De Minimax-Stelling en Nash-Evenwichten

Transcriptie

1 De Minima-Stelling en Nash-Evenwichten Sebastiaan A. Terwijn Radboud Universiteit Nijmegen Afdeling Wiskunde 20 september 2010 Dit is een bijlage bij het eerstejaars keuzevak Wiskunde, Politiek, en Economie. 1 Eindige Spelen Spelen waarin de spelers de keuze hebben uit eindig veel zetten (die we ook wel acties of strategieën noemen) heten eindige spelen. We beschouwen spelen tussen twee spelers I en II waar speler I keuze heeft uit de acties {1,...,m} en speler II uit de acties {1,...,n}. Zulke spelen heten m n-spelen. Als I zet i doet en II zet j dan geeft dit een bepaalde uitkomst. De winst of het verlies bij een bepaalde uitkomst geven we aan met een reëel getal, voor beide spelers één. De uitkomsten in een m n-spel kunnen dus worden beschreven door een reële matri A = (a ij ) voor speler I en een matri B = (b ij ) voor speler II, met i = 1...m en j = 1...n. Gegeven A en B noteren we het bijbehorende spel G = A,B meestal met een matri van paren als volgt: Speler II 1... n 1 (a 11,b 11 )... (a 1n,b 1n ) Speler I... m (a m1,b m1 )... (a mn,b mn ) Definitie 1.1. Een paar strategieën (i,j ) heet een Nash-evenwicht als i a i j a ij j b i j b i j Dat wil zeggen, i is optimaal voor speler I gegeven dat II speelt j, en omgekeerd is j optimaal voor speler II gegeven dat I speelt i. Ofwel, gegeven het paar strategieën (i,j ) heeft het voor geen der beide spelers zin om unilateraal van strategie te veranderen om de uitkomst te verbeteren. In deze zin is een Nashevenwicht stabiel. 1

2 2 Zero-sum spelen Zij G = A,B een m n-spel gegeven door de matrices A en B. Als geldt dat B = A, dat wil zeggen, voor alle i en j geldt b ij = a ij, dan noemen we G een zero-sum spel. In een zero-sum spel is voor elke uitkomst de winst van I dus gelijk aan het verlies van II. In dit geval volstaat de matri A als beschrijving van G. Een voorbeeld van een zero-sum spel is Matching Pennies : heads tails heads (1,-1) (-1,1) tails (-1,1) (1,-1) We zien dat er in dit spel geen Nash-evenwichten zijn. In het vervolg zullen we kijken naar spelen waarin de spelers zogenaamde gemengde (mied) strategieën kunnen spelen die een probabilistische combinatie zijn van gewone strategieën. Het cruciale inzicht van Von Neumann was dat er in zero-sum spelen met gemengde strategieën wel altijd een Nash-evenwicht is, en dat deze op een natuurlijke manier te definiëren zijn als minima-strategieën. We definiëren nu eerst wat gemengde strategieën zijn, en formuleren en bewijzen vervolgens Von Neumann s minima-stelling. 3 Gemengde strategieën Zij G = A,B een m n-spel. We noemen de strategieën {1,...,m} voor speler I en {1,..., n} voor speler II ook wel pure strategieën. Een gemengde (mied) strategie voor speler I is een kansverdeling op {1...m}, dat wil zeggen, een vector = ( 1,..., m ) R m met i 0 en i i = 1. Zo n vector noemen we een kansvector. Een gemengde strategie voor speler II is een kansverdeling op {1...n}, dat wil zeggen, een kansvector = ( 1,..., n ) R n. De interpretatie hiervan is dat speler I de zet i speelt met kans i, en speler II zet j met kans j. Als II kolom j speelt dan is de verwachte uitkomst voor I bij gebruik van strategie gelijk aan i a ij i. Als I rij i speelt dan is de verwachte uitkomst voor II bij gebruik van gelijk aan j b ij j. Definiëer voor elk paar kansvectoren en, m n u 1 (,) = a ij i j = m i = A. n a ij j Hier is A het inwendig product van de vectoren en A inr m. Omdat de verwachte uitkomst voor I als I rij i speelt gelijk is aan j a ij j kunnen we u 1 (,) zien als de verwachte uitkomst (paoff) voor speler I. 2

3 Evenzo, als we definiëren u 2 (,) = B dan geeft u 2 de verwachte uitkomst voor speler II. We definiëren nu het begrip Nash-evenwicht opnieuw voor gemengde strategieën: Definitie 3.1. Een paar gemengde strategieën (, ) heet een Nash-evenwicht als u 1 (, ) u 1 (, ) u 2 (, ) u 2 (,) In zero-sum spelen hebben we per definitie alleen matri A en schrijven we eenvoudig u(,) = A. Merk op dat omdat in dit geval u 2 = u 1 = u geldt dat (, ) een Nash-evenwicht is als u(, ) u(, ) u(, ) u(,) Zo n punt (, ) heet ook wel een zadelpunt van de functie u(,). 4 Minima-strategieën en Nash-evenwichten We bekijken nu het verband tussen Nash-evenwichten in zero-sum spelen en zogenaamde minima-strategieën. We beschouwen weer zero-sum spelen tussen twee spelers met gemengde strategieën. Strategie is maimin-strategie voor I als geldt dat min u(,) min u(,) voor alle. Dat wil zeggen, is oplossing van ma min u(,). Analoog is een minima-strategie voor II als ma u(, ) = min ma u(,). Propositie 4.1. (i) Als (, ) een Nash-evenwicht is dan is een maiminstrategie voor I en een minima-strategie voor II. Bovendien geldt u(, ) = ma min u(,) = min mau(,). (ii) Als ma min u(,) = min ma u(,), en en zijn respectievelijk maimin- en minima-strategieën dan is (, ) een Nash-evenwicht. Bewijs. (i) Als (, ) een Nash-evenwicht is dan u(, ) u(,) voor alle, dus u(, ) = min u(,) ma min u(,). Tevens geldt dat u(, ) u(, ) min u(,) voor alle, dus we hebben ook u(, ) ma min u(,). 3

4 Het geval u(, ) = min ma u(,) is analoog. Uit het bovenstaande volgt dat een maimin-strategie is: min u(,) u(, ) (want (, ) is Nash-evenwicht) = ma min u(,) min u(,) voor alle. Op analoge wijze volgt dat een minima-strategie is. (ii) Laat v = ma min u(,) = min ma u(,). Omdat maimin is en minima geldt voor alle en, u(,) min u(,) = ma min u(,) = v, (1) u(, ) ma u(, ) = min ma u(,) = v. (2) Hieruit volgt dat u(, ) = v, en dus volgt uit (1) en (2) samen dat (, ) een Nash-evenwicht is. 5 De dekpuntstelling van Brouwer Het bewijs van de minima-stelling gebruikt de volgende beroemde stelling van L. E. J. Brouwer. Stelling 5.1. (Dekpuntstelling van Brouwer) Zij X R n compact en conve, en zij f : X X continu. 1 Dan heeft f een dekpunt, dat wil zeggen, er is een X met f() =. Voor een bewijs van Stelling 5.1 verwijzen we naar het college algebraïsche topologie of naar een willekeurig boek over dit onderwerp. Zie bijvoorbeeld Masse [2, p188]. 6 De minima-stelling De minima-stelling gaat over zero-sum spelen tussen twee spelers met gemengde strategieën. Laat A = (a ij ) een reële matri zijn die een zero-sum spel definiëert, en voor elk paar kansvectoren (,) schrijf u(,) = i j a ij i j = A voor de verwachte uitkomst. Laat e i de i-de eenheidsvector inr m zijn, en e j de j-de eenheidsvector inr n. Gegeven een paar kansvectoren (,) is dus u(e i,) de verwachte uitkomst als I i speelt, en u(,e j ) de verwachte uitkomst als II j speelt. Merk op dat we voor alle en hebben: m n u(,) = i u(e i,) = j u(,e j ). 1 Voor een precieze behandeling van de hier genoemde begrippen verwijzen we naar het college Analse. Een verzameling in X R n is compact als X gesloten is en begrensd. X is conve als geldt dat voor alle, X ook alle punten op het lijnsegment tussen en in X liggen. Een functie f op X is continu als geldt dat wanneer n een rij punten in X is die naar X convergeert, de rij f( n ) naar f() convergeert. 4

5 Stelling 6.1. (Von Neumann [1]) (i) Er zijn kansvectoren R m en R n en een unieke constante v (de waarde van het spel) zodat u(,e j ) = u(e i, ) = m a ij i v voor alle j, n a ij j v voor alle i. (ii) Het paar (, ) uit (i) vormt een Nash-evenwicht. (iii) min ma kansvectoren. u(,) = ma min u(,). Hier lopen en over alle mogelijke (i) zegt dus dat er een gemengde strategie is die speler I een minimale verwachte paoff v garandeert, ongeacht de strategie van speler II, en dat deze v tevens het maimum verwachte verlies is voor speler II bij gebruik van strategie. Bewijs. (i) Gegeven een paar kansvectoren (,) definiëer p i = u(e i,) u(,) q j = u(,) u(,e j ). We willen (,) zodat p i 0 voor alle i en q j 0 voor alle j, zodat we v = u(, ) kunnen nemen. Definiëer f(,) = (σ,τ), waar σ R m en τ R n gedefiniëerd zijn door σ i = i + ma(p i, 0) 1 + m k=1 ma(p k, 0) τ j = j + ma(q j, 0) 1 + n l=1 ma(q l, 0) De functie f is duidelijk continu (want de componenten van f zijn gedefiniëerd met behulp van continue transformaties) en het is niet moeilijk om in te zien dat de verzameling paren van kansvectoren compact is en conve, dus wegens Stelling 5.1 heeft f een dekpunt (, ). Uit f(, ) = (, ) volgt dat i = i + ma(p i, 0) 1 + m k=1 ma(p k, 0) zodat i k ma(p k, 0) = ma(p i, 0) voor alle i. Uit ip i = iu(e i, ) iu(, ) = u(, ) u(, ) = 0 i i i (3) volgt dat er een i is met i > 0 en p i 0. 2 Hieruit volgt met (3) dat k ma(p k, 0) = 0, dus p k 0 voor alle k. Op analoge wijze volgt dat q l 0 voor alle l, hetgeen is wat we wilden bewijzen. 2 Gegeven g 1...g m en E = i ig i dan is er i > 0 met E g i want anders E = i ie < i ig i. 5

6 Merk tenslotte nog op dat de uniciteit van v = u(, ) nu volgt uit onderdeel (ii) en Propositie 4.1. (ii) Merk op dat uit (i) volgt dat u(,) v voor alle, u(, ) v voor alle. Namelijk, u(,) = j u(,e j ) j j v j = v, en analoog voor de tweede ongelijkheid. Dat (, ) een Nash-evenwicht is volgt nu omdat we in het bewijs van (i) hadden dat v = u(, ). (iii) volgt direct uit Propositie 4.1. Referenties [1] J. von Neumann, Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Mathematische Annalen 100 (1928) [2] W. S. Masse A basic course in algebraic topolog, Springer,