Oneindig. Pieter Naaijkens Radboud Universiteit Nijmegen 7 januari 2009

Transcriptie

1 Oneindig Pieter Naaijkens Radboud Universiteit Nijmegen 7 januari Introductie Deze lesbrief gaat over het begrip oneindig. Iedereen heeft wel een idee bij het begrip oneindig. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel natuurlijke getallen: 1, 2, 3, enzovoort. Evenzo zijn er oneindig veel breuken en reële getallen. Maar zijn er nu meer breuken dan natuurlijke getallen? En hoe zit dit met de reële getallen? We zullen in deze lesbrief het antwoord zien op deze vragen. Het was al bij de oude Grieken bekend, door een bewijs van Euclides, dat er oneindig veel priemgetallen zijn. In Galileo Galilei s laatste wetenschappelijke werk, Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze, 1 dacht hij na over het vergelijken van de grootte van oneindige verzamelingen. Hij beargumenteerde dat er even veel gehele als reële getallen zijn. Later in deze lesbrief zal blijken of Galileo gelijk had of niet. Echte vooruitgang werd echter pas geboekt tegen het einde van de 19e eeuw. De Duitse wiskundige Georg Cantor legde toen de grondslagen voor de moderne verzamelingenleer. Het is daarmee een relatief nieuw gebied: de meeste wiskunde die wordt onderwezen op de middelbare school dateert al uit de tijd van Newton. Cantor gebruikte dezelfde definitie van het even groot zijn van verzamelingen als Galileo. Hij introduceerde veel nieuwe begrippen, en was de eerste die systematisch nadacht over de grondslagen van de verzamelingenleer. Zijn ideeën waren erg controversieel in zijn tijd, en zeker niet algemeen geaccepteerd door de toenmalige wiskundige gemeenschap. Tegenwoordig is dit echter niet meer het geval, en is het overgrote deel van de wiskundigen het met hem eens. Een bekende quote van de eveneens Duitse wiskundige David Hilbert uit een toespraak in 1925 hierover luidt: Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können [4]. Vrij vertaald: niemand kan ons het uit Paradijs verbannen dat Cantor ons geschapen heeft. In deze lesbrief bekijken we de vragen die hierboven gesteld zijn. Hierbij zien we wat nu de werkwijze van een wiskundige is. Hoe pakt deze dergelijke problemen aan? Waar te beginnen? We bouwen de theorie stap voor stap op, om uiteindelijk te komen op een antwoord op onze vraag: zijn er evenveel gehele getallen als reële getallen? Deze lesbrief is tot stand gekomen in het kader van het Sprint-UP project p.naaijkens@math.ru.nl 1 In het Engels aangeduid met Two New Sciences. Zie [10, 3] voor een vertaling van de relevantie sectie van dit boek. 1

2 Figuur 1: Een verzameling driehoekjes en rondjes. 2 Injectiviteit en surjectiviteit De vragen die in de introductie gesteld worden, komen eigenlijk op het volgende neer: kunnen we voor een willekeurige verzameling bepalen hoe groot deze is? En hoe kunnen we de grootte van twee verzamelingen vergelijken? De eerste ingeving is waarschijnlijk: tel het aantal elementen van beide verzamelingen en je hebt je antwoord. Hoewel deze oplossing correct is voor eindige verzamelingen, werkt deze methode niet meer voor oneindige verzamelingen, zoals de natuurlijke getallen. Ook als de verzamelingen groot worden is tellen vaak niet de makkelijkste manier, omdat het nogal makkelijk is om een fout te maken. Laten we daarom eens een voorbeeld bekijken. Stel je een schoolklas voor die op een uitje is. Ze gaan met een grote bus, met precies genoeg plaatsen. Na afloop van het uitje wil de docent graag weten of iedereen er weer is. In plaats van iedereen te tellen, is het veel makkelijker om te kijken of elke stoel bezet is. Immers, er zijn precies genoeg stoelen. Een ander voorbeeld: stel je hebt een stapel enveloppen en een stapel postzegels. Om nu uit te vinden of er evenveel enveloppen als postzegels zijn, kun je op elke envelop een postzegel plakken. Als het er evenveel zijn, zit op elke envelop een postzegel, en zijn bovendien alle postzegels op. Wat we in beide voorbeelden eigenlijk gedaan hebben, is een koppeling tussen twee verzamelingen maken. Elk element uit de ene verzameling komt overeen met een element uit de andere verzameling, zonder dat er elementen worden overgeslagen. Dus elke postzegel zit op een envelop, en elke envelop heeft een postzegel. Het aantal elementen doet er niet toe: je kunt de definitie van een koppeling ook op oneindige verzamelingen toepassen. Hier zullen we later enkele voorbeelden van zien. Definitie 2.1. Twee verzamelingen X en Y zijn even groot als er een koppeling bestaat tussen beide verzamelingen. Dat wil zeggen, voor elk element uit X kunnen we een bijbehorend element uit Y vinden, en vice versa. We schrijven in dat geval X Y. Blijft over de vraag hoe we de grootte van twee verzamelingen kunnen vergelijken. Om dit precies te kunnen doen, hebben we wat wiskundige theorie nodig. Later zullen we toepassingen hiervan zien op oneindige verzamelingen. Opgave 2.2. Staan er in Figuur 1 meer driehoekjes of rondjes? Vind je antwoord zonder beide aantallen te tellen. We beginnen eerst met wat notatie. Een verzameling is niets anders dan een collectie elementen. We kunnen verzamelingen beschrijven door hun elementen op te schrijven. Bijvoorbeeld: X = {1, 2, 5} is een verzameling met drie elementen: 1, 2 en 5. Als X een verzameling is, betekent x X dat x een element is uit X. De lege verzameling, met 0 elementen, noteren we als. Enkele standaardverzamelingen zijn die van de natuurlijke getallen N = {1, 2, 3,... }, de gehele getallen 2

3 X f Y X f Y Figuur 2: Twee voorbeelden van een functie f : X Y. De elementen van de verzamelingen zijn aangegeven met een punt, de pijlen geven aan waarop f deze elementen afbeeldt. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }, de rationale getallen Q (alle breuken), en de reële getallen R, ofwel alle getallen op de getallenlijn. Een centraal begrip in de wiskunde is dat van een functie tussen verzamelingen. Definitie 2.3. Een functie f tussen twee verzamelingen X en Y is een afbeelding, die elk element x in X op precies één element van Y afbeeldt. Dit element noteren we als f(x). Als f een functie is van X naar Y, schrijven we ook wel f : X Y. Om dus een functie f te definiëren tussen twee verzamelingen X en Y, moeten we aangeven wat f met elk element van X doet. Dit kan bijvoorbeeld door een formule te geven voor f(x). Inderdaad, stel f(x) = x 2 voor elke x R. Dan definieert f een functie van R naar R, dus f : R R. Het is echter niet altijd mogelijk om een formule op te schrijven voor een functie. We kunnen bijvoorbeeld ook schematisch aangeven hoe een functie f : X Y is gedefinieerd, bijvoorbeeld door met pijlen aan te geven op welke elementen van Y de functie f de elementen van X afbeeldt. Een voorbeeld hiervan zie je in Figuur 2. Zoals gezegd staat het begrip functie centraal in de wiskunde. In het algemeen zijn we alleen geïnteresseerd in functies met bepaalde extra eigenschappen. Definitie 2.4. Zij f : X Y een functie. Dan heet f injectief, als het de volgende eigenschap heeft: stel f(x 1 ) = f(x 2 ), dan volgt x 1 = x 2. We noemen f surjectief, als voor elk element y in Y, er een x in X is, zodat f(x) = y. Wat betekenen deze definities nu precies? Stel dat f surjectief is. Als we over f denken als een verzameling pijlen tussen de elementen van X en van Y, dan betekent dit precies dat er naar elk element van Y een pijl gaat. Bijvoorbeeld zoals in de rechterfiguur in Figuur 2. Injectief betekent dat als er naar een punt y van Y twee pijlen wijzen, dit inhoudt dat de pijlen uit hetzelfde punt vertrokken zijn. Beide pijlen zijn dus eigenlijk gelijk! Een andere manier om dit te zeggen, is dat elk paar verschillende punten van X, op verschillende elementen van Y wordt afgebeeld, ofwel als x 1 x 2, dan f(x 1 ) f(x 2 ). Deze situatie staat in de linkerfiguur in Figuur 2 afgebeeld. We kunnen ook weer terug gaan naar het voorbeeld met de leerlingen op een schooluitje. Neem aan dat de stoelen van de bus genummerd zijn. Dan kunnen we aan elke leerling, een stoelnummer koppelen. Dit levert dus een functie van de verzameling van leerlingen, naar de verzameling van stoelnummers. Om geruzie te 3

4 voorkomen, is het wel zo makkelijk als iedere leerling een andere stoel heeft. Ofwel, de functie moet injectief zijn. Nu verdelen we de groep leerlingen in een groep jongens en een groep meisjes. Nu is elke jongen verliefd op een meisje (dit is een heel traditionele school). We kunnen dit zien als een functie van de verzameling jongens, naar de verzameling meisjes. Het welbekende spreekwoord zegt, op elk potje pas een dekseltje. Ofwel, elk meisje wordt door tenminste één jongen leuk gevonden (het kunnen er ook meer zijn). De functie is dus surjectief. Merk op dat hiervoor wel moet gelden dat er maximaal evenveel meisjes als jongens zijn, zie ook Opgave 2.8. Definitie 2.5. Een functie f : X Y heet bijectief als ze injectief en surjectief is. Een bijectieve functie f : X Y koppelt dus de elementen van X aan die van Y. Het is dus niets anders dan een koppeling tussen de twee verzamelingen. Dat wil zeggen, voor elke x in X is er precies één bijbehorende y in Y, en omgekeerd. In termen van een plaatje betekent het dat er naar elk punt van Y precies één pijl gaat. Een bijectieve functie noemen we ook wel een bijectie. Opgave 2.6. Geef bij elk van de onderstaande functies aan of deze injectief, surjectief of bijectief zijn. 1. f : N Z, f(n) = n. 2. f : Z Z, f(n) = n. 3. f : N N, f(n) = n f : R R, f(x) = x f : R R, gedefinieerd door f(0) = 0, en f(x) = 1 x als x 0. Opgave 2.7. Stel we hebben twee (eindige) verzamelingen X en Y, met respectievelijk n en m elementen. 1. Toon aan dat als n m, er een injectieve functie f : X Y is. 2. Toon aan dat als er een injectieve functie f : X Y is, moet gelden dat n m. 3. Stel dat er injectieve functies f : X Y en g : Y X zijn, wat kun je dan zeggen over de grootte van beide verzamelingen? Opgave 2.8. Geef soortgelijke beweringen als in Opgave 2.7, maar nu in termen van surjectieve functies. 3 De grootte van een verzameling In Sectie 2 hebben we gedefinieerd wanneer twee verzamelingen even groot zijn, namelijk als er een koppeling tussen beide verzamelingen bestaat. We zagen ook dat een koppeling eigenlijk niets anders is dan een bijectie tussen twee verzamelingen. Hier bekijken we hier enkele voorbeelden van. Als je in de wiskunde een bepaald probleem wilt onderzoeken, is het vaak verstandig om met een makkelijker probleem te beginnen. Dit geeft enige intuïtie voor het probleem. Door het simpele geval te begrijpen, kun je dan proberen om de definities en resultaten die voor dit simpele geval gelden, uit te breiden naar moeilijkere situaties. Een voorbeeld hiervan zijn de resultaten van Opgave 2.7. We zagen al eerder wanneer twee verzamelingen even groot zijn, namelijk als er een koppeling is tussen beide verzamelingen. Om dit nog eens met een voorbeeld 4

5 X a b c d e f Y Figuur 3: Een bijectie f : {a, b, c, d, e} {1,..., 5}. te illustreren, kijken we nog eens naar het voorbeeld van eindige verzamelingen. Van een eindige verzameling kunnen we immers simpel het aantal elementen tellen. Hoe tel je het aantal elementen in een eindige verzameling? Het makkelijkste is om alle elementen op een rij te zetten, en ze één voor één te nummeren. Als je bij het laatste element bent aangekomen, weet je precies hoeveel het er zijn. Een voorbeeld: stel X is de verzameling X = {a, b, c, d, e}. Eerst zetten we de elementen (de volgorde maakt niet uit) op een rijtje, en vervolgens nummeren we ze. Dit levert de volgende tabel op: Elementen d c a e b Nummer Maar eigenlijk hebben we niets anders gedaan dan een bijectie, of koppeling, construeren tussen de verzameling X en de verzameling {1, 2, 3, 4, 5}. Namelijk de functie f : X {1,... 5}, gedefinieerd door f(d) = 1, f(c) = 2, f(a) = 3, f(e) = 4 en f(b) = 5. Deze bijectie is ook weergegeven in Figuur 3. We kunnen dit resultaat samenvatten voor eindige verzamelingen 2 van een willekeurige grootte n. Een kleine opmerking vooraf: als n = 0, spreken we af dat {1,..., n} =, de lege verzameling. Immers, een verzameling met nul elementen is de lege verzameling. Propositie Zij X een eindige verzameling met n elementen. Dan is er een bijectie tussen X en de verzameling {1, 2,... n}. Dit is eigenlijk niets anders dan wat we al eerder zagen: twee verzamelingen zijn even groot als er een bijectie of koppeling tussen beiden is. Ter afsluiting noemen we nog enkele veelgebruikte notaties. Definitie 3.2. Als X en n zijn als in Propositie 3.1, dan noteren we X {1,..., n}. Andere veelgebruikte notaties zijn #X = n of X = n. 3.1 Hilberts Hotel 4 In het voorgaande gedeelte hebben we gekeken naar eindige verzamelingen. Voor een eindige verzameling is het duidelijk hoe we aan kunnen geven hoe groot deze is: we kunnen de elementen immers gewoon tellen. Maar hoe doen we dit voor oneindige verzamelingen? De verzameling N van natuurlijke getallen is oneindig, net zoals Z en R. Maar is de ene verzameling groter dan de andere? Hoe kunnen we de grootte van oneindige verzamelingen vergelijken? 2 Eigenlijk zouden we wat preciezer moeten zijn: we hebben nog niet gedefinieerd wat nu precies een eindige verzameling is. Men kan het resultaat van Propositie 3.1 als definitie nemen. Dat wil zeggen, een verzameling X is eindig, precies als er een n N is, zodat er een bijectie tussen X en {1,..., n} is. 3 De naam propositie wordt in de wiskunde vaak gebruikt voor een resultaat wat op zich interessant is, maar waarvan het bewijs eenvoudig is en geen diep inzicht vereist. 4 Op de site Kennislink staat een uitgebreider artikel over deze paradox [6]. Je kunt er ook biografieën van Hilbert en Cantor vinden. 5

6 Om een idee te krijgen wat voor dingen er kunnen gebeuren met oneindige verzamelingen, bekijken we eerst Hilberts Hotel. Dit is een fictief hotel, bedacht door de beroemde wiskundige David Hilbert. Dit hotel heeft een aantal merkwaardige eigenschappen. Net als elk ander hotel heeft dit hotel zijn kamers genummerd. Om de administratie makkelijk te houden, heeft Hilbert er voor gekozen om te beginnen bij kamer 1, dan kamer 2, enzovoort. Echter, hij heeft oneindig veel kamers. Met andere woorden, voor elk getal n N is er een kamer met kamernummer n. Er is nog wat anders aan de hand met dit hotel: het is namelijk altijd vol! Toch heeft Hilbert nog nooit een nieuwe gast teleur moeten stellen. Hoe kan dit? Stel er komt een nieuwe gast bij het hotel aan. Alle kamers zitten vol, maar toch wil deze gast in het hotel slapen. Nu is het cruciaal dat het hotel oneindig veel kamers heeft. Alle gasten van het hotel wordt namelijk opgedragen om één kamer te verschuiven. Dus de gast in kamer 5 gaat naar kamer 6, of meer algemeen, de gast in kamer n gaat naar kamer n + 1. Maar wat zien we nu? De eerste kamer, kamer nummer 1, is vrijgekomen! Er is dus plaats voor de nieuwe gast. Opgave 3.3. Nu komt er niet één nieuwe gast aan, maar een bus met daarin oneindig veel gasten. Dat wil zeggen, de stoelen van de bus zijn genummerd 1, 2, 3,..., waarbij elke stoel bezet is. Kun je een manier vinden om al deze gasten een plaats te geven in het hotel? 3.2 Kardinaliteit Uit Propositie 3.1 volgt dat twee eindige verzamelingen X en Y even groot zijn, precies als er een bijectie is tussen X en Y, zie ook Opgave 3.6 hieronder. Eerder zagen we al dat twee verzamelingen even groot zijn, als er een koppeling is tussen beide verzamelingen. In de wiskunde noemen we, ruwweg, de grootte van een verzameling de kardinaliteit. In Opgave 3.6 wordt je gevraagd aan te tonen dat dit inderdaad een zinnige definitie is: er geldt bijvoorbeeld dat als X even groot is als Y, en Y even groot als Z, dan is X even groot als Z. Definitie 3.4. Twee verzamelingen X en Y hebben dezelfde kardinaliteit, precies als er een bijectie is tussen X en Y. We noteren in zo n geval X Y. Als voorbeeld laten we zien dat de verzamelingen N en Z dezelfde kardinaliteit hebben. Er zijn dus even veel gehele getallen als positieve gehele getallen. Beschouw bijvoorbeeld de functie f : N Z gedefinieerd door { n f(n) = 2 als n even n 1 2 als n oneven. Het is niet zo moeilijk om in te zien dat deze functie injectief is. De functie is ook surjectief. Stel immers dat m een geheel getal groter dan 0 is. Dan is 2m even, en f(2m) = m. Stel nu dat m een geheel getal kleiner of gelijk 0 is. Dan is 2m + 1 oneven en positief, en dus f( 2m + 1) = 2m = m. Maar dat betekent dat f een bijectie is, en dus N Z. Opgave 3.5. Stel a b zijn twee reële getallen. We schrijven [a, b] voor het interval met als eindpunten a en b. Met andere woorden, [a, b] is dus de verzameling van alle x R met a x b. Toon de volgende beweringen aan: 1. [0, 1] [0, 2] 2. [1, 2] [5, 7] 3. [a, b] [c, d] voor willekeurige a, b, c, d in R met a b en c d. 6

7 Opgave 3.6. In deze opgave zijn X, Y en Z willekeurige verzamelingen. Bewijs de onderstaande beweringen, door aan te geven hoe je de bijecties kunt construeren. 1. Voor X geldt X X. Deze eigenschap heeft reflexiviteit. 2. Als X Y, dan ook Y X. Deze eigenschap heet symmetrie. 3. Stel dat X Y en Y Z. Dan X Z. Dit heeft transitiviteit. In de wiskunde zeggen we in zo n geval dat een equivalentierelatie is. Nu zijn we in staat om te definiëren wat precies een eindige en een oneindige verzameling is. Definitie 3.7. Zij X een verzameling. Dan is X eindig, als X de lege verzameling is, of als er een n N is zodat X {1,... n}. In de overige gevallen noemen we X oneindig. Als geldt dat X N, heet X aftelbaar oneindig, of kortweg aftelbaar. Zoals de naamgeving suggereert, zijn aftelbaar oneindige verzamelingen X oneindig. Dit lijkt voor de hand liggend, maar is eigenlijk iets wat we moeten bewijzen. Het is inderdaad mogelijk om te bewijzen dat in dit geval er geen n in N is zodat X {1, 2,..., n}. Het is vaak erg lastig om expliciet een bijectie te construeren tussen twee verzamelingen. Het is echter mogelijk om een aantal stellingen te bewijzen die dit probleem tot een makkelijker probleem reduceren. Een voorbeeld is de stelling van Cantor, Schröder en Bernstein. Voordat we deze stelling formuleren, introduceren we eerst een nieuwe notatie. Definitie 3.8. Zij X, Y een tweetal verzamelingen. We noteren X Y als er een injectieve functie f : X Y is. Intuïtief is het niet zo moeilijk om in te zien dat als we een injectieve functie van een verzameling X naar Y hebben, de verzameling Y minstens even veel elementen als X moet bevatten. Voor eindige verzamelingen zien we dan dat als er een injectieve functie van X naar Y is, en eentje van Y naar X, volgt dat X en Y evenveel elementen moeten hebben, zie ook Opgave 2.7. De stelling van Cantor, Schröder en Bernstein zegt nu dat dit voor willekeurige verzamelingen geldt. Stelling 3.9 (Cantor-Schröder-Bernstein). Als X en Y verzamelingen zijn zodat X Y en Y X. Dan geldt X Y, of met andere woorden, X en Y hebben dezelfde kardinaliteit. Bewijs. Voor eindige verzamelingen hebben we dit gezien in Opgave 2.7. Het bewijs voor algemene verzamelingen is lastiger. Het idee is om de beide injectieve functies te gebruiken om op een slimme manier door de verzamelingen te lopen. Op deze manier kan een bijectie geconstrueerd worden. Omdat het hier om oneindige verzamelingen gaat, moeten we echter wat voorzichtiger zijn, en een aantal verschillende gevallen onderscheiden. Een volledig bewijs is bijvoorbeeld te vinden in [1]. Opgave Stel a < b. De verzameling [a, b) is de verzameling van alle x met a x < b. Evenzo is (a, b) de verzameling van alle x met a < x < b. Toon de volgende beweringen aan. 1. [a, b) [a, b]. 2. (a, b) [a, b). 3. (a, b) [a, b]. Voor intervallen in R maakt het voor de kardinaliteit dus niet uit of we de eindpunten meetellen of niet. 7

8 4/1 4/2 4/3 4/4 2/1 2/2 2/3 2/4 1/1 1/2 1/3 1/4 0/1 0/2 0/3 0/4 Figuur 4: De positieve rationale getallen. Opgave Stel X, Y zijn twee verzamelingen, en f : X Y een surjectieve functie. 1. Laat zien dat Y X, door aan te geven hoe je een injectieve functie van Y naar X kunt construeren. 2. Concludeer dat als f : X Y injectief is, en er surjectieve g : X Y is, geldt dat X Y. Opgave In deze opgave gaan we laten zien dat de verzameling Q aftelbaar oneindig is. We beginnen met de positieve rationale getallen, die we als Q + noteren. 1. Leg uit hoe je een surjectie van N naar Q + maken. (Hint: zie Figuur 4). 2. Hoe kunnen we nu een surjectie van N naar Q maken? Concludeer dat N Q. Deze methode levert niet een expliciete bijectie op tussen N en Q, omdat de geconstrueerde functie niet injectief is. Het blijkt echter dat het wel mogelijk is om expliciet een bijectie te construeren. Calkin en Wilf verzonnen een methode om alle rationale getallen groter dan 0 op een rij te zetten, zonder dat daarin dubbelen voorkomen [2]. Later vond Moshe Newman een formule die deze rij genereert. Dat wil zeggen, als je een getal uit de rij in de formule invult, geeft de formule het volgende getal in de rij. De formule is f(x) = 1 x + 1 {x}. Hierin is x het gehele deel van een getal (bijvoorbeeld 22 7 = 3) en {x} het breukgedeelte (bijvoorbeeld { 22 7 = 1 7 ). De eerste elementen van de Calkin-Wilf rij zijn 1 1, 1 2, 2 1, 1 3, 3 2, 2 3, 3 1,... Men kan bewijzen dat in deze rij elk strikt positief rationaal getal precies één keer voorkomt, zie bijvoorbeeld [1]. 4 De kardinaliteit van R We hebben nu een goede manier om de grootte van verzamelingen met elkaar te vergelijken. In Opgave 3.12 hebben we gezien dat Q aftelbaar is. Dus de verzamelingen N, Z en Q zijn even groot. Je zou je nu af kunnen vragen hoe het met R zit. Is R aftelbaar? Dit blijkt niet het geval te zijn. Er zijn dus veel meer reële getallen dan breuken! In deze sectie zien we dit bewezen kan worden. Het argument dat wordt gebruikt heet het diagonaalargument, en is bedacht door Cantor. Dit type argument kan vaak gebruikt worden om soortgelijke problemen te bewijzen. 8

9 Verder is het een bewijs door contradictie. Bij zo n bewijs nemen we aan dat iets wat we willen bewijzen niet waar is. Uit deze aanname leiden we dan een tegenspraak af, een bewering die duidelijk onjuist is. Maar dat kan dan alleen maar betekenen dat de aanname niet juist was, dus moet het resultaat wel waar zijn! Stelling 4.1. De kardinaliteit van R is strikt groter dan die van N. Met andere woorden, R is niet aftelbaar. Bewijs. Als eerste maken we de volgende opmerking: het is duidelijk dat R een minstens even grote kardinaliteit heeft als het interval (0, 1]. Stel nu dus dat (0, 1] aftelbaar is. We laten zien dat dit een tegenspraak oplevert, dus kan (0, 1] niet aftelbaar zijn. Bovendien is duidelijk dat de verzameling niet eindig is. Stel nu dus dat (0, 1] aftelbaar is. Per definitie, betekent dat er een bijectie is tussen N en (0, 1]. Voor elke n = 1, 2, 3,... hebben we dus een getal a n tussen 0 en 1. Bekijk nu voor elk getal a n = 0, a n1 a n2 a n3 a n4... de decimale ontwikkeling, zoals in de onderstaande tabel. In de tabel links staat het algemene geval, de tabel rechts is een specifieke keuze voor de getallen a n. n Decimale ontwikkeling 1 a 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a a 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a a 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a a 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a a 5 = 0, a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a n Decimale ontwikkeling 1 0, , , , , De aanname was nu dat (0, 1] aftelbaar is. Maar dat betekent dat elk getal 0 < r 1 op een gegeven moment in de tabel voorkomt. We laten nu echter zien dat we een getal kunnen vinden dat niet in de lijst staat. Kies nu voor elke k N, een getal r k zó dat r k a kk. De getallen a kk zijn precies de getallen op de diagonaal, en zijn gearceerd in de bovenstaande tabel. Het getal r = 0, r 1 r 2 r 3... komt niet in de tabel voor. Immers, op de eerste positie verschilt deze van het eerste getal in de tabel, dus geldt zeker r a 1. Maar op dezelfde manier, r a 2, enzovoort. Dus het getal r komt niet in de tabel voor, tegenspraak. Dus moet wel gelden dat (0, 1] niet aftelbaar is, en dus R ook niet. Opgave 4.2. In deze opgave bekijken we oneindige rijtjes van nullen en enen. Deze verzameling noteren we als 2 N. Bewijs dat 2 N niet aftelbaar is. Tenslotte merken we op dat een oneindig rijtje nullen en enen niets anders is dan een functie f : N {0, 1}. Het n-de getal in de rij wordt gegeven door f(n). Tenslotte is er nog een andere manier om deze verzameling te zien. Een functie f : N {0, 1} kunnen we in verband brengen met een deelverzameling van N. Deze verzameling bestaat uit alle n in N, zodat f(n) = 1. Omgekeerd, als we een deelverzameling hebben is het eenvoudig om de bijbehorende functie te construeren. In de wiskunde komt het vaak voor dat we op verschillende manieren naar bepaalde objecten kunnen kijken. Welke het handigst is, is afhankelijk van het probleem dat je wilt oplossen. 4.1 De continuümhypothese Uit het bewijs van Cantor volgt alleen dat de kardinaliteit van R strikt groter is dan die van N. Het is namelijk mogelijk om te bewijzen dat R P(N). Hierbij is P(N) de machtsverzameling van N. Dit is de verzameling van alle deelverzamelingen van N. Ter illustratie, de machtsverzameling van X = {1, 2, 3} is bijvoorbeeld P(X) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. 9

10 Een natuurlijke vraag om dan te stellen is: is er een verzameling X, met kardinaliteit tussen die van N en R? Dus een verzameling X zodat N X R, maar niet X N of X R. Dit staat bekend als de continuümhypothese. Dit probleem is één van de problemen die Hilbert voorstelde tijdens zijn beroemde rede in 1900, gericht aan het Internationaal Congres voor Wiskundigen. Zijn overtuiging was, dat elk duidelijk gesteld wiskundig probleem ofwel bewezen, ofwel ontkracht kan worden. In 1931 kwam echter de Weense wiskundige Kurt Gödel met een schokkend resultaat. Hij toonde aan, dat in elk consistent wiskundig systeem, 5 er een uitspraak is die niet bewezen, maar ook niet ontkracht kan worden binnen dat systeem. Zie bijvoorbeeld [11]. In 1963 bewees Paul Cohen dat de continuümhypothese precies zo n uitspraak is. Dat betekent dat je kunt kiezen om dit axioma aan te nemen, of juist aan te nemen dat het niet geldt, zonder dat je in de problemen komt. Met andere woorden, beide modellen van de wiskunde zijn consistent. Een kleine kanttekening is wel op zijn plaats: deze resultaten zijn alleen geldig als de gebruikelijke axioma s (Zermelo- Fraenkel) van de verzamelingenleer zelf al consistent zijn. Hiervoor is geen bewijs bekend, vrijwel alle wiskundigen gaan er echter van uit dat dit wel het geval is. 5 Meer informatie Over het onderwerp van deze lesbrief is veel op internet te vinden, bijvoorbeeld op Wikipedia. Verder is er een boekje van Leon van den Broek en Arnoud van Rooij over oneindig, speciaal voor leerlingen op het vwo [9]. Hierin worden dezelfde onderwerpen als in deze lesbrief behandeld, maar ook allerlei andere zaken die met oneindig te maken hebben. Bijvoorbeeld hoe we uit kunnen rekenen. Het boek Gödel, Escher, Bach van Douglas Hofstadter behandelt een breed scala aan wiskundige onderwerpen [5]. Het bijzondere aan dit boek is dat de auteur er de prestigieuze Pulitzer prijs voor heeft gekregen. Hij legt op heldere wijze ingewikkelde wiskunde uit, en laat zijn dat er relaties zijn met kunst en muziek. Een van de hoogtepunten in het boek is de onvolledigheidsstelling van Gödel, die hierboven al even kort genoemd is. Tenslotte nog een tweetal boeken die meer over de wiskunde in het algemeen gaan. In Letters to a young mathematician, schrijft Ian Stewart brieven aan een scholiere met interesse in de wiskunde [8]. Gedurende de briefwisseling komt zij verder en verder in haar carrière als wiskundige. In deze brieven komt aan de orde hoe breed het gebied van de wiskunde is, waar mogelijke toepassingen zijn, wat wiskunde precies inhoudt, wat een wiskundige nu zoal doet, en wat de carrièremogelijkheden zijn. Een aanrader voor eenieder die overweegt wiskunde te gaan studeren of erin geïnteresseerd is. Tenslotte is er nog het boek van wetenschapsjournalist Simon Singh, over het laatste raadsel van Fermat [7]. Dit boek vertelt het verhaal van Andrew Wiles, die de laatste stelling van Fermat bewees, een probleem waarop veel wiskundigen de afgelopen eeuwen hun tanden hebben stuk gebeten. Referenties [1] Martin Aigner and Günter M. Ziegler. Proofs from The Book. Springer-Verlag, Berlin, third edition, Including illustrations by Karl H. Hofmann. 5 Een consistent systeem betekent ongeveer dit: gegeven is een verzameling axioma s. Uit deze axioma s kun je nieuwe beweringen afleiden. Een systeem is consistent, als het niet mogelijk is om uit dezelfde axioma s twee beweringen af te leiden die elkaar tegenspreken. 10

11 [2] Neil Calkin and Herbert S. Wilf. Recounting the rationals. Amer. Math. Monthly, 107(4): , [3] Peter Fletcher and C. Wayne Patty. Foundations of Higher Mathematics. Brooks/Cole Publishing Company, third edition, [4] David Hilbert. Über das Unendliche. Mathematische Annalen, 95(1): , [5] Douglas R. Hofstadter. Gödel, Escher, Bach: an eternal golden braid. Basic Books Inc. Publishers, New York, In het Nederlands vertaald als: Gödel, Escher, Bach: een eeuwige gouden band. [6] Carl Koppeschaar. Oneindigheid , opgevraagd [7] Simon Singh. Fermat s last theorem. HarperCollons publishers, In het Nederlands vertaald als: Het laatste raadsel van Fermat. [8] Ian Stewart. Letters to a young mathematician. Basic Books, New York, [9] Leon van den Broek and Arnoud van Rooij. Blik op Oneindig. Epsilon Uitgaven, [10] Wikipedia. Galileo s Paradox. s paradox, opgevraagd [11] Wikipedia. Onvolledigheidsstellingen van Gödel. wiki/onvolledigheidsstellingen van G%C3%B6del, opgevraagd