronderstel dat A {x 1, x 2,, x n } een geordende verzameling is met n elementen Neem een willekeurig element x k van A, waarbij k Het aantal verschillende -delen van A waarbij x k het laatste element is gelijk aan ( k 1 1) Hieruit volgt het gestelde 6