Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Oneindigheid

Transcriptie

1 Escher in Het Paleis Wiskundepakket Oneindigheid

2 Oneindigheid Wiskundigen hebben weinig moeite met het begrip oneindigheid. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel getallen, een lijn is oneindig lang en oneindig dun. In de analyse, een onderdeel van de wiskunde waar begrippen als snelheid en oppervlakte bestudeerd worden, speelt oneindigheid een essentiële rol. Georg Cantor ontwikkelde in de tweede helft van de negentiende eeuw een theorie over oneindig grote getallen, waarin allerlei verschillende soorten van oneindigheid onderscheden werden. Escher heeft van dit alles nauwelijks weet gehad, maar zocht zijn eigen weg naar oneindigheid. Al in 1939 ondernam hij een poging om oneindigheid aanschouwelijk voor te stellen. Ontwikkeling 2, 1939 De figuren worden gestaag kleiner naar het middelpunt, waar de limiet van het oneindig vele en oneindig kleine bereikt wordt. Pas na 1955 komt Escher terug op deze manier om zijn regelmatige vlakverdelingen gestalte te geven. Door een vlakverdeling binnen een raster te tekenen van steeds kleinere gelijkvormige figuren, was het in theorie mogelijk om oneindig veel steeds kleinere figuren af te beelden op een klein stukje van een vlak. Voor een houtsnede uit 1958 gebruikte hij reptielen die mooi binnen een driehoek pasten binnen zo een raster.

3 Regelmatige vlakverdeling, 1958

4 Een vergelijkbaar schema lag ten grondslag aan zijn prent vierkantlimiet. Het lukte Escher om een regelmatige vlakvulling, die zich normaal over een heel vlak uitstrekt, door middel van verdichting naar de randen, binnen één vierkant te persen. Natuurlijk bereikte Escher het oneindige niet. Alhoewel hij gebruik maakte van een loep voor het tekenen van de fijnste details, zijn er grenzen aan de gedetailleerdheid. De mogelijkheid van het oneindige wordt voorgesteld, maar de oneindigheid wordt niet bereikt. Wiskundigen spreken over potentiële oneindigheid en actuele oneindigheid. Vierkantlimiet, 1964 Een variatie op deze basisvorm vond Escher in het gebruik van spiralen. Bij de prent draaikolken (1957) zwemmen zwarte en witte vissen in tegengestelde richtingen naar het hart van de draaikolken. Spiralen spelen een subtielere rol in de prent levensweg2. Levensweg2, 1958

5 Escher was bevriend met een van de grootste meetkundigen van de twintigste eeuw: Harold Coxeter ( ). Met enige trots stuurde Escher hem een afbeelding van de vierkantslimiet. Coxeter gaf hierop het volgende commentaar: Heel aardig, maar gewoon Euclidisch, dus niet erg interessant. De cirkellimieten zijn belangwekkender, want: niet-euclidisch. Coxeter doelde hiermee op de negentiende-eeuwse ontdekking van de niet-euclidische meetkunde. Euclides was een Griekse wiskundige uit de derde eeuw voor Christus. Hij schreef de elementen, waarin hij de meetkunde via definities, stellingen en bewijzen opbouwde vanuit enkele grondbeginselen, die ook wel axioma s of postulaten werden genoemd. Het vijfde postulaat is het bekendste: Als een lijn (l) gegeven is en een punt (S) dat niet op die lijn ligt, dan gaat er precies één lijn (l ) door dat punt (S) die parallel is aan de gegeven lijn (l). Lang is geprobeerd dit axioma, dat ingewikkelder en minder vanzelfsprekend is dan de andere, vanuit de eerste vier axioma's te bewijzen. Maar in de 19e eeuw realiseerden Janos Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky zich dat het verwerpen van dit postulaat leidt tot volledig consistente niet-euclidische meetkunde, die verder werden ontwikkeld door Bernhard Riemann. Einstein gebruikte deze nieuwe meetkunde in zijn relativiteitstheorie. Poincaré wist een model te maken van de zogenaamde hyperbolische meetkunde. Dat is een theorie waarin er door een gegeven punt meerdere lijnen gaan die evenwijdig zijn aan een gegeven lijn. In dit model bestaat de hele ruimte uit het gebied binnen een cirkel (blauw) en zijn de rechte lijnen (rood) diameters van de cirkel of delen van cirkels die de cirkel loodrecht snijden.

6 Hieronder staat links een afbeelding van het poincarémodel uit een boek van Coxeter en rechts de prent Cirkellimiet 1 die Escher in 1958 hierop baseerde. Escher produceerde nog meerdere prenten die gebaseerd zijn op cirkellimieten. In zijn laatste prent slangen uit 1969 verweefde hij een stelsel ringen die naar het centrum en naar de buitenkant van een cirkel verdichten, met drie slangen die zich door dit stelsel heen slingeren.